ПРЕДМЕТНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ В ЕГЭ по математике.
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Министерство образования Московской области

Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования (повышения квалификации) специалистов Московской области Педагогическая академия последипломного образования

(ГОУ ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ)

Факультет профессиональной переподготовки работников образования

Кафедра математических дисциплин

АТТЕСТАЦИОННАЯ РАБОТА

ПРЕДМЕТНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ В ЕГЭ

                                                               Выполнила: слушательница курсов по программе «Содержание и методика

             преподавания математики в

образовательных учреждениях»

Иванова Лилия Николаевна

МОУ Ватутинская СОШ

Научный руководитель:

 старший преподаватель

Залунина А.Н

                                        Москва,  2012г.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………….3

ГЛАВА 1. Психолого-педагогические основы применения предметно-ориентированных задач в процессе обучения в средней (полной) школе

1. Предметно-ориентированные и практико-ориентированные задачи в курсе математики и физики……………………………………………………..8
2. Технология обучения решению предметно-ориентированных задач….15

ГЛАВА 2. Методика применения предметно-ориентированных задач с физическим сюжетом на уроках математики и физики

2.1. Алгоритм технологии составления и решения предметно-ориентированных задач………………………………………………………..20

2.2. Применение технологии решения предметно-ориентированных задач……………………………………………………………………………..27

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………33

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………………35

ПРИЛОЖЕНИЕ………………………………………………………………….37

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования. Важнейшей задачей современной школы является реализация Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования. Практическое внедрение основных идей Концепции ставит перед системой образования задачу ориентации содержания образования,  форм,  методов и средств обучения на гармоничное развитие старшеклассников, обеспечивающее успешность их социализации при учете реальных потребностей рынка труда и кооперации старшей ступени школы с учреждениями среднего и высшего профессионального образования.

На уроках математики педагогам часто приходится слышать: «А зачем это нужно? Алгебра и геометрия пригодятся в жизни лишь немногим, остальным хватит арифметики – да и без нее, пожалуй, можно обойтись теперь, когда хозяйки ходят на рынок с калькулятором». В современной школе сегодня несколько нарушилась пропорция между теорией и практикой: учащиеся недостаточно владеют навыками работы с литературой, не умеют использовать полученные знания в нестандартных новых ситуациях, не могут привести примеры математических моделей.

Часто уроки математики не дают убедительного ответа на вопрос «зачем все это нужно?» Здесь должна решаться важная методическая проблема сближения школьных методов решения задач с методами, применяемыми на практике; необходимо раскрытие особенностей прикладной математики, ее воспитательных функций; усиливать межпредметные связи. Необходимо на доступном для учащихся языке обеспечивать действительные взаимосвязи содержания математики с окружающим миром, рекомендовать применение отдельных тем в смежных науках, в профессиональной деятельности, в производстве, в быту.

В настоящее время все чаще раздается критика в адрес «академической» подготовки наших выпускников, которые, как показывают результаты международных исследований, не справляются с заданиями, проверяющими освоения математических знаний и умений. Современные школьники ясно осознают, что те знания и умения, которые они приобретают на уроках, вряд ли пригодятся в их будущей жизнедеятельности. Действительно, как можно убедить учащегося в необходимости умения решать тригонометрические уравнения? Зачем, для чего ему это нужно? Пригодится ли данное умение в послешкольной жизни? При отсутствии устойчивой мотивации изучения школьных дисциплин теряется интерес к учебе в целом.

Разработка и подбор заданий для формирования знаний, умений и навыков весьма важная задача. Для достижения этой цели используются два типа задач – чисто математические и практико-ориентированные. Действующие учебники мало предлагают задач именно второго типа. В связи с этим необходимо создание банка соответствующих задач.

Экзамен по математике за курс средней (полной) школы в форме ЕГЭ является одним из двух обязательных экзаменов. Анализ задач В-10 открытого банка заданий, показывает, что практико-ориентированные задачи КИМов  связаны с исследованием линейных, квадратичных, иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических функций, сводятся к решению соответствующих типов уравнений и неравенств;   отбору корней в них, исходя их условий и требований задачи. Анализ результатов ЕГЭ по различным регионам страны показывает, что с практико-ориентированной задачей В-10 справляется в среднем не более 40% учащихся.

В отличие от исследований Е.С. Янушпольской, Ц.Д. Дашинимаевой, Е.Н. Эрентраут, в которых рассматриваются вопросы обучения учащихся решению прикладных, практических и практико-ориентированных задач в системе общего образования и профильной школе, мы считаем важным разработать технологию обучения учащихся решению практико-ориентированных задач в рамках реализации функциональной линии школьного курса математики.

Исследованию проблем, связанных с усилением социальной функции школьного курса математики, с воспитанием у школьников убежденности в значимости и действенности получаемых знаний, посвящены фундаментальные исследования многих отечественных педагогов, психологов и методистов. В частности, роль и значение математики в развитии межпредметных связей и формировании у учащихся умений практической деятельности рассматриваются в работах М.Б.Балка, Б.В.Гнеденко, В.А.Гусева, В.М.Монахова, А.Г.Мордковича, Е.Г.Плотниковой, Р.С.Черкасова, В.В.Фирсова и других исследователей. Аспекты формирования у старшеклассников профессиональных умений, входящих в состав учебной и познавательной деятельности в процессе изучения математики, рассмотрены в исследованиях Э.К.Брейтигам, Н.Я.Виленкина, Г.В.Дорофеева, В.А.Далингера, О.Б.Епишевой, Л.Г.Петерсон.

Анализ работ указанных исследователей с позиции выделения средства установления содержательной и методологической связи школьного курса математики с профессиональной составляющей образования позволяет сделать вывод о том, что эта связь осуществляется за счет прикладной направленности (В.А.Далингер, Ю.М.Колягин, В.В.Фирсов и др.). При этом основным носителем этой направленности являются практико-ориентированные (прикладные и практические) задачи (А.Азевич, Е.В.Величко, М.В.Крутихина, В.А.Петров, В.В.Пикан, Н.А.Терешин, А.Н.Тихонов, Ю.Ф.Фоминых, И.М. Шапиро и др.), одним из этапов решения которых в теории укрупнения дидактических единиц (П.М.Эрдниев) является составление задачи.

Анализ нормативных документов Министерства образования и науки РФ, психолого-педагогической и методической литературы позволил выявить противоречие между обучающими возможностями параллельного освоения содержания обучения на уроках математики и физики и традиционной методикой изолированного преподавания этого содержания.

Необходимость разрешения выявленного  противоречия обусловливает актуальность темы исследования.

