«Решение квадратных уравнений с помощью свойств коэффициентов»
план-конспект занятия по алгебре (8 класс) на тему

Материал к уроку по теме «Решение квадратных уравнений с помощью свойств   коэффициентов»

Тема: «Решение квадратных уравнений с помощью свойств   коэффициентов»

Тип занятия: Изучение нового материала

Вид занятия: Урок  углубления знаний

Возраст учащихся: 8 класс

Форма работы: индивидуальная, групповая

Оборудование: мультимедийный компьютер.

Методы обучения:

• Познавательный
• Частично-поисковый
• Систематизирующий
• Коммуникативный
• Логический

Цель:

Формирование знания и умения решения квадратных уравнений с помощью свойств коэффициентов

Задачи:

Обучающие:

• Познакомить с теорией способа решения квадратных уравнений с помощью свойств коэффициентов
• Познакомить с применением способа решения квадратных уравнений с помощью свойств коэффициентов на практике
• Сформировать умения составлять алгоритмы для данного способа решения квадратных уравнений
• Развитие вычислительных навыков
• Развитие  кругозора учащихся

Развивающие:

• Развитие умения наблюдать, анализировать.
• Способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, познавательных интересов, творческих способностей учащихся.
• Развитие коммуникативных качеств личности

Воспитательные:

• Воспитание навыков сотрудничества в процессе совместной работы.

• Содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, отношения ответственной зависимости, взаимопомощи, умения общаться, толерантности у детей
• Воспитание самостоятельности, умения представлять выбранный способ решения уравнения

Структура занятия

• Организационный момент. Вступительное слово учителя
• Актуализация опорных теоретических и практических знаний о способах решения квадратных уравнений
• Объяснение нового материала
• Закрепление нового материала
• Подведение итогов

Оформление доски: на доске написано

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезно решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче, эффективнее. Так вырабатывается опыт».                                                                                                                                                                                                                                                                                                У.У. Сойер    

Организационный момент.          

Вступительное слово учителя. Сообщается цель, задачи занятия, план работы на занятии.

Актуализация опорных теоретических и практических знаний – повторение формул корней квадратных уравнений, алгоритмов известных способов решения квадратных уравнений.

С целью повторения и закрепления теоретических знаний проводится математический диктант. Продолжите предложение:

1. Уравнение вида ax2  + bx + c = 0 называется...

2. Дискриминант находится по формуле  D =...

3.Формула корней квадратного уравнения  x =…

4. Если D > 0, то квадратное уравнение имеет …

5. Если D < 0, то уравнение …

6. Если D = 0, то уравнение….

7. Уравнение вида x2 +  qx +  p = 0 называется …

8. Уравнения вида ax2 = 0, ax2 + b x= 0, ax2 + c = 0, где а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0 называются …

9.Если х1 и х2 – корни уравнения х2 + рх + q = 0, то справедливы формулы            x1 + x2 =… и  х1 х2 =…

Взаимопроверка (ответы проецируются на экран).

 Работа в группах (учащиеся делятся на 3 группы, назначается руководитель группы, который помогает организовать работу группы).

На экран проецируются в произвольном порядке различные виды квадратных уравнений. I группа выписывает и решает уравнения вида ax2+bx+c=0. II группа – приведённые квадратные уравнения.  III группа –   неполные квадратные уравнения.

1) 2x2 – 9x + 4 = 0                    4) x2 – 6x – 16 = 0                              7) 10 + 3x-x2 = 0 

2) x2 – 16x = 0                           5) 9 –  x2  = 0                                      8) 8x2 + 8 = 0

3) 7x2  +9x + 2 = 0                    6) 3 – 5x – 2x2 = 0                               9) x2-5x-1 = 0

Руководители групп делегируют учеников поочередно к доске для решения уравнений.

 Далее повторение следующих способов решения квадратных уравнений:

1. Способа разложения на множители

7х2 + 9х + 2 = 0

2. Способа выделения квадрата двучлена

3х2 + 2х – 5 = 0

3. Графического способа

х2 – 2х – 3 = 0

К доске выходят по одному представителю от каждой группы, остальные учащиеся решают в тетради. I группа решает квадратное уравнение разложением левой части уравнения на множители, II группа – выделением квадрата двучлена, III группа – графическим способом.

Проверка проводится по группам учащихся с одинаковыми заданиями.

1) Способом разложения на множители:

7х2 + 9х + 2 = 0

7х2 + 7х + 2х + 2 = 0

7х (х + 1) + 2(х +1) = 0

(7х + 2) (х + 1) = 0

7х + 2 = 0 или  х + 1 = 0

х = – 2/7 или х = – 1

Ответ: – 2/7; –1.

