Решение задач с параметрами.
методическая разработка по алгебре (8, 9 класс) по теме

Методическая разработка.

Решение задач с параметрами.

При решении многих задач с параметрами полезно знать теоремы о расположении корней квадратного трехчлена.

Пусть уравнение ах2+bx+c=0 имеет корни х1  и х2 , а М - некоторое действительное число, х0= - - абсцисса вершины параболы.

Теорема 1. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше некоторого числа М , необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 

Теорема 2. Для того чтобы некоторое число М лежало между корнями квадратного трехчлена, необходимо и достаточно выполнение условия: аf(M)<0.

(Требования D0 не нужно(!) – оно следует из условия af(M)<0)

Теорема 3. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше некоторого числа М , необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 

Пример 1. При каких значениях параметра а корни уравнения

х2-2(а-1)х+2а+1=0 имеют разные знаки, и оба по абсолютной величине меньше 4?

Решение:        f(x)= х2-2(а-1)х+2а+1.

              Требования задачи выполняются , если совместна  система:

 а(-;-)

       Пример 2. При каких значениях параметра а один из корней уравнения (а2-2)х2+(а2+а-1)х-а3+а=0 больше числа а , а другой меньше числа а?

   Решение: g(x)= (а2-2)х2+(а2+а-1)х-а3+а.

        (По теореме 2) (а2-2)g(x)<0(a2-2)((a2-2)a2+(a2+a-1)a-a3+a)<0 , где а2-20 , (а2-2)(а4-а2)>0 , а2(а-)(а +)(а-1)(а+1)<0.

(a=требованию задачи не удовлетворяет).

а(-;-1)(1;)

Ответ: при а(-;-1)(1;) один из корней уравнения

 (а2-2)х2+(а2+а-1)х-а3+а=0 больше а , а другой меньше числа а.

Пример 3. При каких значениях параметра а корни уравнения

ах2-(2а+1)х+3а-1=0 больше 1?

Решение:  1)при а=0 уравнение имеет один корень х=-1,но по условию х>1 (x=-1 не удовлетворяет требованиям задачи).

2) если а0,тогда ( по теореме 3)

а) 4а2+4а+1-12а2+4а0                  б)>1                 в) а(2а-2)>0

    -8а2+8а+10                                   1+>1                     a(2a-2)=0

    8а2-8а-1=0                                       >0                         a=0, a=1

   D=96    a1==               верно если а>0              

                 a2=

   a(1;]

Ответ: при а из промежутка (1;]  корни уравнения 

ах2-(2а+1)х+3а-1=0 больше 1.