Задания ЕГЭ - текстовые задачи на проценты, части, сплавы
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме

Задания ЕГЭ    (текстовые задачи)

Проценты, сплавы, смеси.

Диагностическая работа.

1. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным  и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов 10%-ного раствора было взято?
2. Два сосуда с раствором щёлочи  разных концентраций (по объёму) содержат вместе 20 л раствора. Первый сосуд содержит 4 л щёлочи, а второй – 6 л. Сколько процентов щёлочи содержит первый сосуд, если второй содержит щёлочи на 40% меньше первого?
3. Сплав золота с серебром, содержащий 80г золота, сплавили со 100г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%.  Сколько граммов серебра в сплаве?
4. Два литра 6%-ного уксуса разбавили тремя литрами 1%-ного уксуса. Каково процентное содержание уксуса в полученном растворе?
5. При распродаже летней коллекции одежды скидка составила 40%, а прибыль, получаемая магазином, снизилась до 20% от первоначальной прибыли. Сколько процентов прибыли получал магазин до распродажи?
6. Мария Павловна открыла счёт в банке на сумму 20 тыс. руб. Через год, после начисления банком процентов, она пополнила счёт на 30 тыс. руб. Ещё через год сумма на её счёте составила 60950 руб. Определите, сколько процентов годовых выплачивает банк по виду вклада, открытого Марией Павловной?

Решение заданий диагностической работы.

КОНЦЕНТРАЦИЯ раствора – это процентное отношение массы растворённого вещества к массе всего раствора.

                       +                              =

     30%                          10%                           15%              

   (600-х) г                        х г                      600 г

Пусть  х г – 10%-ного раствора соляной кислоты, тогда 30%-ного раствора будет (600-х) г.  Т.к. масса соляной кислоты в 15%-ном растворе складывается из масс соляной кислоты 30%-ного и 10%-ного растворов, то найдём сначала эти массы.

1. 100% – 600 г

          15%  – ?(г)                         600·0,15=90(г) – масса соляной кислоты в

                                                                               15%-ном  растворе;

2. 100% – х г

10%  – ?(г)                    ( 0,1х) г – масса соляной кислоты в

                                                           10%-ном растворе;

3. 100% – (600-х) г

30%  – ?(г)                    ((600-х)·0,3) г  – масса соляной кислоты в

                                                                  30%-ном растворе;  

4. Составим уравнение:

0,1х  +  (600-х)·0,3 = 90;

0,1х  + 180 – 0,3х = 90;

– 0,2х = 90 – 180;

0,2х = 90;

х = 450.

Получили: 450 г 10%-ного раствора было взято.

Ответ:  450 г.

            I                             II

                           4 л            +            6л

                      щёлочи                    щёлочи      

             ?%                   на 40% меньше      

                         20 л раствора

Пусть х л –  объём  I раствора, тогда (20– х) л  –  объём II раствора;

Найдём концентрацию каждого раствора:

1. 100% – х(л)

?%     – 4 л                 ·100% – концентрация  I раствора;

2. 100%  – (20– х) л

 ? %    –  6 л                 ·100%  – концентрация  II  раствора.

3. Так II  раствор содержит щёлочи на 40% меньше, чем I, то составим уравнение:

;      ОДЗ: 

Умножим всё уравнение на  х·(20– х), получим:

400·(20– х) –  600х = 40х·(20– х);

8000 – 400х – 600х = 800х – 40х2;

40х2 – 1800х +8000 = 0;

х2 – 45х +200 = 0;

х1 = 40,   х2= 5.

  Получили:  т.к. объём одного раствора не может быть больше общего объёма двух растворов, то объём I раствора – 5л, а объём II раствора 20 – 5= 15(л). Тогда I раствор содержит ·100% = 80% щёлочи.

Ответ: 80%.

3.        I сплав                                                      II сплав

            80г                                                          180г

          золото                      100г                        золото

                             +                               =                                    

            ?(г)                      золото                         ?(г)                              

         cеребро                                                    cеребро

                                                                     на 20% золота >          

Пусть х(г) –  масса серебра, тогда    масса I сплава – (80+х) г, масса II сплава – (180+х) г. Найдём процентное содержание золота:

1. I сплав     100% – (80+х) г

                  ?%    –  80 г                

                –  процентное содержание золота в I сплаве;

2. II сплав   100% – (180+х) г

                  ?%    –  180 г    

                –  процентное содержание золота во II сплаве;

3. так как во втором сплаве процентное содержание золота на 20% больше, чем в первом, составим уравнение:

;           ОДЗ:

разделим всё уравнение на 20,  получим

умножим всё уравнение на (80+х)·(180+х), получим

900·(80+х) – 400·(180+х) = (80+х)·(180+х);

72000+900х – 72000 – 400х = 14400 + 180х + 80х + х2 ;

х2 – 240х + 14400 = 0;

(х – 120)2 = 0;

х – 120 = 0;

х = 120;

получили 120 г – масса серебра в сплаве.

