Вопросы и задания для тематического контроля по геометрии
учебно-методический материал по алгебре (9 класс) на тему

Особое внимание стоит обратить на основной список тем по геометрии, подлежащей контролю в конце 9 класса на уроках заключительного повторения, а также при прохождении текущего программного материала:

1. Отрезок. Луч. Угол.
2. Треугольники.
3. Основные геометрические построения.
4. Параллельные прямые.
5. Сумма углов треугольника.
6. Четырехугольники.
7. Тригонометрические функции острого угла. Теорема Пифагора.
8. Прямоугольные координаты.
9. Векторы.
10. Подобие.
11. Окружность.
12. Решение треугольника.
13. Многоугольники. Длина окружности.
14. Площадь плоских фигур.

Контрольные вопросы для повторения теоретического материала 

Тема: « Отрезок. Луч. Угол»

Объясните, что такое отрезок с концами А и В. Как он обозначается?

Какие отрезки называются равными?

Объясните, как сравнить два отрезка.

Какая точка называется серединой отрезка?

Объясните, что такое луч. Как обозначаются лучи? Какие лучи называются дополнительными?

Какая фигура называется углом? Объясните, что такое вершины и стороны угла. Как обозначается угол?

Какой угол называется развернутым?

Какие углы считаются равными?

Объясните, как сравнить два угла?

Какой луч называется биссектрисой угла?

Точка С делит отрезок АВ на два отрезка. Как найти длину отрезка АВ, если известные длины отрезков АС и СВ?

Что такое градусная мера?

Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Как найти градусную меру углов АОВ, если известны градусные меры углов АОС и СОВ?

Какой угол называется острым? Прямым? Тупым?

Какие углы называются смежными?

Докажите, что сумма смежных углов равна 180о.

Какие углы называются вертикальными? Докажите, что вертикальные углы равны.

Какие углы называются перпендикулярными? Что называется серединным перпендикуляром к отрезку?

Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, проведенным из данной точке к данной прямой.

Сформулируйте теорему о перпендикуляре, проведенном из данной точки к данной прямой.

Тема: « Треугольники».

Какая фигура называется треугольником? Начертите треугольник и покажите его стороны, вершины и углы. Что такое периметр треугольника?

Какой угол называется внешним углом треугольника?

Какой отрезок называется биссектрисой треугольника?

Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник?

Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник?

Какой треугольник называется остроугольный? Какой треугольник называется тупоугольным?

Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются стороны прямоугольного треугольника?

Какой треугольник называется равнобедренным? Как называются его стороны?

Какой треугольник называется равносторонним?

Какие треугольники называются равными?

Сформулируйте и докажите первый признак равенства треугольников.

Сформулируйте второй признак равенства треугольников.

Сформулируйте теорему о сумме двух внутренних углов треугольника.

Сформулируйте теорему о соотношении внешнего угла треугольника с его внутренним углом, не смежным с этим внешним.

Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Сформулируйте теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.

Сформулируйте третий признак равенства треугольников.

Тема: «Основные геометрические построения».

Какая геометрическая фигура называется окружностью? Что называется радиусом окружности?

Что такое секущая, хорда окружности? Какая хорда называется диаметром?

Объясните, как построить треугольник по трём сторонам?

Объясните, как отложить от данного луча угол, равный данному углу.

Объясните, как построить биссектрису данного угла.

Объясните, как провести серединный перпендикуляр к данному отрезку.

Объясните, как разделить данный отрезок пополам.

Объясните, как через данную точку провести прямую, перпендикулярную прямую данной прямой.

Тема: «Параллельные прямые».

Какие прямые называются параллельными?

Что такое секущая по отношению к двум прямым?

Какие углы называются накрест лежащими?

Какие углы называются соответственными?

Объясните, какие углы называются односторонними.

Сформулируйте признаки параллельности прямых.

Каково взаимное расположение двух прямых, перпендикулярных

Одной и той же прямой?

Сформулируйте аксиому о параллельных прямых.

