Примеры с параметрами и их решение
учебно-методический материал по алгебре на тему
Опубликовано 12.01.2016 - 14:35 - Кутоманова Евгения Михайловна
Подписи к слайдам:
Примеры с параметрами и их решения
Подготовила:учитель математикиМОУ сош №30 имени А.И.КолдуноваКутоманова Е.М.2015-2016 учебный год
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №30 имени А.И.Колдунова
Самые трудные задания, с которыми приходится сталкиваться учащимся, - это задания с параметром.Цель данной презентации: научить учащихся подбирать необходимые приёмы решения заданий с параметром.
Определение квадратного трёхчлена
Квадратным трёхчленом называется выражение: f(x)=axІ+bx+c (a≠0).Графиком соответствующей функции является парабола, ветви которой при а>0 направлены вверх, при а<0 – вниз.
Расположение параболы в системе координат
В зависимости от дискриминанта D (D=bІ-4ас) возможны различные случаи расположения параболы по отношению к оси абсцисс Ох:приD>0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох;При D=0 эти точки совпадают;
х
y
O
х
y
O
x1
x2
x0
При D<0 точек пересечения с осью Ох нет.Причём если a>0, то график лежит выше оси Ох, если a<0, то график лежит ниже оси Ох.Координаты вершины параболы: хв =-в:2а, ув =-(4ас-в2):4а.
х
y
O
х
y
O
Теорема Виета
Между корнями х1 и х2 квадратного трёхчле6на ах2 +вх +с и коэффициентами существует зависимость х1 + х2 =-в:2а, х1 · х2 =с:а
Теорема 1.Чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений: D=в2-4ас≥0, х1 · х2 =с:а>0, при этом оба корня будут положительными, если х1 + х2 =-в:2а>0, и оба корня будут отрицательны, если х1 + х2 =-в:2а<0.
Теорема 2Чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений: D=в2-4ас≥0, х1 · х2 =с:а<0, при этом если х1 + х2 =-в:2а>0 ,то положительный корень имеет больший модуль, если х1 + х2 =-в:2а<0, то отрицательный корень имеет больший модуль.
Теорема 3 Для того, чтобы оба корня квадратного трёхчлена были меньше, чем число х0 (т.е. лежали на координатной прямой левее точки х0 ), необходимо и достаточно выполнение условий:
при а>0,D≥0,-в:2а< х0, f(х0 )>0.
при а<0,D≥0,-в:2а< х0 ,f(х0 )<0.
Теорема 4Чтобы один из корней квадратного трёхчлена был меньше, чем число х0 , а другой больше числа х0 ,(т.е. точка х0 лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий:
при а>0,f(х0)<0,D>0.
при а<0,f(х0)>0,D>0.
Теорема 5Чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше, чем число х0 (т.е. лежали на координатной прямой правее числа х0), необходимо и достаточно выполнение условий:
при а>0,D≥0, -в:2а> х0, f(х0)>0.
при а>0,D≥0, -в:2а> х0, f(х0)<0.
Следствие 1Чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше числа М и меньше числа А (М<А), т.е. лежали в интервале между М и А, необходимо и достаточно выполнение условий:
при а>0,D≥0, f(А)>0, f(М)>0.
при а<0,D≥0,f(А)<0, f(М) <0.
Следствие 2Чтобы только больший корень квадратного трёхчлена лежал в интервале МА (М<А), необходимо и достаточно выполнение условий:
при а>0,f(А)>0, f(М)<0.
при а<0,f(А)<0,f(М) >0.
Следствие 3Чтобы только меньший корень квадратного трёхчлена лежал в интервале МА (М<А), необходимо и достаточно выполнение условий:
при а>0,f(А)<0,f(М)>0.
при а<0,f(А)>0, f(М)<0.
Следствие 4Чтобы один корень квадратного трёхчлена был меньше числа М, а другой больше числа А (М<А), т.е. интервал МА целиком лежал внутри интервала х1х2 , необходимо и достаточно выполнение условий:
при а>0,f(А)<0,f(М)<0.
при а<0,f(А)>0, f(М)>0.