Ответ: 120 г.

4.    1 раствор                2 раствор              новый раствор

                           +                              =                                    

         2 л                           3 л                              5 л        

    6% уксуса              1% уксуса                ?% уксуса

1. 100%  – 2л

            6%     – ?(л)        2·0,06 = 0,12(л) – объём уксуса в 1 растворе;

2. 100% – 3л

            1%     – ?(л)        3·0,01 = 0,03(л) – объём уксуса во 2 растворе;

3. 0,12 + 0,03 = 0,15(л) – объём уксуса в новом растворе;

4. 100% – 5л

             ?%  – 0,15л      0,15 : 5 ·100% = 3% – процентное содержание уксуса в новом растворе.

            Ответ:  3%.

5. Прибыль – это разность между ценой товара, которую назначил магазин, и закупочной ценой товара (цена товара, по которой его покупал магазин).

Пусть у – это закупочная цена товара, а х – прибыль, тогда цена товара в магазине – (у + х).

1. Так как скидка составила 40%, то

100% – (у + х)

60%   – ?                    0,6·(у + х) – новая цена товара;

2. Так как закупочная цена осталась прежней то

 0,6·(у + х) – у = 0,6у + 0,6х – у = 0,6х – 0,4у – новая прибыль;

3. Так как прибыль снизилась до 20% от первоначальной прибыли, то

100% – х

20%  – (0,6х – 0,4у)

Составим уравнение: (0,6х – 0,4у) : 0,2 = х;

                                       3х – 2у = х;  

                                       2х = 2у;

                                        х = у;

т.е. прибыль была равна закупочной цене, поэтому составляла 100%.

      Ответ: 100%.

               6.             Пусть х% – это вклад + годовые банка.

               100% – 20000 руб

                           вклад                                  годовые

                                     х% – ?(руб)                                  

                          вклад через год                                       30000 руб

                                                х% – ?(руб)

                                          вклад через год                                                            

                                                60950руб    

1. 100% – 20000 руб

   х%  –  ?(руб)

(руб) после 1-ого года;

2. 100% – (30000 + 200х) руб

  х%   –  ?(руб)

(руб) после 2-ого года;

3. Так как это составило 60950 руб, то составим уравнение:

300х + 2х2 = 60950;

2х2 + 300х – 60950 = 0;

разделим всё уравнение на 2, получим

х2 + 150х – 30475 = 0;

Д = 1502 – 4·(– 30475) = 22500 + 121900 = 144400 = 382;

Получили 115% – 100% = 15% годовых выплачивает банк по вкладу.

Ответ: 15%.

Тренировочные задания.

1. Нахождение процента от числа.

1. Банк обещает своим клиентам рост вклада на 10%. Какую сумму денег может получить через год человек, вложивший в этот банк 4500р.?
2. В референдуме приняли участие 60% всех жителей города, имеющих право голоса. Сколько человек приняли участие  в референдуме, если в городе 150 тыс. жителей, а право голоса имеют 83%?
3. В течение января цена на яблоки выросла на 30%, а в течение февраля – на 20%. На сколько процентов поднялась цена за два месяца?
4. Скорость моторной лодки по течению равна 15,6 км/ч, а скорость против течения на 25% меньше, чем скорость по течению. Найдите скорость движения лодки по озеру.
5. Цена товара сначала уменьшилась на 20%, а затем увеличилась на 25%. Какой стала цена товара после двух изменений, если первоначальная цена составляла 200 рублей.
6. За выступление группы гимнастов 30% судей поставили по 5 баллов, 40% судей – по 4 балла, двое судей – по 3 балла, остальные –  по 2 балла. Сколько было судей, если средний балл за выступление оказался равен 3,9?
7. Предприятию было выделено для сотрудников 120 садовых участков. Из них 25% участков ещё не освоено, а на освоенных участках построены деревянные и кирпичные дома (по одному на участке). Сколько построено кирпичных домов, если их число составляет 20% от числа деревянных домов?

2.  Нахождение числа по проценту.

1. Цена на фотоаппараты в течение месяца упала сначала на 18%, а затем на 20% и составила 3280р. Какой была цена на эти фотоаппараты в начале месяца?
2. Цена альбома снизилась на 15%, а затем на  от новой цены. Цена альбома после двух снижений составили 30 руб. Какова была первоначальная цена альбома?
3. Токарь получил заказ обработать некоторое число деталей. В первый день он обработал половину всех деталей и ещё 2 детали. А во второй день 25% оставшихся деталей и последние 6 деталей. Какой заказ получил токарь?
4. При использовании воды в системе охлаждения автомобиля образуется накипь и расход топлива возрастает на 10%. Какой расход топлива будет после удаления накипи, если до её удаления он составляет 8,5 литра на 100 км? Ответ округли с точностью до 0,1.
5. Оля решила купить две книги: первая стоит 56% всех её денег, а вторая – 64%, и поэтому у неё не хватило на покупку этих книг 15 р. Сколько стоят обе книги вместе?
6. Свежие грибы содержат 90% воды, а сушёные – 12%. Сколько сушёных грибов получится из 22 кг свежих?

