Формулы сложения
презентация к уроку по алгебре (10 класс) на тему

Слайд 1

Формулы сложения Тригонометрические формулы Презентация к уроку алгебры 10 класс. Выполнил ученик 10 Б – Белов Никита.

Слайд 2

Повторение M 1 (cos α ; sin α ) M 2 (cos (-α) ; sin (-α) ) sin(-α) = ? cos(-α) = ? tg(-α) = ? ctg(-α) = ? sin 2 (α) + cos 2 (α) = ? sin(-α) = -sin α cos(-α) = cos α tg(-α) = sin(-α)/cos(-α) = = (-sin α)/cos α = -tg α ctg(-α) = - ctg α sin 2 (α) + cos 2 (α) = 1 x y P (1;0) 0 α -α M 2 M 1 cos α sin(- α) sin α

Слайд 3

Формулы сложения Формулами сложения называют формулы, выражающие cos(α ± β) и sin( α ± β ) через косинусы и синусы углов α и β. cos(α + β ) = cos α cos β - sin α sin β cos(α - β ) = cos α cos β + sin α sin β sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin( α - β ) = sin α cos β - cos α sin β

Слайд 4

Теорема Для любых α и β справедливо равенс- тво cos(α + β ) = cos α cos β – - sin α sin β По определению: M α (cos α; sin α) M -β (cos(-β); sin(-β)) M α+β (cos(α+β); sin(α+β)) ∠ M 0 OM α+β = ∠ M -β OM α ⇒ △ M 0 OM α+β = △ M -β OM α ⇒ основания M 0 M α+β = M -β M α равны А значит равны ( M -β M α ) 2 и ( M 0 M α+β ) 2 , запишем их x y M 0 (1;0) 0 M α M -β M α+β

Слайд 5

Теорема Имеем: M 0 (1; 0) M α (cos α; sin α) M -β (cos(-β); sin(-β)) M α+β (cos(α+β); sin(α+β)) ( M 0 M α+β ) 2 = ( M -β M α ) 2 ⇒ (1 - cos(α+β) ) 2 +( sin(α+β) ) 2 = ( cos(-β) - cos α ) 2 + + ( sin(-β) - sin α ) 2 ⇔ 1 - 2 cos(α+β) + cos 2 (α+β) + sin 2 (α+β) = cos 2 β - - 2cos β cos α + cos 2 α + sin 2 β + 2sin β sin α + sin 2 α ⇔ 2 - 2cos(α+β) = 2 - 2cos α cos β + 2sin α sin β ⇔ cos(α+β) = cos α cos β - sin α sin β Теорема доказана.

Слайд 6

Следствие 1 cos(α - β) = ? cos(α - β) = cos(α + (-β)) = cos α cos(-β) - sin α sin(-β)= = cos α cos β + sin α sin β cos( π/2 – α) = sin α sin(π/2 – α) = cos α cos(π/2 – α) = cos(π/2) cos α + sin(π/2) sin α = sin α т.е. cos(π/2 – α) = sin α При α = π/2 – β имеем: cos(π/2 – α) = cos(π/2 – π/2 + β) = cos β = sin α = sin(π/2 – β) т.е. sin(π/2 – β) = cos β

Слайд 7

Следствие 1 sin(α + β) = cos ( π/2 - (α + β)) = cos((π/2 - α) - β) = = cos(π/2 - α) cos β + sin(π/2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β sin(α - β) = sin(α + (-β))= sin α cos(-β) + cos α sin(-β)= = sin α cos β - cos α sin β Таким образом, sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

Слайд 8

Следствие 2 Можно вывести аналогичные формулы для tg(α ± β) и ctg(α ± β). tg(α ± β) = sin(α ± β) / cos(α ± β) = =(sin α cos β±cos α sin β)/(cos α cos β ∓ sin α sin β)= = ( tg α ± tg β ) / (1 ∓ tg α tg β ) Аналогично ctg( α ± β ) = (c tg α ctg β ∓ 1 ) / ( ctg β ± c tg α )

Слайд 9

Конец … .