мастер класс Лента Мёбиуса
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Слайд №1

О сколько нам открытий чудных
Готовят просвещенья дух
И опыт, сын ошибок трудных,
И гений, парадоксов друг,
И случай, бог изобретатель...
                                     А.С.Пушкин.

 Добрый день уважаемые коллеги! Сегодня я хочу, чтобы вы вспомнили об одном удивительном объекте. И посмотрели как с помощью простых опытов, можно поведать детям о его  удивительных свойствах. А открыть этот объект помог случай!                                                                                                        Эта история произошла в 1858 году. На улице шел дождь. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя немецкого астронома и математика Августа Фердинанда Мёбиуса.

На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была разгневана, и  требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту. Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: “Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. У ленточки нет изнанки!” 

- Вы наверное уже догадались как была названа такая лента?

Слайд 2

Открытие ленты Мёбиуса в конце XIX в. и положило начало развития  нового раздела современной геометрии – топологии, которая изучает свойства тел и поверхностей пространства, которые не изменяются при деформации, например,  растяжении, сжатии или изгиба 

Парам раздаются карточки с заданием, тексты с дополнительной информацией, заготовки лент,  ножницы, маркер, клей

На  столах у участников  лежит  лента,   на которой изображены   хитрая лиса и шустрый заяц. Хитрая лиса на одной стороне ленты, а шустрый заяц на другой

Слайд №3

 Соедините края полоски, так чтобы у вас получилось кольцо. Как вы думаете, сможет ли лиса, не пересекая кромки листа, догнать зайца? Сколько сторон у кольца?

Ответы коллег ……… . (У кольца 2 стороны . Лиса   бегает  по одной стороне, а  заяц  по другой стороне,  поэтому  лиса  не сможет  догнать зайца)

А теперь давайте склеим полоску по-особенному.

Перед склеиванием противоположных сторон поверните одну из них  на      

и вместо кольца  получим ленту Мёбиуса.

Представьте, что ваша лиса бежит по «дорожке», не пересекая, кромки листа и оставляет хвостом за собою след в виде непрерывной линии. Проведите эту линию по всей стороне, на которой находится лиса, пока она не сомкнется. По окончании исследования и расскажите о своих результатах.

Парам выдаются карточка с вопросами, на которые они ответят, проведя исследование.

- Что вы получили?

- Сможет ли теперь лиса догнать зайца?

- Какой вывод вы можете сделать о количестве сторон ленты Мёбиуса?

- Как называется такая поверхность? 

Послушаем, какой результат получили пары  проводившие  исследование.                                                                          

Ответы коллег ……… .(Мы получили кольцо с одним оборотом, которое называется лентой Мёбиуса. Не пересекая кромки листа,  мы провели  непрерывную линию и убедились, что лиса  догоняет зайца и оставляет след на всей поверхности ленты. Особенность   ленты Мёбиуса в том , что она представляет собой одностороннюю поверхность.)  

Несмотря  на свою простоту, лист Мёбиуса обладает рядом неожиданных свойств. Сейчас  мы  проведём  опыты и попробуем  эти свойства установить.

Слайд №4

Опыт 1

Разрежьте лист Мёбиуса по средней линии.

 - Что у вас получилось? Проведите непрерывную линию не пересекая кромки листа, и установите  сколько сторон имеет получившаяся поверхность. Является ли эта поверхность Листом Мёбиуса? Где в практической деятельности  люди используют ленту Мёбиуса?

Слайд №5 А вот что у нас получилось!

Слайд № 6 

Опыт 2

Отступите от края 1/5 ширины листа Мёбиуса и разрежьте вдоль.

- Что у вас получилось?

Является ли эта поверхность Листом Мёбиуса? Где в практической деятельности  люди используют ленту Мёбиуса?

Слайд №7 а вот что у нас получилось !

Слайд №8

 Опыт 3

Разрежьте ленту с тремя полуоборотами по средней линии.

