Графический способ решения систем уравнений.
презентация к уроку по алгебре (9 класс) на тему

Николай Егорович Жуковский сказал:
«В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии».
Воспитательные: - воспитание коллективизма и ответственности за общую работу; - воспитание взаимопомощи; - воспитание аккуратности (при выполнении построения графиков функций).
Развивающие: - формировать умения сравнивать, обобщать изучаемые факты; - развивать у учащихся самостоятельность в мышлении и учебной деятельности; - повысить эмоциональный настрой учащихся путем привлечения наглядности и технических средств обучения (компьютер).
Образовательные: - научиться применять полученные знания к построению графиков функций;- сформировать умения решать системы уравнений графическим способом.
Цели урока:
0
х
у
Вы, конечно, помните, что графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргументов, а ординаты – соответствующим значениям функции.
у = f(х)
Вы уже знакомы с некоторыми важными видами функций
0
х
у
Графиком этой функции является прямая
Линейная функция задается уравнением
где k и в – некоторые числа
0
х
у
График этой функции называется гиперболой
Функция обратной пропорциональности
, где k  0
0
х
у
Рассмотрим функцию
где а, в и r – некоторые числа
Графиком этой функции является окружность
радиуса r с центром в т. А (а;в)
А
а
в
r
Дальше
0
х
у
Графиком этой функции является парабола
Квадратичная функция
где а,в,с – некоторые числа и а  0
Дальше
Повторение.
№1.Какие из данных графиков являются графиками каких-либо функций?
№ 2. Повторение.
Линейные функции.
y = ах + b
Верно!
№ 2. Повторение.
Квадратичные функции.
Молодцы!
у = ах2 + bx +c
№ 2. Повторение.
Функции прямой пропорциональности.
у = kx
Правильно!
№ 2. Повторение.
Функции обратной пропорциональности.
у = k/x
И все!
у = а
y = kx
y = kx + m
y = x2
y = 1/x
Прямая, параллельная оси Ох
Парабола
Гипербола
Прямая, проходящая через начало координат
Прямая
№3. Выберите описание каждойматематической модели.
№4. Найдите соответствия:
1.
г
Каков вид графика функцииобратной пропорциональности?
и
е
п
а
л
о
б
р
1.
2.
р
г
и
е
п
а
л
о
б
р
Каков вид графика квадратичной функции?
п
а
б
а
л
о
а
1.
2.
3.
и
р
г
и
е
п
а
л
о
б
р
3. Как называется координата точки по оси Ох?
п
а
б
а
л
о
а
б
а
с
ц
с
а
с
1.
2.
3.
4.
и
а
р
г
и
е
п
а
л
о
б
р
4. Как называется координата точки по оси Оу?
п
а
б
а
л
о
а
б
а
с
ц
с
а
с
р
о
н
и
д
а
т
1.
2.
3.
4.
5.
и
ф
а
р
г
и
е
п
а
л
о
б
р
5. Один из способов задания функции.
п
а
б
а
л
о
а
б
а
с
ц
с
а
с
р
о
н
и
д
а
т
р
о
а
л
у
м
1.
2.
3.
4.
5.
6.
и
ф
а
р
г
и
е
п
а
л
о
б
р
6. Переменная величина,значение которой зависитот изменения другойвеличины.
п
а
б
а
л
о
а
б
а
с
ц
с
а
с
р
о
н
и
д
а
т
р
о
а
л
у
м
ф
у
и
к
н
ц
я
Итак, начнём…
Графический способ решения системы уравнений с двумя переменными - один из самых простых и наглядных способов.
Но этот способ напрямую связан с построением графиков уравнений, входящих в ту или иную систему.
Итак…
Дальше
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство
Графиком уравнений с двумя переменными может быть:Прямая Парабола ГиперболаОкружность…
x
y
1
1
0
-1
-1
y
1
1
0
x
y
x
1
1
0
y
y
x
y
1
1
0
y
Пусть требуется решить систему уравнений:х2 + у2 = 25,у = -х2 + 2х + 5;
Построим в одной системе координат графики уравненийх2 + у2 = 25 и у = -х2 + 2х + 5
Координаты любой точки окружности являются решением уравнения х2 + у2 = 25, а координаты любой точки параболы являются решением уравнения у = -х2 + 2х + 5.Значит, координаты каждой из точек пересечения окружности и параболы удовлетворяют как первому уравнению системы, так и второму, т.е. являются решением системы.
Находим по рисунку значения координат точек пересечения графиков: А(-2,2;-4,5), В(0;5), С(2,2;4,5), D(4;-3). Тогда система имеет 4 решения
х1 -2,2, у1 -4,5 х2 0, у2 5х3 2,2, у3 4,5 х4 4, у4 -3
Второе и четвертое из этих решений – точные, а первое и третье – приближенные.
Давайте сделаем из рассмотренного примера выводы.
