Конспект урока математики в 10 классе "Различные способы решения тригонометрических уравнений"
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Бутурлиновская средняя общеобразовательная школа

Бутурлиновского муниципального района Воронежской области

Конспект урока по  математике

в 10 классе

«Различные способы решения тригонометрических уравнений».

Подготовила

 учитель математики

Коротких Эмма Александровна

2015 год

Цели урока:

Образовательные:

- систематизация знаний учащихся по теме «Методы решения тригонометрических уравнений»;

-углубление знаний по теме;

- формирование  умения классифицировать  тригонометрические уравнения по методам решений, применять эти методы в новой ситуации.

Развивающие:

 – способствовать  развитию аналитико-синтетического мышления,  внимания;

- содействовать развитию логического, математического мышления учащихся.

Воспитательные:

-    развивать у учащихся коммуникативные способности, элементы ораторского искусства;

- способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.

Оборудование: экран, проектор,  карточки для самостоятельной работы, карточки с проверочной работой «Карусель»,  интерактивная доска, система опроса и тестирования PrometheanActivExpression, таблицы: «Тригонометрический круг», «Тригонометрия», «Тригонометрические уравнения», индивидуальный справочный материал,индивидуальные оценочные листы; Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1.Учебник (задачник) для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень), - М.: Мнемозина, 2012.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Методы обучения:метод постановки проблемы и метод поиска решений.

Формы  организации  урока:  индивидуальная,  фронтальная, групповая.

Педагогические приемы урока:эпиграф, наблюдение, обобщение, общественный смотр знаний, самостоятельная и проверочная  работы.

План  урока:

1. Организационный момент (1 мин).
2. Систематизация  теоретического  материала.

1.Самостоятельная  работа: блиц-опрос  - контроль  знаний  по  простейшим  тригонометрическим  уравнениям (система опроса и тестирования Promethean ActivExpression,системное голосование) (8 мин).

2.Повторение: методы решения тригонометрических уравнений (13 мин).

3. Проверочная  работа (20 мин).
4. Итог  урока. Рефлексия (2 мин).
5. Домашнее задание (1 мин).

Конспект урока

1. Организационный момент урока.

Учитель

- Сегодня на  уроке мы будем учитьсяприменять различные методыв решении тригонометрических уравнений, которые занимают важное место в математическом анализе. Математика способствует развитию умений анализировать, сопоставлять, творчески мыслить.  Правильное решение по-своему  красиво, а поиск решения всегда интересен. Эпиграфом нашего урока будут словаМ. И. Калинина:

«Если вы хотите участвовать  в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе».

II.  Систематизация  теоретического  материала

Учитель.

- Посмотрите на уравнения (слайд). Каким способом их можно решить? (постановка проблемы).

Пример 1    

Пример 2     cos(x/5)=1

Пример 3. 1 +

Пример 4    

Пример 5. Решите уравнение

2sin2(x)+3cos(x)=0

Пример 6.

Пример7.2sin2(x)+3cos(x)=0

Пример 8.

Учащиеся дают разные ответы.

Учитель

- Сравните и сопоставьте эти уравнения. Разбейте их на группы. Какими способами можно решить каждую получившуюся группу уравнений?

Учащиеся

- Решение простейших уравнений: примеры 1,2

- Метод разложения на множители:примеры 3, 4.

- Метод замены переменных: примеры 5 ,6.

- Решение уравнений с помощью применения тригонометрических формул:примеры 7, 8

Учитель

Верно. Все тригонометрические уравнения, как правило, сводятся к простейшим уравнениям, которые мы научились решать с помощью общих формул простейших тригонометрических уравнений, их частных случаев, а также с помощью тригонометрических формул. Обратите внимание на таблицы и справочный материал:

Справочный материал (на рабочем столе  учащихся).

Тригонометрические формулы.

Справочный материал (на рабочем столе  учащихся).

Тригонометрические уравнения.

С

Учитель:

Проверим ваши умения по решению простейших тригонометрических уравнений.

1. Самостоятельная работа.

Блиц-опрос (проверка - системное голосование)

За правильное решение учащиеся получают балл (самопроверка с последующей записью баллов в оценочный лист)

Оценочный лист

2. Повторение.

Учитель:

- А сейчас вам предстоит работа в группах. Вы должны представить решение тригонометрического уравнения указанным методомв карточкеи составить алгоритм решения

Учащиеся делятся на группы разной подготовленности. Обсуждают коллективно решение примеров.

Учитель:

Проверка задания: один человек группы произносит алгоритм решения тригонометрического уравнения, сверяясь с решением, предоставленным на слайде(используется материалы курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики», П.В. Чулков, лекция №5, - М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2010)

Слайды

1 группа. Решение простейших уравнений.

Пример 2(слайд)

Решить уравнение:

cos(x/5)=1
Решение:
x/5= ± arccos(1) + 2πk.

 x/5=πk

x=5πk

Ответ:5πk,

2  группа.  Метод разложения на множители.

Пример 3 (слайд).

Решите уравнение 1 +

Решение. Перепишем уравнение в виде:

1 +

Ответ:  

3 группа. Метод замены переменных.

