«Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Взаимосвязь операций над комплексными числами и преобразований плоскости»
статья по алгебре (10 класс) на тему

Теоретический материал по теме «Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Взаимосвяэь операций над комплексными числами и преобразований плоскости»

1. Геометрическое  изображение комплексного числа.

  Как известно, действительные числа можно изображать точками числовой прямой. При этом,  каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой прямой. Например, действительному числу  соответствует точка А, находящаяся справа от начальной точки О на расстоянии в  единиц длины; действительному числу -2 соответствует точка В, находящаяся слева от точки      О на расстоянии две единицы длины; действительному числу  соответствует точка С, находящаяся справа от О на расстоянии в  единиц длины (рис.1) Обратно, каждой      числовой прямой  соответствует вполне определенное действительное число.

Например, точкам А и В соответствуют рациональные числа   и  -2, а точке С – иррациональное число.

 Таким образом, множество всех действительных чисел находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех точек числовой прямой.

           Подобно тому, как действительные числа можно изображать точками числовой прямой, комплексные числа можно геометрически представлять точками плоскости.

            Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число  изображается точкой плоскости с координатами  (рис.2).

 Каждая точка плоскости имеет определенные координаты. Поэтому при выбранном соответствии каждой точке плоскости будет соответствовать некоторое комплексное число.

Например, точке А с координатами (2;3)  соответствует число 2 +3i, точке В с координатами (-1;1)  - число -1 + i, точке С с координатами (4;0)  - число 4 +0i, а точке D с координатами (0;-2) – число 0-2i (рис.3). 

                                                                                                              рис.3

              Но не может ли случиться так, что одной и той же точке плоскости, например, точке , будут соответствовать различные комплексные числа. Например,  и ?  Если бы было так, то мы имели бы ; . Отсюда . Но в таком случае, числа  и  были бы равны между собой.  Итак,  каждому комплексному числу  соответствует единственная точка плоскости с координатами  и, наоборот, каждой точке плоскости с координатами  соответствует единственное комплексное число .

Таким образом, множество всех комплексных чисел находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех точек плоскости.

  При такой интерпретации действительные числа а, т.е. комплексные числа вида а + 0i,  изображаются точками с координатами (а;0), т.е. точками оси абсцисс. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью. Чисто мнимые числа bi=0 + bi изображаются  точками с координатами (0;b), т.е. точками оси ординат, поэтому ось ординат называют мнимой осью.  При этом точка с координатами (0;b) обозначается bi. Например, точка (0;1) обозначается i, точка (0;-1) – это точка – i,  точка (0;2) – это точка 2i. Начало координат - это точка О ( рис4). 

               Рис.4                                                                  рис.5

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Точки z и –z симметричны относительно точки О (начала координат), а точки z и  симметричны относительно действительной оси. Пусть . Тогда , . Точки z и имеют координаты соответственно (а;b) и (-а;-b), следовательно, они симметричны относительно начала координат. Точка  имеет координаты (а;-b), следовательно, она симметрична с точкой z относительно действительной оси (рис.5) .

  Взаимно однозначное соответствие приводит к следующей геометрической интерпретации комплексных чисел: каждое комплексное число  геометрически изображается на плоскости как точка А(а;b) или как вектор

            Рис.6

 с началом в начале координат и с концом в точке А с координатами (а;b) (рис.6).

   Пользуясь геометрическим изображением комплексных чисел с помощью векторов легко дать геометрическую интерпретацию сложения и вычитания комплексных чисел.

2. Геометрическое изображение суммы комплексных чисел.

Рассмотрим  геометрическую интерпретацию сложения двух комплексных чисел   и . Сумма чисел   и   есть число  Рассмотрим векторы , конец которого находится в точке , , конец которого находится в точке , и , конец которого находится  в точке , исходящие из точки О. Вектор  является диагональю параллелограмма  (рис.7).

                    Рис.7

Таким образом, сложение комплексных чисел  и  можно интерпретировать как правило сложение по правилу параллелограмма соответствующих им векторов  и .

3. Геометрическое изображение разности комплексных чисел.

Векторы, изображающие противоположные комплексные числа  и  , симметричны относительно начала координат, поскольку концы этих векторов – точки M(a;b) и  N(-a;-b) – симметричны относительно начала координат (рис.8).

