Урок по теме "Отбор корней при решении тригонометрических уравнений"
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Тема урока: Отбор корней при решении тригонометрических уравнений

Цели и задачи:

• дидактические: обобщение и систематизация знаний учащихся по теме « Решение тригонометрических уравнений»; закрепление основных понятий; систематизация умений и навыков по применению способов отбора корней в тригонометрических уравнениях.
• развивающие: развитие познавательного интереса, логического мышления, интеллектуальных способностей; формирование математической речи;
• воспитательные: формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради и  самостоятельность мышления у учащихся.

Ход урока:

I.        Организационный момент. Сформулировать цели и задачи урока.

II.        Актуализация знаний учащихся.

Учитель: Давайте повторим основные типы уравнений и методы их решения, а также решения простейших уравнений в ходе следующих устных упражнений:

1. 

2. Назовите вид уравнения и изложите грамотно способ его решения.

а)        2cos2 х - cos x - 5 = 0

б)        sin2 х + cos x - 8 = 0

в)        cos х + sin x = 0

г)        sin х - cos x = 1

д)        3cos x - 4sin x = 0 (или 5)

е)        5 sin2 х — 8sin x cos x + cos2 x = 0 (или 2)

ж)        sin 2х - cosx  = 0

з)        cos 3х = cos х

2)

Назовите несколько чисел из множества чисел вида:

III. Переход к изучению нового.

Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений специфична. Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнения. Запись ответа тригонометрического уравнения часто связана с понятиями объединения и пересечения множеств. Обычно при решении таких уравнений получают серии корней, и в окончательном варианте ответ записывают в виде объединения этих серий. Но как быть, если эти серии пересекаются? Сегодня мы на конкретных примерах рассмотрим различные способы и приемы при выборе ответа. Для нас важность этой темы связана с тем, что тригонометрические уравнения, в которых требуется провести отбор корней, часто встречаются в тематических тестах ЕГЭ; это задание С1 с дополнительным условием.

При отборе корней в процессе решения тригонометрических уравнений обычно используют один из следующих способов.
● Арифметический способ:
а) непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся

ограничения;
б) перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.

● Алгебраический способ:
а) решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней;
б) исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами.

● Геометрический способ:
а) изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений;
б) изображение корней на числовой прямой с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений.

• Функционально-графический:

Выбор корней с помощью графика простейшей тригонометрической функции

Сегодня на уроке мы остановимся на наиболее часто применяемых способах отбора корней

 и тех способах с которыми мы еще не сталкивались.

IV. Разбор примеров. Решение задач.

№1. . Отбор корней в тригонометрическом уравнении алгебраическим способом .

Изображение корней на тригонометрическом круге не всегда удобно, когда период меньше 2.

Пример 1. 

Решение.

Поскольку наибольшее значение функции y = cos t равно 1, уравнение равносильно системе

Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение

Получаем

Итак,

Пример 2. 

Решение.

Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение

   где   целое число.

Пусть

тогда         

Итак,

№2. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью числовой   окружности (геометрический).

Проблему отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений часто можно решить с помощью изображения чисел на тригонометрическом круге. В ряде случаев этот прием более наглядный и убедительный.

Пример 1. cos x + cos 2x – cos 3x = 1.

Решение.

cos x – cos 3x – (1 – cos 2x) = 0,

2sin x sin 2x – 2sin2 x = 0,

2sin x (sin 2x – sin x) = 0,

Изобразим серии корней  на числовой окружности. Видим, что первая серия включает в себя корни второй серии, а третья серия включает в себя числа вида  из корней первой серии.

 № 3. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с некоторыми условиями. 

Изложенные выше способы отбора корней в тригонометрических уравнениях не всегда применяются в чистом виде: выбор способа зависит от конкретных условий, но иногда эти способы комбинируются.

Пример 1. Найти корни уравнения

            sin 2x = cos x | cos x | , удовлетворяющие

            условию  x  [0; 2].

Решение. 

sin 2x = cos x | cos x |;

2sin x· cos x -  cos x | cos x |=0;

cos x  (2sin x - | cos x |)=0;

Определим решения систем с помощью числовой окружности.

Условию  x  [0; 2] удовлетворяют числа          (для первой системы) и (для второй системы).

Пример 2. Найти все решения уравнения

принадлежащие отрезку

Решение.

ОДЗ: cos 3x ≥ 0;

Отметим ОДЗ на тригонометрическом круге:

Отрезку    принадлежит только один промежуток из ОДЗ, а именно  .

Решим уравнение и выберем корни, принадлежащие этому промежутку:

1 + sin 2x = 2cos2 3x ;

 sin 2x = cos 6x;

 sin 2x - cos 6x=0;

Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи.

Из первой серии:

Следовательно  n=2, то есть

Из второй серии:

Следовательно  n=5, то есть

VI. Итоги урока.

Итак, мы разобрали различные виды задач, где необходим отбор корней, рассмотрели несколько способов такого отбора. Вы в дальнейшем можете применять любой из них. Урок показал, что вы хорошо умеете решать уравнения различных типов (учитель выставляет оценки учащимся, работавшим у доски, наиболее активным учащимся)

VII. Домашнее задание.

Закрепить дома виды задач.

1) Найдите все решения уравнения, принадлежащие указанному промежутку

    a) cos 2x + sin x = cos2 x     на  [0;2π]

    б)  sin x + cos x = 0             на  [-π;π]

2) Найдите число корней уравнения из [-π;π]

3) Решите уравнение:

    а)

    б)*