Исследования на уроках математики
методическая разработка по алгебре (5, 8, 9, 10, 11 класс) на тему

Исследования на уроках математики

     Так кто же он, человек из детства? Сосуд, который надо наполнить знаниями? Факел, который надо зажечь? Сравнения, как всегда хромают, и всё куда сложнее. Обучать, как я понимаю этот термин, - это обучать какому-то виду деятельности, как принято говорить, «учат учиться». Это само по себе неплохо. Но замыкает образовательный процесс на себе. Можно попытаться сделать чуть больше. Именно – обучать основам научно-исследовательской деятельности.

Технологии проведения исследовательских работ предполагают три вида работ:

Первый – элементы исследования на уроке.

Второй - интенсивная работа над исследовательскими задачами в аудиторное время. Это можно делать, например, в рамках летней школы или специальной проектной неделе в училище

Третий - индивидуальная работа в свободное время с консультациями учителя с выходом на научно- практическую конференцию.

Речь об исследовательских задачах на уроке. 

        Исследователем можно быть

               и перед лицом огромной

               неизученной проблемы,

               и перед лицом школьной задачи,

               миллионы раз решавшейся

                другими.

                                                          С.Л. Соболев

считаю, что содержательная исследовательская работа по математике на уроке возможна и полезна.

∙ Количество потенциальных участников исследовательских работ начального уровня в десятки раз больше, чем «продвинутого» (как в школьной олимпиаде в сравнении с региональной).

∙ Когда сильный ученик решает сложную задачу (даже и не исследовательскую), ему волей-неволей приходится выдвигать гипотезы, ставить вспомогательные задачи и т.д. А вот обычный ученик, решающий задачи из учебника, может успешно пройти весь курс школьной математики («решать примеры») и нигде не столкнуться с математическим открытием. Его шанс – школьный кружок… и школьная исследовательская работа.

ученик легче включается в решение сложных исследовательских задач, если имеет опыт решения простых.

Что такое исследовательские задачи

Выделим два подхода к обучению. При одном – назовем его традиционным – ученик изучает новую теорию, решает задачу, получает оценку и ждёт от учителя новой задачи. Предполагается, что у задачи есть единственный правильный ответ и учитель его знает. При другом подходе – назовём его исследовательским – ученик сам ставит вопросы и ищет на них ответы, выдвигает гипотезы, доказывает и опровергает их. Всякий полученный ответ может стать основанием для новых вопросов. Результат может быть не известен учителю заранее. Можно сказать, что ученик попадает в новый математический мир и учится жить в нём.

Три мнения об исследовательских задачах:

«Они доступны только старшеклассникам».

«Они нужны только сильным школьникам».

«Учёба отдельно, исследования отдельно».

 считаю, что всё это не так. Чтобы начинать решать такие задачи, не надо ждать старших классов, уже материал начальной школы позволяет вводить элементы исследования (см. [K5]). Полезно начинать с самого простого, с вещей, доступных несильным ученикам. Далее, хорошее обучение должно дать понятие о методах, характерных для изучаемой науки. При работе с исследовательскими задачами ученикам неизбежно приходится иметь дело с методами науки математики, поэтому исследовательские задачи могут стать органической частью обучения математике. 

Профориентация. Школьный курс математики даёт слабое представление о методах исследования математики как науки. У обычного ребёнка складывается впечатление, что в математике всё открыто, и новые открытия (во всяком случае, на школьном уровне) невозможны. Работая над исследовательской задачей, ученик получает некоторое представление о реальной работе математика. Результаты бывают неожиданные. Часто отличник, который прекрасно работает на уроке, не справляется с такой задачей и осознаёт, что математика – это «не его», и на мехмат идти не стоит. Небыстрый, но вдумчивый ученик удачно продвигается в исследовании и от этого становится успешнее на уроках. Сильный лентяй, считавший, что математика – это скучный набор рецептов, может понять, что это живая растущая область науки, и загореться интересом к ней.

Хорошие задачи для исследования. Итак, ученик попадает в новый незнакомый мир. Он привык, что раньше учитель знакомил его с основными законами этого мира, а здесь он должен открыть их сам. Но оставлять его совсем без ориентиров нельзя. Поэтому хорошая задача для начинающих – та, в которой есть естественный параметр, по которому можно двигаться в исследовании, т.е. легко выделяемая последовательность частных случаев, так что в каждый момент ученик сам понимает, что можно делать дальше. И совсем хороша та задача, где и к идее доказательства можно прийти, последовательно двигаясь по этому параметру.

Хорошая задача для опытных исследователей – та, в которой есть большой простор для продвижений, уточнений, вспомогательных задач, обобщений, а при доказательстве используются разнообразные методы. Здорово, если в этой задаче находятся нетрудные «подзадачи» – ребёнку тяжело долго не получать никакого результата. Отлично, если задача развивает научный        вкус и имеет в перспективе выходы на идеи и методы «большой» математики.