Применение теорем и следствий к решению задач
Замечание:Во всех вышеперечисленных соотношениях f(х0) представляет собой выражение ax02+bx0+c
№1При каких действительных а корни уравнения х2 -3ах +а2=0 таковы, сумма их квадратов равна 1,75?
Решение.1.Заметим, что а2 +2ав + в2 =(а + в)2, а2 + в2 = (а + в)2 -2ав. 2.По теореме Виета: х1 + х2 = 3а, х1 · х2 = а2 . 3. х12 + х22 =1,75; (х1 + х2)2 -2х1 · х2 =1,75, (3а)2 -2а2 =1,75, 9 а2 -2а2 =1,75, 7 а2 =1,75, а2 =0,25, а=±0,5.
№2 При каких значениях а сумма квадратов корней уравнения х2-ах+а-1=0 будет наименьшей.
Решение.По теореме Виета: х1 + х2 = а, х1 · х2 = а-1.х12 + х22 = (х1 + х2)2 -2х1 · х2 ==а2 -2(а-1)==а2 -2а+2== а2 -2а+1+1==(а-1)2+1,Сумма корней уравнения будет наименьшей при а-1=0, т.е. при а=1.
№3 При каких значениях а корни квадратного трёхчлена (2-а)х2-3ах+2а действительны и оба больше 0,5?
1.Используя теорему 5, получим две системы неравенств:а) 2-а>0, 9а2-8а(2-а)≥0, 3а:2(2-а)>0,5, 0,25·(2-а)-3а· 0,5+2а>0.б) 2-а<0, 9а2-8а(2-а)≥0, 3а:2(2-а)>0,5, 0,25·(2-а)-3а· 0,5+2а<0.
Решим систему а:
-а>-2,17а2 -16а≥0,3а:(2-а)>1,0,5-0,25а-1,5а+2а>0; а<2, а(17а-16)≥0,(2а-1):(2-а) ≥0,0,25а+0,5>0, а<2, а(17а-16)≥0,(2а-1):(а-2) <0,а>-2.
Решим систему б:
а>2,а(17а-16)≥0,(2а-1):(а-2) >0,а<-2.решения нет. Ответ:
№4 Найти все те значения параметра к, при которых оба корня квадратного уравнения х2-6кх+(2-2к+9к2)=0 действительны и больше, чем 3.
Решение.а=1>0.Применяя теорему 5, получаем систему неравенств:D≥0,-в:2а>3,f(3)>0,9к2- (2-2к+9к2) ≥0,3к>3,9-18к+ 2-2к+9к2 >0,
-2+2к≥0,к>1,9(к-1)(к-11/9)>0, к≥1, к>1, (к-1)(к-11/9)>0, к>1, (к-1)(к-11/9)>0,
№5 Найти все те значения параметра с, при которых оба корня квадратного уравнения х2+4сх+(1-2с+4с2)=0 действительны и меньше, чем -1.
Решение.1. а=1>0,2. Применяя теорему 3, составим систему:D≥0,-в:2а<-1,f(-1)>0,4с2- (1-2с+4с2) ≥0,-2с<-1,1-4с+ (1-2с+4с2) >0,
2с-1 ≥0,с>0,5,2с2-3с+1>0,с ≥0,5, с>0,5,2(с-1)(с-0,5) >0, с>0,5, (с-1)(с-0,5) >0,с>1.
№6 При каких действительных значениях к оба корня уравнения (1+к)х2-3кх+4к=0 больше1?
Решение.Согласно теореме 5 имеем две системы неравенств:
а) 1+к>0,9к2-16к(1+к)≥0,3к:(1+к)>1,1+к-3к+4к>0
б) 1+к<0,9к2-16к(1+к)≥0,3к:(1+к)>1,1+к-3к+4к<0
2. Решим систему а:
к>-1,-16к-7к2≥0,(к-2):2(1+к)>0,1+2к>0к>1,к(16+7к)≤0,(к-2)(1+к) )>0,к>-1/2решений нет.
3.Решим систему б:
к<1, к(16+7к)≤0,(к-2)(1+к) )>0,к<-1/2
№7 При каких значениях к один из корней уравнения (к2 +к+1)х2+(2к-3)х+к-10=0 больше 1, а другой меньше 1?
