Методическая разработка уроков по теме "Геометрическая прогрессия"
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему

Аннотация

Данная методическая разработка  раскрывают технологические этапы изучения темы «Геометрическая прогрессия», планирование учебного материала изучения темы «Геометрическая прогрессия»     определяет предъявляемые  требования к знаниям, умениям, навыкам, содержат  сведения о видах и типах уроков, формах организации учебной деятельности, которые могут быть полезны учителям при изучении данной темы

Пояснительная записка

Числовые последовательности и, как частный случай, прогрессии изучаются в курсе алгебры 9 класса. По мнению А.Г. Мордковича тема “Прогрессии” является “тупиковой, не имеющей связей с остальным материалом основной школы. Последовательности — тема математического анализа, и было бы логичнее начинать с нее изучение начал математического анализа в старшей школе”.

Однако в стандарте математического образования тема “Прогрессии” представлена в рамках основной школе, и изучение ее является необходимым. Уровень обязательной подготовки характеризует следующий минимум, который должны достичь все учащиеся при изучении темы “Прогрессии”: правильно употреблять буквенную символику; составлять несложные буквенные выражения и формулы; осуществлять в формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления. Изучение программного материала дает возможность учащимся познакомиться с арифметической и геометрической прогрессиями, применять формулы n-го члена и суммы n первых членов при решении задач. Умение решать задачи по теме “Прогрессии” не является обязательным для выпускников основной школы, но такие задачи включены во второй раздел “Сборника заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс”.

Поскольку  в курсе 9 класса приоритет отдается функциональной линии, то и последовательности логичнее рассматривать как функции, но несколько отличающиеся от того, к чему привыкли ученики; это — функции натурального аргумента. В таком ключе подается материал в учебнике “Алгебра, 9” А.Г. Мордковича.

Материал данной темы чрезвычайно удобен для упражнений в творческих умозаключениях по аналогии. Обучая учащихся правильно пользоваться таким эвристическим методом как аналогия, находить и исправлять ошибки в одних предложениях и доказывать другие, подчеркивая истинные аналогии и разрушая ложные, можно развивать элементы творческого мышления.

Планирование учебного материала изучения темы «Геометрическая прогрессия»     (7 часов)

БАЗОВЫЙ     ЛИСТ    КОНТРОЛЯ

После изучения темы «Прогрессии» каждый учащийся должен знать:

• Что есть числовая последовательность, ее обозначение и способы задания.
• Что есть члены последовательности, обозначение.
• Определение геометрической прогрессии, ее знаменателя.
• Формулы общего члена геометрической прогрессий.
• Формулы суммы n первых членов геометрической прогрессий.

должен уметь:

• Приводить примеры.
• Решать простейшие задачи с использованием изученных формул.

можешь знать:

• Свойства последовательностей (в частности, прогрессий) — возрастающая, убывающая, конечная, бесконечная.
• Характеристические свойства прогрессий.

уметь:

• Выводить изученные формулы.
• Преобразовывать формулы.
• Решать нестандартные и прикладные задачи.

В начале изучения темы обновляется стенд «Это нужно знать», вывешиваются вопросы к зачету, примерный вариант письменного зачета и тематической контрольной работы.

РЕКВИЗИТ: 1. Настенные таблицы «Формула общего члена последовательности»,  «Геометрическая прогрессия».

1. Карточки-задания для проведения исследования и вывода формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.
2. Книги:

— Волович М.Б. Ключ к пониманию алгебры.

— Дорофеева А.В. Страницы истории на уроках математики.

—— Перельман Я.И. Занимательная алгебра.

— Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы.

Урок 1

Тема урока : Геометрическая прогрессия

Тип урока: урок изучения нового.

Форма проведения урока: коллективная работа на уроке по методике взаимопередачи тем (МВТ); индивидуальное выполнение заданий; фронтальная проверка, коррекция и формулировка выводов, составляющих новый материал.

Структура урока:

I.     Подготовительный этап (мотивация изучения нового, выявление целей урока).

II. Изучение нового материала, его осмысление и первичное закрепление.

III.   Текущий контроль и проверка его результатов.

          IV.   Подведение итогов урока,  постановка домашнего задания.

Ход  урока:

I этап

1. Даны последовательности, заданные таблично:

    1.   2,   4,   6,   8,   10, ...

    2.   1,   3,   9,   27,  81, ...

    3.   1,   2,    5,  10,  13,  26, ...

Задание: исключите "лишнюю" последовательность.