Отметим, что всякую содержательную олимпиадную задачу можно рассматривать как «кусочек», вырезанный из какой-то исследовательской темы (часто для её решения достаточно восстановить контекст. Новизна здесь не в задаче, а в подходе к работе школьника: не «решил-не решил», а «какую часть нового математического мира освоил». По сути, задача здесь рассматривается как «зацепка» для введения в тему исследования.

О новизне работ. Считаю, что никакой объективной новизны от работы школьника не требуется. Результат должен быть субъективно новым – школьник открывает то, чего не знал. Конечно, сильный школьник при хорошем руководителе и удачно поставленной задаче иногда может получить объективно новый результат, и это здорово. Но это нисколько не умаляет работу тех, кто не достиг таких успехов. Цель исследовательской работы не в том, чтобы получить чемпионский результат, а в том, чтобы делать математические открытия на уровне, доступном ученику. Более-менее содержательные субъективные открытия доступны почти всем.

Время. Школьники привыкли, что над упражнением надо думать одну-две минуты, над задачей – пять-десять минут. Над сложной олимпиадной задачей – от силы час. Однако в математике есть вопросы, требующие долгого размышления, «вживания». Нужно исследовать «окрестности» своей задачи. Сначала найти длинный окольный путь к цели. Потом постепенно спрямлять его. Если ученику сразу покажут короткий путь, он сможет пройти им, но толку будет мало – важно узнать окрестности, найти новые интересные места, научиться ходить по бездорожью. Всё это требует значительного времени – вновь открытое должно отложиться в голове, встроиться в имеющийся опыт.  Гаусс писал, что над сложными задачами теории чисел он думал по 15 минут каждый день – и достигал замечательных результатов.

Покажу на примерах, как можно решать несложную  исследовательскую задачу  на уроке и какие умения приобретут учащиеся

. 

Приведу  примеры исследовательских задач из разных разделов  математики.

Арифметика:

Квадраты на клетчатой бумаге

Построим несколько квадратов с вершинами в узлах сетки и найдем их площади. Пусть сторона одного квадратика сетки равна 1.

1. «Прямые» квадраты:

2. «Косые» квадраты

Как найти площадь «косого» квадрата?

Впишем наш «косой» квадрат в «прямой» (рис. 1).

Чтобы найти площадь S «косого» квадрата, надо из площади прямого квадрата вычесть 4 площади закрашенных прямоугольных треугольников, т.е. 2ab. Эти треугольники одинаковые.

А теперь передвинем прямоугольные треугольники внутри большого квадрата так, чтобы получилось два «прямых» квадрата, как показано на рис. 2.

Потом я сказала им, что интересно исследовать, квадраты какой площади можно так построить, а какой – нельзя. Работа имеет естественное продолжение:

Формула Пика

Задача 1: Найдите площади многоугольников, изображённых на рисунке

Формула Пика. Формула Пика. На клетчатой бумаге нарисован многоугольник с вершинами в узлах клеток. Как найти его площадь, подсчитывая лишь количества узлов?

Примерный план. Экспериментально ищем формулу для треугольника 1) без узлов внутри и на сторонах  2) с узлами на сторонах, 3) с узлами внутри, 4) с узлами внутри и на сторонах. Придумываем общую формулу. Повторяем исследование для 4-угольников и для 5-угольников. Объединяя результаты, придумываем формулу для n-угольника. Доказываем её (сумма «площадей» двух многоугольников равна «площади» их объединения). Затем доказываем её справедливость последовательно для прямоугольника, прямоугольного треугольника, произвольного треугольника, произвольного многоугольника.

Обобщение. Решить аналогичную задачу для многогранников в пространстве.

S= n + m/2 -1      N- узлы внутри решетки, m- узлы на границе

Крылатые числа

        Простые числа и представимость в виде суммы двух квадратов.

Теорема: Все простые числа кроме 2, представимые в виде a²+b², представимы в виде 4n+1. И наоборот: все простые числа, представимые в виде 4n+1, представимы в виде a²+b².

Лемма:

Зная c, d и e , при условии что c2+4de = простое число, но не 2,

можно подобрать a и b такие, что c2+4de= a²+b² = простое число, но не 2.

Доказательство леммы:

Если число можно представить в виде c2+4de, то его представление в этом виде можно представить геометрически. Начнём так делать:

Алгебра:

Таблица квадратов                                        

15*15=225                                           23*27=621

25*25=625                                           32*38=1216

………….

55*55=3025                                          44*46=2024

65*65=4225

………..

95*95=9025                                         93*97=9021

Попытка выяснить, почему именно так, станет для учеников маленьким, посильным и полезным исследованием.

Геометрия:

Звёзды.

Олимпиадные задачи.

1) Найти сумму углов пятиконечной, семиконечной, девятиконечной звезды.

2) посадить 10 деревьев в 5 рядов по 4 дерева в каждом, 14 деревьев в 7 рядов по 4 дерева в каждом.

