Теоретические основы проектирования урока математики по теме: «Решение комбинаторных задач с помощью правила умножения»
методическая разработка по алгебре по теме

Методическая разработка

Теоретические основы проектирования

урока математики по теме:

«Решение комбинаторных задач с помощью правила умножения»

Автор: Пирогова Наталья Анатольевна,

учитель математики

МОАУ «СОШ №10» г. Бузулука

Оренбургской области

Содержание

Введение      …………………………………………………………………………3

1 глава. Теоретические основы проектирования урока математики по теме:   «Решение комбинаторных задач с помощью правила умножения»……………..5

1. Математические основы проектирования урока по теме «Решение комбинаторных задач  с помощью правила умножения»……………..5
2. Анализ изложения раздела «Комбинаторика» в УМК Мордковича…11
3. Кодирование и декодирование информации. ……………………….14
4. Комбинаторно – логическое мышление………………………….……20

1. глава.  Методика формирования научного мировоззрения в методике решения комбинаторных задач с помощью правила умножения.

   2.1 Объяснительная записка………………………………..……………….23

         2.2 Технологическая  схема формирования элементов алгоритмической культуры по  УМК А. Г. Мордкович, П. В. Семенов по теме «Решение комбинаторных задач с помощью правила умножения»……………………………..26

       2.3 Статистическая обработка достижений учащимися целей урока по теме «Решение комбинаторных задач с помощью правила умножения»…………………………………………….……………………………...…….37

Заключение………………………………………………………………….………41

Список литературы…………………………………………………………………43

Приложение…………………………………………………………………………47

Введение

Математическое образование является обязательной и неотъемлемой частью общего образования на всех ступенях школы. Обучение математике в основной школе направлено на достижение следующих целей  в направлении личностного развития: формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в развитии  цивилизации и современного общества; развитие логического и критического мышления, культуры речи, способность к умственному эксперименту; формирование качеств мышления, необходимых для адаптации в современном информационном обществе; развитие интереса к математическому творчеству и математических способностей. [32 с.3]

Тема «Решение комбинаторных задач с помощью правила умножения» лежит в разделе «Вероятность и статистика» - обязательный компонент школьного образования, усиливающий его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования у учащихся функциональной грамотности – умения воспринимать и критически анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты. Изучение основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчет числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах.[32 с.5]

Математическое образование играет важную роль как в практической, так и в духовной жизни общества. Практическая сторона математического образования связана с формированием способов деятельности, духовная – с интеллектуальным развитием человека, формированием характера и общей культуры.

Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные отношения – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей. Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять достаточно сложные расчеты, находить в справочниках нужные формулы и применять их, владеть практическими приемами  геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков, понимать вероятностный характер случайных событий, составлять несложные алгоритмы. Все больше специальностей, где необходим высокий уровень образования, связано с непосредственным применением математики: экономика, бизнес, финансы, физика, биология и т.д. .[32 с.6]  

Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках. В процессе математического мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, абстрагирование и синтез.

Математическое образование вносит вклад в формирование общей культуры человека, способствует эстетическому воспитанию, пониманию красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм, усвоению идеи симметрии.

1 глава. Теоретические основы проективного содержания математики по теме «Решение комбинаторных задач с помощью правила умножения».

1.1 Математические основы проектирования урока по теме «Решение комбинаторных задач с помощью правила умножения»

Комбинаторика - один из разделов дискретной математики, который приобрел важное значение в связи с использованием его в теории вероятностей, математической логике, теории чисел, вычислительной технике, кибернетике.

Существуют различные подходы к формулированию определения комбинаторика. В книге автора Бородина А. Н. это определение формулируется так: «Комбинаторикой называется область математики, в которой изучают вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из данных объектов».[4 с.7]

В Большой Советской Энциклопедии говорится, что комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются некоторые операции над конечными множествами. Комбинаторика (комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). [36 ]

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

Логическую основу комбинаторики составляют три правила – правило суммы, правило произведения, правило равенства.

  Правило равенства. Когда между двумя множествами А и В можно установить взаимно однозначное соответствие, то эти множества имеют одно и тоже количество элементов. [34 с 45]

  Правило суммы. Пусть конечное множество А является объединением непересекающихся множеств В, С. Тогда количество элементов во множестве А является суммой количеств элементов во множествах В и С. [34 с.45] Символьно правило суммы можно записать следующим образом : А∩В =Ө   |А  UВ |=|А|+|В|. Можно воспользоваться и другой формулировкой :  Если объект а можно выбрать m способами, а объект b – k способами (не такими, как а), то выбор «либо а, либо b» можно осуществить m+k способами.

п(А+В)=п(А)+п(В).

Задача: на тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?

Решение: по условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин – четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо апельсин», то его, согласно правилу суммы, можно осуществить 5+4=9 способами.

  Правило произведения. Пусть А, В, С – три множества, причем множество А состоит из всех пар (x,y), где x  В, и y С. Тогда |А|=|В|+|С|.[34 с.46]

Если объект а можно выбрать m способами, а объект b - k способами, то пару (a, b) можно выбрать m∙k способами.

п(А⋅В)=п(А)⋅ п(В)

Задача: сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры   7, 4 и 5?

Решение: в данной задаче рассматриваются трехзначные числа, так как цифры в записи этих чисел могут повторяться, то цифру сотен, цифру десятков и цифру единиц можно выбрать тремя способами каждую. Поскольку запись трехзначного числа представляет собой упорядоченный набор из трех элементов, то, согласно правилу произведения, его выбор можно осуществить 27 способами, так как 3∙3∙3=27.

Правила суммы и произведения – это общие правила решения комбинаторных задач. Кроме них в комбинаторике пользуются формулами для подсчета числа отдельных видов комбинаций, которые встречаются наиболее часто. Рассмотрим некоторые из них и, прежде всего те, знание которых необходимо.

Перестановки. Отличающиеся друг от друга порядком наборы, составленные из всех элементов данного конечного множества, называются перестановками этого множества.[4 с.7]

Пример1. Множество, состоящее из трех элементов {1,2,3}, имеет следующие перестановки: (1,2,3), (1,3,2), (2,3,1), (2,1,3), (3,2,1), (3,1,2). Число всех перестановок множества из n элементов обозначается Pn.

Теорема 1 (о числе перестановок). Число перестановок Pn определяется по формуле Pn =n!, где n!=1·2·3·…·n .[ 4 с.7]

Задача: сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 одинаковых ладей, так, чтобы никакие две из них не били друг друга?

Решение: ладьи не будут бить друг друга тогда и только тогда, когда на каждой горизонтали и каждой вертикали стоит ровно одна ладья. Поэтому будем выставлять их по горизонталям. Первую можно поставить на любые 8 полей первой горизонтали, вторую на 7 полей второй горизонтали (одна вертикаль уже занята первой ладьей) и т.д. Получаем Р8=8!=40320 способов.

Пусть дан кортеж длинны п, составленный из элементов множества Х={х1, …, хk}. Причем элемент х1 входит в этот кортеж п1 раз, элемент хk – пk раз. Тогда п=п1+…+пk. Если переставлять в этом кортеже буквы, то будут получаться новые кортежи, имеющие тот же состав. Эти кортежи называются перестановками с повторениями из элементов х1,…, хk, имеющими состав (п1, … , пk).

Задача: сколько различных кортежей получится, если переставлять буквы слова «математика»?

Решение: это слово имеет состав: м – 2, а – 3, т – 2, е – 1, и – 1, к – 1, то есть (2, 3, 2, 1, 1, 1), поэтому получим Р(2,3,2,1,1,1)=.

Размещения. Упорядоченные наборы, состоящие из k различных элементов, выбранных из данных n элементов, называются размещениями из n элементов по k. [4 с.8]

Размещения могут отличаться друг от друга как элементами так и порядком.

Пример 2.Различными размещениями множества из трех элементов {1,2,3} по два будут наборы (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2).

Число всех размещений из n элементов по k обозначается Аnk. .При k=n число размещений совпадает с числом перестановок.