Учащиеся делают вывод, что "лишней" является последовательность 3, т.к. первую последовательность получили прибавлением одного и того же числа, а вторую — умножением на одно и то же число.    Далее определяются учебные цели урока.

2. Ориентация учащихся в учебной деятельности на уроке.        

Учитель разъясняет порядок дальнейшей работы: в парах сменного состава по методике взаимопередачи тем.

II этап   Изучение нового материала, его осмысление и первичное закрепление организуются с помощью карточек.

Оформленная на доске таблица заносится учащимися в тетрадь опорных конспектов и заполняется уже известные им факты.

Если пары закончили работу раньше остальных, то они выполняют дополнительное задание:

Является ли последовательность  геометрической прогрессией. Определите    q:

а) 10,  14,  18, 22, ...

б) 1∕2 ,   1,  2,   4, ...

в) 1600,  -800,  -400,  200, ...

г) 3,   3,   3,   3,  ...

Проверьте утверждения с помощью характеристического  свойства  прогрессии.

III этап

1. Задания для текущего контроля усвоения (в двух вариантах).

I уровень:

1. Вставьте пропущенные слова в формулировку определения геометрической  прогрессии.

2. Среди предлагаемых формул выберите (подчеркните) те, которые характеризуют геометрическую  прогрессию:

а)   yn=3n+4;                         в)  a1=1,   an+1=an+5;

б)   xn=(-2)n;                         г)   b1=1,  bn+1=bn∙ 0,5.

3.Среди некоторых последовательностей, заданных рекуррентно, найдите  геометрические прогрессии; укажите знаменатель геометрической прогрессии:

а)   a1= -3, an+1= -an;              в)  c1=1,  cn+1=cn ÷0,1;

б)   b1= -3, bn+1=2+bn;           г)  u1=1,  u n+1=u n - 10.

5. Найдите среднее геометрическое двух данных чисел.

6. Проверьте, обладают ли члены следующих прогрессий сформулированными свойствами:

а)  ,  1 ,  2,  4, …

б)  3,  13,  23,  33, ...

в)  3,  30,  300,  3000, ...

II уровень:

7. Сформулируйте определение геометрической прогрессии.

8. Найдите пятый и шестой члены прогрессии:

 а) 2,4;  3;   3,6;   4,2; ...

 б) 48;   72;  108;  162; ...

10. Найдите первые пять членов геометрической прогрессии, если известны ее знаменатель и третий член: b3=80, q=1∕2.  

IV этап  

1. Подведение итогов выполнения теста, выявление ошибок, общая оценка результатов выполнения в совместном обсуждении.

2. В процессе обобщения изученного на уроке материала заполняем вопросами стенд:

3. Постановка домашнего задания: 1) изучение основного материала по учебнику (§15, п.1,4, §16, п.1,4) и записям в тетради опорных конспектов;

2) I уровень  №№  408(а, б), 476(в, г), 483(в), 449;

    II уровень  №№  408(в, г), 414, 477, 449;

   III уровень №№ 410(а, б), 413, 478, 473, 508.

Урок 2

Тема урока :  Геометрическая прогрессия

Тип урока: урок-практикум.

Форма проведения урока: коллективное и индивидуальное выполнение заданий; фронтальная проверка.

Ход  урока:

I  Работа по карточкам (отработка навыков решения заданий ГИА)

II  Проверка домашнего задания (три ученика оформляют решение домашнего задания на доске, другие учащиеся отвечают на вопросы по карточкам). Выявление целей урока и их формулирование учениками.

Работа по карточкам:

III Выполнение упражнений. Решение задач.

1. Решить № 415 (устно).

2. Далее приводятся примеры решения задач: пример 9 на стр.145, пример 10, 11 на стр. 156 (фронтальная работа с учащимися).

3. №№ 410 (в, г); 445(а), 448, 476(в, г), 483(а, б), 509.

№ 445 решить устно [а) 61, б) 10, в) 8,  г)

№  447 (б) с комментированием на месте.

№ 448, 509 решить на доске и в тетрадях.              

IV. Самостоятельная   работа: 

1. О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствуют папирусы Ахмеса. Некоторые задачи имеют отвлеченный характер. Например:

 “В доме было 7 кошек.

Каждая кошка съедает 7 мышей.

Каждая мышь съедает 7 колосьев.

Каждый колос дает 7 растений.

На каждом растении вырастает 7 мер зерна.

Сколько всех вместе?”.