 Восстановление многоугольника. 

На доске нарисован многоугольник. Отметили середины его сторон, а сам многоугольник стёрли. Как восстановить многоугольник по серединам сторон? Сколько решений имеет задача?

Исследование удобно проводить в программе «Живая геометрия». Отмечаем точки– середины сторон, отмечаем произвольную точку X – предполагаемую вершину, отображаем её центрально симметрично относительно первой середины, получившийся образ отображаем относительно второй середины и т.д. Пусть последняя точка будет Y. Если полученную ломаную удаётся замкнуть выбором точки X, значит, есть решение. Если же не удаётся, значит, надо особым образом выбирать середины сторон.

Так, треугольник и пятиугольник можно восстановить однозначно (если из середин сторон никакие три не лежат на одной прямой). Четырёхугольник либо не восстанавливается (если середины сторон не лежат в вершинах параллелограмма), либо восстанавливается многими способами (если лежат).

Доказательство можно получить, используя теорему о средней линии, теорему Вариньона и метод координат. А можно – изучая связь движений точек X и Y.

32. Замок. 

На рисунке изображён кодовый замок. Компания-производитель утверждает, что он очень надёжен, поскольку существует "несколько тысяч комбинаций". Правда ли это?

Комбинацией является последовательность нажатий. При этом: одновременно можно нажать любое количество кнопок от 0 до 5, кнопки можно нажимать не более одного раза (можно ни разу). Примеры: 

{1, 2, 3}, {4, 5} – сначала нажали вместе 1, 2, 3, потом вместе 4 и 5; 

{4, 5}, {1, 2, 3} – это другая комбинация, потому что порядок поменялся;

{1}, {3},{4, 5} ;

{1, 2, 3, 4, 5} (все кнопки сразу);

{1}, {3}, {2}, {5}, {4} (все кнопки по одной);

{} (ничего не нажали; дверь не заперта).

  48. Игра Ним.

В игре Ним играют двое. Есть несколько кучек с камнями. За один ход можно взять любое количество камней, но только из одной кучки. Выигрывает тот игрок, который возьмет камни последним. Требуется разработать стратегию игры в Ним.

 Это яркий пример темы, в которой помогать ученику можно очень по-разному. Можно дать формальное указание: «запиши количества камней в двоичной системе счисления, выравнивая их по правому края; докажи, что если все количества единиц в каждом столбце чётны, то позиция проигрышная», и т.д., которое для ученика будет взято «с потолка», даже если он всё это докажет. А можно дать способ найти эти закономерности самому. В этом и есть отличие «исследования» от «школьной задачи».

Огромный простор для исследования и изобретательности детского ума дают практико -ориентированные задачи.

Геометрические объекты существуют не только в математической теории но и в реальности. Приведу примеры таких задач:

1) Объяснить, почему стул на трех ножках устойчивее, чем на четырех ножках? Как объяснить почему стулья в основном делают на четырех ножках, хотя они менее устойчивы.

2) Обычный стол на четырех ножках требуется внести из коридора в комнату, прежде чем донести его до дверного проема, надо что-то измерить. Что именно?

3) Есть ученики с ярко выраженным практическим мышлением. На таких задачах они имеют шанс проявить себя в классе. Иногда они выдают такие решения до которых додумайся. Я как-то предложила  семиклассникам из обыкновенного листа бумаги только сгибаниями получить ромб.

Известное решение - дважды сгибая, получить середины всех сторон исходного листа, затем еще четыре сгиба дадут ромб с вершинами в этих серединах. Но почти сразу, как я сформулировала задачу, один семиклассник, обычный троечник показывает как это можно сделать всего тремя сгибаниями вместо тех шести: согнуть лист по диагонали, а затем загнуть хвосты . Доказать он не смог.  Ну и что.

2) «Может ли существовать прямоугольник длиной 1 км, а площадью

1 мм2 ?» спросила я у пятиклассников.

И таких примеров можно привести множество

Вывод:

Т.о.  занимаясь исследованиями, в том числе и на уроке выпускник получит возможность научиться:

• Самостоятельно планировать и выполнять учебное исследование,
• Использовать догадку, озарение, интуицию,
• Использовать такие математические приемы и методы, как перебор логических возможностей, математическое моделирование, доказательство по аналогии, доказательство от противного, опровержение, контрпример, индуктивные и дедуктивные рассуждения, построение и исполнение алгоритма.  

         Для того, чтобы учащиеся радовали нестандартными и красивыми предложениями и решениями, следует при планировании и проведении уроков стараться больше предоставлять им возможностей для самостоятельного мышления.

Наблюдение за учениками, их мыслями, реакцией на события является неисчерпаемым источником вдохновения для учителя, прибавляющим сил для творчества - ведь совсем не хочется, чтобы наши ученики в школе, несмотря на то, что много читали и поверхностно рассуждали, много познавали, но при этом имели очень мало собственных мыслей.