Математическая регата
олимпиадные задания (10 класс) по теме

Слайд 1

Разбор заданий математической регаты МБОУ «Иланская СОШ № 1» 2014-2015 уч.г.

Слайд 2

I тур задание № 1 Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в течение 21 дня. В одной упаковке 8 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения? Решение: 0,5 * 3 = 1,5 гр. на один день 1,5 * 21 = 31,5 гр на весь курс 0,5 * 8 = 4 гр в одной упаковке 31,5 : 4 = 7,875 упаковок Ответ: 8 упаковок

Слайд 3

I тур задание № 2 Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 33 мили в час? Ответ округлите до целого числа. Решение: 1км – 1000 м, значит 1609 м = 1,609 км 1 миля – 1609 м = 1,609 км 33 мили - ? км 3) 33 * 1,609 = 53,097 км = 53 км Ответ: 53 км.

Слайд 4

I тур задание № 3 Шоколадка стоит 20 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 270 рублей в воскресенье? Решение: 270 : 20 = 13, 5 т. е купишь 13 шоколадок на каждую пару получаем еще 6 шоколадок итого 13 + 6 = 19 шоколадок Ответ: 19 шоколадок

Слайд 5

I тур задание № 4 Коля и Вася живут в одном доме, на каждой лестничной клетке которого 4 квартиры. Коля живет на пятом этаже, в квартире 83, а Вася – на 3-м этаже в квартире 169. Сколько этажей в доме? Решение: Если вести сквозной отсчет этажей, начиная с первого подъезда, то 83 : 4 = 20 (3) Коля живет на 21-м этаже В своем подъезде Коля живет на 5-м этаже, поэтому в подъездах, предшествующих Колиному, 16 этажей 16 делится на 2, 4, 8 и 16. Вариант 2-х или 4-х этажей дома исключаем, т. к. Коля живет на 5 этаже. 169 : 4 = 42 (1) Вася живет на 43 этаже В своем подъезде Вася живет на 3-м этаже, поэтому в подъездах, предшествующих Васиному, 40 этажей 40 делится на 8, но не делится на 16. Ответ: в доме 8 этажей.

Слайд 6

II тур задание № 1 Гусеница ползет по стволу яблони. За первый час она поднялась на 10 см, за второй час опустилась на 4 см, за третий час вновь поднялась на 10 см, а за четвертый опустилась на 4 см. Так она продолжала подниматься и опускаться в течение нескольких часов. На сколько сантиметров поднимется гусеница за 11 часов? Решение: 10 – 4 = 6 см - за каждые два часа 6 * 5 = 30 см – за 10 часов 30 + 10 = 40 см – за 11 часов Ответ: 40 см.

Слайд 7

II тур задание № 2 У фермера было несколько одинакового веса поросят и несколько ягнят также одинакового веса. Покупатель спросил фермера, сколько весит один поросенок и один ягненок. Фермер ответил, что 3 поросенка и 2 ягненка весят 22 кг, а 2 поросенка и 3 ягненка весят 23 кг. Как узнать, сколько весит один поросенок и сколько весит один ягненок? Решение: Пусть вес поросенка – х кг, вес ягненка – у кг., тогда 3 * х + 2 * у = 22 2 * х + 3 * у = 23 решением данной системы является х = 4, у = 5 Ответ: вес поросенка – 4 кг, вес ягненка – 5 кг.

Слайд 8

II тур задание № 3 При сложении четырех чисел из-за нечеткой записи их в первом числе в разряде сотен цифра 2 была принята за 5, во втором числе в разряде тысяч цифра 3 принята за 8, в третьем числе в разряде единиц цифра 9 принята за 2 и в четвертом числе в разряде десятков цифра 7 принята за 4. В результате сложения этих чисел получили 28975. Найдите ошибку результата и верную сумму. Решение: (5 -2 ) * 100 + (8 - 3) * 1000 + (2 - 9) * 1 + (4 - 7) * 10 = 300 + 5000 – 7 – 30 = 5263 Значит ошибка в сумме допущена на 5263. Так как сумма получилась больше истинного значения, то 28975 – 5263 = 23712 Ответ: ошибка результата – 5263, верная сумма – 23712.

Слайд 9

II тур задание № 4 Ателье закупило 675 м красного, синего и черного полотна для пошивки пальто. Когда на пошивку детских пальто израсходовали количества красного полотна, синего и черного, то осталось полотна каждого цвета поровну. Сколько метров полотна каждого цвета было куплено? Решение: Пусть остаток полотна каждого цвета – по Х м. С другой стороны полотна красного цвета осталось часть синего цвета осталось часть черного цвета осталось часть Значит было м, м, м. 2х +3 х+ 4х = 9х, 9х = 675, х + 75 м 2*75=150 м , 3*х=225 м , 4*75= 300 м Ответ: 150 м, 225 м , 300 м.

