Урок по теме "Графический способ решения систем уравнений"
презентация к уроку алгебры (9 класс) по теме

Девиз:«Три пути ведут к знанию:

 путь размышления – это путь самый благородный,

путь подражания – это путь самый легкий

и путь опыта – это путь самый горький».

                                                      Конфуций.

Графический способ решения систем уравнений с двумя переменными

 (9 класс)

Цель урока:

Образовательные: расширить знания о системах уравнений с двумя переменными и на основе приобретенных знаний  сформировать умение решать их графическим способом.

Развивающие: развивать у учащихся мыслительную деятельность, а именно наблюдение, анализ, классификация, обобщение.

Воспитательные:  формировать учебную деятельность (мотивацию, понимание цели,  учебных действий, действий контроля и оценки).

Средства обучения: компьютер, проектор, программа построения и исследования графиков функций

Advanced Grapher, программа Exsel, программа графопостроитель.

Задачи урока:

1. Выявить уровень усвоения полученных знаний;
2. Создать условия для самооценки своих возможностей и выбора цели в деятельности;
3. Развивать навыки индивидуальной и самостоятельной работы;
4. Побуждать к само-, взаимоконтролю;
5. Вызывать потребность в обосновании своих высказываний.

Психологическая установка

1. Продолжаем отрабатывать навыки решения систем уравнений;
2. Формируем математическую интуицию;
3. На уроке можем ошибаться, сомневаться, консультироваться.
4. Каждый учащийся сам себе дает установку.

Оборудование: проектор, экран, доска, карточки с заданием тестов, индивидуальные оценочные листы, бланки ответов.

Ход урока

I этап. Организационная часть

Здравствуйте, ребята! Садитесь.

Актуализация знаний. Урок у нас сегодня необычный. Все мы знакомы с курса алгебры с системами уравнений с двумя неизвестными.  Давайте вспомним: Что такое система уравнений?

(слайд 1) – тема урока

(слайд 2)

Из данных определений выберите верный ответ:

Определение1. Система уравнений – это два уравнения, которых нужно решить.

Определение 2. Система уравнений – это некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой, что означает все уравнения должны выполняться одновременно.

Определение 3. Система уравнений – это некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой, которых нужно  решить отдельно.

Мы с вами знаем несколько способов решения систем уравнений. Какие?

а) Графический способ; б) Способ сложения; в) Иллюстративный способ;

г) Способ подстановки;

(слайд 3)

Постановка цели урока. Этот способ решения можно встретить везде в нашей повседневной жизни. Например, в нашей аудитории у присутствующих можно узнать некоторые данные и сделать наглядное представление этих данных, то есть мы сегодня рассмотрим какой способ?

(графический)

Так какие же данные можно изобразить графически в данной аудитории? (рост, вес и.т.д.)

Значит тема нашего урока? (Графический способ решения систем уравнений)

Значит цель нашего урока какая? (ответы учащихся)

(слайд 4)

Мы с вами определили цель урока и каждый перед собой ставит свои задачи нашего урока. Прежде чем приступить к решению основной задачи, разгадаем кроссворд (слайд 5)

Перед вами листки оценивания вашей работы на уроке. После каждого задания нужно проставить баллы, которые вы наберете в различных заданиях.

Задание 1 (слайд 6)

Тест

1 вопрос. Какая  точка находится во второй четверти координатной плоскости?

    1) А(3; 7);     2)  В(-5; 4);       3) С(-3; -6);       4) Д(1; -6).

2 вопрос. Решением какого уравнения является пара чисел (1;0)      а) х2+у = 1;  б) ху+3 = х;  в) у(х+2) = 0. 

                                1) а         2) б       3) в

3 вопрос.  Окружность изображенная  на рисунке задана уравнением х2 + у2 = 16.

Используя этот рисунок, определите, какая из систем уравнений не имеет решения?

1)  х2 + у2 = 16    2)  х2 + у2 = 16               3)  х2 + у2 = 16              4)  х2 + у2 = 16

      у= -4                     у = х + 7                          у = 3 – 2х                       у = 3х

 4 вопрос.  Укажите координаты центра окружности и радиус: х2+(у-5)2=9 .