ОБЪЕКТ:  процесс обучения в средней (полной) школе.

ПРЕДМЕТ: методика применения предметно-ориентированных задач в процессе обучения в средней (полной) школе.

ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ: разработать методику применения предметно-ориентированных задач с физическим сюжетом в процессе обучения в средней (полной) школе в условиях требований ЕГЭ.

 ГИПОТЕЗА: Если применение практико-ориентированных задач с физическим сюжетом осуществлять целенаправленно и планомерно  одновременно на уроках физики и математики, то качество подготовки выпускников к итоговой аттестации будет выше.

ЗАДАЧИ:

1. Изучить состояние проблемы применения практико-ориентированных задач с физическим сюжетом в средней (полной) школе.
2. Обобщить и систематизировать опыт применения практико-ориентированных задач.
3. Разработать методические рекомендации по применению практико-ориентированных задач одновременно на уроках физики и математики.

Работа состоит из введения, двух глав, списка литературы, заключения.

1. Предметно-ориентированные и практико-ориентированные задачи в курсе математики и физики

В настоящее время во всех нормативных документах, регулирующих учебный процесс в школе, делается акцент на то, что одной из главных целей обучения математике является подготовка учащихся к повседневной жизни, а также развитие их личности средствами математики.

К группе предметно-ориентированных задач относятся предметные задачи. Эти задачи строятся на основе рассмотрения ситуаций, направленных на освоение учениками знаний соответствующего раздела математики. При этом предлагаемые задания могут содержать научное противоречие, представленное в виде познавательной проблемы. Необходимо научить учащихся предлагать несколько способов решения задач. Предлагаемые способы решения должны оцениваться с точки зрения их целесообразности, рациональности, возможности погрешностей в расчетах. Задачи указанного типа направлены на формирование у учащихся ценностей познавательной деятельности.

К этой же группе задач относятся также и межпредметные задачи.

Сходной группой являются практико-ориентированные задачи. Они строятся путем отбора таких ситуаций, в которых знания по математике выступают средством решения практических задач. Такого рода задачи не являются задачами в традиционном смысле этого слова, а представляют собой «жизненно-имитационную» ситуацию, в которой ученики видят пользу научных знаний для окружающей их действительности. Задачные ситуации указанного типа направлены на ознакомление учащихся с постоянно увеличивающейся технологической, информационной мощью человечества, пользой, которую она приносит [2, c. 115].

Предметно-ориентированные задачи постоянно привлекают внимание математиков, педагогов и психологов. Теорией задачи в России занимались такие исследователи как В.И. Крупич, Л.М. Фридман и др. В настоящее время задаче уделяется большое внимание как основному средству обучения, как средству контроля знаний, умений и навыков учащихся, как средству гуманизации и гуманитаризации образования.

Отметим, что предметно-ориентированные задачи не являются новшеством, эти задачи связаны с практическим применением задач, реализующих межпредметные связи.  Нас интересуют межпредметные связи – математика и физика.

Математика и физика обычно считаются наиболее трудными предметами школьного курса. Во все периоды человеческого сознания эти направления научной мысли развивались взаимосвязано, стимулируя обоюдный прогресс. Широко распространено мнение, что в школьном преподавании интеграция физики с математикой возможна только в классах с углубленным изучением этих предметов. Мы, однако, считаем, что очень многие элементы интеграции могут сделать изложение физики более ясным и доступным на всех уровнях её изучения. Общение со школьниками показывает, что непонимание ими какого-либо вопроса из курса физики часто связаны с отсутствием навыков анализа функциональных зависимостей, составление и решения математических уравнений, неумением проводить алгебраические преобразования и геометрические построения [1].

Школьная математика практически везде, к сожалению, совершенно оторвана от потребностей физики – как по выбору материала, так и по его трактовкам, постановке задач и развитию навыков.

Невнимание к физике причиняет урон и самой математике, затрудняется ее понимание, притупляется интерес к ней, принижается роль математики как фундаментальной науки. Не используемый в физике математический аппарат плохо держится в памяти. Современное преподавание требует органического сочетания экспериментального и теоретического методов изучения физики, выявления сути физических законов на основе доступных школьникам понятий элементарной математики. Такой подход одновременно обеспечивает повышения уровня математических знаний, формирует логическое мышление, осознание единства материального вида. Школьники начинают испытывать удовлетворение, замечая, что абстрактные математические формулы и уравнения имеют реальное воплощение в физических процессах [15, C. 115].

 «Конфликт» учителей физики и математики основан на том, что последние не соглашаются ввести понятия вектора – в начале 7 класса, понятия производной и интеграла – в начале 9 класса., когда эти понятия очень нужны для рационального изложения физических вопросов, таких,как сила, скорость, мгновенная скорость, ускорение, работа и т.д. Физики по этому поводу иронизируют, считая, что изучать в 11 классе интегрирование, все ровно, что монтировать строительный кран после окончания строительства и в этом есть доля истины. Математики не без основания возражают, что нельзя в интересах «заказчика» поступаться ни математической последовательностью и систематичностью изложения – этим был бы непоправимо испорчен математический вкус школьников.

Для развития математики весьма характерна такая схема:

• сначала имеется или предлагается недостаточно четкая задача, зародившаяся вне математики (или в другой математической дисциплине);
• постановка задачи формулируется (т.е. строится математическая модель), и задача решается с полной строгостью;
• полученное решение используется на практике и «обкатывается» прикладниками, причем нередко возникает необходимость в изменении модели [6].

Приведенная трехэтапная схема выражает общее правило, которое мы приняли за образец, позволяющий уже достаточно рано ввести понятие вектора, производной и интеграла. Осуществляется это методом «межпредметной кооперации».

 А.Н. Малинин в своей работе [11] предлагает следующую последовательность изучения содержания обучения.

Сначала на уроках физики, исходя из ее потребностей, вводится новое понятие: вектор – как скорость, сила, перемещение; производная – как мгновенная скорость, и одновременно как крутизна графика, интеграл – как пройденный путь и одновременно, как площадь фигуры под графиком скорости. Затем следует урок математики, на котором введенное физиком понятие формализуется, уточняется и дополняется. Далее учителя физики и математики ведут каждый свою линию. Физик распространяет дифференцирование на величины векторные, перейдет от скоростей к ускорению. Математик поставит вопрос о существовании производных, найдет производные многих элементарных функций и их различных комбинаций; обоснует их свойства и научит их применять в математики и за ее рамками.

Однако такая межпредметная кооперация не устраняет главного препятствия, мешающего столь раннему доступу к тайнам математического анализа. Нужно строгое и доступное в этом возрасте определение предела.