Можно ли утверждать, что две различные прямые, параллельные

третьей, параллельны между собой?

Сформулируйте теорему об углах, образованных двумя параллельными прямыми секущей.

Тема: «Сумма углов треугольника».

Докажите теорему о сумме углов треугольника.

Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?

Чему равен каждый острый угол равнобедренного прямоугольного треугольника?

Чему равны углы равностороннего треугольника?

Какими могут быть углы в любом треугольнике?

Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Докажите, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Сформулируйте обратную теорему.

Сформулируйте признак равнобедренного треугольника

Что такое равенство треугольников?

Что называется расстоянием от точки до прямой?

Сформулируйте два признака равенства прямоугольных треугольников, непосредственно следующих из первого и второго признаков равенства треугольников.

Докажите признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольных треугольников по гипотенузе и катету.

Тема: «Четырехугольники».

1. Какая фигура называется четырехугольником?

2. Какие вершины четырехугольника называются соседними, какие противолежащими?

3. Что такое диагонали четырехугольника?

4. Какие стороны четырехугольника называются смежными? Какие называются противоположными?

5. Что такое параллелограмм?

6. Сформулируйте и докажите свойство сторон и углов параллелограмма.

7. Что называется расстоянием между параллельными прямыми?

8. Сформулируйте свойства параллелограмма.

9. Сформулируйте признаки параллелограмма.

10. Какой параллелограмм называется прямоугольником?

11. Докажите, что диагонали прямоугольника равны.

12. Сформулируйте признак прямоугольника .

13. Какой параллелограмм называется ромбом? Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят углы пополам.

14. Какой прямоугольник называется квадратом? Сформулируйте основные свойства квадрата.

15. Сформулируйте и докажите теорему Фалеса.

16. Какой отрезок называется средней линией треугольника?

Сформулируйте теорему о средней линии треугольника.

17. Какой четырёхугольник называется трапецией?

18. Как называются стороны трапеции?

19. Какая трапеция называется равнобедренной, какая – прямоугольной?

20. Какой отрезок называется средней линией трапеции?

Сформулируйте теорему о средней линии трапеции.

21. Какие две точки называются симметричными относительно данной точки?

22. Какая фигура называется симметричной относительно данной точки?

23. Какие две точки называются симметричными относительно данной прямой?

24. Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой? Приведите примеры фигур, обладающих: а) центральной симметрией; б) осевой симметрией; в) и центральной и осевой симметрией.

25. Что называется отношением двух отрезков? В каком случае отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1 B1 и C1 D1?

Тема: «Тригонометрические функции острого угла. Теорема Пифагора».

Что называется косинусом, синусом и тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

Приведите основные тригонометрические тождества.

Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30о, 45о, 60о?

Как выражается катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол?

Как выражается катет прямоугольного треугольника через другой катет и острый угол?

В чем состоит решение прямоугольного треугольника?

Каковы основные случаи решения прямоугольного треугольника?

Тема: «Прямоугольные координаты».

Что называется координатной осью?

Что называется координатной точки, лежащей на оси Ох?

Объясните, как вводится прямоугольная система координат на плоскости.

Приведите формулу для вычисления расстояния между двумя точками по их координатам.

Напишите формулы координат середины отрезка.

Дайте определение синуса, косинуса и тангенса для любого угла от 0 до 180о.

Докажите, что для любого угла α, 00<α<1800 , sin(1800 – α) =s in α, cos (1800 – α)= – cos α.

Тема: «Векторы».

Что называется вектором?

Что называется абсолютной величиной вектора?

Какой вектор называется единичным?

Какой вектор называется нулевым?

Какие векторы называются коллинеарными?

Дайте определение равных векторов.

Какие векторы называются противоположными?

Какой вектор называется суммой двух векторов ?

Какой вектор называется разностью двух векторов?

Какой вектор называется произведением данного вектора и данного действительного числа?

В чем состоит разложение вектора по осям Оx и Оy?