Теорема 2 (о числе размещений). Число размещений из k элементов по m определяется по формуле

В размещениях и перестановках важен порядок размещения элементов кортежа.

Сочетания. Неупорядоченные наборы, состоящие из k элементов, взятых из данных n элементов, называются сочетаниями из n элементов по k.[4 с.10 ]

Пример 3. Для множества {1,2,3} сочетаниями по 2 элемента являются {1,2}, {1,3},{2,3}.

Число всех сочетаний из n элементов по k обозначается Сkn.

Теорема 3(о числе сочетаний). Число сочетаний из k элементов по m определяется по формуле . [4 с.10]

Задача: четыре человека сыграли друг с другом по одной партии в шахматы. Сколько было сыграно партий?

Решение: каждую партию можно рассматривать как комбинацию из двух элементов четырех элементного множества, в которой порядок расположения элементов не существен. Но такие комбинации являются сочетаниями без повторений из 4 элементов по 2 и их число равно:

 Коэффициенты  называются биноминальными коэффициентами, так как они входят в формулу бинома Ньютона.

Свойства коэффициентов :

1) . Это свойство  следует из формулы бинома Ньютона.

2) .Второе свойство вытекает непосредственно из формулы для числа сочетаний .

3).Третье свойство позволяет вычислять биноминальные коэффициенты с помощью, так называемого треугольника Паскаля.

В комбинаторике решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания [55].

Конечно, применение формул облегчает подсчет числа возможных вариантов решений той или иной комбинаторной задачи. Однако чтобы воспользоваться формулой, необходимо определить вид комбинаций, о которых идет речь в задаче, что бывает сделать не очень просто.

Данная таблица дает представления о возможности использования формул комбинаторики и теоретико-множественном смысле комбинаторике.

Таким образом, решая некоторые комбинаторные задачи, можно решить жизненные проблемы. Например, заведующему учебной частью школы – составить расписание уроков, лингвисту - учесть различные варианты значений букв незнакомого языка. Следовательно, комбинаторные задачи играют большую роль не только в обучении математике, но и вообще в жизни.

1.2 Анализ изложения раздела «Комбинаторика» в УМК Мордковича

Этот раздел математики тесно связан с рядом других разделов дискретной математики: теорией вероятностей, теорией графов, теорией чисел, теорией групп и т. д. 

Комбинаторика, пройдя многовековой путь развития, обретя собственные методы исследования, с одной стороны, широко используется при решении задач алгебры, геометрии, анализа, с другой стороны, сама использует геометрические, аналитические и алгебраические методы исследования.

Сейчас комбинаторные методы применяются как в самой математике, так и вне её – теория кодирования, планирование эксперимента, топология, конечная алгебра, математическая логика, теория игр, кристаллография, биология, статистическая физика, экономика и т.д.

В школьном курсе комбинаторика преподается в совокупности с теорией вероятностей и статистикой. В течение последних десятилетий элементы теории вероятностей и комбинаторики то вводились разделом в курс математики общеобразовательной школы, то исключались вообще. Внимание, которое уделяется этому учебному предмету во всем мире, позволяет предположить, что концепция его введения является актуальной.

Раздел «Вероятность и статистика» — обязательный компонент школьного образования, усиливающий его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования у учащихся функциональной грамотности – умения воспринимать и критически анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты. Изучение основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчет числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах.

При изучении статистики и вероятности обогащаются представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного мышления. [32 с.5]

       В 5 классе Зубарева И.И., Мордкович А.Г.  «Математика 5» 

Последняя глава «введение в вероятность» содержит 2 параграфа. В одном параграфе рассматриваются достоверные, невозможные и случайные события, приводятся  задачи на определение характера события (достоверное, невозможное или случайное). Во втором параграфе вводится понятие комбинаторных задач, рассматриваются комбинаторные задачи, решаемые методом перебора возможных вариантов.

В 6 классе Зубарева И.И., Мордкович А.Г.  «Математика 6». 

 Авторы знакомят с понятием вероятность в главе «Математика вокруг нас». Даны упражнения на определение степени вероятности того или иного события, выполнять которые учащиеся должны с опорой на интуицию. В следующем пункте вводится классическое определение вероятности. Рассматриваются задачи, в которых для вычисления вероятности используют комбинаторное правило умножения.

Возможно, рассматриваемые комбинаторные задачи, решаемые методом перебора возможных вариантов, взяты не совсем удачно. Для первого знакомства с задачами на перебор возможных вариантов лучше взять более простые задачи.  

Так же авторами вводится лишь классическое определение вероятности и абсолютно не рассматривается понятие частоты, хотя более логично и целесообразно вводить классическое определение на основе частотного.

Наибольший объем материала приходится на 9 класс Мордкович А. Г., Семенов П.В., в последней главе «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей». Первый параграф посвящен комбинаторике. Сначала приводятся  простые комбинаторные задачи, рассматривается таблица возможных вариантов, которая показывает принцип правила умножения. Затем рассматриваются деревья возможных вариантов, формулируется правило умножения и вводится определение факториала, в этом же параграфе учащиеся знакомятся с теоремой о перестановках элементов конечного множества. После теоретического материала идут упражнения по каждому из подпунктов. Второй параграф посвящен статистике. Рассматривается группировка информации в виде таблиц, вводится много новых терминов, и авторы, оформили их в виде таблицы, где кроме определений идет еще и описание этих терминов. Дальше рассматривается таблица распределения  и ее графическое представление (многоугольник распределений), нормальное распределение. Числовые характеристики выборки (среднее арифметическое, мода, медиана). Третий параграф – простейшие вероятностные задачи, где вводится классическое  определение вероятности, а так же учащиеся знакомятся с двумя теоремами: о сумме событий и о нахождении вероятности  противоположного события. Четвертый параграф посвящен экспериментальным данным и вероятности событий. В котором говорится о связи между вероятностью и экспериментальными статистическими данными, после чего вводится определение статистической вероятности. К каждому параграфу даются дополнительные упражнения более высокого уровня сложности по сравнению с основными упражнениями.

1.3 Кодирование и декодирование информации. 

                                                           Без знания математики нельзя понять

                                                           ни основ современной техники, ни того,

                                                           как ученые изучают природные и

                                                           социальные явления.  

Колмогоров А. Н.

Комбинаторика - один из разделов дискретной математики, который приобрел важное значение в связи с использованием его в теории вероятностей, математической логике, теории чисел, вычислительной технике, кибернетике.

Основными и типичными операциями и связанными с ними задачами комбинаторики являются следующие:

1) образование упорядоченных множеств, состоящее в установлении определенного порядка следования элементов множества друг за другом, составление перестановок;

2) образование подмножеств, состоящее в выделении из данного множества некоторой части его элементов, - составление сочетаний;

3) образование упорядоченных подмножеств - составление размещений.

Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности, например конструктору, разрабатывающему новую модель механизма, ученому-агроному, планирующему распределение сельскохозяйственных культур на нескольких полях, химику, изучающему строение органических молекул, имеющих данный атомный состав. С аналогичными задачами, получившими название комбинаторных, люди столкнулись в глубокой древности. Уже несколько тысячелетий назад в Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов ,в которых заданные числа располагали так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же. В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата, и т.д.

Комбинаторные задачи возникали и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. (Например, задача о расстановке восьми ферзей на шахматной доске так, чтобы ни один из них не оказался под боем, об обходе всех полей доски шахматным конем и т.д. [12 с.6 ]

Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются  вопросы  о  том,  сколько  различных  комбинаций,  подчиненных   тем  или  иным  условиям,  можно  составить из заданных объектов.

Комбинаторика нужна для изучения раздела математики «Теория вероятностей», который будет являться обязательным при изучении школьного курса математики.