- Что у вас получилось? Где в практической деятельности  люди используют ленту Мёбиуса?

Слайд №9

Что же получится ? А вот что!

Слайд№10

 Опыт 4

Разрезать по средней линии поверхность, состоящую из ленты Мёбиуса и кольца,  склеенных  между собой.

- Что у вас получилось?                                                                                            - Является ли эта поверхность Листом Мёбиуса? Где в практической деятельности  люди используют ленту Мёбиуса?

Игрушка эта очень полюбилась не только математикам. У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит памятник ленте Мебиуса – на пьедестале медленно вращается стальная лента, закрученная на полвитка. Памятники ленте Мёбиуса есть и в России: в Москве у кинотеатра Горизонт, и в Екатеринбурге.

Довольно много разнообразных работ с изображением листа Мёбиуса оставил известный голландский график М.Эшер (1898-1971)

Например, на литографии "Лента Мебиуса II. Красные муравьи». Если вы проследите путь муравьев, то увидите, что муравьи ползут по листу Мёбиуса.

Морис Эшер известен, прежде всего, своими литографиями и гравюрами на дереве и металле, в которых он мастерски исследовал визуальные парадоксы, а также особенности психологического восприятия сложных трёхмерных объектов.

До начала 50-х годов он не был широко известен, но после ряда выставок и статей в американских журналах (Time и др.) он получает мировую известность. Среди его восторженных поклонников много математиков, которые видят в его работах оригинальную визуальную интерпретацию некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования.

 Эшер был очарован всевозможными парадоксами и в том числе "невозможными фигурами". Посмотрите внимательно на литографию «Монашеский труд». С первого взгляда кажется изображен реальный объект, но постепенно вы понимаете, что что-то не так.

- Какой парадокс вы заметили?

Ответы коллег … (На картине  монахи идут по замкнутой лестнице: одни все время вверх  , а другие – вниз. Такого  в  реальной  жизни  не может быть .)

Как вы думаете , какую проблему наших коллег физиков в литографии Водопад решил Морис Эшер?

Ответы коллег …(Падающая  вода приводит  в движение мельничное колесо и течет по наклонному зигзагообразному желобу между двумя башнями, возвращаясь к точке, где водопад начинается снова . Создается впечатление, что водопад является замкнутой системой, работающей по типу вечного двигателя.)

А сейчас подведём итоги нашего занятия и заполним таблицу:

 слайд№

1 опыт:

Получилась лента с двумя полуоборотами, имеющая две поверхности – не лист Мёбиуса.                                                                                          Из дополнительной информации: Лист Мебиуса излюбленный предмет для фокусников. Ленту с двумя полуоборотами фокусники называют «афганская лента». Людей приводят  в восторг аттракционы “Американские горки”, которые построены по принципу ленты Мёбиуса.

2 опыт:

Получаются две сцепленные ленты, одна —лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами.                                                    Из дополнительной информации: Используется при изготовлении ременных передач. Ремень в виде ленты Мёбиуса будет изнашиваться вдвое медленнее, чем обычный. В виде ленты Мёбиуса делают полосу ленточного конвейера, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается.

3 опыт:

Получилась лента, завитая в узел трилистника. Из дополнительной информации: Применялись ленты Мёбиуса в системах записи на непрерывную плёнку, чтобы удвоить время записи. Так, например, были созданы кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты с “двух сторон” не меняя их местами.  

4 опыт   Получится квадратная рамка.

Из дополнительной информации:  В матричных принтерах красящая лента также имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.

Есть гипотеза, что спираль ДНК  тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия.

Итог:       Уважаемые коллеги, при проведении мастер – класса я хотела показать, как с помощью занимательных опытов можно познакомить детей с понятием односторонней поверхности и её свойствами. Донести до сознания детей, что математические объекты и законы применяются как в повседневной жизни, так и в искусстве.

Ещё Блез Паскаль - великий французский физик и математик утверждал: «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая, сделать его немного занимательным».