Автора задачи не интересует о каких вещах идет речь, важно только их общее количество.

2.И на Руси решались похожие задачи. Еще в XIX веке в деревнях загадывали:

“Шли 7 старцев.

У каждого старца по 7 костылей.

На каждом костыле по 7 сучков.

На каждом сучке по 7 кошелей.

В каждом кошеле по 7 пирогов.

В каждом кошеле по 7 воробьев.

Сколько всего?”

А ведь это та же задача Ахмеса. Прожившая тысячелетия она сохранилась почти неизменной.

Решение оформляется на доске, обсуждаются этапы решения уравнений  записью в тетрадь.

V. Рефлексия.  Работа с бланком рефлексии  (Приложение 1).

Учащиеся ставят:

“+”, если материал урока понятен и не вызывает затруднений;

“?”, если материал урока понятен, но вызывает некоторые затруднения;

“-”, если материал урока непонятен и вызывает затруднения.

 Подведение итогов урока,  постановка домашнего задания.

I уровень  №№  479(а, б), 481(а, б), 507;

II уровень  №№  480(а, б), 482(в, г), 507;

           III уровень №№ 480(в, г), 482(а, б), 474.

Урок 3

Тема урока : Геометрическая прогрессия. Формула n- ого члена геометрической прогрессии

Тип урока: урок изучения нового.

Форма проведения урока: коллективная работа , индивидуальное выполнение заданий; фронтальная проверка, коррекция и формулировка выводов, составляющих новый материал.

Цель урока:  вывести формулу n-го члена геометрической прогрессии, применить на практике полученные знания.

Ход  урока

I.     Подготовительный этап (мотивация изучения нового, выявление целей урока).

Приветствие, проверка готовности рабочего места к уроку. Учащиеся самостоятельно формулируют цели

II. Актуализация знаний по темам: «Числовые последовательности», «Арифметическая прогрессия и ее свойства»

1.Блиц- опрос

-Что называется числовой последовательностью?

-Назовите и охарактеризуйте способы задание числовой последовательности?

-Что называется разностью арифметической прогрессии?

-Какова формула n –го члена арифметической прогрессии?

-Приведите примеры арифметических прогрессий.

III. Изучение нового материала.

1) Вывод формулы n –го члена геометрической прогрессии с записью конечного результата в рабочих тетрадях.

показать непосредственное следствие формулы n –го члена геометрической прогрессии из ее определения.

- На доске рассматривается  пример: дана геометрическая прогрессия 2; 6; 18, 54, ... со знаменателем q=3. 

- Для записи второго столбца вызывается к доске один из учеников, используя карточки на магнитах, заранее подготовленные учителем.

2) Анализ формулы  n –го члена геометрической прогрессии с записью результатов на доске и в рабочих тетрадях.

показать непосредственное применение формулы n –го члена геометрической прогрессии.

-Учащиеся самостоятельно формулируют формулу первого члена геометрической прогрессии при  известных  значениях n-го члена и знаменателя.

-Учащиеся самостоятельно формулируют формулу знаменателя геометрической прогрессии при  известных  значениях первого и n-го члена.

IV.  Осмысление и закрепление полученных знаний и навыков.

Задания на закрепление материала (работа с учебником)

1.№482(а,б) (устно).

2. №483(а,б) (решить самостоятельно с последующим обсуждением).

3.№495(а,б) (для решения у доски  каждого примера вызвать по одному ученику, остальные  работают самостоятельно и исправляют ошибки).

4. №513 (один из учащихся вызывается к доске для решения задачи, остальные работают в тетрадях).

VI. Итог урока       итоговое  закрепление знаний  и отработка умений и навыков.

7. Рефлексия  формирование адекватной самооценки.

Работа с бланком рефлексии (Приложение 1).

Учащиеся ставят:

“+”, если материал урока понятен и не вызывает затруднений;

“?”, если материал урока понятен, но вызывает некоторые затруднения;

“-”, если материал урока непонятен и вызывает затруднения.

Домашнее задание и выставление оценок

1. Теория § 16 п.1,2.
2. Решить №482(в,г), №483(в,г), №495(в,г), №512 (решение задач, аналогичных разобранным в классе).
3. Подготовить краткое сообщение об истории геометрической прогрессии (по желанию).

Урок 4

Тема урока:  Формула n- ого члена геометрической прогрессии.  Характеристическое свойство.

Тип урока: урок практикум.

Форма проведения урока: коллективная работа, индивидуальное выполнение заданий; фронтальная проверка, коррекция и формулировка выводов, составляющих новый материал.