Решение.1.а=к2 +к+1>0 при любом к.2.Согласно тереме 4 имеемf(х0)= f(1)==к2+к+1+2к-3+к-10==к2+4к-7<0,D=4+12=16х1,2=-2±4, -6<х<2
№8 Существуют ли такие к, при которых корни уравнения х2+2х+к=0 действительны и различны и оба заключены между -1 и 1?
Решение.1.Чтобы корни квадратного трёхчлена были заключены между -1 и 1, среднее арифметическое этих корней также должно быть заключено между этими числами, т.е. -1<(х1+х2):2<1,-2<х1+х2<2.2.Но согласно теореме Виета для корней уравнения выполняется равенствох1 +х2 =2.Следовательно, значений к, требуемых в условии, не существует.
№9 При каких к корни уравнения кх2-(к+1)х+2=0 будут действительными и оба по модулю меньше 1?
Решение.1.Корни уравнения должны быть действительными и удовлетворять неравенствам:-1<х1<1, -1<х2<1.2.Согласно следствию 1 получаем две системы:а) к>0,(к+1)2-8к≥0,-1<(к+1):2к<1,к-(к+1)+2>0, к+(к+1)+2>0
б) к<0,(к+1)2 -8к≥0,-1<(к+1):2к<1,к-(к+1)+2<0, к+(к+1)+2<0
Решим системы:
а) к>0,к2+2к+1-8к ≥0, (к+1)·2к<1,(к+1)·2к>-1,к-к-1+2>0, к+к+1+2>0,к>0,к2-6к+1 ≥0,2к(1-к)<0,2к(3к+1) >0,1 >0,2к >-3,
б)к<0,к2+2к+1-8к ≥0,(к+1)·2к<1,(к+1)·2к>-1,к-к-1+2<0, к+к+1+2<0,к>0,к2-6к+1 ≥0,2к(1-к)<0,2к(3к+1) >0,1 < 0,2к < -3,Решения нет
к>0,(к-3-√8)(х-3+√8)≥0,к(к-1)>0,к(3к+1) >0,к>-1,5,
№10 Даны уравнения: х2-5х+к=0 и х2-7х+2к=0, к≠0. Найти значение к, при котором один из корней второго уравнения вдвое больше одного из корней первого уравнения.
Решение.Обозначим корни первого уравнения А и В, а второго уравнения через 2А и С.По тереме Виета: А+В=5, 2А+С=7, А В=к, 2АС=2к.Т.к. к≠0, то А ≠0, В≠0, С≠0.Т.к. АВ=к, 2АС=2к, то В=С иА+В=5, 2А+В=7, АВ=к,Решив систему, получаем: А=2,В=3, С=6, к=6.
5. Таким образом , данные уравнения принимают вид: х2-5х+6=0 и х2-7х+12=0.Первое уравнение имеет корни: 2 и 3.Второе уравнение имеет корни: 3 и 4.
№11 Найти все действительные корни уравнения 8(х4+у4)-4(х2+у2)+1=0.
Решение.Перепишем уравнение:4(х4+у4)-2(х2+у2)+0,5=0,4(х4 -0,5х2 +0,0625)+4(у4 -0,5у2 +0,0625)=0,4(х2-0,25)2+4(у2 -0,25)2=0,(х2-0,25)2+(у2 -0,25)2=0.2. Уравнение выполняется лишь прих2-0,25=0,у2 -0,25=0. х = у =±0,5.Ответ: (0,5;0,5), (0,5;-0,5), (-0,5;0,5), (-0,5;-0,5).
Подготовила:учитель математикиМОУ сош №30 имени А.И.КолдуноваКутоманова Е.М.2015-2016 учебный год
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №30 имени А.И.Колдунова
Самые трудные задания, с которыми приходится сталкиваться учащимся, - это задания с параметром.Цель данной презентации: научить учащихся подбирать необходимые приёмы решения заданий с параметром.
Определение квадратного трёхчлена
Квадратным трёхчленом называется выражение: f(x)=axІ+bx+c (a≠0).Графиком соответствующей функции является парабола, ветви которой при а>0 направлены вверх, при а<0 – вниз.