Что называется координатами вектора?

Сформулируйте правила нахождения координат суммы и разности вектора, а также произведения вектора на число по заданным координатам векторов.

Что такое скалярное произведение двух векторов?

Как определяется угол между векторами? Чему равно скалярное произведение двух векторов?

Тема: «Подобие».

Какие треугольники называются подобными?

Сформулируйте и докажите первый признак подобия треугольников.

Сформулируйте второй признак подобия треугольников.

Сформулируйте третий признак подобия треугольников.

Какие четыре точки называются замечательными точками треугольника?

Какие две фигуры называются подобными?

Что называется коэффициентом подобия?

Что называется гомотетией?

Какие фигуры называются гомотетичными?

Что такое параллельный перенос?

Тема: «Окружность».

Какая прямая называется касательной к окружности?

Что значит: окружности касаются в данной точке?

Какое касание окружностей называется внутренним, какое – внешним?

Что называется плоским углом?

Какой угол называется центральным?

Какой угол называется вписанным в окружность?

Докажите, что вписанный в окружность угол равен половине соответствующего центрального угла.

Какая окружность называется вписанной в треугольник?

Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

Какая окружность называется описанной около треугольника?

Где лежит центр окружности, описанной около треугольника?

Тема: «Решение треугольника».

Сформулируйте и докажите теорему синусов.

Сформулируйте теорему косинусов.

В чём состоит решение треугольников?

Каковы основные случаи решения треугольников?

Тема: «Многоугольники. Длина окружности».

Что такое ломаная?

Что такое многоугольник?

Какой многоугольник называется выпуклым?

Чему равна сумма углов выпуклого n-угольника?

Какой многоугольник называется вписанным в окружность?

Какой многоугольник называется описанным около окружности?

Какой многоугольник называется правильным?

Приведите формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей правильного n-угольника.

Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей для правильного треугольника, четырехугольника (квадрата), шестиугольника.

По какой формуле вычисляется длина окружности?

По какой формуле вычисляется длина дуги окружности?

Что такое радианная мера угла?

Чему равны радианные меры развернутого и прямого углов?

Тема: «Площадь плоских фигур».

Сформулируйте свойства площади для простых фигур.

Докажите теорему о вычислении площади параллелограмма.

Докажите теорему о вычислении площади треугольника.

Какие вам известны формулы для площади прямоугольного треугольника и ромба?

Докажите теорему о площади трапеции.

Сформулируйте теорему о площади правильного многоугольника.

Чему равна площадь круга?

Чему равна площадь сектора?

Тестирование учащихся при проверке теории

Заполните пропуски так, чтобы утверждение было верным

1.Через любые ……точки проходит прямая, и притом …………..

2.Две прямые либо имеют …………общую точку, либо не имеют ……..точек.

3.Если углы вертикальные, то ..…………………………. .

4.Сумма смежных углов равна ………… .

5.Из точки, не лежащей на прямой, … …. перпендикуляр к этой прямой, и притом ………

6.Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:

1)…………………….………………………. углы равны;

2). …………………..……………… углы равны;

3). ……………………..…………………………….. равна 180°.

7.Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она……. . 8.Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она ………..………

9. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они…………………….. 10.Если две прямые, перпендикулярны к третьей, то они…………….

11.Две прямые параллельны, если при пересечении этих прямых секущей

1). ……………………………………….…………….. углы равны,

2). …………..……..………………..…………………. углы равны,

3). ……………….………………..…………………… углов равна 180°.

12.Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, ……любой наклонной, проведенной из этой точки к прямой.

13.Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от ………. 14.Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от…… 15.Сумма углов треугольника равна …………………

16.Средняя линия треугольника ……одной из его сторон и равна ……

17.Внешний угол треугольника равен ….… двух углов треугольника

18.Каждая сторона треугольника ……суммы двух других сторон.

19.В треугольнике:

1) против большей стороны лежит ………………..угол;

2) против большего угла лежит ………………….. сторона.

