Текстовые задачи на «проценты».
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре на тему

Текстовые задачи на «проценты».

Карпова И.Г., гимназия № 1528

Много ли соли в морской воде? Этот вопрос можно понимать по-разному. Например, сколько весит вся соль, растворенная в морях и океанах? А можно и так: сколько соли приходится на ведро морской воды? Чтобы ответить на первый вопрос, достаточно найти ответ на второй и еще узнать, сколько ведер воды содержится в морях и океанах.

Жителю приморского города или поселка на второй вопрос ответить совсем нетрудно. Для этого можно набрать ведро морской воды, поставить на огонь и греть, пока вся вода не выкипит, а затем взвесить оставшуюся на дне соль. Но можно ли утверждать, что у соседа получится столько же? Вероятнее всего нет. А вдруг его ведро окажется больше или меньше, либо налито оно более или менее полно? В результате сосед будет выпаривать другой объем воды, а потому у него останется другое количество соли.

Таким образом, наша мера солености- количество соли на ведро воды- оказалась неудачной. Возьмем другую меру- количество соли на килограмм раствора. То есть до кипячения раствор надо взвесить, а потом вес полученной соли разделить на вес раствора. Пусть вес раствора 8,4 кг, а вес соли 21г. Вычисляем: 21/8,4=5/2 грамма соли на килограмм раствора. Если опыт повторить, то опять получится почти такая же величина.

    Но почему граммы на килограмм, а не центнеры на тонну или фунты на пуд? Давайте-ка, будем считать в граммах на грамм. Поскольку в килограмме 1000г, то и результат будет в 1000 раз меньше: 5/2000=1/400. Тот же ответ получится, если мы будем считать число тонн соли в тонне раствора или пудов в пуде.

    Подходящая мера найдена, но вот запись… Скажите, какое число больше: 11/1002 или 12/1090? Сразу и не поймешь, нужно считать. Куда легче сравнивать десятичные дроби! Дробь 0,01097 меньше, чем 0,01101, потому что число единиц, десятых и сотых у них одинаково, а число тысячных у второй больше. Удобно? Конечно. Решено: будем записывать результат не обыкновенной, а десятичной дробью.

     Казалось бы, зачем столько премудростей ради какой-то морской воды? Ну, а если нужно точно знать содержание металла в руде, жира в молоке, химических веществ в лекарстве? Ведь задача та же самая.

    Итак, мы договорились записывать ответ в виде десятичной дроби. А с какой точностью? С помощью карандаша и бумаги можно делить даже до маиллиардных долей, но откуда берутся сами исходные числа? Если весы в магазине показывают 520г, то в действительности предмет может весить и 515, и 524г, двести-триста лет назад точность весов была еще меньше. Потому и величину содержания одного в другом имело смысл рассматривать с точностью до первых двух цифр после запятой: 0,27; 0,64; 0,37,т.е. 27 сотых, 64 сотых, 37 сотых.

       Вот мы и пришли к процентам, потому что в переводе с латыни pro centum- «сотая часть». Существует и специальная запись: 27%,64%,37%. Говорят, когда-то у наборщика сломалась литера, в результате чего возник этот причудливый знак %, признанный затем во всем мире. Запись отношений стала удобнее, исчезли нуль и запятая, а символ % сразу указывает, что перед нами относительная величина, а не граммы, литры, рубли или метры.

      Проценты были известны индийцам еще  в 5 столетии. Это неудивительно. Потому что в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе. В Европе десятичные дроби появились только спустя тысячелетие, их ввел нидерландский ученый Симон Стевин. Со временем люди научились извлекать из вещества компоненты, составляющие тысяные доли от веса самого вещества. Тогда, чтобы не вводить нули и запятую, т.е. не писать 0,6%, придумали новую величину- промилле- тысячную долю, которую обозначили%0, а вместо 0,6% стали писать 6%0. 

Задачи,  которые так или иначе связаны с процентами, постоянно встречаются на вступительных экзаменах в средние и высшие учебные заведения.

Впервые знакомство с задачами на проценты приходят в 6 классе и затем время от времени эти задачи попадаются в учебниках.

1. Дети должны четко понимать, что такое найти процент от числа (дробь от числа) и число по значению его процента (его дробь).