Связи математики и физики проявляются в трех видах ситуаций:

1. физика ставит задачи, решение которых приводит к появлению новых математических идей и методов, а они, в свою очередь, становятся базой для развития математической теории;
2. математическая теория с ее идеями и аппаратом применяется для изучения и анализа физических явлений, что приводит к созданию новой физической теории;
3. математический аппарат, на который опирается физическая теория, развивается по мере его использования в физике; происходит параллельный прогресс и физики, и математики.

Математический аппарат необходим физике как язык для описания физических процессов и явлений, один из методов физического исследования.

Идеи теории симметрии, тесно связанные с математикой, в частности с геометрией, позволяют в молекулярной физике рассмотреть на основе общих научных положений строение молекул кристаллов; в оптике изучить построение изображений в плоских зеркалах. Язык математических формул позволяет в ряде физических ситуаций без экспериментов делать важные выводы [14].

Графический язык, основа которого- математика, широко используется в курсе физики при рассмотрении различных процессов. И это естественно, так как график позволяет показать специфику происходящего, прогнозировать ожидаемый результат, наглядно пояснить ответ.

Реализация межпредметных связей не может происходить сама по себе; для этого нужна специальная организация учебного материала и самого процесса обучения, направленная на установление этих связей. Для того чтобы межпредметные контакты стали достоянием сознания учащихся, следует включать материал о них в учебно-познавательную деятельность.

Педагогу следует прежде всего отбирать материал, который реализует межпредметные связи.

Межпредметные связи бывают содержательные и операционные. Их направленность: односторонняя, двухсторонняя, многосторонняя. Связи делят и по хронологии (последовательности осуществления), и по хронометрии (продолжительности).

1. Межпредметные связи на уровне знаний, раскрываемые посредством языка. Этот вид основан на применении понятий и операций, взятых из другой науки.

Пример: Векторный язык, в частности, можно использовать в курсе физики для иллюстрации, например, третьего закона Ньютона применительно к паре тел.

2. Межпредметные связи на уровне знаний, раскрываемые посредством элементов теории.

Суть этого приема: использование отдельных правил, теорем, аксиом из теории другой науки.

Пример: В курсе физики при изучении электрического поля может быть применена математическая теорема «О проекции суммы векторов на ось». (Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых на ту же ось.)

3. Межпредметные связи на уровне знаний, раскрываемые посредством информации, играющей «прикладную» роль.

Данный прием основан на применении методов из другой науки.

Пример: На уроках по кинематике возможно рассмотрение задач, при решении которых «сливаются» воедино графики движения (физика) и метод (материал о свойствах и признаках) подобных треугольников (геометрия).

4. Межпредметные связи на уровне видов деятельности.

 В курсе математики учащихся обучают умению составлять задачу по заданному уравнению. Аналогичный вид деятельности - составление задач- может быть организован и в курсе физики; тем самым между математикой и физикой будет реализован еще один аспект межпредметной связи.

В курсе математики учеников учат читать графики и составлять по ним задачи.

С точки зрения методики преподавания математики предметно-ориентированными задачами могут быть как задачи, направленные на формирование мотива изучения темы, постановки проблемной ситуации, направлены на показ практического применения математического знания.

С точки зрения методики преподавания физики предметно-ориентированные задачи могут быть средством формализации физических знаний и  аппаратом физических исследований.

В данной работе мы рассматриваем предметно-ориентированные и практико-ориентированные задачи в условиях требований к ЕГЭ. При разработке и подборе заданий для проверки компетентности учащихся используются два типа задач – чисто математические и контекстные (задачи с практическим содержанием). В настоящее время общеприняты три уровня математической компетентности: уровень воспроизведения, уровень установления связей, уровень рассуждений [4]. Эти уровни математической компетентности в основном проявляются при решении заданий, отвечающих трем уровням сложности, принятым при разработке контрольно-измерительных материалов по математике в рамках ЕГЭ: базовому, повышенному и высокому. Однако компетентность нельзя трактовать как сумму определенных предметных знаний, умений и навыков. Это – приобретаемое в результате обучения и жизненного опыта новое качество, увязывающее знания и умения учащегося со спектром интегральных характеристик качества подготовки, в том числе и со способностью применять полученные знания и умения к решению проблем, возникающих в повседневной практике. Компетентностный подход подразумевает организацию обучения математике, нацеленную на достижение каждым учащимся определенного уровня математической компетентности и ориентированную на решение предметно-ориентированных задач. Основные принципы, реализуемые в таких задачах:

- задание составляется на основе практической ситуации, которая, по возможности, должна быть близка к ситуациям, знакомым учащимся и связанным, например, с личной жизнью (школьной, домашней, на отдыхе), с обучением (жизнью школы, класса) или общественной жизнью, профессией;

- ситуация должна обеспечивать возможность комплексной проверки знаний и умений, то есть требовать использования знаний и умений из различных тем и разделов курса математики и из других учебных предметов или внешкольных источников информации;

- в рамках предложенной ситуации должна возникать проблема, которая делает подлинно необходимым использование математики для ее разрешения;

 - контекст задачи не должен явно подсказывать область знаний и метод решения, которые надо использовать для разрешения поставленной проблемы;

 - условие задачи должно включать излишнюю информацию (текстовую и количественную), которая не является нужной для решения поставленной проблемы;

- контекст задачи должен быть представлен в различной форме (таблицы, схемы, диаграммы, графика);

- математическая задача, составленная на основе реальной ситуации, по возможности должна иметь более одного решения, из которых хотя бы одно не отвечает этой ситуации (например, требует округления с учетом условия задачи).

Для решения контекстной задачи требуется способность выделить необходимую информацию из текста, вычленить объекты и математические отношения, создать математическую модель ситуации, выполнить ее преобразование и интерпретировать полученные результаты в терминах и понятиях  в условиях ситуации [12, C. 84].

Практико-ориентированные задачи предлагаются в учебниках нового поколения, в КИМах для ГИА и ЕГЭ.

Структура КИМов в части В ЕГЭ 2011г. осталась такой же как и в ЕГЭ 2010 г. Процент выполнения заданий базового уровня (84,72%) показывает, что вычислительные навыки у выпускников сформированы достаточно хорошо. Анализ показывает, что выпускники хуже всего справились с заданиями: В8 на геометрический смысл производной (менее 70 %), В11 – исследование функции с помощью производной (60%), а также с практико-ориентированной задачей В-10.

Низкая успешность учащихся в работе с практико-ориентирванными задачами обуславливает необходимость обучения их решению.

