олимпиада по математике
олимпиадные задания по алгебре на тему

Задания для учащихся 8-9 классов.

1.Вася решал пример на черновике, а затем переписал решение в тетрадь, но забыл поставить скобки. Вот что у него получилось: 6*8+20 4-2=40. Расставьте забытые Васей скобки. (1 балл).

2.У двух человек имеется одинаковая сумма денег. Сколько денег должен отдать первый второму, чтобы у второго стало на100 рублей больше?(2 балла)

3.Товар четырежды уценивали на 25 %.  На сколько процентов его уценили в целом? (3 балла)

4.Докажите, что если медиана треугольника равна половине стороны, на которую она опущена, то треугольник прямоугольный. (4 балла)

5.Шли 12 человек и несли 12 хлебов. Каждый мужчина нес по два хлеба, каждая женщина по полхлеба, а каждый ребенок по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?

Задания для учащихся 8-9 классов.

1.Вася решал пример на черновике, а затем переписал решение в тетрадь, но забыл поставить скобки. Вот что у него получилось: 6*8+20 4-2=40. Расставьте забытые Васей скобки. (1 балл).

2.У двух человек имеется одинаковая сумма денег. Сколько денег должен отдать первый второму, чтобы у второго стало на100 рублей больше?(2 балла)

3.Товар четырежды уценивали на 25 %.  На сколько процентов его уценили в целом? (3 балла)

4.Докажите, что если медиана треугольника равна половине стороны, на которую она опущена, то треугольник прямоугольный. (4 балла)

5.Шли 12 человек и несли 12 хлебов. Каждый мужчина нес по два хлеба, каждая женщина по полхлеба, а каждый ребенок по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?

Задания для учащихся 8-9 классов.

1.Вася решал пример на черновике, а затем переписал решение в тетрадь, но забыл поставить скобки. Вот что у него получилось: 6*8+20 4-2=40. Расставьте забытые Васей скобки. (1 балл).

2.У двух человек имеется одинаковая сумма денег. Сколько денег должен отдать первый второму, чтобы у второго стало на100 рублей больше?(2 балла)

3.Товар четырежды уценивали на 25 %.  На сколько процентов его уценили в целом? (3 балла)

4.Докажите, что если медиана треугольника равна половине стороны, на которую она опущена, то треугольник прямоугольный. (4 балла)

5.Шли 12 человек и несли 12 хлебов. Каждый мужчина нес по два хлеба, каждая женщина по полхлеба, а каждый ребенок по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?

Задания для учащихся 8-9 классов.

1.Вася решал пример на черновике, а затем переписал решение в тетрадь, но забыл поставить скобки. Вот что у него получилось: 6*8+20 4-2=40. Расставьте забытые Васей скобки. (1 балл).

2.У двух человек имеется одинаковая сумма денег. Сколько денег должен отдать первый второму, чтобы у второго стало на100 рублей больше?(2 балла)

3.Товар четырежды уценивали на 25 %.  На сколько процентов его уценили в целом? (3 балла)

4.Докажите, что если медиана треугольника равна половине стороны, на которую она опущена, то треугольник прямоугольный. (4 балла)

5.Шли 12 человек и несли 12 хлебов. Каждый мужчина нес по два хлеба, каждая женщина по полхлеба, а каждый ребенок по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?

Задания для учащихся 8-9 классов.

1.Вася решал пример на черновике, а затем переписал решение в тетрадь, но забыл поставить скобки. Вот что у него получилось: 6*8+20 4-2=40. Расставьте забытые Васей скобки. (1 балл).

2.У двух человек имеется одинаковая сумма денег. Сколько денег должен отдать первый второму, чтобы у второго стало на100 рублей больше?(2 балла)

3.Товар четырежды уценивали на 25 %.  На сколько процентов его уценили в целом? (3 балла)

4.Докажите, что если медиана треугольника равна половине стороны, на которую она опущена, то треугольник прямоугольный. (4 балла)

5.Шли 12 человек и несли 12 хлебов. Каждый мужчина нес по два хлеба, каждая женщина по полхлеба, а каждый ребенок по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?

Задания для учащихся 8-9 классов.

1.Вася решал пример на черновике, а затем переписал решение в тетрадь, но забыл поставить скобки. Вот что у него получилось: 6*8+20 4-2=40. Расставьте забытые Васей скобки. (1 балл).