а) Например, вычислить                                            

      б) Найти число, если известно, что р% его равны b:    b:  , 8% его равны   24, 140% его равны 182.

2. Затем научить решать задачи на концентрацию (смеси, сплавы)
3. Сложные проценты.

Задача №1.

Одно число на 140 меньше другого. Найдите эти числа, если известно, что 60% большего числа на 64 больше 70% меньшего.

Ответ: 200; 340.

Задача №2.

Число А больше числа В на 20%, число С меньше числа А на 85%. Найти число В, если С=2.7

Решение:

Если число А>В на К%, то

А=В+.

Задача №3.

Полусумма 2-х чисел равна 18. Найдите эти числа, если известно, что 25% одного числа на 4 меньше, чем 40% другого.

Решение:

Пусть А и В – эти числа,  , 0.25А<0.4В на 4

А=16.

В=20.

Ответ: 16; 20.

Задача №4.

Располагая некоторой суммой денег, фирма могла купить 44 телевизора равной стоимости. Сколько телевизоров смогла бы купить фирма на эту сумму денег, если бы стоимость телевизоров была снижена на 12%.

Решение:

Пусть  - стоимость 1 телевизора.

0.12-  на столько снижена стоимость телевизоров.

 - стал стоить один телевизор.

44xр – стоили все телевизоры первоначально

44xр:0,88xр=50 (штук).

Ответ: 50

Задача №5.

Стоимость товара повысили на 25%. На сколько процентов надо понизить стоимость товара, чтобы она стала первоначальной?

Решение:

Была                            Повысили на                      Стала цена

  А                                    0.25А                                   1.25А

1.25А – 100%;            

А – x%;

;

x=80%

100%-80%=20%.

Ответ : 20%

Задача №6.

Определите первоначальную стоимость товара, если после ее трехкратного понижения на 20% она составила 512 у.е.

Решение:

Пусть x (у.е.) - первоначальная стоимость товара

1) x-0.2x=0.8x (у.е.) – стал стоить товар после первого понижения

2) 0.8x*0.2=0.16x

……..

4) 0.512x=512

x=100.

Ответ : 100

Задача №7.

На сколько процентов нужно увеличить цену товара для увеличения выручки на 12% от первоначальной цены, если ожидается уменьшение количества покупателей на 12%.

Решение:

Пусть цену товара надо увеличить на x рублей.

Выручка = цена* кол-во покупателей

0.88*(1+x)=1.12

;

В процентах .

Ответ:

Задача №8.

Свежие фрукты содержат 78% воды, а сухие – 12% воды. Сколько кг сухофруктов получится из 40кг свежих фруктов?

Решение:

40 кг свежих фруктов содержат  78%  воды и 22% сухого вещества или  

 40*0.78=31.2(кг) ; 40*0.22=8,8(кг)

40кг = 31.2кг + 8.8кг

            вода      сухое кол-во

Сухофрукты состоят из  12% воды и 88% сухого вещества или 8.8кг.

Значит,

8.8кг составляет 88% от всего веса сухофруктов, т.е 8.8:0.88=10(кг)

Ответ: 10 кг.

СПЛАВЫ. СМЕСИ.

Задача №9.

Сплав меди и цинка весом 20кг содержит 30% меди. Добавили 22кг цинка. Сколько нужно добавить меди, чтобы в сплаве стало 60% цинка.

Решение:

I способ:

            30%    70%

20кг = 6кг + 36кг

Добавили цинка - +22кг

42кг = 6кг + 36кг

100% = 40% + 60%

36кг составляет 60%.

36:0.6=60кг – новый сплав.

60(кг) = 6(кг) + 36(кг) + x(кг)

x=18 (кг).

II способ:

Очень удобно в задачах на сплавы, смеси, концентрации составлять таблицу по условию задачи (жирным шрифтом), а затем заполнять пустые клетки, руководствуясь законом сохранения массы(объема) и формулами расчета «Процент от числа»

Для начала нужно определить количество объектов, которые участвуют в условии задачи ( в нашем случае их 4), затем занести в таблицу все, что говорится о каждом объекте. По вопросу задачу вводится переменная ( в нашем случае это x кг меди)

Теперь начинаем заполнение пустых клеток:

  Нам, в принципе, достаточно заполнения четырех строк, чтобы составить уравнение.