2) Способом выделения квадрата двучлена:

3х2 + 2х – 5 = 0

3(х2 + 2/3 х –5/3) = 0

х2 + 2* 1/3 х + 1/9 – 1/9 – 5/3=0

(х + 1/3)– 16/9 = 0

(х + 1/3)= 16/9

х + 1/3 = 4/3 или х + 1/3 = –4/3

х = –5/3 или х = 1

Ответ: –5/3; 1.

3) Графическим способом

 х2 – 2х – 3 = 0

у = х2 , графиком является парабола

у = 2х + 3, графиком является прямая

Прямая и парабола

имеют две общие точки,

абсциссы которых являются

корнями уравнения

х2 – 2х – 3 = 0

Ответ: – 1; 3.

Изучение нового материала. Ознакомление ещё с одним способом решения квадратных уравнений, который поможет быстро и, притом, устно найти корни уравнения. Его можно назвать так: свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Рассмотрим несколько квадратных уравнений и найдём сумму коэффициентов.

5x2 – 8x + 3 = 0                           x1 = 11   x2 = 3/5                             5 – 8 + 3 = 0

6x2 – 7x + 1 = 0                           x1 = 11   x2 = 1/6                             6 – 7 + 1 = 0

2x2 + 3x – 5 = 0                           x1 = 11   x2 = 5/2                             2 + 3 – 5 = 0

x2 – 8x + 7 = 0                             x1 = 11   x2 = 7                               1 – 8 + 7 = 0

Какой вывод вы можете сделать?

Вывод: Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна 0, то:

1) один корень равен 1;

2) другой корень равен C/а.

Решите устно (уравнения спроецированы на экран).

1) x2 + 23x – 24 = 0

2) 2x2 + x – 3 = 0

3) x2 + 15x – 16  = 0

4) 5x2 + x – 6 = 0

5) 7x2 – 9x + 2  = 0

6) 4x2 –  x – 3  = 0

7) 1999x2 – 2000x + 1 = 0

8) 839x2 – 448x – 391 = 0

Проверка: представители групп записывают варианты своих ответов на доске.

Решим письменно на доске и в тетрадях 3 квадратных уравнения (по одному уравнению каждой группе) по формулам корней квадратных уравнений:

1) 4x2  +7x +  3= 0

2) x2 – 9x – 10 = 0

3) 5x2 – 4x – 9 = 0

Попробуйте найти некую закономерность в корнях уравнений в соответствии с коэффициентами. Сделайте вывод.

Вывод: Если для коэффициентов выполняется равенство  а – в + с = 0, то один из корней уравнения равен  –1, а другой – с/а.

Решите устно уравнения (спроецированы на экран).

1) 11x2 + 27x + 16 = 0

2) x2 – 7x – 8 = 0

3) 9x2 + 10x + 1 = 0

4) 6x2 + 5x – 1 = 0

5) 7x2 +  x – 6= 0

6) 939x2 + 978х + 39 = 0

Проверка: Запись ответов на доске по группам.

Доказываем справедливость полученных выводов и записываем доказательство с примерами в  справочной тетради.

 Пусть дано квадратное уравнение

ах2 + bх +  с = 0, а ≠ 0.

1.Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то    х1 = 1, х2  = . 

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

х2  +  х +   = 0.

Согласно теореме Виета

По условию а + b + с = 0, откуда  b =  – а – с. Значит,  

Получаем х1 = 1, х2  = , что и требовалось доказать.

2. Если а – b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2  = –  . 

Доказательство. По теореме Виета

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

т.е. х1 = – 1 и х2  =  , что и требовалось доказать.  

   Примеры

1. Решим уравнение 345х2  – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как  а +  b +  с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х1  = 1,  х2  =  =     = –  

Ответ: 1; – .

2. Решим уравнение 132х2 + 247х + 115 = 0

Решение. Так как  а  –  b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то  х1= – 1,  х2= –    

Ответ: – 1; – .

Самостоятельная работа.

1. 5х2 – 7х + 2 = 0                            5) 839х2 – 448х – 391 = 0
2. 3х2 + 5х – 8 = 0                            6) 939х2 + 978х +39 = 0
3. 11х2 + 25х – 36 = 0                      7) 313х2 + 326х + 13 = 0
4. 11х2 + 27х +16 = 0                       8) 2006х2 – 2007х + 1 = 0

 Итог занятия.

Подвести итоги занятия.

Учитель сообщает о том, что есть еще несколько способов решения квадратных уравнений, которые будут рассмотрены на следующих занятиях, рекомендует поискать их в математических книгах.