Помните о двух вещах!Если точек пересечения графиков нет, то система решений не имеет;Координаты точек пересечения определяются приблизительно, поэтому и решения могут получиться приблизительными; Чтобы проверить точность полученных решений, их нужно подставить в уравнения системы!
Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными, нужно: Построить в одной системе координат графики уравнений, входящих в систему; Определить координаты всех точек пересечений графиков (если они есть); Координаты этих точек и будут решениями системы.
Тренировочные упражнения.
Решить №418 из учебника.
Подготовка к ГИА:
- решить систему уравнений графическим способом самостоятельно (из сборника заданий для подготовки к ГИА С.С.Минаева, Т.В.Колесникова)
Проверка. Решить графически систему уравнений
-Графиком первого уравнения является окружность с центром в точке (3;2) и радиусом2.-Графиком второго уравнения является прямая проходящая через начало координат -Построим графики для каждого из уравнений.
А
В
Ответ: А(1,5;0,7), В(5,1;2,5),
1
1
0
Х
У
Тестирование
Вам предлагается тест, состоящий из 5 вопросов. Внимательно прочитайте каждый вопрос и варианты ответов к ним. Выберите правильный вариант ответа.
1. С какой прямой график параболы y= – x2+ 4x – 3 не имеет общих точек?
о
х
1 2 3 4 5 6 7
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
у
-1 -2 -3 -4 -5 -6
у = 0
у = x
у = 1
у = –10
7 6 5 4 3 2 1
1
3
2
2. Укажите систему уравнений, которая не имеет решений.
4
ОДНО решение
ВЕРНО!
ДВА решения
ПОДУМАЙ!
y=x2-1
y-10=0
x-y=3
x+5=0
Все три указанные системы
3
1
2
3. Укажите систему уравнений, решение которой пара (4;0)
4
Решение (-4; -5)!
ВЕРНО!
Решение (1; 4)!
ПОДУМАЙ!
7х-5у=-8
x-2y=4
x+у=4
Такой системы нет
1 2 3 4 5 6 7
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
7 6 5 4 3 2 1
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
3
1
2
4. На рисунке изображены графики функций у=х2 – 2х–3 и у=1–х Используя графики решите систему уравнений.
4
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
у=1–х
у=х2 – 2х –3
1 2 3 4 5 6 7
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
7 6 5 4 3 2 1
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
(-2; 5), (2; -3)
х1=-2 , х2=2;
ПОДУМАЙ!
Нет решений
у1=-3 , у2=5;
3
2
1
5. На рисунке изображены графики функций у= х3 и у=2х+4 Используя графики решите систему уравнений
4
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
у=2х+4
у=х3
1 2 3 4 5 6 7
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
8 7 6 5 4 3 2 1
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
(2; 8)
х1=-2 , х2=2;
ПОДУМАЙ!
Нет решений
х = 2
ВЕРНО!
Домашнее задание:П. 18, №421(а), №422(б)
Итог урока:
- С каким способом решения систем уравнений с двумя переменными мы познакомились?- В чем заключается его суть?- Дает ли данный способ точные результаты?- В каком случае система не будет иметь решений?
Успехов!!!До новых встреч!
«Ученые, занимавшиеся понятием функция»
Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и
Рене Декарт.Они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание.
Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита - x, y, z, известных - начальными буквами того же алфавита - a, b, c, ... и т.д. Под каждой буквой стало возможным понимать не только конкретные данные, но и многие другие; в математику пришла идея изменения. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.
Само слово «функция» (от латинского functio -совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673г. в письме к Гюйгенсу (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону), слово функция было введено в печать с 1694 года.
Поговорим о русских ученых, внесших вклад в развитие понятия функция. Это Николай Иванович Лобачевский. Заслуги Лобачевского в других областях математики не так велики, как его геометрическое дело. Но его крупный математический талант проявился и в других исследованиях, например, в исследованиях о сходимости строк.
Лобачевский опередил своих современников на несколько десятилетий. Учебник алгебры Лобачевского, изданный им в 1834г. под заглавием: "Алгебра или вычисление конечных" - отличается от других учебников алгебры, не только в России, но и за границей, систематичностью расположения, строгостью изложения основных понятий и замечательной полнотой.
Соболев Сергей Львович (род. в 1908г.)
Это известный советский математик, академик. Его основные труды были посвящены теории уравнений с частными производными, математической физике, функциональному анализу и вычислительной математике.
Им начато систематическое применение функционального анализа в теории уравнений с частными производными.Соболев ввел понятие обобщенного решения уравнения с частными производными и дал первое (1935 г) строгое определение обобщенной функции;
1 задание
Решите графически системы уравнений:
Проверь
Проверь
Полученная система:
Полученная система:
2 задание
На чертеже дан график одного из уравнений системы. Дополните чертеж графиком другого уравнения и найдите решение системы:
следующее задание
система
Полученная система:
В данную систему впишите уравнение линии, изображенной на чертеже. Дополните чертеж графиком, уравнение которого уже записано в системе. Укажите решение системы.
Проверь
конец
3 задание
Полученная система:
Успехов!!!До новых встреч!