Расположение параболы в системе координат
В зависимости от дискриминанта D (D=bІ-4ас) возможны различные случаи расположения параболы по отношению к оси абсцисс Ох:приD>0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох;При D=0 эти точки совпадают;
х
y
O
х
y
O
x1
x2
x0
При D<0 точек пересечения с осью Ох нет.Причём если a>0, то график лежит выше оси Ох, если a<0, то график лежит ниже оси Ох.Координаты вершины параболы: хв =-в:2а, ув =-(4ас-в2):4а.
х
y
O
х
y
O
Теорема Виета
Между корнями х1 и х2 квадратного трёхчле6на ах2 +вх +с и коэффициентами существует зависимость х1 + х2 =-в:2а, х1 · х2 =с:а
Теорема 1.Чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений: D=в2-4ас≥0, х1 · х2 =с:а>0, при этом оба корня будут положительными, если х1 + х2 =-в:2а>0, и оба корня будут отрицательны, если х1 + х2 =-в:2а<0.
Теорема 2Чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений: D=в2-4ас≥0, х1 · х2 =с:а<0, при этом если х1 + х2 =-в:2а>0 ,то положительный корень имеет больший модуль, если х1 + х2 =-в:2а<0, то отрицательный корень имеет больший модуль.
Теорема 3 Для того, чтобы оба корня квадратного трёхчлена были меньше, чем число х0 (т.е. лежали на координатной прямой левее точки х0 ), необходимо и достаточно выполнение условий:
при а>0,D≥0,-в:2а< х0, f(х0 )>0.
при а<0,D≥0,-в:2а< х0 ,f(х0 )<0.
Теорема 4Чтобы один из корней квадратного трёхчлена был меньше, чем число х0 , а другой больше числа х0 ,(т.е. точка х0 лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий:
при а>0,f(х0)<0,D>0.
при а<0,f(х0)>0,D>0.
Теорема 5Чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше, чем число х0 (т.е. лежали на координатной прямой правее числа х0), необходимо и достаточно выполнение условий:
при а>0,D≥0, -в:2а> х0, f(х0)>0.
при а>0,D≥0, -в:2а> х0, f(х0)<0.
Следствие 1Чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше числа М и меньше числа А (М<А), т.е. лежали в интервале между М и А, необходимо и достаточно выполнение условий:
при а>0,D≥0, f(А)>0, f(М)>0.
при а<0,D≥0,f(А)<0, f(М) <0.
Следствие 2Чтобы только больший корень квадратного трёхчлена лежал в интервале МА (М<А), необходимо и достаточно выполнение условий:
при а>0,f(А)>0, f(М)<0.
при а<0,f(А)<0,f(М) >0.
Следствие 3Чтобы только меньший корень квадратного трёхчлена лежал в интервале МА (М<А), необходимо и достаточно выполнение условий:
при а>0,f(А)<0,f(М)>0.
при а<0,f(А)>0, f(М)<0.
Следствие 4Чтобы один корень квадратного трёхчлена был меньше числа М, а другой больше числа А (М<А), т.е. интервал МА целиком лежал внутри интервала х1х2 , необходимо и достаточно выполнение условий:
при а>0,f(А)<0,f(М)<0.
при а<0,f(А)>0, f(М)>0.
Применение теорем и следствий к решению задач
Замечание:Во всех вышеперечисленных соотношениях f(х0) представляет собой выражение ax02+bx0+c
№1При каких действительных а корни уравнения х2 -3ах +а2=0 таковы, сумма их квадратов равна 1,75?
Решение.1.Заметим, что а2 +2ав + в2 =(а + в)2, а2 + в2 = (а + в)2 -2ав. 2.По теореме Виета: х1 + х2 = 3а, х1 · х2 = а2 . 3. х12 + х22 =1,75; (х1 + х2)2 -2х1 · х2 =1,75, (3а)2 -2а2 =1,75, 9 а2 -2а2 =1,75, 7 а2 =1,75, а2 =0,25, а=±0,5.
№2 При каких значениях а сумма квадратов корней уравнения х2-ах+а-1=0 будет наименьшей.