3. Нахождение процентного отношения чисел.

1. В некотором городе единый проездной билет стоит 600 р. Сколько процентов от начисленной зарплаты составляет цена проездного билета, если после вычета 13%-го налога работником получено 10440 р.?
2. Цена одной пластинки жевательной резинки составляет 4,5 р. Цена упаковки (10 пластинок) 36 р. Насколько процентов цена пластинки в упаковке меньше, чем цена отдельной пластинки?
3. Длину прямоугольника увеличили на 20%, а ширину – на 25%. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?
4. Число мальчиков в спортивной секции составляет 80% от числа девочек. Какой процент составляет число девочек от числа мальчиков?
5. Цена товара возросла на 25%. На сколько процентов надо её снизить, чтобы получить первоначальную цену?

4. Задачи на все действия с процентами.

1. В магазине в феврале цена на товар увеличились 50%, в марте – уменьшились на 10%, в апреле – увеличились в 2 раза, в мае – уменьшились в 3 раза. Как изменились цена в мае по сравнению с январём?
2. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 20 кг морской, чтобы концентрация соли в ней уменьшилась с 3% до 2%?
3. В общественном транспорте города N  14% пассажиров читают фантастику. Из них 73% – мужчины, из которых 70% в возрасте до 35 лет. Сколько процентов всех пассажиров составляют мужчины в возрасте до 35 лет, читающие фантастику? Ответ округлите до десятых.
4. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 24 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы полученный новый сплав содержал 40% меди?
5. В сосуде находится 10% раствор спирта. Из сосуда отлили  содержимого, а оставшуюся часть долили водой так, что сосуд оказался заполненным на  первоначальной массы. Какое процентное содержание спирта оказалось окончательно в сосуде?
6. Имеются два раствора цемента, состоящие из воды, песка и цемента. Известно, что первый раствор содержит 10% воды, а второй – 40% цемента. Процентное содержание песка в первом растворе в два раза больше, чем во втором. Смешав 300 кг первого раствора и 400 кг второго раствора, получили новый раствор, в котором оказалось 30% песка. Сколько килограммов цемента содержится в получившемся растворе?

Самостоятельная работа.

1. Мальчик в первый день прочитал треть книги и ещё 12 страниц, а во второй день 25% оставшегося числа страниц и последние 9 страниц. Сколько страниц в книге?
2. Все 16 тысяч жителей на острове положительно относятся к спорту. 75% из них занимаются спортом активно. Из пассивных любителей спорта 20% от их числа являются заядлыми болельщиками, но только 10% этих болельщиков не пропускают ни одного выступления любимого спортсмена или команды. Сколько жителей на острове являются пассивными любителями спорта, притом заядлыми болельщиками, но считающими возможным пропустить некоторые из любимых соревнований?
3. Число женщин, работающих в цехе завода, составляет 25% числа мужчин, работающих в этом цехе. Сколько процентов составляет число мужчин цеха от числа женщин, работающих в этом цехе?
4. Цена товара снизилась на 20%. На сколько процентов надо её повысить, чтобы получить первоначальную?
5. За контрольную работу 25% учащихся получили «5», 40% – «4», 8 человек – «3», остальные – «2». Средний балл оказался равным 3,75. Сколько учеников в классе?
6. Сплав меди с цинком, содержащий 5 кг цинка, сплавили с 15 кг цинка. В результате содержание  меди в сплаве понизилось по сравнению с первоначальным на 30%. Какова была первоначальная масса сплава, если известно, что она была меньше 20 кг?
7. Молокозавод планирует увеличить выпуск продукции на 10%. На сколько процентов увеличится чистая прибыль завода, если отпускная цена его продукции возросла на 15%, а её себестоимость для завода, которая до этого составляла  отпускной цены, увеличилась на 20%?
8. Бетономешалка содержит раствор цемента, состоящий из цемента, песка и воды. Из бетономешалки вылили  находящегося в ней раствора цемента, а к оставшейся части добавили некоторое количество песка и некоторое и некоторое количество воды так, что бетономешалка оказалась заполненной на  первоначального объёма раствора. При этом раствор цемента стал содержать 27% цемента. Сколько процентов цемента изначально было в растворе?
9. Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Соединив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Сколько килограммов олова содержится в получившимся сплаве?

ОТВЕТЫ