20. Все медианы треугольника пересекаются в ……, которая делит каждую

медиану в отношении ………, считая от ……………..….

21. Все биссектрисы треугольника пересекаются в ……и каждая из них делит

противоположную сторону на отрезки, ……сторонам треугольника.

22.Все высоты треугольника пересекаются в …………………………

23.Все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в ……………………….

24.В равнобедренном треугольнике:

1) углы ……………………. равны;

2) биссектриса, медиана, высота, проведенные ….……., совпадают.

25.Треугольник является равнобедренным, если:

1)……………………… равны;

2) биссектриса является …………………..;

3) медиана является ………………………;

4) биссектриса является …………………...

26. В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты пересекаются в ……………………

27.Треугольник с тремя равными углами является ………………………..

Тексты задач по основным темам геометрии

Треугольник

Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 32, а боковые стороны 20.Из вершины B проведен перпендикуляр к боковой стороне до пересечения с прямой АС в точке D. Найдите DA и DC.

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно а, а длина высоты, проведенной к основанию, равна длине отрезка, соединяющего середины основания и боковой стороны.

Стороны АВ, BC и АС треугольника АВС равны соответственно

13 см, 15 см и 14 см. Вычислите площадь треугольника, заключенного между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины В.

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ высота СН равна половине биссектрисы AD. Найдите углы треугольника АВС.

Высоты АН и ВК равнобедренного треугольника АВС с основанием BC пересекаются в точке O, АН = BC = 8. Найдите площадь треугольника АВО.

В треугольнике АВС точка E – середина биссектрисы CM. В каком отношении прямая АЕ делит площадь треугольника АВС, если известно, что отношение СА:CВ = p: q?

Площадь треугольника АВС равна 80. Биссектриса BL пересекает медиану СК в точке E, при этом AL:CL = 2:3. Найдите площадь четырехугольника ALEK.

Площадь треугольника ABC равна 120, точка D лежит на отрезке BC так, что BD:CD = 1:2, биссектриса BK пересекает прямую AD в точке L. Найдите площадь четырехугольника KLDC, если AK: KC = 3:1.

На стороне AC треугольника ABC взята точка E такая, что EC = AB. Пусть K − середина BC, M − середина AE. Найдите градусную меру угла BAC, если ∠ KME = 20°.

Четырехугольник

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты точки K, L и T соответственно, причем . Найдите площадь треугольника ABC, если KBLT−параллелограмм с площадью, равной 7.

В параллелограмме ABCD углы B и D – острые. Известно, что BK – биссектриса угла B, CM – биссектриса угла C, а точки K и M лежат на отрезке AD. Найдите, как площадь трапеции BCMK относится к площади ABCD, если BC =10, AB = 3.

Прямая, проходящая через вершину A квадрата ABCD, пересекает сторону CD и точке M и продолжение стороны BC в точке N. Найдите сторону квадрата, если AM = 5, MN = 3.

В треугольник ABC со сторонами AB = 10, BC = 7, AC = 15 вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне AC, одна – на стороне AB и одна − на стороне BC. Через середину D стороны AC и центр квадрата проведена прямая, которая пересекается с высотой BH треугольника ABC в точке M. Найдите площадь треугольника DMC.

Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 25см2 и 16см2. Найдите площадь трапеции.

Дана трапеция ABCD с основаниями AD = а и BC = b. Точки М и N лежат на сторонах АВ и CD соответственно, причем отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Диагональ АС пересекает этот отрезок в точке О. Найдите MN, если известно, что площади треугольников АМО и CNO равны.

Длины диагоналей трапеции равны 9см и 12см, а длина ее средней линии равна 7,5 см. Найдите площадь трапеции.

Углы при одном из оснований трапеции равны 44° и 46°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 44 см и 46 см. Найдите основания трапеции.

Найдите площадь трапеции, если ее диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2.

Окружность

Окружность проходит через середины гипотенузы АВ и катета BC прямоугольного треугольника АВС и касается катета АС. В каком отношении точка касания делит катет АС?