Решение.По теореме Виета: х1 + х2 = а, х1 · х2 = а-1.х12 + х22 = (х1 + х2)2 -2х1 · х2 ==а2 -2(а-1)==а2 -2а+2== а2 -2а+1+1==(а-1)2+1,Сумма корней уравнения будет наименьшей при а-1=0, т.е. при а=1.
№3 При каких значениях а корни квадратного трёхчлена (2-а)х2-3ах+2а действительны и оба больше 0,5?
1.Используя теорему 5, получим две системы неравенств:а) 2-а>0, 9а2-8а(2-а)≥0, 3а:2(2-а)>0,5, 0,25·(2-а)-3а· 0,5+2а>0.б) 2-а<0, 9а2-8а(2-а)≥0, 3а:2(2-а)>0,5, 0,25·(2-а)-3а· 0,5+2а<0.
Решим систему а:
-а>-2,17а2 -16а≥0,3а:(2-а)>1,0,5-0,25а-1,5а+2а>0; а<2, а(17а-16)≥0,(2а-1):(2-а) ≥0,0,25а+0,5>0, а<2, а(17а-16)≥0,(2а-1):(а-2) <0,а>-2.
Решим систему б:
а>2,а(17а-16)≥0,(2а-1):(а-2) >0,а<-2.решения нет. Ответ:
№4 Найти все те значения параметра к, при которых оба корня квадратного уравнения х2-6кх+(2-2к+9к2)=0 действительны и больше, чем 3.
Решение.а=1>0.Применяя теорему 5, получаем систему неравенств:D≥0,-в:2а>3,f(3)>0,9к2- (2-2к+9к2) ≥0,3к>3,9-18к+ 2-2к+9к2 >0,
-2+2к≥0,к>1,9(к-1)(к-11/9)>0, к≥1, к>1, (к-1)(к-11/9)>0, к>1, (к-1)(к-11/9)>0,
№5 Найти все те значения параметра с, при которых оба корня квадратного уравнения х2+4сх+(1-2с+4с2)=0 действительны и меньше, чем -1.
Решение.1. а=1>0,2. Применяя теорему 3, составим систему:D≥0,-в:2а<-1,f(-1)>0,4с2- (1-2с+4с2) ≥0,-2с<-1,1-4с+ (1-2с+4с2) >0,
2с-1 ≥0,с>0,5,2с2-3с+1>0,с ≥0,5, с>0,5,2(с-1)(с-0,5) >0, с>0,5, (с-1)(с-0,5) >0,с>1.
№6 При каких действительных значениях к оба корня уравнения (1+к)х2-3кх+4к=0 больше1?
Решение.Согласно теореме 5 имеем две системы неравенств:
а) 1+к>0,9к2-16к(1+к)≥0,3к:(1+к)>1,1+к-3к+4к>0
б) 1+к<0,9к2-16к(1+к)≥0,3к:(1+к)>1,1+к-3к+4к<0
2. Решим систему а:
к>-1,-16к-7к2≥0,(к-2):2(1+к)>0,1+2к>0к>1,к(16+7к)≤0,(к-2)(1+к) )>0,к>-1/2решений нет.
3.Решим систему б:
к<1, к(16+7к)≤0,(к-2)(1+к) )>0,к<-1/2
№7 При каких значениях к один из корней уравнения (к2 +к+1)х2+(2к-3)х+к-10=0 больше 1, а другой меньше 1?
Решение.1.а=к2 +к+1>0 при любом к.2.Согласно тереме 4 имеемf(х0)= f(1)==к2+к+1+2к-3+к-10==к2+4к-7<0,D=4+12=16х1,2=-2±4, -6<х<2
№8 Существуют ли такие к, при которых корни уравнения х2+2х+к=0 действительны и различны и оба заключены между -1 и 1?
Решение.1.Чтобы корни квадратного трёхчлена были заключены между -1 и 1, среднее арифметическое этих корней также должно быть заключено между этими числами, т.е. -1<(х1+х2):2<1,-2<х1+х2<2.2.Но согласно теореме Виета для корней уравнения выполняется равенствох1 +х2 =2.Следовательно, значений к, требуемых в условии, не существует.
№9 При каких к корни уравнения кх2-(к+1)х+2=0 будут действительными и оба по модулю меньше 1?