Анализ учебной литературы [5] показал, что нет четкой линии по применению этих задач. Применение идет ситуативно, задачи используются изолированно, не учитываются возможности одновременного изучения материала на 2-х предметах, и как следствие, разностороннего рассмотрения задач такого типа. Рассмотренные пособия для подготовки учащихся содержат либо дидактические подборки задач одного типа, либо тематические подборки. Отсутствуют методические рекомендации учителю по целенаправленному, планомерному применению таких задач.

2. Технология обучения решению предметно-ориентированных задач

Умение решать предметно-ориентированные задачи является одним из основных показателей уровня математического развития ребёнка, глубины усвоения им учебного материала. К сожалению, не  все учащиеся  умеют и  любят решать задачи. Это происходит потому, что дети не научены анализировать данные, видеть взаимосвязь между искомым и данным, структурировать ход решения. А при отсутствии потребности в глубоком  осмыслении описанных в задаче связей у ребёнка формируется прочная привычка сводить решение к простому вычислению.  Организация работы, заключающаяся в многократном  прочитывании, устном анализе, составлении только краткой записи оказалась неинтересной и малоэффективной. Фронтальный анализ и решение задачи ограничивается правильными ответами двух-трёх человек, а остальные просто записывают готовые решения без глубокого понимания.

Под решением задачи будем понимать процесс, представляющий собой поиск необходимой последовательности действий на основе анализа условия и требования задачи, направленных на определение результата задачи, а также выполнение этих действий, получение результата, его анализ и оценку.

В методике обучения математике выделены четыре основных этапа процесса решения математической задачи:

• осмысление текста задачи и анализ её содержания;

• осуществление поиска решения и составление плана решения;

• реализация плана решения;

• анализ найденного решения, поиск других способов решения [4, C. 108]

Практико-ориентированные  задачи решаются с помощью абстрактных математических моделей, в которых реальные величины заменяются математическими понятиями, а их связи функциями, уравнениями, изучаются свойства и особенности математической модели, что происходит поэтапно. Формирование умений решать предметно-ориентированные задачи можно разделить на следующие составляющие:

1.Понимание физического сюжета задачи.

2.Перевод задачи с языка физики на язык математики.  По смыслу этот этап реализует  процессы формализации, моделирования.

Этап включает создание математической модели – перевод задачи на математический язык. Этот этап обязательно проходит с преподавателями смежной дисциплины (физики), так как необходимы знания из конкретной ситуации по специальности.

Моделирование – исследование объектов познания на их моделях; построение и изучение моделей реально существующих предметов и явлений (живых и неживых систем, инженерных конструкций, разнообразных процессов — физических, химических, биологических, социальных) и конструируемых объектов (для определения, уточнения их характеристик, рационализации способов их построения и т. п.).

Особенности моделирования текстовых задач представлены на рис. 1.

Рис. 1. Моделирование текстовых задач

3. Работа с математической моделью

На данном этапе обращаемся к курсу математики. Проводится решение математической задачи средствами выбранной теории и исследование модели Эта задача является основной в курсе математики.

4.Интерпретация результата, полученного при работе с математической моделью в условиях первичного физического сюжета.

Этап включает интерпретацию полученного решения с точки зрения смежной дисциплины, перевод результатов решения математической задачи на язык той отрасли, в которой она была сформулирована [9].

По мнению Л.М.Фридмана, в каждой практико-ориентированной задаче описывается  некоторый процесс, явление или событие, которые в процессе анализа задачи требуется выявить. В процессе, явлении или событии, как правило, рассматриваются объекты реальной действительности, обладающие качественными и количественными характеристиками. Автор считает, что своеобразие рассмотрения количественной стороны объектов в сюжетных задачах достигается тем, что в них, как правило, не указываются качественные особенности описываемых объектов, а лишь указываются величины, отношения и зависимости между ними, характеризующие количественную сторону этих объектов. По нашему мнению, рассматривая практико-ориентированную задачу как модель познания окружающей действительности, важно научить обучающихся преобразовывать, не только количественные, но качественные характеристики объектов такой задачи. Такой подход позволяет из сюжетной задачи как модели получать серию новых практико-ориентированных задач, каждая из которых представляет некоторую модель [11, C. 73].

Таким образом, задачи с практическим содержанием являются одним из основных средств реализации практико-ориентированного обучения физике. Сущность такого обучения заключается в обеспечении единства приобретения знаний и формирования практических умений их использования при решении жизненно важных задач и проблем. В связи с этим, создание методики обучения школьников решению задач с практическим содержанием должно осуществляться на основе модели обеспечения единства формирования теоретических знаний и развития практических умений, элементами которой являются единство структуры дидактических процессов, единство средств формирования знаний и практических умений, единство результатов учебно-познавательной деятельности.

Эффективное использование дидактического потенциала задач с практическим содержанием для реализации целей практико-ориентированного обучения физике возможно при создании комплекса, в котором будут представлены задачи, различные по способу решения, целевому назначению, месту в процессе формирования знаний и практических умений. В основу комплекса задач с практическим содержанием должны быть положены принципы, среди которых основными являются следующие принципы: возможность использования каждой задачи для одновременного формирования на ее основе теоретических знаний и практических умений; оперативное использование результатов решения задач в процессе жизнедеятельности человека; потенциальная возможность использования результатов решения задач в дальнейшей практической деятельности.

В структуру учебной деятельности по решению задач с практическим содержанием (ознакомление с условием задачи, анализ условия, составление плана решения, осуществление решения и проверка результата) должны быть включены действия школьников по оценке и осознанию практической значимости результата решения и рефлексии своей учебно-познавательной деятельности, поскольку их выполнение будет способствовать интериоризации приемов, использованных при решении задачи.

ГЛАВА 2. Методика применения предметно-ориентированных задач с физическим сюжетом на уроках математики и физики

2.1. Алгоритм технологии составления и решения предметно-ориентированных задач

Обучение решению задач ведется на основе применимости различных математических средств (инструментов), а не на основе их традиционной методической классификации.

Очевидны два типа требований к учебно-практическим задачам: требования к тексту задачи (стилистические) и требования к организации её решения (организационные).

Проанализируем, прежде всего, стилистические требования к таким «жизненным» задачам.

Текст задачи должен описывать реально существующую, житейскую ситуацию. Следовательно, как и описание любой жизненной ситуации, задачный текст должен быть «зашумлен», избыточен, то есть иметь ряд подробностей, не относящихся к основному требованию задачи.

Кроме того, текст задачи не должен указывать на способы и средства ее решения.

Проблема или ситуация должны быть адаптированы к возрастным и психологическим особенностям школьника, мотивировать его познавательный интерес.

