четыре замечательные точки треугольника
презентация к уроку по алгебре (8 класс) на тему

Слайд 1

8 класс Л.С. Атанасян Геометрия 7-9 Савченко Е.М., учитель математики, МОУ гимназия № , г. Полярные Зори, Мурманской обл. Четыре замечательные точки треугольника

Слайд 2

№ 664. Прямая АМ – касательная к окружности, АВ – хорда этой окружности. Докажите, что угол МАВ измеряется половиной дуги АВ, расположенной внутри угла МАВ. М А В О

Слайд 3

Блиц-опрос. Найдите угол МАВ. М А В О 142 0 71 0

Слайд 4

Блиц-опрос. Найдите угол МАВ. М А В О 161 0 161 0 : 2 = 160 0 60 / : 2 = 80 0 30 / 80 0 30 /

Слайд 5

Блиц-опрос. Найдите дугу АВ. М А В О = 172 0 86 0 86 0 2 = 172 0

Слайд 6

Блиц-опрос. Найдите дугу АВ. М А В О = 89 0 50 / 44 0 55 / 44 0 55 / 2 = 88 0 110 /

Слайд 7

№ 670. Через точку А проведены касательные АВ (В – точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Р и Q . Докажите, что АВ 2 = АР А Q . А В Q Р РВ В Q = АР АВ АВ А Q = АВР А Q В по 1 признаку подобия АВ 2 = АР А Q . Р

Слайд 8

? 6 № 671. Через точку А проведены касательные АВ (В – точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и D. Найдите С D , если АВ=4 см, АС=2 см. АВ 2 = А C А D . А В D C 4 2 4 2 = 2 А D . 4 2 А D = 8

Слайд 9

№ 672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках В 1 , С 1 , а другая – в точках В 2 , С 2 . Докажите, что АВ 1 АС 1 = АВ 2 АС 2 А D 2 = AB 1 А C 1 D А С 1 В 1 В 2 С 2 А D 2 = AB 2 А C 2 =

Слайд 10

А С В Свойство медиан треугольника . Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. В 1 А 1 О ВО В 1 О = АО А 1 О СО С 1 О = = 2 1 С 1 1

Слайд 11

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. В А Теорема С L K М 1 2

Слайд 12

Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе. В А Обратная теорема С L K М

Слайд 13

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. В А Следствие С K А 1 В 1 С1 О М L ОМ=ОК ОК =О L По теореме о биссектрисе угла = По обратной теореме т. О лежит на биссектрисе угла С ОМ О L 2

Слайд 14

a С Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярно к нему. М В Определение Прямая a – серединный перпендикуляр к отрезку.

Слайд 15

m O Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. B A Теорема М

Слайд 16

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Обратная теорема B A m O N

Слайд 17

По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. C B Следствие A m р О A =О B О B =О C = По обратной теореме т. О лежит на сер. пер. к отрезку АС О A О C n О 3

Слайд 18

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Теорема C B A А 2 С 2 В 2 A 1 В 1 С 1 По теореме о серединных перпендикулярах: серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. 4

Слайд 19

Замечательные точки треугольника. Точка пересечения медиан Точка пересечения биссектрис Точка пересечения высот Точка пересечения серединных перпенди куляров

Слайд 20

Треугольник, который опирается на острие иглы в точке пересечения медиан, находится в равновесии! Точка, обладающая таким свойством, называется центром тяжести треугольника.

Слайд 21

А В С К М O Т Высоты тупоугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внешней области треугольника. Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине С. Высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внутренней области треугольника. O А В С Точка пересечения высот называется ортоцентр.

Слайд 22

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. Эта точка замечательная – точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности. O

Слайд 23

Эта точка замечательная – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника является центром описанной окружности. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярно к нему. O