Цель урока:  рассмотреть характеристическое свойство геометрической прогрессии; формировать умение для решения заданий повышенной сложности.

Ход урока

1. Подготовительный этап (мотивация изучения нового,  выявление целей урока).
2. Работа по карточкам (отработка навыков решения заданий ГИА)
3. Изучение нового материала ()

Рассмотрите прогрессию

2,   4,    8,   16,  ... ,  bn-1,  bn,  bn+1, ...

Умножьте первый и третий члены, возведите в квадрат второй;

умножьте второй и четвертый члены, возведите в квадрат третий;

умножьте третий  и пятый члены, возведите в квадрат четвертый.

Сделайте вывод и запишите формулу характеристического свойства геометрической прогрессии

         bn  =...... ∙ ......  

         | bn |=         — среднее геометрическое.

Сравните свои результаты с текстом учебника (стр. 154 - 155).

Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.

4. Осмысление и закрепление полученных знаний и навыков

5. Самостоятельная работа

6. Рефлексия.

Вернемся к поставленным в начале урока целям. Чего мы достигли? Итак, подведем итоги. Чему научились? Что узнали нового? Что осталось непонятным, сложным? Почему? Кто доволен своей работой на данном уроке? Почему?

Подведение итогов урока,  постановка домашнего задания.

I уровень  №

II уровень  №

            III уровень №

Урок 5

Тема урока:  Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Тип урока: урок изучения нового.

Форма проведения урока: коллективная работа , индивидуальное выполнение заданий; фронтальная проверка, коррекция и формулировка выводов, составляющих новый материал.

Цель урока:  вывести   формулы   суммы   n   первых   членов геометрической прогрессии, научить применять их на практике.

Ход урока

I.    Подготовительный этап (мотивация изучения нового,  выявление целей урока).

Чтобы работа на уроке была успешной, нам необходимо вспомнить материал, изученный на предыдущих уроках. В этом нам помогут кластеры. Наша задача — вспомнить формулы арифметической и геометрической прогрессий.

Чем отличаются кластеры? Каких элементов недостает во 2-ой схеме?  Подумайте и обозначьте тему сегодняшнего урока. Запишем тему урока в тетради: «Сумма n первых членов геометрической прогрессии» Давайте подумаем, что мы должны узнать сегодня и чему научиться?

III. Изучение нового материала.( прием «Знаю - хочу узнать - узнал».)

По преданию, шахматы были изобретены в V веке нашей эры в Индии. Богатый индусский царь Шерам был так восхищен этой игрой, что решил достойно отблагодарить изобретателя шахмат Сета. Сета попросил награду, на первый взгляд поразившую своей «скромностью». Он попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую клетку - два пшеничных зерна, за третью -4, за четвертую -8, за пятую – 16 зерен и т.д. до 64-й клетки доски. Т.е. за каждую следующую клетку доски следует выдавать в два раза больше, чем за предыдущую. Царь Шерам был недоволен, так как считал, что Сета, прося столь ничтожную награду, пренебрегает царской милостью. Постараемся же посчитать, сколько же зерна пшеницы должен был получить Сета. Для того, чтобы посчитать величину награды, мы должны сложить зерна, лежащие на всех клеточках доски, т.е. сложить числа 1, 2, 4, ... - геометрическая прогрессия,  b=1, q=2. Обозначим их сумму через S..  Позже мы докажем, что  S = (263*2-1)/(2-1)=264- 1=18 446 744 073 709 551 615.  Читается это гигантское число так:

1 8 квинтиллионов446 квадриллионов744 триллиона073 миллиарда709 миллионов551 тысяча615 !

Такую награду должен был дать царь Шерам изобретателю Сету. Чтобы поместить  эти зерна в амбар, в основании которого лежит прямоугольник (8x10)м, высоту нужно взять равной расстоянию от Земли до Солнца! Такого количества зерна нет ни у одного царя, и просьбу Сета выполнить невозможно.

Но это частный случай, одни из множества заданий. А нам необходимо найти способ решения для общего случая. Как выведена и применяется формула для решения подобных задач вам и предстоит выяснить. Откройте учебники на странице 99. На партах у вас лежат листы со схемой приема «Знаю - хочу узнать - узнал».Работаем по обычной схеме «ЗХУ». У вас 5 мин. Итак, что было вам уже известно? Что нового вы узнали? Что оказалось непонятным и требуются разъяснения? Мы выяснили, что сумма n первых членов геометрической прогрессии может быть найдена по формулам:

                                        Вернемся к целям урока. Что нами достигнуто?    Значит, мы можем дополнить наш кластер по геометрической прогрессии.