Такие задачи не могут быть прерогативой какого-то одного предмета. Само решение таких задач может и должно быть рассчитано на привлечение знаний из разных предметных областей.

Не менее важно соблюдать и организационные требования.

Задача должна содержать открытую (т.к. мы говорим об обучении) цепочку последовательных заданий.

Каждое отдельное задание общей задачи должно содержать требование и набор необходимых (и избыточных) данных.

Часть данных может располагаться в преамбуле задачи.

Предложенные задания должны быть связанны между собой (не обязательно, линейно - последующее с предыдущим).

Результат, полученный при выполнении первого задания, должен служить условием второго задания, а результат - второго, условием третьего и т.д.

Наполнение учебных материалов, задачами, приближенными к жизни потребовало, с одной стороны, содержательной разработки таких задач, с другой создание специальных методик работы с ними. [1]

В.М. Глушковым рассматривается общая для всех задач структура решения, включающая следующие этапы:

1-й этап-ознакомление с условием задачи;

2-й этап-составление плана решения задачи;

3-й этап-осуществление решения;

4-й этап-проверка правильности решения задачи.

Каждый этап осуществляется определенными действиями

Структура деятельности учителя по обучению учащихся умению решать задачи

В деятельности учителя по обучению учащихся умению решать задачи можно выделить две структурные части: теоретическую, которая включает овладение теорией, и практическую. При этом решаются такие педагогические задачи, как определение объема знаний, которые должны быть усвоены учениками под руководством учителя, состава умений, необходимых для решения задач, и последовательность формирования у учащихся умения выполнять отдельные операции.

Теоретическая подготовка учителя должна обеспечить:

1. Четкое представление о методах решения физических задач.

В методике преподавания физики выделяют аналитический, синтетический, аналитико-синтетический методы решения задач.

2. Знание способов решения задач по физике.

Под способом решения физической задачи следует понимать совокупность средств реализации того или иного метода. Имеющиеся средства решения учебных задач позволяют выделить три способа: логический, математический и экспериментальный.

Математический способ включает несколько разновидностей, которые в основном определяются отдельными разделами математики: арифметическим, алгебраическим и геометрическим.

3. Знание содержания и структуры способа решения задачи

Способ решения учебной задачи также имеет свою структуру, познанную на определенном уровне. Этой структуре надо специально обучать учащихся. Структура задачи и структура способа ее решения должны стать объектом обучения.

В структуре способа решения учебной задачи в настоящее время можно выделить четыре основных этапа: ознакомление с условиями задачи, составление плана ее решения, осуществление этого плана и проверка полученного решения.

4. Овладение общим алгоритмом решения физической задачи.

Общий алгоритм решения физической задачи определяет структуру деятельности учащихся по отысканию решения любой вычислительной задачи. Структура деятельности представляет собой реализацию основных этапов решения через определенные действия.

5. Рассмотрение алгоритма решения задач определенного класса как конкретизацию общего алгоритма для определенного раздела или темы курса физики.

6. Умение выделить в алгоритме решения задач определенного класса его структурные элементы и содержание отдельных действий.

Учителю необходимо уметь анализировать и оценивать различные учебные алгоритмы.

7. Умение верно определять рациональный способ введения алгоритма в учёбный процесс.

Практическая часть деятельности по обучению учащихся умению решать задачи включает следующие элементы:

1. Вооружение учащихся знанием содержания и общей структуры задач, а также задач различных видов их классификацией;

2. Вооружение учащихся знанием структуры процесса решения учебной задачи;

3. Обучение учащихся общей структуре решения физических задач;

4. Обучение учащихся особенностям решения задач различных видов (вычислительных, логических, экспериментальных, графических, задач-рисунков);

5. "Выработка" алгоритмов решения задач по конкретным темам и на их основе формулирование общего алгоритма решения учебных задач;

6. Проведение специальной работы по усвоению учащимися структуры алгоритма, раскрытие перед ними содержания отдельных действий;

7. Определение последовательности решения задач по конкретной теме, чтобы в процессе решения первых задач отрабатывались конкретные операции, а затем осуществлялось свертывание их в обобщенные действия;

8. Обеспечение реализации учащимися всех этапов решения задач в процессе решения.

Алгоритм преобразования единиц величин

1. Запишите в левой части равенства численное значение рассматриваемой величины с указанием наименования ее единицы, а в правой части равенства выделите наименование величины с коэффициентом "единица".

2. Запишите соотношение заданной единицы величины с новыми единицами измерения: 1м =1/1000 км, 1с =1/3600 ч.

3. В левой части равенства запишите численное значение заданной величины, а в правой - соотношения через новые единицы.

4. В правой части равенства осуществите все действия с коэффициентами и наименованиями.

Алгоритм для определения производных единиц физических величин

1. Напишите формулу, выражающую связь величины, единицу которой нужно определить, с другими величинами (их единицы уже известны и являются исходными). Например, необходимо определить единицу силы в СИ. Для этого запишите определяющую формулу для величины силы:

F = ma.

2. Вместо букв, обозначающих значения величин, поставьте в формулу наименования их единиц в СИ:

[F] =1 кг×1 м/с2.

3. Произведите действия с наименованиями:

[F] = 1 кг*м/с2.

4. Дайте определение единицы величины.

5. Если есть необходимость, то введите название единицы, т.е.1 кг*м/с2 = 1 ньютон.

6. Введите краткое обозначение единицы:

1 ньютон =1 Н.

Алгоритм решения задач по определению механической работы

1. Прочитайте условие задачи.

2. Запишите условие задачи с помощью общепринятых буквенных обозначений.

3. Сделайте чертеж, укажите на нем движущееся тело (или систему тел) и графически изобразите силы, действующие на тело.

4. Укажите направление движения тела.

5. Определите силы, действующие в направлении движения.

6. Запишите формулу для определения механической работы:

A=Fs,

где F-сила, действующая на тела в направлении движения, s-расстояние, на которое переместилось тело в направлении действия силы.

7. Подставьте в формулу значения F и s в СИ и произведите вычисления.

8. Оцените полученный результат решения.

Алгоритм решения задач по кинематике

1. Прочитайте условие задачи.

2. Выделите тела, находящиеся в движении, и вид движения.

3. Кратко запишите условие задачи.

4. Запишите основные уравнения кинематики в векторной форме.

5. Выберите систему отсчета и покажите параметры движения тела.

6. Осуществите перевод уравнений кинематики из векторной формы в скалярную (запишите в проекциях на избранные направления координатных осей).

7. Решите полученную систему уравнений относительно искомых величин в общем виде.