                          Рис.8                                                                       рис.9

Пусть даны числа   и . Так как , то вычитание из числа  числа  можно заменить прибавлением к числу  числа, противоположного числу .                    

Рассмотрим векторы , конец которого находится в точке ; вектор , конец которого находится в точке , и , конец которого находится  в точке , исходящие из точки О (рис.9).                                              

 Построим параллелограмм . Тогда , т.е. вектор  изображает разность комплексных чисел - . Так как  также является параллелограммом, то . Это означает, что длина отрезка , соединяющего точки, соответствующие комплексным числам  и , равна  и модуль разности двух комплексных чисел   и  представляет собой расстояние между точками  и , изображающими эти числа.

  Геометрическая интерпретация умножения комплексных чисел не так проста. Она будет получена после того, как мы введем некоторые новые характеристики комплексных чисел, которые важны и вне зависимости от геометрической интерпретации.

4. Модуль комплексного числа.

Определение.  Модулем комплексного числа   называется длина (модуль) соответствующего ему вектора.

Модуль комплексного числа z обозначается символом . Модуль обозначается буквой r. Из определения следует, что для любого z имеет место ≥0 и =0 z=0.

По теореме Пифагора (рис.10)  получается следующая формула для вычисления модуля комплексного числа  :

.

Если z=a=a+0i -  действительное число, то

,

                                                                                           рис.10              

где   представляет модуль действительного числа а.

 Аналогично, для любого мнимого числа z=bi=0+bi получаем                

.

Если r - некоторое положительное действительное число, то на основании определения модуля комплексного числа получаем:

а)  множество всех чисел z, для которых =r, представляет окружность радиуса r с центром в начале координат;

б)   множество всех чисел z, для которых ≤r, представляет собой круг радиуса r с центром в начале координат;

в) множество всех чисел z, для которых

Выясним геометрический смысл .

Пусть  

Тогда = . Из курса геометрии известно, что это число равно расстоянию между точками с координатами  и . Итак,  - расстояние между точками   и .

 Например, расстояние между точками 1 и -3 +3i  равно  

Покажем, что =R – уравнение окружности с центром в точке  радиуса R. Здесь   - заданное комплексное число, R – заданное положительное число. Так как  - расстояние между точками z и , то множество всех точек z, удовлетворяющих уравнению =R - это множество всех точек, расстояние от которых до точки  равно R.

Например,  - уравнение окружности с центром в точке –i  радиуса 2, так как данное уравнение можно записать в виде .

Такое геометрическое толкование модуля разности двух комплексных чисел часто применяется при  решении задач.

5. Аргумент комплексного числа.

  Определение.  Аргументом комплексного числа z≠0 называется величина любого направленного угла, образованного положительным направлением действительной оси и вектором, соответствующим числу z (рис. 11).

                 Рис.11

                               При этом значение аргумента положительно, если угол направлен против движения часовой стрелки, и отрицательно, если угол направлен по движению часовой стрелки. Аргумент числа z обозначается символом arg z или определяется неоднозначно,                потому что указанный угол определяется неоднозначно. В качестве аргумента можно взять любое из чисел  φ + 2πk, где φ – величина какого – нибудь из указанных углов, а k – любое целое число (положительное или отрицательное). Как правило, через argz обозначают наименьшее положительное или наименьшее по модулю значение аргумента.

Заметим, что если z- действительное положительное число, то argz=0; если z  - действительное отрицательное число, то argz =π, если z=0, то аргумент неопределен.

Для определения комплексного числа  часто сначала находят наименьший неотрицательный угол, удовлетворяющий вспомогательному уравнению tg φ=|b|/|a| (обозначим его через) , и с учетом квадранта, в котором находится точка , определяют значение аргумента:

а) если z находится в первом квадранте, то φ=argz=,

б) если во втором, то φ=argz= π -,

в) если в третьем, то φ=argz= π +,

г) если в четвертом, то  φ=argz= 2π -.  

Пример. Найти модуль и аргумент комплексных чисел

Решение.

 .     Для каждого из данных чисел получаем одно и тоже вспомогательное уравнение tg φ=, откуда  = π/3. Так как    находится в первом квадранте, то ; так как  находится во втором квадранте ;   так как    находится в третьем квадранте, то ; так как  находится в четвертом квадранте, имеем .

6. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Пусть комплексному числу  соответствует вектор  с координатами (a;b) (рис.12). 

