Рабочая программа элективного курса "Замечательные неравенства"
рабочая программа по алгебре (11 класс) на тему

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ   ЗАПИСКА

Рабочая программа составлена на основе   программы  С.А. Гомонова «Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения».

     Элективный курс «Замечательные неравенства» рассчитан на 35 часов для учащихся 11 классов, которым интересна математика и ее приложения, и которым захочется глубже и основательнее познакомиться с ее методами и идеями.

     Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика. Предлагаемый курс освещает намеченные, но совершенно не проработанные в общем курсе школьной математики  вопросы, начиная от доказательства простейших числовых неравенств, до обоснования «замечательных» неравенств Коши-Буняковского, Чебышева и Иенсона. Навыки в использовании этих неравенств необходимы всякому ученику, желающему хорошо подготовиться к решению задач самого высокого уровня.

     Цель курса: изучение избранных классов неравенств с переменными и научное обоснование методов их получения, а также практическое применение изученного теоретического материала.

     Задачи курса:

     - рассмотреть примеры на установление истинности числовых неравенств и основные          методы  решения данных задач;

     - рассмотреть частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применение;

     - рассмотреть метод математической индукции и его применение к доказательству  неравенств;

     - познакомить учащихся с неравенством Коши для произвольного числа переменных;

     - доказать неравенство Коши-Буняковского и показать его применение для решения задач;

     - познакомить учащихся с неравенством Чебышева и некоторыми его обобщениями;

     - дать представление о математике как общекультурной ценности на примерах применения неравенств в математической статистике, экономике, для решения некоторых классов задач оптимизационного характера без применения средств дифференциального исчисления.

     Данный элективный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся, использует целый ряд межпредметных связей.

СОДЕРЖАНИЕ ПРГРАММЫ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

     1. Числовые неравенства и их свойства

     Понятие положительного и отрицательного числа, число нуль. Основные законы сложения и умножения действительных чисел. Свойства суммы и произведения положительных чисел. Понятие «больше» для действительных чисел, его геометрическая интерпретация и  свойства. Понятия «меньше», « не больше», «не меньше» для действительных чисел и их свойства. Числовые неравенства.

     2. Основные методы установления истинности числовых неравенств с переменными.

     Сравнение двух чисел – значений числовых выражений « по определению», путем сравнения их отношения с единицей, путем сравнения их степеней, путем сравнения их с промежуточными числами ( числом), метод введения вспомогательной функции, метод использования «замечательных» неравенств.

     3. Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными.

     Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применение. Неравенство-следствие. Равносильные неравенства. Равносильные задачи на доказательство или опровержение неравенств. Методы установление истинности неравенств с переменными: метод «от противного», метод анализа, метод усиления и ослабления, метод подстановки, метод использования тождеств, метод введения вспомогательных функций, метод понижения степеней выражений, образующих левую и правую части неравенств.

     4. Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств. Неравенство Коши для произвольного числа переменных.

    Индукция вообще и в математике в частности. Система аксиом  Дж. Пеано. Схема применения принципа математической индукции. Некоторые модификации метода математической индукции. Две теоремы о сравнении соответствующих членов двух последовательностей с помощью сравнения  разности или отношения двух соседних членов одной последовательности с разностью  или отношением двух членов другой последовательности. Примеры. Неравенство Коши для произвольного числа переменных. Некоторые неравенства, эквивалентные неравенству Коши.

     5. Неравенство Коши-Буняковского и его применение для решения задач.

     Формулировка и обоснование теоремы, устанавливающей соотношение Коши-Буняковского  и дающая критерий реализации этого соотношения в варианте равенства. Геометрическая интерпретация неравенства Коши-Буняковского.  Векторный  вариант записи этого неравенства.

     6. Неравенства подсказывают методы их обоснования.

     Метод Штурма. Использование симметричности, однородности цикличности левой и правой частей неравенств. Геометрические неравенства, устанавливающие соотношения между длинами сторон треугольника.

     7. Средние степенные величины.

     Средние величины в школьном курсе математики, физики. Многообразие «средних» .Среднее арифметическое, среднее геометрическое и соотношение между ними в случае двух параметров. Геометрическая интерпретация. Четыре средние линии трапеции.

     8. Неравенство Чебышева и некоторые его обобщения.

     Неравенство Чебышева: простейший вариант и его обобщение, порожденное понятием одномонотонной  последовательности. Неравенства, обобщающие как неравенство Чебышева, так и неравенство Коши-Буняковского.

     9. Генераторы замечательных неравенств.

     Свойства квадратичной функции – источник простейших неравенств. Неравенство треугольника. Свойства одномонотонных последовательностей – источник замечательных неравенств. Неравенство Иенсона.

     10. Применение неравенств.

     Задача Дидоны ( упрощенный вариант) и другие задачи на оптимизацию. Поиск наибольшего и наименьшего значений функции с помощью замечательных неравенств.

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ

     В результате изучения курса учащиеся должны

     - иметь ясное представление о положительных, отрицательных числах и о числе нуль, а также свойствах, связанных с операциями арифметического сложения и умножения действительных чисел;

     - знать и уметь использовать понятия «не больше» и « не меньше» для действительных чисел, применять такие свойства ряда элементарных функций, как возрастание и убывание, свойства числовых неравенств;

     - уметь применять переходы к сравнению дополнений до единицы и к сравнению расстояний до ближайшего целого числа, а также переход к алгебраическим выражениям;

     - знать и уметь использовать для сравнения значений числовых выражений свойство монотонности  степенной функции;

     - знать неравенство Коши и уметь применять его для решения задач;

     - владеть понятиями неравенство с переменными, решение неравенства, неравенство-следствие, система неравенств, совокупность неравенств, выполнять геометрическую интерпретацию понятий;

     - применять такие методы установления истинности неравенств, как метод синтеза и метод анализа, метод «от противного» и метод использования тождеств;

     - уметь доказывать неравенство Коши для трех и четырех переменных, применять неравенство Коши для обоснования неравенств с переменными;

     - знать метод перебора всех вариантов и уметь применять его при доказательстве неравенств с переменными;

     - иметь представление о системе аксиом Пеано; наизусть знать аксиому математической индукции;

     - иметь представление о нескольких вариантах метода математической индукции и уметь их использовать при решении задач;

     - знать и уметь доказывать неравенство Коши-Буняковского двумя способами (методом вспомогательной функции и с помощью тождества Лагранжа); уметь применять неравенство при решении задач;

     - иметь ясное представление о методе Штурма доказательства неравенств с переменными;

     - знать определение симметрической функции и симметрического неравенства; уметь использовать для доказательства неравенства его симметричность;

     - знать общее определение средней величины произвольного конечного числа действительных чисел; иметь представление о применении в физике средних величин;

     - знать и уметь использовать среднее арифметическое взвешенное при решении задач;

     - знать и уметь доказывать теорему о соотношении между четырьмя средними в случае двух переменных;

     -знать неравенство Чебышева, его доказательство и простейшие обобщения, уметь применять в решении задач;

     - знать и уметь использовать основные свойства линейной и квадратичной функций для обоснования и получения неравенств с переменными;

     - знать неравенство треугольника и теорему косинусов и уметь использовать их для обоснования и получения неравенств.

                                 УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

1. Гомонов С.А. Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. 10-11 классы. Элективные курсы. Учебное пособие для профильных классов общеобразовательных учреждений.- М.: Дрофа, 2005
2. Гомонов С.А. Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. 10-11 классы. Методические рекомендации.- М.: Дрофа, 2005
3. Элективные курсы в профильном обучении под редакцией А.Г.Каспржака. Образовательная область «Математика». Министерство образования РФ.- Национальный фонд подготовки кадров.- М.:Вита-Пресс, 2004

Календарно-тематическое планирование элективного курса
«Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения» для 11а класса

Учитель Касаткина С.М.