Первым рассматривал комбинаторику как самостоятельную ветвь науки всемирно известный немецкий учёный Готфрид Вильгельм Лейбниц. В 1666 году Лейбниц опубликовал «Рассуждения о комбинаторном искусстве». В своём сочинении Лейбниц, вводя специальные символы, термины для подмножеств и операций над ними находит все k -сочетания из n элементов, выводит свойства сочетаний, строит таблицы сочетаний, после чего рассуждает о приложениях комбинаторики к логике, арифметике, к проблемам стихосложения и др.

В течение всей своей жизни Лейбниц многократно возвращался к идеям комбинаторного искусства. Комбинаторику он понимал как составляющую любого исследования, любого творческого акта, предполагающего сначала анализ (расчленение целого на части), а затем синтез (соединение частей в целое). Мечтой Лейбница, оставшейся неосуществлённой, оставалось построение общей комбинаторной теории.

В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались выдающиеся математики. Замечательные достижения в области комбинаторики принадлежат Леонарду Эйлеру. Он рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов. В 1713 году было опубликовано сочинение Я. Бернулли "Искусство предположений", в котором с достаточной полнотой были изложены известные к тому времени комбинаторные факты. Комбинаторными задачами интересовались и математики, занимавшиеся составлением и разгадыванием шифров, изучением древних письменностей. Теперь комбинаторика находит приложения во многих областях науки: в биологии, где она применяется для изучения состава белков и ДНК, в химии, механике сложных сооружений и т.д. Комбинаторные задачи физики, химии, биологии, экономики и других наук, которые не поддавались ранее решению из-за трудоемкости вычислений, стали успешно решаться на ЭВМ. В результате этого комбинаторные методы исследования все глубже проникают во многие разделы науки и техники. В частности, с помощью ЭВМ решена проблема четырех красок: доказано, что любую карту можно раскрасить в четыре цвета так, чтобы никакие две страны, имеющие общую границу, не были окрашены в один и тот же цвет.

Необыкновенно популярна головоломка - кубик Рубика, изобретенный в 1975 г. преподавателем архитектуры из Будапешта Эрне Рубиком для развития пространственного воображения у студентов. Задача поиска оптимального (по числу ходов) алгоритма сбора кубика Рубика является самой сложной и не решенной пока математической задачей. Представляет интерес также изучение группы, порожденной поворотами граней, и др. Кубик Рубика служит не только развлечением, но и прекрасным наглядным пособием по алгебре, комбинаторике, программированию.

 Профессиональный интерес математиков к шахматам проявился довольно давно и был связан с двумя направлениями: математической логикой и комбинаторикой. Первое — рассмотрение игры с точки зрения построения ее формальной модели, удобной для логического анализа на основе действующих соревновательных правил. Второе — исследование конкретных позиций или их классов в игре для достижения определенных результатов, например матовой позиции за определенное число ходов. Последнее направление породило множество изящных логико-вычислительных проблем. Некоторые из них и по сей день предлагаются на различных математических и программистских олимпиадах, а также для развлечения на досуге.  Например,  посвященные этим вопросам книги Л.Я. Окунева «Комбинаторные задачи на шахматной доске»  [40] и Е.Я. Гика «Математика на шахматной доске»  [12]. Нужно упомянуть еще работы Мартина Гарднера, вышедшие под общим названием «Математические развлечения» [11]. В них содержатся материалы, посвященные шахматным задачам. Вот несколько примеров. Определение размера награды создателю шахматной игры потребовало от «администрации» легендарного индийского царя вычисления количества пшеничных зерен, равного числу с 20 значащими цифрами. 

Задачи о шахматной доске, на которой не все поля принимаются во внимание, представляют собой алгоритмический интерес в игре, поскольку они определяют, в частности, поля внимания играющего при принятии решения о ходе, который он намерен сделать. Кроме того, вследствие изменения количества полей и формы шахматной доски появляются новые разновидности игры, например шахматы, предложенные Робертом Фишером.

Исследование геометрии шахматной доски приводит к разработке алгоритмов для известных и широко применяемых на практике интуитивных правил «квадрата», «треугольника» или «линии Троицкого», позволяющих оценить качество позиции не только на много ходов вперед, но и окончательно, как в приведенных случаях. Более того, при геометрическом анализе позиции в шахматной партии могут возникать и так называемые экстремальные задачи. Их решение помогает отыскивать мат за наименьшее количество ходов.

Если теперь обратить внимание на шахматную доску с расположенными на ней фигурами, то возникающие задачи уже будут носить явно выраженный игровой характер. Особенно тогда, когда это задачи с достаточно интересным набором фигур. К ним относятся не только случаи вроде такого, как обойти конем все поля шахматной доски, занимая каждое поле лишь один раз, но и знаменитые коллекции многофигурных эндшпилей. Значительная часть комбинаторных задач связана с определением числа возможных расстановок фигур на доске, что очень важно при поиске однотипных позиций, приводящих к одинаковому результату в дальнейшем течении партии.

Как известно, основной способ поиска наилучшего хода заключается в переборе возможных ходов, рассмотрении движения по дереву последовательных позиций и оценке возникающих в результате них состояний игры. Но это весьма дорогостоящий путь в том смысле, что при его прохождении играющему предъявляются непомерные требования по времени даже в случае использования компьютера. Поэтому при поиске наиболее эффективных алгоритмов в компьютерных шахматах принято учитывать как можно больше ограничений (условий), упорядочивающих перебор, т.е. позволяющих отбрасывать те позиции, которые при выборе хода рассматривать не нужно. Эти задачи представляют, как правило, трудности и для математиков, из-за чего получили распространение так называемые эвристические методы их решения. В разработку эффективных методов перебора внесли большой вклад советские математики А. Брудно и В. Арлазаров, предложившие альфа-бета процедуру и форсированный вариант, реализованные еще в шахматной программе «Каисса». 

Так как борьба за уменьшение времени на «обдумывание» хода всей программой является принципиальным фактором, то математики затрачивают массу усилий на создание входящих в нее приложений (задач, решаемых при поиске нужного хода), работающих наиболее быстро, а также требующих по минимуму оперативной памяти. Так, в свое время один из авторов «Каиссы» придумал изящную реализацию нахождения сочетаний для m фигур и n мест, которые они могут занимать, что весьма важно для эффективной работы подобной программы.

Клод Шеннон и Михаил Ботвинник внесли огромный вклад в создание математической модели шахматной игры и способствовали прогрессу в интеллектуализации программ для нее.

По существу компьютерные шахматы — едва ли не самый убедительный пример за полвека развития информационных технологий, когда именно в интеллектуальной деятельности автомат успешно соперничает с человеком.

1.4  Комбинаторно – логическое мышление.

Реформирование системы образования позволяет говорить о том, что школа сегодня реально ориентируется на многообразие образовательных потребностей, на личность обучаемого. Вариативное образование помогает школьникам обрести иные пути понимания и переживания знаний в изменяющемся мире. Современному ученику нужно передавать не столько информацию, как собрание готовых ответов, сколько метод их получения, анализа и прогнозирования интеллектуального развития личности. В условиях современной системы образования проблема развития психических процессов учащихся, в частности мышления, приобретает особую актуальность. Развитие различных видов мышления создает возможность решать проблему первичности формирования способностей школьника и вторичности знаний, которые опять же способствуют развитию его психических процессов. Попытки включения разделов «Логика», «Комбинаторика» в школьный курс в нашей стране предпринимались неоднократно, но не вели к успеху. Необходимость поиска новых эффективных средств развития комбинаторно-логического мышления школьников обусловлена его значимостью для самореализации личности в современном обществе, поскольку умение логически рассуждать, вариативно мыслить является показателем общей культуры современного человека. Поэтому проблема развития данного вида мышления учащихся приобретает особую актуальность.

В педагогике и психологии проведено немало исследований, посвященных развитию различных видов мышления, в том числе логического и комбинаторного (работы В.В.Давыдова, Л.В. Занкова,  Е.Н.Кабановой -Меллер, Я.И. Лернера, О.С.Медведевой, Н.А.Менчинской, А.Л. Поддьякова,Ю. А. Полуянова,Я.А. Пономарева, И.С. Якиманской и др.). Проблема развития мышления учащихся при изучении различных предметов, в частности, математики представлена в работах Ю. М. Колягина, В. А. Крутецкого, И.Л.Никольской, В. И. Рыжика, А.А.Столяра, Л. М. Фридмана и других.

В педагогических исследованиях этих и других авторов рассмотрены проблемы взаимосвязи логического мышления и творческого саморазвития школьников, методы и технологии развития логического мышления, освоение логических операций школьниками, их связь с умственным развитием ребенка, диагностика логического мышления.

Проведенный нами анализ психолого-педагогической литературы показал, что в науке разработана существенная теоретическая основа для изучения проблемы развития логического мышления старшеклассников, в меньшей степени – комбинаторного мышления. Вместе с тем, существует потребность в исследовании проблемы развития комбинаторно-логического типа мышления старшеклассников, интегририрующего в себе два типа мышления - логическое и комбинаторное. Комбинаторно-логическое мышление по нашему мнению и определяет уровень развития теоретического мышления старшеклассников. 

Комбинаторно-логическое мышление – это мышление, позволяющее осуществлять продуктивный процесс, в результате которого происходит выбор

необходимых знаний, способов и методов, направленных на разрешение различным числом вариантов как частных конкретных задач, так и поиск общих закономерностей.[32]

 Основные свойства изучаемого нами вида мышления направлены на выработку умений:

- расчленять объект, предмет, понятие на части, а также осуществление обратного хода мыслей;

- переходить от частного случая задачи к общему и наоборот (от индуктивного к дедуктивному приему и наоборот), осуществляя перебор или комбинацию: исходных элементов задачи; отдельных частей или их сочетаний, полученных

в результате расчленения изучаемого объекта;

 - осуществлять поиск различных путей решения одной и той же задачи, осуществляя перебор исходных данных;

- осуществлять поиск различных путей оформления решения задачи.

У учащихся формируются действия на обобщение, сравнение, аналогию, конкретизацию, анализ и синтез, осуществление конечного числа переборов, комбинаций элементов.

Комбинаторно-логическое мышление называют еще планиметрическим мышлением, характеризующее человека – управленца и изобретателя; двигатель прикладной науки. [43]

2 глава  Методика формирования научного мировоззрения в методике решения комбинаторных задач с помощью правила умножения.

                                                             …наилучшим путем в обучении я считаю

                                                                  тот,   который  дает   материал   для  

                                                                  мышления  и  творческих повторений,

                                                                  дает  материал  для  создания  идей,  а

                                                                  сами идеи возникают уже непосредствен-

                                                                  но в душе ребенка путем естественной

                                                                  деятельности его психического аппарата.

                                                                                         Д. Д. Галанин

          2.1 Объяснительная записка.

В повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не уступить ни одной из них. Для этого нужно осуществлять перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число.

В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело с различного рода множествами и подмножествами: устанавливать их связь между элементами каждого, определять число множеств или их подмножеств, обладающих заданным свойством. Такие задачи приходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической телефонной связи, работы морских портов, при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, а также в лингвистике, в автоматической системе управления, значит и в теории вероятностей, и в математической статистике со всеми их многочисленными приложениями.

Один из разделов теории вероятности – комбинаторика

На современном этапе развития науки невозможно полноценное ее изучение и понимание без минимальной вероятностно-статистической грамотности. Элементы комбинаторики включены в Федеральный компонент государственных образовательных стандартов основного общего образования по математике. [32]

 За последние годы комбинаторика переживает период бурного развития, связанного с общим повышением интереса к проблемам дискретной математики. Комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, в частности задач по составлению расписаний; для составления планов производства и реализации продукции. Установлены связи между комбинаторикой и задачами линейного программирования.

В настоящее время комбинаторика является одним из важных разделов математической науки. Ее методы широко используются для решения практических и теоретических задач.

Включение комбинаторных задач в курс математики оказывает положительное влияние на развитие учащихся.

Решение таких задач дает возможность расширить знания учащихся о самой задаче, о процессе решения, подготовить к решению жизненных практических проблем, научить принимать оптимальное в данной ситуации решение, организовать элементарную исследовательскую и творческую деятельность учащихся. Следовательно, эта тема актуальна

Учащиеся также знакомятся с новым методом решения задач – перебором возможных вариантов, который можно использовать в дальнейшем для решения другого типа задач.

Комбинаторные задачи в начальном курсе математики решаются, как правило, методом перебора. Для облегчения этого процесса нередко используются таблицы и графы. В связи с этим необходимы определенные умения и навыки решения комбинаторных задач. Прежде всего, решая несложные комбинаторные задачи, нужно грамотно осуществлять перебор возможных вариантов.

Задача: сколько двузначных чисел можно составить, используя         цифры 1, 4 и 7?

Решение: для того чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4 и, наконец, с цифры 7: 11, 14, 17, 41, 44, 47, 71, 74, 77. Таким образом, из трех данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.

Существует единый подход к решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название – дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян. Знак * изображает корень дерева, ветви дерева – различные варианты решения [24].

       В комбинаторных задачах заложены большие возможности для развития мышления учащихся. Кроме того, в процессе обучения решению комбинаторных задач можно расширить знания учащихся о самой задаче, познакомить их с новым способом решения задач; подготовить к решению жизненных практических проблем, научить принимать оптимальное в данной ситуации решение; организовать элементарную исследовательскую и творческую деятельность учащихся.

В процессе решения комбинаторных задач учащиеся приобретают опыт хаотичного перебора возможных вариантов. И на основе этого опыта в дальнейшем можно будет обучать детей организации систематического перебора.

2.2 Технологическая  схема формирования элементов алгоритмической культуры по  УМК А. Г. Мордкович, П. В. Семенов по теме «Решение комбинаторных задач с помощью правила умножения».

  Тема: «Решение комбинаторных задач с помощью правила умножения»

Цель урока: осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.

Задачи:

-формировать умение строить жизненные планы с учетом конкретных социально-исторических и экономических условий;

-адекватно оценивать свои возможности достижения цели определенной сложности в различных сферах самостоятельной деятельности;

-устанавливать и сравнивать разные точки зрения, прежде чем принимать решения.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы:

-по источникам знаний: словесные, наглядные;

-по степени взаимодействия «учитель – ученик»: эвристическая беседа;

-относительно дидактических задач: подготовка к восприятию;

-относительно характера познавательной деятельности: репродуктивный, частично-поисковый

Оборудование: учебник «Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразовательных учреждений/А.Г Мордкович, мультимедиа проектор, рабочие листы.

Технологическая карта урока математики в 9 классе по учебнику А.Г. Мордковича.

                                                                                    Таблица 1

Тема: «Решение комбинаторных задач с помощью правила умножения»

Цель урока: осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.

Задачи:

-формировать умение строить жизненные планы с учетом конкретных социально-исторических и экономических условий;

-адекватно оценивать свои возможности достижения цели определенной сложности в различных сферах самостоятельной деятельности;

-устанавливать и сравнивать разные точки зрения, прежде чем принимать решения.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы:

-по источникам знаний: словесные, наглядные;

-по степени взаимодействия «учитель – ученик»: эвристическая беседа;

-относительно дидактических задач: подготовка к восприятию;

-относительно характера познавательной деятельности: репродуктивный, частично-поисковый

Оборудование: учебник «Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразовательных учреждений/А.Г Мордкович, мультимедиа проектор, рабочие листы.

1. Организационный момент.

1. Приветствие учащихся.
2. Чем мы занимались на прошлом уроке?

Зачем  нам надо уметь решать задачи?

А сегодня мы продолжим работу над решением комбинаторных задач и составим расписание на вторник.

2. Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в пробном учебном действии.

1. Решите задачу перебором вариантов.

Сколько двузначных чисел можно составить для кодирования сейфа, используя цифры 1, 4 и 7?

Для решения данной задачи вызывается 1 учащийся к доске. (Учащийся решает её на отвороте доски). Проверка решения задачи. 11, 14, 17, 41, 44, 47, 71, 74, 77. Ответ: 9 чисел.

2. Решение задачи с использованием дерева возможных вариантов самостоятельно.

Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 для кода замка, используя в записи каждую из них не более одного раза. Проверку осуществить с помощью компьютера. (слайд 1)

              *

1 цифра                 1                               3                        5                          7

2 цифра            3   5   7                     1   5   7               1   3   7                1   3   5  

3 цифра      5   7   3   7   3   5      7   5   7   1  1  5     3  7  1  7  1  3      3  5  1  5  3  1                  

Ответ: 24 способа.

3. Целеполагание  и мотивация.

Попробуем решить следующую задачу, не используя перебор и дерево возможных вариантов, а с помощью составления таблицы.

На завтрак Нина может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их может кофе, соком, кефиром. Сколько вариантов завтрака есть у Нины?

1 учащийся вызывается к интерактивной доске и заполняет таблицу с помощью учителя.

- Сколько вариантов для выбора еды есть у Нины? (4) Какие именно? Внесите их в таблицу.

-Сколько исходов есть у девочки для выбора напитка? (3) Какие именно? Внесите их в таблицу.

-Сколько вариантов завтрака получилось? (12)

-Зависит ли вариант завтрака от того, в какой клетке таблицы он расположен? (нет)

-Что вы заметили, заполняя таблицу? (количество завтраков совпало с количеством клеток)

-Можно ли решить задачу путём рассуждения, не заполняя таблицу? (для выбора еды – 4 варианта, для напитка – 3 варианта).

Учащиеся предлагают: 3*4= 12 способов.

-Комбинаторные задачи можно решать не только 2 способами, изученными ранее, но и, используя правило умножения.

-Сформулируйте цель нашего урока (научиться решать задачи с помощью правила умножения).

IV. Усвоение новых знаний и способов действий.

Тема нашего урока созвучна цели урока, сформулированной вами

-Как называется тема нашего урока? (Решение комбинаторных задач с помощью способа умножения). Запишем тему урока в тетрадь. Отложите ручки в сторону и продолжим работу устно.

-Давайте вернёмся к задаче №2 и решим её, используя правило умножения. Сколько цифр мы можем взять для кода? (3)

-Сколькими способами можно выбрать первую цифру?(4)

-Вторую? (3)

-Третью цифру? (2)

-Сколько испытаний мы получили?

Чтобы получить ответ, необходимо найти произведение трёх исходов.

Запишите решение в тетрадях самостоятельно.

4*3*2=24 способа

Предлагаем учащимся самим сформулировать правило умножения. Учитель корректирует формулировку учащихся.

Чтобы найти число всех возможных исходов для 2-х и более испытаний, следует перемножить число всех испытаний.

-Какими способами можно решать комбинаторные задачи? (перебор вариантов, дерево возможных вариантов, правило умножения).

-Почему для решения комбинаторных задач используют чаще всего правило умножения? (этот способ позволяет решать самые разные задачи на множество комбинаций).

Далее учитель предлагает решить следующие задачи с помощью правила умножения:

Сколькими способами 4 вора могут разбежаться на все 4 стороны?

Решение: Воры разбегаются поочередно. У первого есть 4 варианта, у второго – 3, у третьего – 2, у четвертого – 1 вариант. Т.е. 4*3*2*1=24.

Сегодня, т.е. во вторник, у вашего класса 7 уроков: алгебра, геометрия, литература, английский язык, биология, физкультура. Сколько вариантов расписания можно составить на сегодня?

-Сколько вариантов для 1-го урока? (7) Пусть это будет алгебра.

-Для второго урока?  (6) Например, геометрия.

-Для третьего урока? (5) Пусть будет литература.

-Для 4-го урока? (4) Русский язык.

-Для 5-го урока? (3) Английский язык.

-Для 6-го урока? (2) Биология.

-Для 7-го урока? (1) Физкультура.

-Запишите решение и найдите результат

6*5*4*3*2*1=5040 вариантов

-Сравните решения этих двух задач.  Произведение каких натуральных чисел вы находите? (подряд идущих).

Правило умножения подводит нас  к важному математическому понятию – факториал. (Ввести условное обозначение и определение).

Произведение подряд идущих первых  n натуральных  чисел называют «эн факториал». Условное обозначение n!

Вернёмся к нашим предыдущим задачам. Запись вашего решения можно упростить:

4*3*2*1=4!=24

7*6*5*4*3*2*1=7!=5040

Предлагаем учащимся самостоятельно вычислить 3! и 5!

-Проверьте себя по таблице на стр. 181 в учебнике А.Г. Мордковича.

V. Первичное  закрепление.

№ 18.7 а,б

а) Сколько вариантов имеет первая полоса? (4)

Вторая полоса? (3)

Третья полоса? (2)

Четвёртая? (1)

Решение: 4*3*2*1=24

б) 3!=6

№18.11 в,г решают самостоятельно в тетрадях

18.12 в,г

VI. Организация первичного контроля.

Решая данную самостоятельную работу, вы можете сами выбирать способ решения.

 При решении первого задания: а)методом перебора вы заработаете 3 балла, б)методом «дерево» возможных вариантов – 4 балла, в)применяя правило умножения – 5 баллов.

За решение второго задания – 3 балла.

Третье задание – 4 балла.

Самостоятельная работа. Вариант 1 – 2

Вариант 1.

1.Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 8? Сколько из них четных?

2.Вычислите:

3.Сколькими способами можно обозначить вершины прямоугольного параллелепипеда буквами С, D, F, G, K, L, M, N?

Вариант 2.

1.Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 5, 7? Сколько из них нечетных?

2.Вычислите:

3.Сколькими способами можно обозначить вершины восьмиугольника  буквами С, D, M, N, U, V, T, Q?

После решения собрать тетради, а учащимся предложить проверить себя, по слайду(через компьютер, слайд 2,3).

VII. Подведение итогов урока.

- Кто желает сформулировать правило умножения?

- С какими новыми понятиями мы познакомились?

Оценить отдельных  учащихся.

VIII. Информация о домашнем задании.

 §18 стр 177 – 182, 18.12а,б;18.14а,в;18.25а.

IX. Рефлексия.

Каждый учащийся оценивает себя как он усвоил тему.

Кластер

2.3Статистическая обработка достижений учащимися целей урока по теме: «Решение комбинаторных задач с помощью правила умножения».

Урок по теме «Решение комбинаторных задач с помощью правила умножения»  был проведён в двух классах –  9а и 9в (при одинаковой нагрузке 6 часа в неделю, из них на алгебру отводится 4 часа). В 9в был  проведен урок по стандартам второго поколения, а в 9а  - по стандартам первого поколения. Затем учащимся классов был предложен тест на выявление особенностей логического мышления. Для диагностики мышления каждому учащемуся предлагался краткий ориентированный тест на 15 минут, который содержит 50 вопросов.  Учащихся можно познакомить с образцами заданий и правильными ответами: «Быстрый» является противоположным по смыслу слову:

1. тяжелый,
2. упругий,
3. скрытный,
4. легкий,
5. медленный.

64476800. Бензин стоит 44 цента за литр. Сколько стоит 2,5 литра?
64476801. Минер – минор. Эти два слова являются:

64476968. сходными,
64476969. противоположными,
64476970. ни сходными, ни противоположными по значению.

 На основании результатов данного теста была выдвинут цель выявления эффективности педагогических средств путем сравнения достижений разных групп учащихся (независимые выборки, если результаты измерения некоторого свойства у объектов  первой выборки не оказывают влияния на результаты измерения этого свойства у объектов второй выборки). Для измерения результатов обучения учащихся выбрана шкала порядка. Выдвинута гипотеза – обучение по вторым стандартам эффективнее, чем обучение по стандартам первого поколения.

Теория проверки статистических гипотез представляет собой глубоко разработанный раздел математической статистики, опирающийся на достаточно сложный аппарат многомерного статистического анализа, которому посвящена многочисленная научная и учебная литература: Кендалл М., Стьюарт М. Статистические выводы и связи, Леман З. Проверка статистических гипотез, Рао Р. Линейные статистические методы и их применение. [35,22 с.4]

Для сравнения результатов двух независимых выборок  воспользуемся медианным критерием. Этот критерий предназначен для выявления различия в центральных тенденциях состояния некоторого свойства в двух совокупностях на основе изучения членов двух независимых выборок из этих совокупностей. В данном случае показателем центральной тенденции служит медиана измерений изучаемого свойства в каждой из выборок. [22с. 71]

За верное выполнение  каждого задания краткого ориентировочного теста  учащийся получал 1 балл, таким образом за верное выполнение всех заданий можно набрать  50 баллов.

Из всех учащихся, писавших работу,  методом случайного отбора в первом 9а классе было отобрано 25 учащихся, которые составили первую выборку, во втором 9в классе – 24 ученика, которые составили вторую выборку. На основе результатов сравнения выполнения заданий этими выборками учащихся предполагалось проверить гипотезу о различии уметь решать различные задачи, для учащихся различных классов. В качестве показателя состояния умения в выборке учащихся использовалось распределение учащихся первой выборки и второй выборки по числу баллов, выставленных за выполнение  заданий.

Результаты выполнения  работы запишем в форме таблицы, удобной для нахождения общей медианы ряда распределения учащихся двух выборок по числу баллов, полученных за решение заданий.

                                                                                        Таблица 2

n1=25                          n2=24                        N=49  

Число учащихся в обеих выборках равно 49 – число нечетное. Значит, медиана численно равна значению, стоящему на   ,или на 25-м месте (=25). В упорядоченном ряду измерений, составленном по результатам двух выборок, это значение равно 21. Распределим значения обеих выборок на две категории: больше медианы (>21) и меньше или равны медиане(≤21). Полученные результаты запишем в форме таблицы 2×2:

                                   Выборка №1                   Выборка №2  

                                                 24                                    25                     49

Проверяется гипотеза Н0: m1=m2 медианы распределения учащихся по числу баллов, полученных за выполнение работы, одинаковы в совокупностях учащихся 9а и 9в классов. Альтернативная гипотеза Н1: m1≠m2. Значение статистики медианного критерия находим по формуле:

                          Т= , используя данные таблицы 2

Т=.

Для уровня значимости α+0,05 и одной степени свободы по таблице находим Ткритич=3,84. Значит верно неравенство Ткритичнаблюд (3,84>0,18). Следовательно, согласно правилу принятия решения на уровне значимости α+0,05 у нас нет достаточных оснований для отклонения нулевой гипотезы Н0: нет достаточных оснований считать различными медианы распределения учащихся по числу баллов за выполнение работы.

В тоже время данные таблицы 2 показывают, что результаты второй выборки выше, чем  первой. Одной из причин того, что применение медианного критерия не позволило отклонить гипотезу и тем самым не позволило выявить эту тенденцию, может быть сравнительно небольшой объем каждой из выборок.

Заключение

          На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики являлось необходимой составной частью интеллектуального багажа каждого образованного человека.

          В наши дни установленному традицией воспитательному значению математики угрожает серьезная опасность. К сожалению, профессиональные представители математической науки в данном случае не свободны от ответственности. Обучение математике нередко приобретало характер стереотипных упражнений в решении задач шаблонного содержания, что, может быть, и вело к развитию кое-каких формальных навыков, но не призывало к глубокому проникновению в изучаемый предмет и не способствовало развитию подлинной свободы мысли. [33 с. 16  ]4

          Представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов. Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.

Комбинаторные задачи – это задачи, связанные с подсчетом числа всевозможных комбинаций из элементов данного конечного множества.

Включение комбинаторных задач в курс математики оказывает положительное влияние на развитие учащихся. Решение комбинаторных задач дает возможность  расширить знания учащихся о процессе ее решения, а также подготовить к решению жизненных практических проблем.

В обучении математики роль комбинаторных задач постоянно возрастает, так как в них заложены большие возможности не только для развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни.

Специфика комбинаторных задач и методов их решения требует от учителя определенного уровня математической подготовки. Прежде всего, он должен, решая несложные комбинаторные задачи, уметь грамотно осуществлять перебор возможных вариантов и при этом быть уверенным в том, что перебор осуществлен правильно.

Учителю надо знать общие правила комбинаторики (в частности, правила суммы и произведения), некоторые виды комбинаций, число которых может быть подсчитано с помощью формул.

 В данной работе были рассмотрены  правила решения комбинаторных задач: правило суммы и правило произведения, а также все виды комбинаций с повторениями и без повторений: размещения, перестановки и сочетания. Проведен анализ самостоятельной работы двух независимых выборок с помощью медианного критерия.

           Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству. Ее основные и взаимно противоположные элементы — логика и интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность. Как бы ни были различны точки зрения, питаемые теми или иными традициями, только совместное действие этих полярных начал и борьба за их синтез обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность математической науки.[33 с. 20 ]11системы

Список литературы:

1. Болотов В. А. О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы //Математика. – 2004. - №44. – с.45-47.
2. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М., 1983
3. Боровков А.А. Теория вероятностей.М.,1984.
4. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. СПб.: Лань, 1999. – 224с.
5. Бродский Я. Об изучении элементов комбинаторики, вероятности, статистики в школе // Математика. - 2004. - №31.
6. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика 5-9 кл.: пособие для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 2002.  
7. Вейль Г. Математическое мышление. Перевод с английского и немецкого под редакцией Бирюкова Б.В. Першина А.Н. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 400 с
8. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. –М.,1964
9. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. – М.: Наука, 1969. – 328с.
10. Гаек Я., Шидак З. Теория ранговых критериев. М., 1971.
11. Гарднер М. Математические головоломки  и развлечения. Издательство: Мир, 1999. – 448с.
12. Гик Е.Я. Математика на шахматной доске. Москва: Наука, 1976. - 178 с.
13. Гихман И.И., Скороходов А,В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Киев, 1979.
14. Гласс Дж., Стенли Дж.Статистические методы в педагогике и психологии. М., « Прогресс», 1976.
15. Глеман М., Варга Т. Вероятность в играх и развлечениях. – М.: Просвещение, 1979.
16. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика.М., МГУ 1982.
17. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М., 1961.
18. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К.,Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. М., 1965.
19. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. М., 1982.
20. Гнеденко Б. В., Журбенко, И. Г. Теория вероятностей и комбинаторика //Математика в школе. – 2007. - №6. – с. 67-70.
21. Гольдфаин И.И. Элементы теории вероятностей в современном школьном курсе биологии.// Математика в школе. – 2003. - №3.
22. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы. М.: Педагогика, 1977. – 136с.
23. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Некоторые положения выборочного метода в связи с организацией изучения знаний учащихся. М.,1973.
24. Гусев В. А. Внеклассная работа по математике в 5-8 классах. /Под. ред. С. И. Шварцбурга. - М.: Просвещение, 1977. – 288с.
25. Дихтярь М., Эргле Е. Исторические комбинаторные задачи и комбинаторные модели //Математика. – 2007. - №14. – с. 23-24.
26. Дунин – Барковский И., Смирнов Н. Теория вероятностей и математическая статистика в технике. М., 1955.
27. Ермолаев О.Ю. Математическая статистика для психологов. М.: Флинта, 2003. – 336с.
28. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. 2- е изд. М., 1992.
29.  Когаловский С. Р. Роль комбинаторных задач в обучении математике //Математика в школе. – 2004. - №7. – с. 18-23.
30. Комбинаторика //Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А. П. Савин. - М.: Педагогика, 1985. – 352с.
31. Кордемский Б.А. Математика изучает случайности. Пособие для учащихся. М., «Просвещение», 1975.
32. Кузнецов А.А., Рыжаков М.В., Кондаков А.М.Стандарты второго поколения, «Просвещение»,2011.  – 66 с.
33. Курант Р.,  Роббинс Г.Что такое математика? Перевод с английского под редакцией Колмогорова А.Н. МЦНМО, 1966.
34. Куринной Г.Ч. Математика. Справочник для абитуриентов и студентов. – М.: АСТ, 2000. – 464с.
35. Леман З. Проверка статистических гипотез. М., 1964.
36. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: теория вероятностей. Учебное пособие для 9-11 кл. сред. шк.- М.: Просвещение, 1990.
37. Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. – М., 1975.
38. Нейман Ю.В. Вводный курс теории вероятностей и математической статистики. М., 1968
39. О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы / В.А.Болотов // Математика в школе – 2003. - №9.
40. Окунев Л.Я. Комбинаторные задачи на шахматной доске. М.: Объединенное научно-технич. изд. Нктп ссср, 1935. -87с.
41. Перельман Я. И. Занимательные задачи и опыты. - Д.: ВАП, 1994. – 527с.
42. Плоцки А. Вероятность в задачах для школьников: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1996.  
43. Попова, Т.Г.Математика. 10-11 классы. Развитие комбинаторно-логического мышления. Задачи, алгоритмы решений.  Волгоград: Учитель, 2009.– 111 с.
44. Свешников А.А. Сборник задач по теории вероятностей, математической сатистике и теории случайных функций. М., 1965.
45. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики, М., 1982
46. Семеновых А. Комбинаторика //Математика. – 2004. - №15. – с. 28-32.
47. Семеновых А. Комбинаторика //Математика. – 2004. - №16. – с. 19-22.
48. Семеновых А. Комбинаторика //Математика. – 2004. - №17. – с. 22-27
49. Стойлова Л. П. Математика: Учебник для студентов отделений и факультетов начальных классов средних и высших педагогических учебных заведений. - М.: Издательский центр «Академия», 1997. – 464с.
50. Урбах В. Биометрические методы. М., 1964.
51. Урбах В. Математическая статистика для медиков и биологов. М., 1963.
52. Цыганов Ш. Комбинаторика от А до Я //Математика. – 2001. - №26. – с. 9-23.
53. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее применения. Т.1,2.М., 1967.
54. Яноши Л. Теория и практика обработки результатов измерений.М., 1968
55. http://combinatorica.narod.ru/second.htm

”И222нновационное

2. глава11222222222222211.4111системы

ППриложение

ы КОТ - Краткий Ориентировочный Тест  

Авторы - В.Н. Бузин, Э.Ф. Вандерлик. Источник - Практикум по общей психологии для студентов педагогических вузов. Учеб.пособие. Сост.: Т.И. Пашукова, А.И. Допира, Г.В. Дьяконов. – М., 1996.

Цели теста и инструкция к нему

Тест предназначен для определения интегрального показателя общих способностей.

Инструкция к тесту: «Вам предлагается несколько простых заданий. Прочтите внимательно эту страницу и без команды не переворачивайте ее.

Тест, который Вам будет предложен сейчас, содержит 50 вопросов. На выполнение теста Вам дается 15 минут. Ответьте на столько вопросов, на сколько сможете, и не тратьте много времени на один вопрос. Если необходимо – пользуйтесь бумагой для записи. О том, что Вам не понятно, спросите сейчас. Во время выполнения теста ответы на ваши вопросы даваться не будут.

После команды «Начали!» переверните страницу и начинайте работать.

Через 15 минут, по команде, сразу же прекратите выполнение заданий, переверните страницу и отложите ручку.

Сосредоточьтесь. Положите ручку справа от себя. Ждите команды.

«Начали!»

Тестовый материал:

1. Одиннадцатый месяц года – это:

1. октябрь,
2. май,
3. ноябрь,
4. февраль.

2. «Суровый» является противоположным по значению слову:

1. резкий,
2. строгий,
3. мягкий,
4. жесткий,
5. неподатливый

3. Какое из приведенных ниже слов отлично от других:

1. определенный,
2. сомнительный,
3. уверенный,
4. доверие,
5. верный

4. Ответьте Да или Нет.

• Сокращение «н.э.» означает: «нашей эры» (новой эры)?

64477440. Какое из следующих слов отлично от других:

64478032. петь,
64478033. звонить
64478034. болтать
64478035. слушать
64478036. говорить

64477904. Слово «безукоризненный» является противоположным по своему значению слову:

64478032. незапятнанный,
64478033. непристойный,
64478034. неподкупный,
64478035. невинный,
64478036. классический

64477905. Какое из приведенных ниже слов относится к слову «жевать» как обоняние и нос:

64478032. сладкий,
64478033. язык,
64478034. запах,
64478035. зубы,
64478036. чистый

64477906. Сколько из приведенных ниже пар слов являются полностью идентичными?

• Sharp M.C. Sharp M.C.
• Filder E.H. Filder E.N.
• Connor M.G. Conner M.G.
• Woesner O.W. Woerner O.W.
• Soderquist P.E. Soderquist B.E.

64478080. «Ясный» является противоположным по смыслу слову:

64478336. очевидный,
64478337. явный,
64478338. недвусмысленный,
64478339. отчетливый,
64478340. тусклый

64478248. Предприниматель купил несколько подержанных автомобилей за 3500 долларов, а продал их за 5500 долларов заработав при этом 50 долларов за автомобиль. Сколько автомобилей он продал?
64478249. Слова «стук» и «сток» имеют:

64478336. сходное значение,
64478337. противоположное,
64478338. ни сходное, ни противоположное

64478250. Три лимона стоят 45 центов. Сколько стоит 1,5 дюжины.
64478251. Сколько из этих 6 пар чисел являются полностью одинаковыми?

• 5296 5296
• 66986 69686
• 834426 834426
• 7354256 7354256
• 61197172 61197172
• 83238224 83238234

64478504. «Близкий» является противоположным слову:

64478800. дружеский,
64478801. приятельский,
64478802. чужой,
64478803. родной,
64478804. иной.

64478760. Какое число является наименьшим:

• 6
• 0,7
• 9
• 36
• 0,31
• 5

64478848. Расставьте предлагаемые ниже слова в таком порядке, чтобы получилось правильное предложение. В качестве ответа запишите две последние буквы последнего слова.

• одни ухода они гостей после наконец остались

64478849. Какой из приведенных ниже пяти рисунков наиболее отличен от других?

64478850. Два рыбака поймали 36 рыб. Первый поймал в 8 раз больше, чем второй. Сколько поймал второй?
64478851. «Восходить» и «возродить» имеют:

64479016. сходное значение,
64479017. противоположное,
64479018. ни сходное, ни противоположное.

64478928. Расставьте предлагаемые ниже слова в таком порядке, чтобы получилось утверждение. Если оно правильно, то ответ будет П, если неправильно – Н.

• Мхом обороты камень набирает заросший.

64479056. Две из приведенных ниже фраз имеют одинаковый смысл, найдите их:

66625616. Держать нос по ветру.
66625617. Пустой мешок не стоит.
66625618. Трое докторов не лучше одного.
66625619. Не все то золото, что блестит.
66625620. У семи нянек дитя без глаза.

66625576. Какое число должно стоять вместо знака «?»:

• 73 66 59 52 45 38 ?

66625664. Длительность дня и ночи в сентябре почти такая же, как и в:

66626512. июне,
66626513. марте,
66626514. мае,
66626515. ноябре.

66626472. Предположим, что первые два утверждения верны. Тогда заключительное будет:

66626512. верно,
66626513. неверно,
66626514. неопределенно

• Все передовые люди – члены партии.
• Все передовые люди занимают крупные посты.
• Некоторые члены партии занимают крупные посты.

66626473. Поезд проходит 75 см за 1/4 с. Если он будет ехать с той же скоростью, то какое расстояние он пройдет за 5 с?
66626474. Если предположить, что два первых утверждения верны, то последнее:

66626512. верно,
66626513. неверно,
66626514. неопределенно

• Боре столько же лет, сколько Маше.
• Маша моложе Жени.
• Боря моложе Жени.