8. Проверьте правильность решения в общем виде путем операций с наименованиями единиц величин, входящих в формулу.

9. Подставьте в решение общего вида заданные значения величин в системе СИ и произведите вычисления.

10. Произведите оценку достоверности полученного результата.

Алгоритм решения задач на законы динамики

1. Прочитайте условие задачи.

2. Уясните основной вопрос задачи.

3. Кратко запищите условие задачи.

4. Выделите взаимодействующие тела.

5. Выполните рисунок, изобразив на нем взаимодействующие тела.

6. Изобразите с помощью векторов действие на тело выделенной системы других тел.

7. Запишите в векторной форме уравнения движения для каждого тела.

8. Выберите наиболее рациональную в данных условиях систему отсчета.

9. Осуществите запись уравнений движения тел в проекциях на оси.

10. Запишите дополнительные уравнения кинематики (если в этом есть необходимость) на основе анализа условия задачи.

11. Решите в общем виде полученную систему уравнений относительно неизвестных.

12. Проверьте правильность решения задачи в общем виде путем операций с наименованиями величин, входящих в формулы.

13. Подставьте числовые данные в СИ в решение общего вида и произведите вычисления.

14. Оцените полученный результат решения.

Алгоритм решения задач на закон сохранения импульса

1. Прочитайте условие задачи.

2. Выясните основной вопрос задачи, и какие тела взаимодействуют.

3. Кратко запишите условие задачи.

4. Выясните, в каких направлениях система замкнута.

5. Сделайте чертеж, указав векторы импульсов.

6. Запишите закон сохранения импульса для заданных тел в векторной форме.

7. Выберите систему отсчета.

8. Переведите векторную форму записи закона сохранения импульса для данного случая в скалярную (в проекциях на выбранные оси координат).

9. Решите уравнение относительно искомых величин.

10. Проверьте правильность найденного решения путем операций с наименованиями величин.

11. Подставьте в решение общего вида числовые значения величин в СИ и произведите вычисления.

12. Оцените достоверность полученного результата.

Алгоритм решения задач на уравнение теплового баланса

1. Прочитайте условие задачи.

2. Проанализируйте условие задачи, т.е. выделите тела, участвующие в тепловом обмене, и определите процессы, в которых участвует каждое тело.

3. Кратко запишите условие задачи.

4. Запишите уравнение теплового баланса в общем виде:

Q1 (отд) + Q2 (получ) = 0

5. Запишите уравнение теплового баланса (для конкретных тел и заданных для них процессов).

6. Решите полученные уравнения относительно искомой величины и проверьте правильность его решения путем действий с наименованиями.

7. Подставьте числовые значения в решение общего вида и произведите вычисления.

8. Оцените достоверность полученного результата решения.

9. Запишите ответ.

2.2. Применение технологии решения предметно-ориентированных задач

Задания с прикладным содержанием, включённые в 2011 году в экзаменационные варианты ЕГЭ по математике под номером В10 представляют собой достаточно широкий круг: это и задачи с экономическим содержанием, и задачи о тепловом расширении тел, о сокращении длины быстро движущихся ракет, об определении глубин колодцев и об исследовании температуры звёзд, о проектировании подводных аппаратов, о скейтбордистах и даже о водолазных колоколах. « Научиться решать задачи – одна из важнейших целей образования. Овладеть математическими знаниями, позволяющими описывать окружающий нас мир, научиться составлять, анализировать и интерпретировать соответствующие математические модели – наиважнейшая цель математического образования»[5]. По результатам собственного опыта  работы была выделена технология, дающая наиболее значимые результаты по обучению решению предметно-ориентированных задач. Она относится к технологии коллективного обучения.

В ходе урока учащимся предлагается поделиться на группы.
Представитель  каждой  группы рассказывает остальным учащимся о задачах, над которыми работала его группа. Один ученик объясняет физический смысл задачи и строит математическую модель данной физической ситуации. Другой ученик показывает решение задачи уже алгебраическим методом. После выступления представителей от каждой группы, обсуждается решение задачи, задаются вопросы и учитель подводит итог по решению данного вида задач.

Задания с прикладным содержанием, включенные в 2011 году в экзаменационные варианты ЕГЭ по математике под номером В10, представляют собой задачи на анализ явления, описываемого формулой функциональной зависимости. Явления, положенные в основу задачной фабулы,  должны быть отобраны так, что соответствующие функции являются привычными для школьников: это линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая или тригонометрическая функции, и, как следствие, рассмотрение соответствующих уравнений или неравенств.

Задача 1. При температуре  рельс имеет длину =12,5 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина , выраженная в метрах, меняется по закону   , где коэффициент теплового расширения , температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Решение.

Задача сводится к решению уравнения  = 6 (мм) при заданных значениях длины =12,5 м и коэффициента теплового расширения  =1,2 .

Модель – линейное уравнение.

Задача 2. В боковой стенке высокого цилиндрического бака  у  самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака , при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону      +  ,  где время в секундах, прошедшее с момента открытия крана,  20 м – начальная высота столба  воды,  отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а  ускорение свободного падения (считайте g  10 м/ ). Через сколько секунд после открытия  крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

Решение:

Задача сводится к решению уравнения     при заданных значениях начальной высоты  , отношения площадей поперечных сечений крана и бака   и ускорения свободного падения  g 10 м/ :              

Модель – квадратное уравнение

Задача 3. Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана-Больцмана, согласно  которому мощность излучения нагретого тела , измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры : , где 5,7постоянная, площадь  измеряется в квадратных метрах, температура в градусах Кельвина, а мощность в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь поверхности , а излучаемая ею мощность  не менее 2,28 Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.

Решение.

Задача сводится к решению неравенства  при известном значении постоянной  5,7 и заданной площади поверхности звезды  :

5,7

  4000 K

Значит, наименьшая возможная температура звезды   4000  K.

Ответ:  4000 К.

Модель - неравенство

Задача 4. При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону   , где  5 м – длина покоящейся ракеты,  км/с – скорость света, а скорость ракеты (в км/с ). Какова должна быть минимальная скорость ракеты , чтобы её наблюдаемая длина стала не более 3 м? Ответ выразите в км/с.

Решение.

Найдем, при какой  скорости длина ракеты станет равна 3 м. Задача сводится к решению уравнения     = 3 (м) при заданном значении длины покоящейся ракеты    5 м  и известном значении скорости света   км/с :

  = 3  (км) 

  = 3 

Модель – иррациональное уравнение.