Решение.1.Корни уравнения должны быть действительными и удовлетворять неравенствам:-1<х1<1, -1<х2<1.2.Согласно следствию 1 получаем две системы:а) к>0,(к+1)2-8к≥0,-1<(к+1):2к<1,к-(к+1)+2>0, к+(к+1)+2>0
б) к<0,(к+1)2 -8к≥0,-1<(к+1):2к<1,к-(к+1)+2<0, к+(к+1)+2<0
Решим системы:
а) к>0,к2+2к+1-8к ≥0, (к+1)·2к<1,(к+1)·2к>-1,к-к-1+2>0, к+к+1+2>0,к>0,к2-6к+1 ≥0,2к(1-к)<0,2к(3к+1) >0,1 >0,2к >-3,
б)к<0,к2+2к+1-8к ≥0,(к+1)·2к<1,(к+1)·2к>-1,к-к-1+2<0, к+к+1+2<0,к>0,к2-6к+1 ≥0,2к(1-к)<0,2к(3к+1) >0,1 < 0,2к < -3,Решения нет
к>0,(к-3-√8)(х-3+√8)≥0,к(к-1)>0,к(3к+1) >0,к>-1,5,
№10 Даны уравнения: х2-5х+к=0 и х2-7х+2к=0, к≠0. Найти значение к, при котором один из корней второго уравнения вдвое больше одного из корней первого уравнения.
Решение.Обозначим корни первого уравнения А и В, а второго уравнения через 2А и С.По тереме Виета: А+В=5, 2А+С=7, А В=к, 2АС=2к.Т.к. к≠0, то А ≠0, В≠0, С≠0.Т.к. АВ=к, 2АС=2к, то В=С иА+В=5, 2А+В=7, АВ=к,Решив систему, получаем: А=2,В=3, С=6, к=6.
5. Таким образом , данные уравнения принимают вид: х2-5х+6=0 и х2-7х+12=0.Первое уравнение имеет корни: 2 и 3.Второе уравнение имеет корни: 3 и 4.
№11 Найти все действительные корни уравнения 8(х4+у4)-4(х2+у2)+1=0.
Решение.Перепишем уравнение:4(х4+у4)-2(х2+у2)+0,5=0,4(х4 -0,5х2 +0,0625)+4(у4 -0,5у2 +0,0625)=0,4(х2-0,25)2+4(у2 -0,25)2=0,(х2-0,25)2+(у2 -0,25)2=0.2. Уравнение выполняется лишь прих2-0,25=0,у2 -0,25=0. х = у =±0,5.Ответ: (0,5;0,5), (0,5;-0,5), (-0,5;0,5), (-0,5;-0,5).
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Организация дифференцированного обучения математике в старшей школе на примере изучения темы «Решение тригонометрических уравнений с параметром»
решение тригонометрических уравнений в старшей школе...
Параметры в задачах ЕГЭ. Функционально-графический подход к решению задач с параметром.
Внеклассная работа. Подготовка к экзамену. Проведена в форме "Математических чтений" (идея кадетского корпуса). Занятие проводится в форме обмена знаниями между учащимися. Кадеты заранее получают тему...
Некоторые примеры решений уравнений с параметром в 8 классе.
Сама сложная тема для восприятия учащихся...
Примеры решения задач с параметрами (С5 ЕГЭ)
Задачи с параметрами традиционно считаются наиболее трудными. Это связано с тем, что часто они являются исследовательскими. Единого «рецепта» решения задач с параметром не существует. В данном м...
Урок по алгебре в 7,8 классе "Линейное уравнение с параметром и его решение в общем виде"
На уроке даётся определение линейного уравнения с параметром, рассматриваются способы его решения, Изучается схема исследования линейных уравнений с параметрами. Формируются навыки решения линейн...
Применение исследовательского метода при решении задач на примере урока 7 - го класса "Решение задач на тему "Архимедова сила"
Исследовательский метод применяю при решении задач по физике. Процесс решения физических задач предполагает выполнение обучающимися важных мыслительных операций. Исследование заключается в рассм...
Задачи с параметром (графический прием решения)
Задачи с параметром (графический прием решения)Применение графиков при исследовании задач с параметрами необычайно эффективно. В зависимости от способа их применения выделяют два основных подхода.в ко...