План урока "Метод подстановки в неопределенном интеграле"
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Разработка

урока «Метод подстановки в неопределенном интеграле»

из раздела «Интеграл и  его приложение»

учитель математики Кувандыкова Г.Н., СШЛ№20

Тема: Метод подстановки в неопределенном интеграле

Цели: вычисление неопределенного интеграла способом подстановки,

используя свойства и формулы интегрирования

Тип урока: урок усвоения нового материала

Наглядные пособия: таблица формул интегрирования

Ход урока:

1. Организационный момент.
2. Этап подготовки учащихся к активному сознательному усвоению знаний.

3. Этап усвоения новых знаний:

- теоретический материал

Приложение 1

• Практический материал
• Приложение 2

4. Этап закрепления:

- Самостоятельное вычисление примеров через воспроизведение действий по образцу

Приложение 3

4. Этап информации о домашнем задании: 

Вычислить неопределенные интегралы способом подстановки:

Приложение 1

Метод подстановки в неопределенный интеграл

Если заданный интеграл с помощью алгебраических преобразований трудно или невозможно свести к одному или нескольким табличным интегралам, то для его отыскания применяют особые способы, одним из которых является способ подстановки (замены переменной).

Заметим, что все способы интегрирования имеют целью свести данный интеграл к табличному с помощью тех или иных искусственных приемов.

Способ подстановки заключается в следующем: заменяют новой переменной такую часть подынтегральной функции, при дифференцировании которой получается оставшаяся часть подынтегрального выражения (не считая постоянного множителя, на который всегда можно умножить и разделить подынтегральное выражение).

Например, в интеграле  удобно произвести замену , так как оставшаяся часть подынтегрального выражения равна . Тогда перепишем данный интеграл в виде . Полученный интеграл является табличным; он находится по формуле 1: .

Далее, производя обратную замену , получим ответ: .

Решение этого примера можно кратко оформить так:

Напомним, что если при интегрировании одной и той же функции разными способами получили различные результаты, то необходимо показать, что они отличаются на постоянную величину.

Так, рассмотренный выше пример можно решить иначе, если применить формулу .

Тогда получим

Результат по виду отличается от найденного ранее; однако, преобразуя первый результат, имеем .

Отсюда видно, что разность функций равна , т.е. постоянному числу.

Естественно, возникает вопрос: как правильно выбрать подстановку? Это достигается практикой в интегрировании. Все же можно установить ряд общих правил и некоторых приемов для частных случаев интегрирования.

Правило интегрирования способом подстановки состоит в следующем:

1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
4. Производят замену под интегралом.
5. Находят полученный интеграл.
6. В результате производят обратную замену, то есть переходят к старой переменной. Результат полезно проверить дифференцированием.

Приложение 2

1.

=

2.

=

3.

=

4.

=

5.

=

6.

=

Приложение 3

Образец

=

Вычислить:

Образец

=

Вычислить:  

Образец

=

Вычислить:

Образец

=

=

Вычислить: 

Образец

=

Вычислить:

Образец

=

Вычислить: