Урок в 9 классе "Сумма арифметической прогрессии"
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

Конспект урока по  теме:

«Сумма n-первых членов арифметической прогрессии»

«Математика может 

открыть определенную 

последовательность

 даже в хаосе».

(Гертруда Стайн)

Образовательные цели: 

выработать прочные навыки действий с формулами, отработать алгоритм нахождения суммы n -первых членов арифметической прогрессии.

Воспитательные цели: воспитание коммуникативной и информационной культуры учащихся.

Развивающие цели: интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика, активизация самостоятельной деятельности.

Форма организации обучения: фронтальная, индивидуальная, групповая.

I. Организационный момент (1 мин.)

Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку, определение отсутствующих. (Слайд 2)

II.  Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности (4 мин.)

Фронтальная работа с классом. Теоретический опрос.

1. Какая последовательность называется арифметической прогрессией?

2. Выполнить задания. Назвать первый член арифметической прогрессии, разность, n-й член. (Слайд 3,4)

III. Проверка выполнения домашнего задания (4 мин.)

Учащимся было задано задание: придумать свою конечную арифметическую прогрессию и найти суммы: первого и последнего членов, второго и предпоследнего, и т.д. Затем сделать выводы и сформулировать полученную особенность для любой конечной арифметической прогрессии. (Трое учеников заранее подготовили на доске своё решение, затем с места прокомментировали и сделали вывод). (Слайд 5)

IV. Изучение нового материала. (20 мин.)

1. Вместе с ребятами формулируем тему урока, называем цели и задачи урока. (Слайд 6)
2. Сообщение из истории математики. (Слайд 7)

     Крупнейший немецкий математик Карл Гаусс (1777— 1855) в раннем возраст проявил необыкновенные способности к  изучению арифметики.

    Семи лет Карл начал учиться в народной школе. В этом типе учебных заведений два первых года обучения почти  полностью отводились на чтение и письмо.  И мальчик Гаусс из среды своих одноклассников ничем не  выделялся.

    Положение изменилось с переходом Карла в третий класс. В этом классе основное внимание уделяли арифметике.

     Учитель, по фамилии Бюттнер, на одном из уроков предложил третьеклассникам найти сумму всех натуральных чисел от единицы до ста.

    Нервно заскрипели на аспидных досках грифели учеников. Их всех, за исключением только одного, пугала нависшая угроза почувствовать на собственном теле сильные удары хлыста учителя. Ведь многие из них очень хорошо знали по личному опыту, что учитель больно хлещет не только за ошибки, но и за отставание от товарищей.

    Этим одним был Карл Гаусс. Ему удалось почти мгновенно решить предложенную учителем задачу.

По установленному в классе распорядку решивший задачу первым клал свою доску на середину большого стола. Туда и положил свое решение маленький Гаусс, едва только учитель договорил последние слова формулировки задачи.

    Насмешливый взгляд Бюттнера, не расстававшегося с хлыстом, был весьма выразительным. Наставник Гаусса даже и не допускал мысли, что на столь поспешно положенной доске может оказаться правильное решение задачи.

    Но Карл оставался совершенно спокойным. Он был уверен в правильности своего ответа.

    Долго сидел маленький Гаусс в ожидании окончания работы своими товарищами. Очень много прошло времени, прежде чем следующая доска легла на его доску. Но в конце концов доски учеников последовательно легли друг на друга.

    Учитель привычным движением рук перевернул эту кучу досок так, чтобы начать просмотр с тех работ, которые были сданы первыми.

     Работа Карла удивила учителя. Решение мальчика было не только правильным, но к тому же весьма простым и оригинальным.

    В решении Карла ярко проявилась его математическая зоркость. Ему оказалось достаточным взглянуть на запись задания 1+2 + 3+ ...  +98 + 99 + 100, чтобы заметить, что сумма каждой  пары слагаемых, которые одинаково отстоят от концов записанного выражения, равна 101  

 ( 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, ...,50 + 51).

А таких пар, рассуждал дальше мальчик, в два раза меньше, чем слагаемых, т. е. 50. Выходит, что вся искомая сумма равна 101*50 = 5050.

     Способности   Гаусса  в области счета всегда удивляли  людей, которым доводилось с ним встречаться. В   развитии   этих способностей очень большую роль сыграли целеустремленность, трудолюбие и тщательность выполнения каждой работы, в том числе и чисто ученических упражнений. При выполнении вычислений  Карл  Гаусс всегда  соблюдал образцовый порядок.   Каждую цифру он  писал четко; каждое число занимало надлежащее ему место.

      Почти неизвестно ошибок в работах Гаусса. Он умел своевременно выявлять и исправлять свои ошибки. С этой целью им широко использовались различные способы проверки.

3. Ребятам предлагается побыть «Гауссами» и самостоятельно найти суммы своих арифметических прогрессий, придуманных в домашнем задании.

Для этого они разбиваются на группы и за минуту пытаются справиться с заданием, затем представитель каждой команды показывает своё решение у доски. (Слайд 8)

4. Далее идёт разбор решения этой задачи, представленной Гауссом. (Слайд 9)
5. Учащиеся самостоятельно называют формулу, которую будем доказывать. (Слайд 10) В тетрадях записываем доказательство формулы суммы n-членов арифметической прогрессии. (Слайд 11-14)

 Sn=а1 +а2 +…+аn-1 +аn 

Sn=аn +аn-1 +…+а2 +а1 

              __________________              

            2Sn=(а1 + а ) п                или Sn = (а1 +аn )п/2  

V. Закрепление знаний. (7 мин.)

1. Записываем пример с доски, который предварительно обговаривается.

(Слайд 15)

2. Решение примеров из учебника с комментированием учащегося у доски, а остальные выполняют в тетрадях. № 16.33-16.35(б) (Слайд 16)

VI. Самостоятельная работа по вариантам в парах (с последующей самопроверкой). (7 мин) (Слайд 17)

• Дано: а1 = 5, а10 = 23

          Найти: S10  

• Дано: а1 = -2, d = 1

          Найти: S50 

• Дано: а1 = 4, а12 = 16

          Найти: S12 

• Дано: а1 = -1, d = 2

          Найти: S40 

Два человека выполняют работу на закрытых досках, остальные на листочках.

Взаимопроверка в парах и выставление оценок карандашом соседу по парте.

Листочки с отметками собираются. (Слайд 18)

VII. Подведение итогов, домашнее задание (2 мин.)

1. Выставление оценок за урок.

2. Запись домашнего задания. № 16.33-16.37(а), №16.39, №16.59(а)*

(Слайд 19-20)