                                1) (0; -5)       2) ( 5; 0)       3) (0; 5)     4) (0; -5)

5 вопрос. Сколько решений имеет система уравнений , изображенная на графике:

                                  1) одно;      2)два;       3) три;      4) нет решений.

6 вопрос. Выберите правильное соответствие уравнений и графиков уравнений

1) ху = 4                                       а) Гипербола (1 и 3 четверти);

2) у = х -3                         б)  Окружность;

3) х 2 + у2 =9                         в) Прямая;

4) у = - 8/х                         г) Парабола (ветви направлены вверх);

5) у = х2 + 2                         д) Гипербола (2 и 4 четверти);

                                е) Парабола (ветви направлены вниз);

А теперь проверьте свои ответы (слайд 7)

Сколько баллов набрали, занесите в оценочный лист.

Давайте сделаем из рассмотренного примера выводы (слайд 8).

Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными, нужно:

1. Построить в одной системе координат графики уравнений, входящих в систему;
2. Определить координаты всех точек пересечений графиков (если они есть);
3. Координаты этих точек и будут решениями системы.

Помните о двух вещах!

1. Если точек пересечения графиков нет, то система решений не имеет;

2. Координаты точек пересечения определяются приблизительно, поэтому и решения могут получиться приблизительными;

Чтобы проверить точность полученных решений, их нужно подставить в уравнения системы!

И так мы с вами закончили повторение. А теперь приступим к решению задач. Прежде чем решить задачи нам надо в группах определиться с экспертами. В каждой группе выбираем эксперта, который поможет нам поставить баллы в наши оценочные листы.

2 задание. Рассмотрим несколько задач на графический способ решения уравнений

1 задача. На спартакиаде Дети Азии одноклассники Ньургун и Бэргэн соревновались между собой на дистанции 1 км. Через какое время Ньургун догонит Бэргэнэ, если уравнение движения Бэргэнэ  х1 = 6+2t, а у Ньургуна  х2 = 0,5t2? А как изменится время, если Бэргэн будет двигаться по уравнению х1 = |6+2t|?(слайд 9).

Эту работу мы с вами проделаем с помощью Программы Exsel. (помощь учащимся)

2 задача. Уровень радиации в Японии после катастрофы на атомной электростанции в «Фукусиме» изменяется по закону у = 8/x на промежутке времени от 0 до 24 часов. Работники следили за уровнем радиации по прибору и должны были прийти к уровню, который задается по закону у = -x + 8. Сколько раз  работники станции зафиксируют нормальный уровень радиации? (слайд 10).

Мы эту работу сделаем на Программе Advanced Grapher. (помощь учащимся)

3 задача. Космическая орбита вблизи Земли двигается по закону у= |x2 + a|. Навигатор с Земли установлен по линии у = 2x. Сколько раз максимально навигатор будет улавливать звуки с Земли. При каком значении навигатор будет улавливать звук 1 раз? (слайд 11).

Мы эту работу сделаем на Программе обучающего  диска «Уравнения с параметрами».

3 задание. Задание исследовательского характера. Контроль знаний.

А теперь перед вами непростая задачка. Представьте себе, что вы ученые. И так задание первое (слайд 12,13).

1. Придумайте графики функций, которые бы имели более пяти точек пересечения и придумайте названия к этим функциям и почему они так называются?

2. При каком значении параметра а график функции у = х^3 – a/х будет возрастающей?

4 задание. Проверка полученных знаний.

По группам выдвигают свои гипотезы. И показывают полученные графики функций.

Учащиеся проставляют количество баллов в оценочный лист. Оценивают свою работу на уроке.

3 задание. Домашнее задание (слайд 14)

Ознакомиться с другими оригинальными видами графиков.

Это - множество Жюлиа.  Здесь - комплексное число, соответствующее точке . Множество Жюлиа - это множество таких точек, что отображения вида

не отображают их в окрестность бесконечности. На картинках эти точки окрашены лиловым цветом (и точки, достаточно близкие к ним).

Здесь изображено множество Мандельброта (окрашено лиловым цветом). Картинка получается с помощью той же процедуры, что и выше. Различие состоит в том, что начальное значение для точки z берётся всегда равным нулю, а точке с координатами на картинке соответствует комплексный параметр b = x + y i.