                          Рис.12

Обозначим длину этого вектора через r, а угол, который он образует с осью х, через φ. По определению синуса и косинуса:

.

Поэтому . Но в таком случае комплексное число  можно записать в виде:

, где , а угол φ определяется из условия:

Такая форма записи комплексных чисел называется тригонометрической.

Рассмотрим несколько примеров из представления комплексных чисел в тригонометрической форме.

Пример 1. Записать в тригонометрической форме комплексное число 1+i.

Решение.

Найдем модуль r и аргумент φ этого числа.

. Следовательно, , откуда φ=.

Таким образом, .

Пример 2. Записать в тригонометрической форме комплексное число -5.

Решение.

Комплексному числу -5 соответствует вектор , оканчивающийся в точке оси х с абсциссой -5. Длина такого вектора равна 5, а угол, который он образует с осью абсцисс, равен π. Поэтому -5=5(cos π+isin π).

7. Умножение комплексных чисел.

Умножение и деление комплексных чисел удобнее выполнять, если эти числа заданы в тригонометрической форме. Имеют место следующие теоремы.

Теорема 1.    Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей, а  аргумент – сумме их аргументов.

Доказательство.     Пусть

,   а   .

 Тогда

Но   ,

Поэтому

              . Теорем доказана.

Умножение комплексных чисел имеет следующий геометрический смысл. Если комплексному числу  соответствует вектор , комплексному числу - вектор , то произведению      соответствует вектор , получающийся из вектора поворотом на угол  и растяжением в  раз при ≥1 или сжатием в 1/ при 0<<1 (рис.13).

                                                Рис.13

8. Деление комплексных чисел.

Теорема 2.  Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя; аргумент частного двух неравных нулю комплексных чисел равен разности аргументов делимого и делителя.

Доказательство. Пусть

,   а   . Тогда

Полученное выражение является тригонометрической формой комплексного числа . Следовательно, ,

. Теорема доказана.

Деление комплексных чисел имеет следующий геометрический смысл. Если комплексному числу  соответствует вектор , комплексному числу - вектор , то частному  соответствует вектор , получающийся из вектора поворотом на угол в отрицательном направлении  и сжатием в  раз при ≥1 или растяжением в 1/ при 0<<1 (рис.14).

                            Рис.14

9. Комплексные числа и геометрические преобразования функции комплексного переменного.

Полученные результаты позволяют обнаружить тесную связь операций над комплексными числами с основными геометрическими преобразованиями плоскости, известными нам из курса средней школы, - параллельными переносами, поворотами, симметриями относительно прямых, гомотетиями.

С П Р А В К А

1. Пусть  - данный вектор. Параллельным переносом на вектор называется отображение плоскости на себя, при котором каждая  точка М отображается в такую точку , что вектор равен вектору .

2. Отметим на плоскости точку О (центр поворота) и зададим угол α (угол поворота).

Поворотом плоскости вокруг точки О на угол α называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку , что ОМ=О и угол МО равен α.

Две точки  и  называются симметричными относительно прямой , если эта прямая проходит через середину отрезка  и перпендикулярна к нему.

Гомотетией  с центром  и коэффициентом k≠0 называется такое геометрическое преобразование, при котором каждая ее точка отображается на точку  , такую, что .

Зафиксируем некоторое число . Пусть - преобразование комплексной плоскости, такое, что, для любого   . Вспоминая, что точки комплексной плоскости  складываются по правилу сложения векторов, заключаем, что  есть параллельный сдвиг плоскости на вектор .

Пусть теперь , такое, что . Тогда преобразование   , для которого  при любом , есть поворот плоскости вокруг точки О на угол . Действительно, если , то, согласно правилу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме,  .

Оказывается всякий поворот  плоскости вокруг любой заданной точки  на некоторый угол  можно получить с помощью параллельного сдвига  на вектор  и поворота  вокруг точки О на тот же угол . Действительно, из рис.15 видно, что для любого   , где .

  Если взять , то преобразование , для которого , есть гомотетия с центром в начале координат и коэффициентом гомотетии .

Наконец, преобразование , которое ставит в соответствие каждому комплексному числу z сопряженное с ним число , есть отражение (симметрия) комплексной плоскости  относительно действительной оси.

   Итак, систему комплексных чисел можно рассматривать как удобный аналитический аппарат для изучения преобразования плоскости.