Длина катета АС прямоугольного треугольника АВС равна 8 см. Окружность с диаметром АС пересекает гипотенузу АВ в точке М. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что АМ:MВ = 16:9.

Длина медианы CM треугольника АВС равна 5 см. Окружность с диаметром СМ пересекает стороны АС и BC в их серединах. Найдите периметр треугольника АВС, если его площадь равна 24см2.

В окружности с центром O проведены две хорды MN и PQ, при этом ᴗ PQ + ᴗ MN = 180°. На хорду MN опущен перпендикуляр OH, на хорду PQ опущен перпендикуляр AH1. Докажите, что PQ = 2OH.

Окружность и треугольник

Треугольник ABC, в котором ∠ A = 45°, AB = AC, вписан в окружность радиуса 4, а хорда этой окружности, проходящая через вершину B и центр вписанной в этот треугольник окружности, пересекает сторону AC в точке M. Найдите площадь треугольника AMB.

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведенную из вершины В, в отношении 13:12, считая от точки В. Найдите длину стороны BC треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 26 см.

Через точку D основания АВ равнобедренного треугольника АВС проведена прямая CD, пересекающая описанную около треугольника АВС окружность в точке Е. Найдите АС, если СЕ = 3 и DE= DC.

В параллелограмме ABCD длина диагонали BD равна 5 см, угол C равен 60°. Окружность, описанная около треугольника ABD, касается прямой CD. Найдите периметр параллелограмма.

В треугольнике KLM угол L тупой, а сторона KM = 6. Найдите радиус описанной около треугольника KLM окружности, если известно, что на этой окружности лежит центр окружности, проходящей через вершины K,M и точку пересечения высот треугольника KLM.

Площадь ромба ABCD равна 18. В треугольник ABD вписана окружность, которая касается стороны АВ в точке К. Через точку К проведена прямая, параллельная диагонали АС и отсекающая от ромба треугольник площади 1. Найдите синус угла BAC.

Прямоугольный треугольник ABC разделен высотой CD, проведенной к гипотенузе, на два треугольника BCD и ACD. Радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники, равны 4 и 3 соответственно. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Окружность и четырехугольник

Вершины четырехугольника ABCD делят длину описанной около него окружности в отношении АВ:BC: СD: СА = 2:17:4:13. Найдите площадь четырехугольника, если АС = 8 см, BD = 9 см.

Четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность. Перпендикуляры, опущенные и на сторону AD из вершин B и C, пересекают диагонали AC и BD в точках E и F соответственно. Известно, что BC = 1. Найдите EF.

Хорда окружности удалена от центра на расстояние h. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, две другие – на хорде. Чему равна разность длин сторон квадрата?

Около окружности описана трапеция ABCD, боковая сторона AB перпендикулярна основаниям, M – точка пересечения диагоналей трапеции. Площадь треугольника CMD равна S. Найдите радиус окружности.

Трапеция вписана в окружность, диаметр которой является основанием трапеции и равен 2. Найдите второе основание трапеции, если одна из боковых ее сторон равна 3.

Около окружности радиуса 3 описана равнобедренная трапеция. Площадь четырехугольника, вершинами которого являются точки касания окружности и трапеции, равна 12. Найдите площадь трапеции.

Две окружности

К двум непересекающимся окружностям проведены две общие внешние касательные и общая внутренняя касательная. Докажите, что отрезок внутренней касательной, заключенный между внешними касательными, равен отрезку внешней касательной, заключенному между точками касания.

Окружность радиуса 6 см касается внешним образом второй окружности в точке С. Прямая, проходящая через точку С, пересекает первую окружность в точке А, а вторую окружность − в точке В. Найдите радиус второй окружности, если АС = 4 см, BC = 6 см.

Две окружности с радиусами 5 и 3 касаются в точке О. Их общая касательная, проходящая через точку О, пересекает внешние касательные этих окружностей в точках А и B соответственно. Найдите АВ.