66626475. Пять полукилограммовых пачек мясного фарша стоят 2 доллара. Сколько килограмм фарша можно купить за 80 центов?
66626476. Расстилать и растянуть. Эти слова:

66626512. схожи по смыслу,
66626513. противоположны,
66626514. ни схожи, ни противоположны.

66626477. Разделите эту геометрическую фигуру прямой линией на две части так, чтобы, сложив их вместе, можно было получить квадрат:

66626478. Предположим, что первые два утверждения верны. Тогда последнее будет:

66626512. верно,
66626513. неверно,
66626514. неопределенно

• Саша поздоровался с Машей.
• Маша поздоровалась с Дашей.
• Саша не поздоровался с Дашей.

66626479. Автомобиль стоимостью 2400 долларов был уценен во время сезонной распродажи на 33 1/3%. Сколько стоил автомобиль во время распродажи?
66626480. Три из пяти фигур нужно соединить таким образом, чтобы получилась равнобедренная трапеция:

66626481. На платье требуется 2 1/3м. ткани. Сколько платьев можно сшить из 42 м?
66626482. Значения следующих двух предложений:

66626512. сходны,
66626513. противоположны,
66626514. ни сходны, ни противоположны

• Трое докторов не лучше одного.
• Чем больше докторов, тем больше болезней.

66626483. Увеличивать и расширять. Эти слова:

66626512. сходны,
66626513. противоположны,
66626514. ни сходны, ни противоположны

66626484. Смысл двух английских пословиц:

66626512. схож,
66626513. противоположен,
66626514. ни схож, ни противоположен.

• Швартоваться лучше двумя якорями.
• Не клади все яйца в одну корзину.

66626485. Бакалейщик купил ящик с апельсинами за 3,6 долларов. В ящике их было 12 дюжин. Он знает, что 2 дюжины испортятся еще до того, как он продаст все апельсины. По какой цене ему нужно продавать апельсины, чтобы получить прибыль в 1/3 закупочной цены?
66626486. Претензия и претенциозный. Эти слова по своему значению:

66626512. схожи,
66626513. противоположны,
66626514. ни сходны, ни противоположны

66626487. Если бы полкило картошки стоило 0,0125 доллара, то сколько килограмм можно было бы купить за 50 центов?
66626488. Один из членов ряда не подходит к другим. Каким числом Вы бы его заменили:

• 1/4 1/8 1/8 1/4 1/8 1/8 1/4 1/8 1/6

66626560. Отражаемый и воображаемый. Эти слова являются:

70321744. сходными,
70321745. противоположными,
70321746. ни сходными.ни противоположными

70321408. Сколько соток составляет участок длиною 70 м и шириной 20 м?
70321409. Следующие две фразы по значению:

70321744. сходны,
70321745. противоположны,
70321746. ни сходны, ни противоположны

• Хорошие вещи дешевы, плохие дороги.
• Хорошее качество обеспечивается простотой, плохое – сложностью.

70321410. Солдат, стреляя в цель, поразил ее в 12.5% случаев. Сколько раз солдат должен выстрелить, чтобы поразить се сто раз?
70321411. Один из членов ряда не подходит к другим. Какое число Вы бы поставили на его место:

• 1/4 1/6 1/8 1/9 1/12 1/14

62962600. Три партнера по акционерному обществу (АО) решили поделить прибыль поровну. Т. вложил в дело 4500 долларов, К. – 3500 долларов, П. – 2000 долларов. Если прибыль составит 2400 долларов, то насколько меньше прибыль получит Т. по сравнению с тем, как если бы прибыль была разделена пропорционально вкладам?
62962601. Какие две из приведенных ниже пословиц имеют сходный смысл:

62963496. Куй железо, пока горячо.
62963497. Один в поле не воин.
62963498. Лес рубят, цепки летят.
62963499. Не все то золото, что блестит.
62963500. Не по виду суди, а по делам гляди.

64476328. Значение следующих фраз:

62963496. сходно,
62963497. противоположно,
62963498. ни сходно, ни противоположно

• Лес рубят щепки летят.
• Большое дело не бывает без потерь.

64476329. Какая из этих фигур наиболее отлична от других?

64476330. В печатающейся статье 24000 слов. Редактор решил использовать шрифт двух размеров. При использовании шрифта большого размера на странице умещается 900 слов, меньшего – 1200. Статья должна занять 21 полную страницу в журнале. Сколько страниц должно быть напечатано меньшим шрифтом?

Ключ к тесту

Интегральный показатель общих умственных способностей (Ип) равен количеству правильно решенных задач.

Интерпретация результатов теста

Анализ результатов целесообразно начинать с определения уровня общих умственных способностей. Для этого количество правильно решенных задач (Ип) соотносится со шкалой уровней.

Установленный уровень является многопараметрическим показателем общих способностей. Данная методика позволяет выделить эти параметры и проанализировать их.

Способности обобщения и анализа материала устанавливаются на основе выполнения заданий на пословицы. Эти задания требуют абстрагирования от конкретной фразы и перехода в область интерпретации смыслов, установления их пересечений и нового возврата к конкретным фразам.

Гибкость мышления как компонент общих способностей также определяется по выполнению заданий на пословицы. Если ассоциации испытуемого носят хаотический характер, то можно говорить о ригидности мышления (например, такие задания, как №11).

Инертность мышления и переключаемость – это важные характеристики общих способностей к обучаемости. Для их диагностики предусмотрено специальное расположение заданий в данном тесте. Чередование различных типов заданий в тексте может затруднять их решение лицам с инертными связями прошлого опыта. Такие лица с трудом меняют избранный способ работы, не склонны менять ход своих суждений, переключаться с одного вида деятельности на другой. Их интеллектуальные процессы малоподвижны, темп работы замедлен.

Эмоциональные компоненты мышления и отвлекаемость выявляются по заданиям, которые могут снижать показатель теста у испытуемых (24, 27, 31 и др.). Эмоционально реагирующие испытуемые начинают улыбаться и обращаться к экспериментатору вместо того, чтобы быть направленными на объект, то есть задачу.

Скорость и точность восприятия, распределение и концентрация внимания определяются заданиями №8 и 13. Они выявляют способность в сжатые сроки работать с самым разнообразным материалом, выделять основные содержания, сопоставлять цифры, знаки и т.п.

Употребление языка, грамотность может быть проанализирована на основании выполнения заданий на умение пользоваться языком. Задача №8 предполагает элементарные знания иностранного языка (в пределах алфавита).

Ориентировка устанавливается благодаря анализу стратегии выбора испытуемым задач для решения. Одни испытуемые решают все задачи подряд. Другие – только те, которые для них легки и решаются ими быстро. Определение легкости решения очень индивидуально. Здесь к тому же проявляются склонности тестируемых. Некоторые из них просматривают напечатанные на данном листе теста задания и выбирают сначала задачи математические, имеющие числовое содержание, а другие, пользуясь этой стратегией, предпочитают задачи вербальные.

Пространственное воображение характеризуется по решению четырех задач, предполагающих операции в двумерном пространстве.

Таким образом, методика КОТ может быть использована для исследования относительно большого количества компонентов общих способностей. С ее помощью достаточно надежно прогнозируется обучаемость и деловые качества человека.

Тест позволяет продумать рекомендации для развития тех аспектов интеллекта, из-за которых медленно или неправильно выполнены соответствующие задания.

1. Например, если испытуемый не выполнил задания №10, 13, то ему нужно рекомендовать упражнения, развивающие концентрацию и распределение внимания.
2. Если испытуемый плохо справляется с заданиями типа №2, 5, 6, то в этом случае ему поможет чтение толковых словарей, словарей крылатых выражений и слов, пословиц и поговорок, словарей иностранных слов и двуязычных словарей, а также полезно решать лингвистические задачи.
3. Если испытуемый плохо выполнил числовые задачи, то для развития соответствующего свойства полезны сборники головоломок.
4. В случае, когда у испытуемого вызывали проблемы задачи, требующие пространственного представления, важна тренировка концентрации внимания на разнообразных объектах, с последующим преобразованием их образов в представлении.