IV.  Осмысление и закрепление полученных знаний и навыков. Продолжим работу с текстом в учебнике. На листах (Приложение)  - образцы решения примеров. Разобрав их, вы решите аналогичные задания в тетради. Тем ученикам, которые справятся с первыми тремя заданиями, приступить к выполнению №411. Время на данную работу - 10 мин.
Опрос.

№1        Дано b1, q.  Найти S4-?                

№2        Дано b1, b2 ….. Найти  q-? S4-?

№3        Дано b2,  b4. Найти q-? S6-?Дополнительно №411(б)

Оцените свою деятельность на данном этапе. Поставьте «+» рядом с тем заданием, которое верно решили самостоятельно, «+/-» там, где вы бы не справились без подсказок, «-» у примера, который вами не решен.

V. Самостоятельная работа.  Теперь поверните листы бумаги. На обратной стороне листа видите задания различного уровня сложности (№4-№6). Ваша задача – выбрать пример того уровня сложности, с которым вы справитесь.

IV. Рефлексия.Вернемся к поставленным в начале урока целям. Чего мы достигли? Итак, подведем итоги. Чему научились? Что узнали нового? Что осталось непонятным, сложным? Почему? Кто доволен своей работой на данном уроке? Почему?

Подведение итогов урока,  постановка домашнего задания.

I уровень  №

II уровень  №;

           III уровень №.

Урок 6

Тема урока:  Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Тип урока: урок практикум

Форма проведения урока: коллективная работа , индивидуальное выполнение заданий; фронтальная проверка, коррекция и формулировка выводов, составляющих новый материал.

Цель урока: развить навыки решения задач по теме арифметическая и геометрическая прогрессии; развить умение применение формул; выявить проблемы в знаниях по теме, подготовить к контрольной работе.

Ход урока

1. Подготовительный этап (мотивация учебной деятельности,  выявление целей урока).
2. Актуализация знаний, умений (тест, с последующей взаимопроверкой)

3. Самостоятельная работа

4. Рефлексия.

Вернемся к поставленным в начале урока целям. Чего мы достигли? Итак, подведем итоги. Чему научились? Что узнали нового? Что осталось непонятным, сложным? Почему? Кто доволен своей работой на данном уроке? Почему?

5. Подведение итогов урока,  постановка домашнего задания.

I уровень  №

II уровень  №

             III уровень №

Урок 7

Тема урока:  Арифметическая и геометрическая прогрессии

Тип урока: контроля знаний, умений.

Форма проведения урока: фронтальная проверка

Цель урока:  провести контроль усвоения темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

 .

Ход урока

1. Подготовительный этап (мотивация изучения нового,  выявление целей урока).
2. Выполнение контрольной работы

3. Рефлексия.

Вернемся к поставленным в начале урока целям. Чего мы достигли? Итак, подведем итоги. Чему научились? Что узнали нового? Что осталось непонятным, сложным? Почему? Кто доволен своей работой на данном уроке? Почему?

        Дома : прочитать «Основные результаты» по учебнику на стр.  159 – 160.

Литература

1. Учебно-методический комплект по алгебре для 9 класса:

Мордкович А.Г. Алгебра. Учебник.

Мордкович А.Г., Мишустина Т.Н., Тульчинская Е.Е. Алгебра. Задачник.

Мордкович А.Г., Тульчинская Е.Е. Алгебра. Тесты.

Дудницын Ю.П., Тульчинская Е.Е. Алгебра. Контрольные работы.

2. Зачеты в системе дифференцированного обучения математике / Л.О. Денищева, Л.В. Кузнецова, И.А. Лурье и др. – М.: Просвещение, 1993.

3. Лебединцева Е.А., Беленкова Е.Ю. Алгебра 9 класс. Задачи для обучения и развития учащихся. – М.: Интеллект-Центр, 2006.

4. Левитас Г.Г. Карточки для коррекции знаний по математике для 8-9 классов. – М.: Илекса, 2000.

5. Миндюк М.Б., Миндюк Н.Г. Разноуровневые дидактические материалы по алгебре. 9 класс – М.: Издательский Дом «Генжер», 1995.

6. Муравин К.С. и др. Алгебра. 9 кл.: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений. – М.: Дрофа, 2000.