2.У двух человек имеется одинаковая сумма денег. Сколько денег должен отдать первый второму, чтобы у второго стало на100 рублей больше?(2 балла)

3.Товар четырежды уценивали на 25 %.  На сколько процентов его уценили в целом? (3 балла)

4.Докажите, что если медиана треугольника равна половине стороны, на которую она опущена, то треугольник прямоугольный. (4 балла)

5.Шли 12 человек и несли 12 хлебов. Каждый мужчина нес по два хлеба, каждая женщина по полхлеба, а каждый ребенок по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?

Задания для учащихся 5 класса.

1. В числе 513879406 вычеркни 4 цифры так, чтобы оставшиеся цифры в том же порядке составили 1)наибольшее число

                 2)наименьшее число (1 балл)

2. Вася решал пример на черновике, а затем переписал решение в тетрадь, но забыл поставить скобки. Вот что у него получилось: 6*8+20 4-2=40. Расставьте забытые Васей скобки.  (2 балла)

3.Восстановить запись

А. *63* - 25*6 = 1*54

Б. 4*23 – 12** = *205    (3 балла)

4.Скорость стрекозы 10 м/с, а скорость шмеля 18 км/ч. Кто из них летит быстрее и во сколько раз?  (4 балла)

5 На складе имеются гвозди в ящиках по 16 кг., 17кг., и 40 кг. Как кладовщику отпустить 100 кг. Гвоздей не вскрывая ящики?  (5 баллов)

        Задания для учащихся 5 класса.

1. В числе 513879406 вычеркни 4 цифры так, чтобы оставшиеся цифры в том же порядке составили 1)наибольшее число

                 2)наименьшее число (1 балл)

2. Вася решал пример на черновике, а затем переписал решение в тетрадь, но забыл поставить скобки. Вот что у него получилось: 6*8+20 4-2=40. Расставьте забытые Васей скобки.  (2 балла)

3.Восстановить запись

А. *63* - 25*6 = 1*54

Б. 4*23 – 12** = *205    (3 балла)

4.Скорость стрекозы 10 м/с, а скорость шмеля 18 км/ч. Кто из них летит быстрее и во сколько раз?  (4 балла)

5 На складе имеются гвозди в ящиках по 16 кг., 17кг., и 40 кг. Как кладовщику отпустить 100 кг. Гвоздей не вскрывая ящики?  (5 баллов)

        Задания для учащихся 5 класса.

1. В числе 513879406 вычеркни 4 цифры так, чтобы оставшиеся цифры в том же порядке составили 1)наибольшее число

                 2)наименьшее число (1 балл)

2. Вася решал пример на черновике, а затем переписал решение в тетрадь, но забыл поставить скобки. Вот что у него получилось: 6*8+20 4-2=40. Расставьте забытые Васей скобки.  (2 балла)

3.Восстановить запись

А. *63* - 25*6 = 1*54

Б. 4*23 – 12** = *205    (3 балла)

4.Скорость стрекозы 10 м/с, а скорость шмеля 18 км/ч. Кто из них летит быстрее и во сколько раз?  (4 балла)

5 На складе имеются гвозди в ящиках по 16 кг., 17кг., и 40 кг. Как кладовщику отпустить 100 кг. Гвоздей не вскрывая ящики?  (5 баллов)

Школьная олимпиада 
6 класс 
16 октября 2004 г.

1. Среднестатическая корова съедает 4.5 тонны сена за весь год, сколько тон свежей травы нужно запасти на одну корову, если влажность свежескошенной травы равна 60%, а сена 15%?

2. В выражении 2004:2005:2006:2007:2008:2009:2010:2011:2012 расставить скобки так, чтобы результат была а) минимальным, б) максимальным.

3. На прямой взяли 5 различных точек. Сколько различных отрезков с концами в этих точках можно образовать?

4. Каково наибольшее число квартир в стоквартирном доме, у которых сумма цифр номера одинакова?

5. Имеются два клетчатых коврика, состоящих из одинаковых по размеру белых и черных квадратных клеток, чередующихся, как на шахматной доске. Один коврик имеет размеры 3x3, а другой 4x4 клетки. Нужно разрезать каждый из этих ковриков на две части, не разрезая при этом клетки, и сложить из полученных четырех фигур один новый квадратный «шахматный» коврик. Как это сделать?

Школьная олимпиада 
11 класс 
13 октября 2001г.

1. (3 балла) Некоторую работу могут выполнить трое рабочих. Второй и третий могут вместе выполнить ее в два раза быстрее первого. Первый и третий могут вместе выполнить ее в три раза быстрее второго. Во сколько раз первый и второй могут выполнить работу быстрее, чем третий.

2. (5 баллов) Две окружности пересекаются в точках М и N. Общая касательная этих окружностей касается их в точках А и В. Доказать, что

∠ ANB + ∠ AMB= 180°.