"Да это же просто триадная кривая Кох," - скажете вы. Это действительно триадная кривая Кох. Но зато получена она из последовательности Морса с помощью другого алгоритма.

1. (Приведённая здесь картинка в 2,5 раза меньше оригинала). Вот так вот!

2. Знаете ли вы, что такое последовательность Морса? Сейчас объясню. Пишем цифру 0. Потом приписываем в конец написанной последовательности уже написанные к этому моменту цифры, но вместо каждой цифры 0 пишем цифру 1 и наоборот. Эту процедуру повторяем до бесконечности. Полученная последовательность цифр
3. 0110100110010110...
4. и называется последовательностью Морса. Картинка получается, если выбрать такие значения (+1 означает поворот на 45o против часовой стрелки, и т.д.)
   

Здесь изображены линии уровня собственной функции оператора Лапласа. Такие собственные функции имеют вид

Картинка построена для случая n=5.
Кстати, не кажется ли вам эта картинка трехмерной?

Рефлексия (слайд 15)

Продолжи предложение

1. сегодня я узнал (а)…
2. было интересно…
3. было трудно…
4. я выполнял(а) задания…
5. я понял (а), что…
6. теперь я могу…
7. я почувствовал (а), что…
8. я приобрел (а)…
9. я научился(ась)…
10. у меня получилось …
11. я смог(ла)…
12. я попробую…
13. меня удивило…
14. урок дал мне для жизни…
15. мне захотелось…

В конце урока выставляются оценки по результатам оценочного листа.

Действия при решении задачи №1.

Задача: На спартакиаде Дети Азии одноклассники Ньургун и Бэргэн соревновались между собой на дистанции 1 км. Через какое время Ньургун догонит Бэргэнэ, если уравнение движения Бэргэнэ  х1 = 6+2t, а у Ньургуна  х2 = 0,5t2? А как изменится время, если Бэргэн будет двигаться по уравнению х1 = |6+2t|?

1. Открыть файл «Задача 1» на рабочем столе программы Exsel.
2. Ввести функции на строке 10 значение t от -3 до 7 с шагом 1.
3. Выделить выделенную таблицу с помощью мастера диаграмм  построить графики функций.

1. Выбрать в стандартных графики (далее-далее-готово)

4. Ответить на 1 вопрос задачи. Через какое время догонит? ( 1 балл)
5. Ответить на 2 вопрос задачи, когда Бэргэн будет двигаться по уравнению х1 = |6+2t| (1 балл)
6. Сделать вывод. ( 1 балл)

Действия при решении задачи №2.

Задача: Уровень радиации в Японии после катастрофы на атомной электростанции в «Фукусиме» изменяется по закону у = 8/x на промежутке времени от 0 до 24 часов. Работники следили за уровнем радиацией по прибору и должны были прийти к уровню, который задается по закону у = -x + 8. Сколько раз  работники станции зафиксируют нормальный уровень радиации?

1. Открыть свернутую программу Advanced Grapher на рабочем столе.
2. Открыть ГРАФИКИ – ДОБАВИТЬ ГРАФИК на верхней панели
3. Ввести функцию у = 8/x
4. Повторить и ввести функцию у = -x + 8
5. Правой мышью на экране вывести горизонтальные и вертикальные линии (1 балл)
6. Ответить на вопрос задачи: внести функции  вычисления – пересечения на верхней панели
7. Записать ответы, учитывая условие задачи. (2 балла)

Действия при решении задачи №3.

Задача: Космическая орбита вблизи Земли двигается по закону у= |x2 + a|. Навигатор с Земли установлен по линии у = 2x. Сколько раз максимально навигатор будет улавливать звуки с Земли. При каком значении навигатор будет улавливать звук 1 раз?

1. Открыть свернутую программу «Алгебраические задачи с параметрами» на рабочем столе.
2. Перед вами графики данной задачи. Используя их, ответьте на вопросы задачи.

(до 4 баллов)

3. Ответы запишите.

Действия при решении задачи на контроль

При каком значении параметра а график функции у = х^3 – a/х будет возрастающей?

1. Открыть программу «Адгебраические задачи с параметрами
2. Открыть графопостроитель
3. Изменить график функции
4. Ответить на вопрос используя правую панель изменения параметра
5. Записать ответ