Задача 5.Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий    моля воздуха при давлении атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением     ,

где  = 5,75 постоянная,  300 K  температура воздуха,  (в атм) начальное давление, а (в атм) конечное давление воздуха в колоколе. До какого наибольшего  давления  (в атм)  можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более , чем 6900 Дж?

Решение.

Задача сводится к решению неравенства  6900 при заданных значениях количества воздуха     моля,  его начального давления   атмосферы   и температуры   300 K, а также постоянной   = 5,75:

                 6900

Модель – логарифмическое неравенство.         

 В первой главе работы формирование умений решать предметно-ориентированные задачи было разделено на следующие составляющие:

1. Понимание физического сюжета задачи.
2. Перевод задачи с языка физики на язык математики.
3. Работа с математической моделью.
4. Интерпретация результата, полученного при работе с математической моделью в условиях первичного физического сюжета.

Рассмотрим решение задачи В10 в данной последовательности.

Задача. Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной  L (в километрах) с постоянным ускорением а (в км/ч2), вычисляется по формуле :  V√2Lа. Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость не менее 100 км/ч. Ответ выразите в км/ч2.

1.Данная задача относится к разделу  механики – «Кинематика», в котором изучают движение тел, не рассматривая причин, определяющих данное движение. Автомобиль движется прямолинейно с постоянным ускорением и начальной скоростью, равной нулю, т.к. начинает свое движение из состояния покоя. Равноускоренное прямолинейное движение – это движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково.

2.Математическая модель – иррациональное уравнение.

3.Работа с математической моделью. Решение.

Найдем, при каком ускорении автомобиль достигнет требуемой скорости, проехав один километр. Задача сводится к решению уравнения √2Lа =100 при известном значении длины пути L=1км:

√2Lа=100         √2а=100             2а=1000                а>5000км/ч2.

4.Если его ускорение будет превосходить найденное, то, проехав один километр, автомобиль наберет большую скорость, поэтому наименьшее необходимое ускорение равно 500км/ч2.

Ответ: 5000км/ч2.

 В Приложении 1 предлагается подборка задач на урок математики.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В требованиях к уровню подготовки выпускников базового и профильного математического уровней указывается, что в результате изучения математики ученик должен знать и понимать «значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе». В перечне зафиксированных стандартом умений содержится требование к формированию умений использования приобретенных знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни для решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения. Предметно-ориентированная задача- это вид сюжетных задач, требующий в своем решении реализации всех этапов метода математического моделирования.

Прикладной характер обучения математике приобретает социальную значимость, раскрытию которой следует уделять особое внимание при разработке педагогических технологий. Создание этих технологий целесообразно осуществлять на основе предлагаемой модели реализации прикладной направленности школьного курса математики в профильном обучении. Компонентами математического содержания модели являются логико-формирующий блок (совокупность знаний формальной логики и контрольно-оценочных умений), языковой блок (математический язык описания объектов) и блок узко-предметного (общеобразовательное ядро предметных знаний) и эмоционально-ценностного (личностно-значимые межпредметные, историко-математические и тому подобные знания) содержания.

Основным средством реализации прикладной направленности школьного курса математики в системе профильного обучения являются практико-ориентированные задачи, технология обучения решению которых строится на основе комплекса дидактических принципов:

- методологической преемственности (формирование и демонстрация системы способов и приемов, применяемых в научной сфере деятельности);

- содержательной преемственности (включение материала, связанного с учебной, профессиональной деятельностью и жизнью);

- методической преемственности (способы и приемы решения задач учебного, профессионального и жизненного плана);

- дифференциации и индивидуализации (учет индивидуальных особенностей процесса усвоения учащимися материала).

Важным компонентом технологии обучения учащихся решению предметно- ориентированных задач является составление и формулирование условия задачи, поскольку сформированность этих умений позволяет определить достижения той цели профильного обучения, которая состоит в готовности школьников самостоятельно ставить задачи профессионального и жизненного плана.

Таким образом, в ходе исследования была подтверждена выдвинутая гипотеза: если применение предметно-ориентированных задач с физическим сюжетом осуществлять целенаправленно и планомерно  одновременно на уроках физики и математики, то качество подготовки выпускников к итоговой аттестации будет выше.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Балк М. Б. Математика после уроков. Москва, 1971.
2. Бермус А. Г. Проблемы и перспективы реализации компетентностного подхода в образовании // Интернет-журнал "Эйдос". - 2005. - 10 сентября. - http://www.eidos.ru/journal/2005/0910-12.htm.
3. Бирюкова А.В. Реализация межпредметных связей (физика + математика). Трудности и перспективы их решения  // http://festival.1september.ru/articles/514055/
4. Болховитинов В. Н. Твое свободное время. Москва,1975.
5. Гущин Д.Д, Малышев А.В.   ЕГЭ 2011.Математика. Задача В10. Рабочая тетрадь.- М.:Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 2010
6. Каменецкий С.Е Теория и методика обучения (физике в школе: Общие вопросы: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. Заведений / С.Е.Каменецкий, Н.С.Пурышева, Н. Е. Важеевская и др; Под ред. С. Е. Каменецкого, Н.С.Пурышевой. - М.: Издательский центр «Академия», 2000. .
7. Комиссарова С.А. Гуманитаризация физического образования: информационные технологии в решении гуманитарно-ориентированных задач //  Электронный научно-образовательный журнал ВГПУ «Грани познания».  №1. Дек., 2008 // www.grani.vspu.ru
8. Коробов В.А. Опыт применения математики в преподавании физики» / Физика в школе № 4, 1991 г.
9. Крылева Л.М. Интегрированный урок (математика + физика) "Решение задач с физическим содержанием". 11-й класс // http://festival.1september.ru/articles/588363/
10. Кулакова Н.А. Практико-ориентированный подход в обучении физики - festival.1september.ru/articles/210704/
11. Малинин А.Н. Познавательный характер физической задачи // Физика в школе. №5, 1993.
12. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ. - мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев; Сост.В.И. Мишин. - М.: Просвещение, 1987. - 416 с.
13. Орлова О.Д. Практико-ориентированные задания как средство развития творческих способностей учащихся на уроках химии - http://pedsovet.su/load/170-1-0-13434
14. Спивак А. В. Тысяча и одна задача по математике. Москва,2002 .
15. Стойлова Н.И. Теоретические основы математики. М.1992.
16. Хинчин А.Я. О воспитательном эффекте уроков математики // Повышение эффективности обучения математике в школе: [Сб.] / Сост. Г.Д. Глейзер - М.: Просвещение, 1989.
17. Цацурян А.М. «Повторение курса физики с привлечением знаний учащихся по математики» / Физика в школе № 4, 1990 г.
18. Шаповалов А.А. Размышления при решении физических задач. Барнаул, 2001, 150 стр.
19. Ябурова Е.А. Задачи с практическим содержанием как средство реализации практико-ориентированного обучения физике - http://www.dissercat.com/content/zadachi-s-prakticheskim-soderzhaniem-kak-sredstvo-realizatsii-praktiko-orientirovannogo-obuc
20. Ялалов Ф. Г. Деятельностно-компетентностный подход к практико-ориентированному образованию // Интернет-журнал "Эйдос". - 2007. - 15 января. http://www.eidos.ru/journal/2007/0115-2.htm.