Пример 5 (слайд).

 Решите уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде  откуда

Заметим, что данное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно . Обозначим  получим уравнение

корни которого

Получаем два случая:

1)  откуда

2)

Ответ:

Учитель.

Методом замены можно решать «однородные тригонометрические» уравнения. Тригонометрическое уравнение называют однородным, если после некоторой замены полученный многочлен от двух переменных составлен из одночленов одинаковой степени. Например:

Слайд

Решите уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде

Получили уравнение, однородное относительно

Рассмотрим два случая:

1)  что невозможно, поскольку в этом случае корней нет.

2)  тогда разделим обе части уравнения на

Пусть y = tgx. Получим:  откуда  = .

Осталось решить уравнения tgx = 1 и tgx = .

Ответ:

4группа.

 Решение уравнений с помощью применения тригонометрических формул.

Примеры 7 (слайд).

Решить уравнение:

 2sin2(x)+3cos(x)=0
Решение:
Воспользуемся тождеством:

 sin2(x)+cos2(x)=1
Наше уравнение примет вид:

2-2cos2(x)+3cos(x)=0
2cos2(x)- 3 cos(x) -2 = 0
введем замену t=cos(x): 2t2 -3t - 2 = 0
Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=-1/2
Тогда cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.
Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то cos(x)=2 не имеет корней.
Для cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk
Ответ: x= ±2π/3 + 2πk

Учитель:

- При решении тригонометрических уравнений можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку на основе

Формул(слайд):

Если  то

С помощью универсальной подставки мы можем любое уравнение вида  свести к алгебраическому уравнению. Важно при этом помнить, что, делая замену, мы можем потерять те корни исходного уравнения, для которых   не определен, то есть значения  Их мы должны проверять отдельно.

В следующем примере  встречается изначально, поэтому универсальная подстановка не может привести к потере корней указанного вида.

Слайд

 Решим уравнение

Решение (учащиеся записывают в тетради)

Сделаем универсальную подстановку , тогда

Таким образом:

а)

б)

Ответ:

Учитель.

 В заданиях ЕГЭ встречаются тригонометрические уравнения, решаемые способом отбора корней. Рассмотрим решение такого уравнения (слайд):

Найдите корни уравнения  принадлежащие промежутку .

Решение.Корни данного уравнения можно найти из соотношения

 откуда получаем, что

Но Тогда

Решим это двойное неравенство:

Полученное неравенство выполнено, если k =

Ответ:

Учитель

3. Дифференцированная проверочная работа «Карусель».

Каждому ученику выдается карточка с заданием. Сделав одно задание, ученик передает свою карточку соседу по кругу, вписывая свою фамилию напротив выполненного примера.

Карта №1

Карта №2

Карта №3

Карта №4

Карта №5

При проверке работы учитель  и ученики-консультанты  заполняют таблицу:

5. Подведение итогов. Рефлексия.

Учитель: Итак, подведем итоги урока.

Решение тригонометрических уравнений состоит из двух этапов.
Первый - преобразование уравнения для получения его простейшего вида. 2

Второй - решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существуют основные методы решения уравнений такого вида:

Какие методы  решения тригонометрических уравнений мы сегодня повторили?

Ответы учащихся:

1. Разложение на множители.
2. Метод замены переменной:

- сведение к квадратному уравнению;

- сведение к однородному уравнению;

- универсальная тригонометрическая подстановка.

         3.Отбор корней

Учитель

Оцените свою работу по вашим оценочным листам

(дает дополнительные баллы отличившимся ученикам).

Рефлексия.

 Учитель

Продолжите фразу:

• Вызвало затруднения задание…
• Самым интересным при работе для меня было…

6.  Домашнее задание, инструкция о его выполнении (слайд)

Решить уравнение:

• 2 sin2 x + cos 4 x = 0
• sin4 x + cos4 x = cos22 x + ¼
• sin 2 x = cos x - sin x
• √3 cos x + sin x = 2

№ 23.14 Задачник Алгебра и начала анализа 10 класс, А.Г. Мордкович.

При решении первого уравнения воспользуйтесь формулой понижения степени.

Литература

1. Алексеев А. Тригонометрические подстановки. // Квант. - 1995. - №2. -с. 40 - 42.

2. Гилемханов Р.Г. О преподавании тригонометрии в 10 классе по курсу В //Математика в школе. 2001-№ 6 -с. 26-28.

3.        ЕГЭ. Математика 2008.Сборник экзаменационных заданий. Денищева Л.О., Рязановский А.Р., Семёнов П.В. – М., изд-во «Эксмо-Пресс», 2008.

4. Крамор В.С. Тригонометрические функции. - М.: Просвещение, 1979.

5. Мордкович А.Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной. //Математика в школе. 2002 - № 6 - с.32-38.

6. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник (задачник) для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень), - М.: Мнемозина, 2012.

7. Синакевич С.В. Тригонометрические уравнения - М.: Учпедгиз, 1959.

8. Чулков П. В. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. - М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2010

Интернет - источники

Сайт «Вся элементарная математика»

http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri16.ht