Обратим внимание на «желтую» клетку- эта клетка является ключом составления уравнения задачи, т.к. мы ее можем заполнить по формуле «40 % от числа 42+x», а также по закону сохранения массы: (20*30)/100+0+x.

Следовательно, имеем уравнение:

Ответ: 18.

Задача №10.

Имеется сплав серебра с медью. Вычислите массу сплава и процентное содержание серебра в нем, зная, что сплавив его с 3кг чистого серебра, получается сплав, содержащий 90% серебра, а сплавив его с 2кг чистого серебра, получается сплав, содержащий 86% серебра.

Решение:

Xкг – масса исходного сплава

(X+3)кг – масса первого сплава

(X+2)кг – масса второго сплава

(X+3)*0.9(кг) – содержание серебра в первом сплаве

(X+2)*0.86(кг) – масса серебра во втором сплаве

(X+3)*0.9-(X+2)*0.86=1

X=0.5

Табличный способ:

По первому предложению составляем таблицу

По второму предложению составляем таблицу

В результате в «желтых» клетках имеем уравнения для системы:

Тогда

Ответ: 0,5 кг; 30 % серебра.

Задача №11.

Из 50т руды получают 20т металла, который содержит 12% примесей. Сколько процентов примесей содержит руда?

Решение:

1) Сколько примесей содержится в металле?

20*0.12=2.4(т)

2) 50т = 20т + 3т =  (17.6 + 2.4) +30= 17.6+ (2.4 + 30)

              металл    примеси               примеси              чистый        примеси

                                                                                              металл

3) 50т    – 100%

     32.4т – x%    

 ;      x=64.8

Табличный способ:

12*20=50p-3000

50p=3240

p=64.8

Ответ: 64.8%.

Задача №12.

Сплав меди и цинка весом 60 кг содержит 40% меди. Сколько нужно добавить цинка, чтобы в сплаве его концентрация достигла 80%.

Решение:

Табличный способ:

Имеем:

(60+x)*0.8=36+x

48+0.8x=36+x

x=60  кг цинка нужно добавить.

Задача №13.

К 15 литрам 10%-ого раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?

Решение:

1. Пусть добавили Xл 5%-ного раствора соли.

(15+X)л – столько стало нового раствора

(15+X)*0.08л – столько в нем содержится соли

2. В 15 литрах 10%-ного раствора содержится

15*0.1=1.5(л) соли

3. В Xл 5%-ного раствора содержится 0.05Xл соли

X=10.

Добавили 10л 5%-ного раствора соли.

Табличный способ:

Имеем:

8(15+x)=150+5x

3x=30

x=10

Ответ: 10л

Задача №14.

В лаборатории есть раствор соли 4-х различных концентраций. Если смешать I, II, III растворы в весовом отношении 3:2:1, то получится 15%-ный раствор. II, III, IV растворы в равной пропорции дают при смешивании 24%-ный раствор, и , наконец, раствор составленный из равных частей I и III растворов, имеет концентрацию 10%. Какая концентрация будет при смешении II и IV растворов в пропорции 2:1?

Решение:

1) Пусть в 1кг   I р-ра – Xкг соли

                           II р-ра – Yкг соли

                           III р-ра – Zкг соли

                           IV р-ра – tкг соли

2) В условии говорится, что если мы смешаем 3кг I раствора, 2кг II раствора и 1кг III раствора, то в получившихся 6кг р-ра будет 6*0.15=0.9кг соли. Но в 3-х кг I р-ра имеется (3X)кг соли, в 2кг II р-ра ее (2Y)кг и в одном кг III р-ра – Zкг. Отсюда получается первое уравнение 3x+2y+Z=0.9

3)  Рассуждая аналогично, получим, что

Y + Z + t = 0.72

X + Z = 0.2,

Т.е. получим систему:

Из этой системы нам нужно вычленить 2y + t.

Значит, если смешать 2кг второго раствора и 1кг четвертого, то в получившихся 3кг смеси будет 0.87кг соли, что составляет 29%, что и требовалось найти.

3кг – 100%

0.87кг – x%

;

x = 29%.