ПРИЛОЖЕНИЕ

1. При температуре  рельс имеет длину =15 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина , выраженная в метрах, меняется по закону   , где коэффициент теплового расширения , температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 4,5 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

2. В боковой стенке высокого цилиндрического бака  у  самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака , при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону      +  ,  где время в секундах, прошедшее с момента открытия крана,  5 м начальная высота столба  воды,  отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а  ускорение свободного падения ( считайте g  10 м/ ). Через сколько секунд после открытия  крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

3. Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана-Больцмана,  согласно  которому мощность излучения нагретого тела , измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры :, где 5,7постоянная, площадь  измеряется в квадратных метрах, температура в градусах Кельвина, а мощность в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь поверхности , а излучаемая ею мощность  не менее 2,85 Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.

4. Для получения на экране увеличенного  изображения  лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием  см. Расстояние  от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 50 см до 70 см, а расстояние  от линзы до экрана  в пределах от 160 см до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение   Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

5. При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону   , где  25 м длина покоящейся ракеты,  км/с скорость света, а скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты , чтобы её наблюдаемая длина стала не более 7 м? Ответ выразите в км/с.

6. Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий    моля воздуха при давлении атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа ( в джоулях ), совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением     , где  = 9,15  постоянная,  300 K  температура воздуха,  (в атм) начальное давление, а (в атм) конечное давление воздуха в колоколе. До какого наибольшего  давления  (в атм)  можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более , чем 13725 Дж?

7. Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию q (единиц в месяц) от её цены р (тыс. руб.) задаётся формулой: q = 210 - 15p. Определите максимальный уровень цены р (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц ,- r=q•p составит не менее 360 тыс. руб.

8. Операционная прибыль предприятия в краткосрочном периоде вычисляется по формуле: π(q) = q (р - ν) - f. Компания продаёт свою продукцию по цене Р = 500 руб. за штуку, переменные затраты на производство ОДНОЙ единицы продукции составляют ν=300 руб. за штуку, постоянные расходы предприятия f=700 000 руб. в месяц. Определите наименьший месячный объем производства q (шт.). при котором прибыль предприятия будет не меньше 300 000 руб. в месяц.

9. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на большие глубины. Конструкция имеет кубическую форму. а значит, сила Архимеда, действующая на аппарат, будет определяться по формуле: Fа =ρgl3, Где l - линейный размер аппарата: ρ =1000 кг/м3 - плотность воды, а g= 9,8 Н/кг - ускорение свободного падения. Каковы могут быть максимальные линейные размеры аппарата (в метрах). чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении не будет преносходить 9800 Н?

10. Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана - Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры: Р=σST4. где σ= 5,7·10-8 - постоянная, площадь измеряется в квадратных метрах, температура - в градусах Кельвина, а мощность – в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь S=1/648 ·1020  м2 , а излучаемая ею мощность  Р не менее  1,824·1026 ватт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды.

11. Мотоциклист, движущийся по городу со  скоростью v0 = 54 км/ч выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением а = 12 КМ/Ч2. Расстояние от мотоциклиста до города  определяется выраженисм S=v0t+at2/2. Определите наибольшее время (в минутах), о течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытиe на расстоянии не далее. чем 60 км от города.

12. При вращении ведёрка с водой на верёвке в вертикальнoй плоскости сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории. В верхней точке сила давления равна Р = m(v2/L - g), где m - масса воды, v – скорость движения ведёрка, L - длина верёвки, g = 10 м/с2 – ускорение свободного падения. С какой минимальной скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась из него, если длина верёвки равна 1,6 м? (Ответ выразите в м/с.)

13. Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v0 = 30 м/с и тормозящий с постоянным ускорением а = 5 м/с2  за t секунд после начала торможения проходит путь S=v0t+at2/2.  Определите (в секундах) наименьшее время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал не менее 80 метров.

14. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой h(t) = - 5t2 +18t (h -высота в метрах, t- время в секундах, прошедшее с момента броска). Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.

15. Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1, 6+8t – 5t2 . Сколько секунд мяч будет находиться на высоте более трёх метров?

16. При температуре 0ºС рельс имеет длину l0= 10 м. При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 4,5 мм. При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону l(tº)= l0(1+α·tº ) , где α= 1,2·10-5 (ºС -1)  - коэффициент теплового расширения, tº - температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? (Ответ выразите в градусах Цельсия.)

17. Если наблюдатель находится над поверхностью Земли, то расстояние от него до линии горизонта можно найти по формуле l=√2Rh, где R=6400км -  радиус Земли. Найдите наименьшую высоту, с которой должен смотреть наблюдатель, чтобы он видел линию горизонта на расстоянии не менее 6,4 км? (Ответ выразите в метрах).

18. В электросеть включен предохранитель, рассчитанный на силу тока 16А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Сила тока в цепи I связана с напряжением U соотношением I=U/R, где R - сопротивление электроприбора. (Ответ выразите в Омах)

19. А) В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплен  кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону Н(t)=at2  + bt +H0. , где H0 -= 4,5  - начальный уровень воды, a=1/50 и b=-3/5 - постоянные. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? (Ответ приведите в минутах.)

Б) В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем меняется по закону Н(t)=t2 -100t +2100. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? (ответ приведите в минутах.)

20. В боковой стенке высокого цилиндрического бака вблизи дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать, из бака. При этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = H0 - √2g H0       kt+g/2 • k2t2 , где t - прошедшее время (в секундах), H0 =5 м — начальная высота столба воды k=1/1000 – отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g = 10 м/с2 - ускорение свободного падения. К какому моменту времени в баке останется не более чем четверть первоначального объёма? Ответ выразите в секундах.

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур даётся выражением Т(t) = T0 + bt +at2  , где T0 =1200 К, a= - 15 К/МИН, b=240 К/МИН2. Известно, что при температурах нагревателя свыше 1620 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.