3. (7 баллов) Решить числовой ребус (одинаковым цифрам соответствуют одинаковые буквы, разным — разные):

AB×CD=EEFF.

4. (7 баллов) В институте работает 100 человек Известно, что из любых четверых можно выбрать одного, который знаком с тремя остальными. Доказать, хотя бы один человек в институте знаком со всеми остальными

5. (9 баллов) Известно, что рациональные числа a и b таковы, что число рациональное. Доказать, что числа и рациональные

6. (9 баллов) В правильном n - угольнике проведены все диагонали. На всех сторонах и диагоналях поставлено по стрелке (например, как это сделано на рисунке). Для любого ли n можно, так расставить стрелки, чтобы, начав движение с одной из вершин, невозможно было вновь вернуться в нее, двигаясь по сторонам и диагоналям только в направлениях, указанных стрелками.

Школьная олимпиада 
11 класс 
4 ноября 2000г.

1. (4 балла) Доказать,что для любых x и y отличных от 0 выполняется неравенство

2. (5 баллов) Доказать, что в любой компании найдутся двое, имеющие одинаковое количество знакомых из этой компании.

3. (5 баллов) Можно ли в клетках таблицы 5*5 записать числа так, чтобы в каждом квадрате 2*2 сумма чисел была положительна, а во всей таблице --- отрицательна?

4. (7 баллов) Внутри n-угольника, каждая сторона которого равна a, взята произвольная точка. Доказать, что сумма расстояний от этой точки до сторон этого n-угольника равна 2*S/a, где S --- его площадь.

5. (9 баллов) На доске написаны числа 1, 2,..., 2000. Можно ли так расставить между ними знаки + и -, чтобы в результате получилось 1?

6. (10 баллов) Двое по очереди делают надрезы на прямоугольном листе бумаги в клетку m*n по следующим правилам:

1. Каждый надрез прямолинеен и идет по линиям сетки;
2. Каждый надрезы начинается либо на границе листа, либо в узле сетки (точке пересечения двух линий), до которого уже дошел хотя бы один надрез;
3. Все надрезы заканчиваются в узлах сетки.

Школьная олимпиада 
6 класс 
11 октября 2003 г.

1. Четно или нечетно число ?

2. За круглым столом сидят 100 человек, из них 51 — лысые. Доказать, что какие-то двое лысых сидят друг напротив друга.

3. Рубик разрубает свой кубик на маленькие кубики. Сколько раз ему придется взмахнуть топором, чтобы это сделать, если наложения кусков кубика друг на друга при разрубании разрешены? Найти минимальное значение.

4. В детский сад привезли кубики, красные и синие. Каждому из 100 детей выдали по 3 кубика, и каждый ребенок построил из своих кубиков башню. Какое наибольшее число различно раскрашенных башен могло получиться? А если выдали по 4 кубика? По 5?

5. Разведка звездной империи ФИГ-45 перехватила секретное шифрованное сообщение враждебной планеты Медуза: ДУРАК+УДАР=ДРАКА. Известно, что разные цифры зашифрованы разными буквами, а одинаковые цифры — одинаковыми буквами. Два электронных думателя взялись найти решение и получили два разных ответа. Может ли такое быть или один из них надо сдать в переплавку?

6. Ладья стоит на поле a1. За ход разрешается сдвинуть ее на любое число клеток вправо или на любое число клеток вверх. Выигрывает тот, кто поставит ладью на поле h8.

Школьная олимпиада 
6 класс 
12 октября 2002г.

1. Как от куска материи 2/3 метра отрезать полметра, не имея под руками метра?

2. При сложении двух целых числе ученик по ошибке поставил во втором слагаемом лишний ноль на конце и получил в сумме 6641 вместо 2411. Определить слагаемые.

3. На олимпиаду пришли 10 учащихся из одного класса. Сколькими способами можно их распределить по четырем аудиториям, в которых они будут писать работу?

4. Доказать, что 1110-1 делится на 100 без остатка.

5. В алфавите языка племени Ни-Бум-Бум 22 согласных и 11 гласных, причем словом в этом языке называется произвольное буквосочетание, в котором нет двух согласных подряд и ни одна буква не использована дважды. Алфавит разбили на 6 непустых групп. Докажите, что из всех букв одной из групп можно составить слово.

6. Имеются две кучки конфет: в одной - 20, в другой - 21. За ход нужно съесть одну из кучек, а вторую разделить на две не обязательно равных кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Исследовать выигрышные стратегии для каждого игрока.

Школьная олимпиада 
9 класс 
12 октября 2002г.