Ответ: 29%

Задача №15.

Даны два сплава. Первый весит 4кг и содержит 70% серебра. Второй весит 3кг и содержит 90% серебра. Сколько кг второго сплава надо сплавить со всем первым сплавом, чтобы получить r%-ный сплав серебра? При каких r задача имеет решение?

Решение:

В первом сплаве – 2.8кг серебра. Пусть надо взять x(кг) второго сплава, чтобы сплавив его со всем первым сплавом, получить такой сплав, как требуется. Весь сплав будет весить (x+4)кг. Серебра в нем будет (2.8+0.9x)кг.

По условию  

 (x+4)кг – 100%

2.8+0.9x – r%, откуда . Задача имеет решение тогда и только тогда, когда  (только в таких пределах можно что-либо взять из куска весом в 3кг), т.е. , откуда .

Ответ: , задача имеет решение при .

Сложные проценты.

• Пусть некоторая величина А увеличивается в n раз и каждый раз на P%.

Тогда ее значение А1 после первого увеличения находится по формуле

……

  (1)

• Пусть некоторая величина А увеличивается nраз последовательно на . Тогда ее окончательное значение

  (2)

Это формулы сложных процентов.

•  Пусть -начальное, а -конечное значение некоторой величины (). Тогда  процентный прирост р% этой величины находится по формуле

  (3)

Задача №16.

Сбербанк начисляет ежегодно 3% от суммы вклада. Через сколько лет сумма вклада удвоится?

Решение:

Пусть x – искомое число лет,

А – первоначальная сумма,

2А – удвоенная сумма,

Тогда по формуле (1) получаем:

 ;

;

;

.

Ответ: около 23 лет.

Задача №17.

Число 51.2 трижды увеличивали на одно и то же число процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое число процентов. В результате получилось число 21.6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали это число?

Решение:

Пусть x – искомое число. Тогда по формуле (2) имеем:

;

;

;

;

x=50.

Ответ: на 50%.

Задача №18.

Вкладчик открыл в банке счет и положил на него S0=150 000руб. сроком на 4 года по ставке 18% в год. Какой будет сумма S4, которую вкладчик получит при закрытии вклада? На сколько рублей вырастет вклад за 4 года? Чему равен коэффициент наращивания?

Решение:

S0=150 000 рублей, р=18, n=4.

По формуле (1) имеем:

;

За 4 года вклад увеличится на 108 000 рублей=258 000руб. – 150 000руб. Коэффициент наращивания равен:

 , т.е. первоначальный вклад увеличится в 1.72 раза.

Задача №19.

Какую сумму положили в банк под 22% годовых, если через 5 лет вклад достиг величины S5=94500 рублей?

Решение:

По условию р=22, n=5, S5=94500

;

;

 ;

 рублей;

Ответ: первоначальная сумма вклада была 34965 рублей.

Задача №20.

Сколько лет лежал в банке вклад 70000 рублей, если по ставке 19.2% годовых процентов он достиг величины 150640 рублей. Чему равен коэффициент наращивания?

Решение:

S0= 70 000, Sn=150640, p=19.2

По формуле (1) имеем:

;

;

;

n=6.

Коэффициент наращивания .

Задача №7.

Два банка начисляют определенные проценты по вкладам (свои в каждом банке). Причем первый из них начисляет …….лежащую на счет сумму, второй начисляет проценты по вкладу в конце года. Если клиент положит на 2 года  имеющейся у него суммы денег в первый банк, то его прибыль составит 66% от первоначальной суммы. Если же наоборот,  исходной суммы денег положит в первый банк, а оставшуюся часть во второй, то через 2 года прибыль составит 76%. Какую бы сумму получил клиент через 2 года, если бы положил на этот срок сумму денег в размере 1000 условных единиц в равных долях в оба банка?

Решение:

1 случай.

А – первоначальная сумма денег.

2 случай.

За  2 года – 8 кварталов – в 1-ом банке прибыль  .

За 2 года прибыль во 2-ом банке .

Тогда в первом случае получаем:

Во втором случае:

Пусть ,   , тогда

                 a=1.86, b=1.56

Получаем, ,    .

Но если клиент положит на 2 года 1000 у.е. в равных долях в оба банка, то

у.е.