Слайд 10

III тур задание № 1 Пассажир едет в поезде, который идет со скоростью 60 км/ч, и видит, что мимо окна проходит встречный поезд в течение 4 с. Какова скорость встречного поезда, если его длина равна 120 м? Решение: Пусть скорость встречного поезда х км/ч. Тогда мимо пассажирского поезда он проходит со скоростью 60 + х км/ч. 120 м = 0,12 км, 4 с = ч. 0,12 4 108 = 60 + х, х = 48 км/ч 60 + х 3600 Ответ: 48 км/ч.

Слайд 11

III тур задание № 2 Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 7 дает в остатке 6, а при делении на 9 остаток равен 8. Решение: В обоих случаях – как при делении искомого числа на 7, так и при делении его на 9 остаток на единицу меньше делителя. Увеличив делимое на 1, получим число, которое делится без остатка и на 7, и на 9. НОК (7, 9) = 63. Искомое число на 1 меньше и равно 62. Ответ: 62

Слайд 12

III тур задание № 3 Охотник встретил двоих пастухов. У одного пастуха было три куска хлеба, у второго - пять кусков. Все куски хлеба одинакового размера. Все трое разделили и съели весь хлеб поровну. Охотник дал пастухам после еды 8 монет на двоих. Как пастухи разделили эти деньги? Решение: 3 +5 = 8 кусков было всего, каждому досталось - = куска. Первый отдал охотнику куска, второй 2 куска и еще куска. = 7 раз больше отдал второй, чем первый, следовательно монет он должен получить в 7 раз больше, чем первый. Так как всего получено 8 монет, то первому досталась 1 монета, второму 7 монет. Ответ: первому – 1 монета, второму – 7 монет.

Слайд 13

III тур задание № 4 Покажите на чертеже, как четырмя линиями, не отрывая карандаш от бумаги, перечеркнуть девять точек, расположенных как на рисунке.

Слайд 14

IV тур задание № 1 Имеется металлический лом двух сплавов с содержанием никеля 5 и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сплавов, чтобы получить 840 г сплава с содержанием никеля 30%? Решение: Масса сплава Масса никеля 1 сплав х гр 2 сплав 840 – х гр 3 сплав 840 гр х +8*(840-х) = 840*6 -7х = -1680 х= 240 гр масса 1-го сплава 840 – 240 = 600 гр масса 2-го сплава Ответ: 240 гр и 600 гр.

Слайд 15

IV тур задание № 2 В треугольнике АВС разность углов С и А равна 90̊. Проведены биссектрисы внутреннего и внешнего угла В до пересечения с прямой АС в точках D и Е. Докажите, что |В D | = |ВЕ|. Решение: Проведем FC , так что FCA= FAC . Тогда FCB=90. FM || AE. Значит, BFC = 2 * BAC. Отсюда 2 * ВАС + 2 * DBC = 90 , т.е. ВАС + DBC = 45 , DBC = 45 - BAC ; АСВ = 90 + ВАС. Тогда BDC = 180 – ( ACB + DBC) = =180 – (90 + ВАС + 45 - ВАС ) =45. Так как DBE = 90 , то BED = 45 , т.е. BDE = BED = 45 и, следовательно BD = BE .

Слайд 16

IV тур задание № 3 Докажите, что если р – любое простое число, большее трех, то р 2 – 1 делиться на 24. Решение: p 2 – 1 = ( p - 1) * ( p + 1) . Так как p – простое число, р – 1 и р + 1 два последовательных четных числа. Значит одно из них делится на 2, другое - на 4, т.е. произведение делится на 8. Рассмотрим три числа р – 1, р , р + 1. Это три последовательных натуральных числа. Значит одно из них кратно 3. Но р – простое, больше трех. Оно не может делиться на 3. Поэтому либо р – 1, либо р +1 делится на 3. Следовательно, p 2 – 1 делится на 3 и на 8, значит делится на 24.

Слайд 17

IV тур задание № 4 Три упрямых рыбака договорились весь улов разделить поровну. Первый рыбак разделил улов и разложил рыбу по пакетам, сказав, что в каждом пакете по 1 кг 780 г, но второй рыбак заявил, что он верит только весам своего дедушки. Дедушка заявил, что в одном пакете 1 кг 790 г, в другом 1 кг 770 г, а в третьем 1 кг 780 г. Третий рыбак доверял только магазинным весам, которые показали те же результаты, что и весы дедушки, но в другом порядке. Как распределить пакеты между рыбаками, чтобы каждый считал, что он получил не менее 1 кг 780 г? Решение: Выбрать предлагается сначала второму или третьему рыбаку. Тогда он возьмет пакет наибольшего веса. Другой из этих двоих в худшем случае возьмет пакет среднего веса, т.е. не менее 1 кг 780 гр. Оставшийся пакет достанется первому рыбаку, а он считает все пакеты весом 1 кг 780 гр. Значит, требование будет выполнено.