1. В треугольнике центр вписанной и описанной окружностей совпадают. Доказать, что треугольник равносторонний.

2. Решите числовой ребус

КАК=БК.

3. Решить в целых числах уравнение

1+x+x2+x3=y2.

4. а) Дан кусок проволоки длиной 120 см. Можно ли, не ломая проволоки, изготовить каркас куба с ребром 10 см?
б) Какое наименьшее число раз придется ломать проволоку, чтобы все же изготовить требуемый каркас?

5. Квадрат 8×8 сложен из доминошек 1×2. Докажите, что какие-то две из них образуют квадрат 2×2.

Школьная математическая олимпиада 
9 класс 
1999г.

1. (3 балла) Двое играют в поддавки на 100-клеточной доске (у каждого первоначально по 20 шашек). После одного из ходов число черных шашек относилось к числу белых как 3 к 2. Еще через несколько ходов общее число шашек на доске уменьшилось на 4 и число черных шашек стало относиться к числу белых как 4 к 3. Сколько шашек осталось на доске в этот момент?

2. (5 баллов) Дан четырехугольник; A, B, C, D - последовательные середины его сторон, P, Q - середины диагоналей. Доказать, что треугольник BCP равен треугольнику ADQ. 

3. (7 баллов) Можно ли в клетках таблицы 5 x 5 записать числа так, чтобы в каждой строке сумма чисел была положительна, а в каждом столбце - отрицательна?

4. (7 баллов) 20 человек пришли в гости в ботинках (все ботинки разных размерен). Уходили они по одному и каждый надевал произвольную пару ботинок, в которые мог влезть (то есть не меньшего размера чем его собственная). Какое наименьшее число людей смогло надеть ботинки?

5. (9 баллов) Дано число N=2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31 (произведение одиннадцати первых простых чисел). Пусть 1, 2, 3, 5, 6,. ...., N - все его делители, выписанные в строку в порядке возрастания. Под рядом делителей выпишем ряд из +1 и -1 по следующему правилу: под 1 пишем +1, под числом, разлагающимся в произведение четного числа простых сомножителем пишем +1, а под остальными числами пишем -1. Доказать, что сумма построенного таким образом ряда равна 0.

6. (9 баллов) Даны карточки с числами 1, 2, .... 8 - по 222 карточки с каждым числом. Двое по очереди берут карточки по одной и выкладывают их в отдельную стопку. Все числа на карточках в этой стопке суммируются. Игрок выигрывает, если после его хода эта сумма становится равна 1999, или если его противник вынужден сделать ход, после которого сумма превысит 1999. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию? Опишите ее.

Школьная математическая олимпиада 
6 класс 
1999г.

1. Найти все такие натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить нуль.

2. Разделить прямоугольник со сторонами 1 и 2 на треугольники так, чтобы все они были равнобедренными и остроугольными (треугольник называется равнобед-ренным, если у него есть две равные стороны; остроугольным - если все его углы меньше 90°).

3. Двое играют в такую игру. Из кучки, где лежит 1999 камешков, каждый по очереди забирает один или два камешка. Проигрывает тот, кто вынужден забрать последний камешек. Кто из игроков выиграет при правильной игре - первый или второй? Описать выигрышную стратегию.

4. Количество цифр, потребовавшихся для нумерации всех страниц энцикло-педического словаря, не превосходит 2000 (первая страница имеет номер 1). Если бы в словаре было на одну страницу больше, то это количество превысило бы 2000. Сколько страниц в словаре?

5. В некоторой стране 99 городов. Любые два города можно связать авиалинией. Какое наименьшее число авиалиний достаточно проложить, чтобы из любого города в любой другой можно было долететь не более чем с одной пересадкой? Опишите получающуюся схему авиасообщений и докажите, что меньшим числом авиалиний обойтись нельзя.

Школьная олимпиада 
9 класс 
сш. 119, 1998 г.

1. (8б) На участке трамвайного пути длиной в 1 км. пешеход, проходящий этот участок в течение 12 минут, ежедневно подсчитывал число трамваев, его обгоняющих и встречных. В течение года первых оказалось 225, вторых --- 600. Определить скорость трамвая.

2. (2б) Найти два трехзначных числа, зная, что их сумма кратна 498, а частное кратно 5.

3. (6б) Найти все такие двузначные числа A, для каждого из которых два из следующих четырех утверждений верны, а два -- неверны:
а) A делится на 5, 
б) A делится на 23, 
в) A+7 есть точный квадрат,
г) A-10 есть точный квадрат.

4. (4б) Верно ли, что среди любых 30 различных натуральных чисел, не превосходящих 50, всегда можно выбрать два, одно из которых вдвое больше другого?

