Отбор корней при решении тригонометрических уравнений
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Слайд 1

Отбор корней при решении тригонометрических уравнений

Слайд 2

1. Вычислите: б) arccos в) arcsin 2 д) arccos е) ar с ctg а) arcsin (-1) г) arctg (не существует); (не существует);

Слайд 3

2. Решить уравнения: б) sin х = в) cos х = 0; г) tg x = а) cos x = - 1;

Слайд 4

1. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью числовой окружности. Пример 1 . cos x + cos 2 x – cos 3 x = 1. Решение . cos x – cos 3 x – (1 – cos 2 x ) = 0, 2sin x sin 2 x – 2sin 2 x = 0, 2sin x (sin 2 x – sin x ) = 0,

Слайд 5

Изобразим серии корней на тригонометрическом круге. 0 x y Видим, что первая серия ( ) включает в себя корни второй серии ( ), а третья серия ( ) включает в себя числа вида из корней первой серии ( ). 0

Слайд 6

Пример 2. tg x + tg 2 x – tg 3 x = 0. Решение.

Слайд 7

tg x · tg 2 x · tg 3 x = 0; Изобразим ОДЗ и серии корней на числовой окружности. 0 x y 0 Из второй серии корней ( ) числа вида не удовлетворяют ОДЗ, а числа вида . входят в третью серию ( ) Первая серия ( ) так же входит в третью серию корней ( ), поэтому ответ можно записать одной формулой.

Слайд 8

Пример 3. Решение. Иногда случается, что часть серии входит в ответ, а часть нет. Нанесем на числовую окружность все числа серии и исключим корни, удовлетворяющие Оставшиеся решения из серии корней можно объединить в формулу 0 x y 0 условию

Слайд 9

2. Отбор корней в тригонометрическом уравнении алгебраическим способом Пример 1. Решение. Поскольку наибольшее значение функции y = cos t равно 1, то уравнение равносильно системе Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение Получаем Итак,

Слайд 10

Пример 2. Решение . Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение где целое число. тогда Пусть Итак,

Слайд 11

3. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с некоторыми условиями Пример 1. Найти корни уравнения sin 2 x = cos x | cos x |, удовлетворяющие условию x [0; 2 π ]. cos x (2sin x - | cos x |)=0; Решение. sin 2 x = cos x | cos x |; 2sin x · cos x - cos x | cos x |=0;

Слайд 12

0 y x 0 y x cos x ≥ 0 cos x < 0 Условию удовлетворяют числа (для первой системы) и (для второй системы). Найдём решение систем с помощью числовых окружностей:

Слайд 13

Пример 2 . Найти все решения уравнения принадлежащие отрезку Решение. ОДЗ: cos 3x ≥ 0; Отметим ОДЗ на тригонометрическом круге: 0 y x Отрезку принадлежит только один промежуток из ОДЗ, а именно Решим уравнение и выберем корни, принадлежащие этому промежутку: 1 + sin 2 x = 2cos 2 3 x ; sin 2x = cos 6x; sin 2 x - cos 6 x =0;

Слайд 14

Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи. Из первой серии: Следовательно n =2, то есть Из второй серии: Следовательно n =5, то есть

Слайд 15

Пример 3. Найти все корни уравнения которые удовлетворяют условию Решение. 10sin 2 x = – cos 2 x + 3; 10sin 2 x = 2sin 2 x – 1 + 3, 8sin 2 x = 2; 0 y x С помощью числовой окружности получим:

Слайд 16

Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи. Из первой серии: Следовательно n =0 или n =1, то есть Из второй серии: Следовательно n =0 или n =1, то есть