5. (3б) Дан угол в 19о. Построить циркулем угол в 1о.

6. (7б) Из шахматной доски вырезаны одна черная и одна белая клетки. Доказать, что её можно замостить без наложения фишками домино 2*1.

Решения задач школьной олимпиады 
9 класс 
сш. 119, 1998 г.

1. Скорость пешехода 5 км./ч. Количество встречных и обгоняющих трамваев пропорционально их скоростям сближения, т.е. v+5 км./ч. и v-5 км./ч. (где v --- скорость движения трамвая). Отсюда получается пропорция:

Следовательно, v=11 км./ч. 

2. Эти два числа не могут отличаться в 10 раз, иначе одно из них не трехзначное (значит они отличаются только в 5 раз). Их сумма может равняться: 1) 498, 2) 996, 3) 1494, 4) 1992. Иэ этих вариантов дает трехзначные решения только 2).

Ответ: (166, 830).

3. Нужно перебрать все возможные варианты. Их всего 6: 1) а, б; 2) а, в; 3) а, г; 4) б, в; 5) б,г; 6) в,г. Верны только 3) (ответ --- 35) и 6) (ответ --- 74).

4. Нет, неверно. Можно выписать даже 33 таких числа: 1, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 25, 27, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 45, 47, 48, 49.

5. Указание: воспользоваться тем, что 19*19=361.

6. Можно, нужно их выложить по контуру (см. рис.) от любой вырезанной клетки.

Школьная олимпиада
11 класс 1998

1. (6б) Докажите, что являются точными квадратами все числа вида 16, 1156, 111556 и т.д. (в середину предыдущего числа вставляется число 15).

2. (5б) В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съела трёх щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут почувствовать себя сытыми за достаточно большой промежуток времени?

3. (3б) Найдите, какую цифру обозначает каждая буква в следующем равенстве: АХА=БАХ.

4. (6б) Двое пишут 30-значное число, употребляя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую --- второй, третью --- первый и т.д. Может ли второй добиться того, чтобы полученное число разделилось на 9, если первый стремится ему помешать?

5. (2б) Дан угол в 19о. Построить циркулем угол в 1о.

6. (8б) Можно ли замостить шашечную доску 10*10 плитками 4*1?

Решения задач школьной олимпиады 
11 класс 
сш. 119, 1998 г.

1. 16=42, 1156=342. Нужно проверить гипотезу, 33...342=111....556. Легко проверяется умножением в столбик.

2. Разобьем процесс съедения щук по этапам. На первом этапе 7 щук съедают 21 щуку, и еще остается 2. На втором этапе щук всего 9 из них 2 голодных. Эти две съедают 6 щук. На третьем этапе щук всего 5. Одна какая-нибудь съедает трех. И их всего остается 3 штуки. Ответ: 10 щук.

3. 252=625.

4. Да, при правильной игре. Нужно добиваться, чтобы сумма цифр, стоящих на нечетных и четных местах равнялась 6, тогда 6*15=90 и делится на 9.

5. Указание: воспользоваться тем, что 19*19о=361о.

6. Раскрасим доску в четыре цвета, как указано на рисунке (цифры --- номера цветов). Тогда каждая фишка замостит четыре клетки со всеми четырьмя цветами. Но клеток, окрашенных в первый цвет, --- 25, во второй --- 26, в третий --- 25, в четвертый --- 24. Отсюда следует невозможность указанной укладки.

Школьная олимпиада
11 класс

1. (6б) Докажите, что являются точными квадратами все числа вида 16, 1156, 111556 и т.д. (в середину предыдущего числа вставляется число 15).

2. (5б) В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съела трёх щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут почувствовать себя сытыми за достаточно большой промежуток времени?

3. (3б) Найдите, какую цифру обозначает каждая буква в следующем равенстве: АХА=БАХ.

4. (6б) Двое пишут 30-значное число, употребляя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую --- второй, третью --- первый и т.д. Может ли второй добиться того, чтобы полученное число разделилось на 9, если первый стремится ему помешать?

5. (2б) Дан угол в 19о. Построить циркулем угол в 1о.

6. (8б) Можно ли замостить шашечную доску 10*10 плитками 4*1?

Школьная олимпиада
11 класс

1. (6б) Докажите, что являются точными квадратами все числа вида 16, 1156, 111556 и т.д. (в середину предыдущего числа вставляется число 15).

2. (5б) В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съела трёх щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут почувствовать себя сытыми за достаточно большой промежуток времени?

3. (3б) Найдите, какую цифру обозначает каждая буква в следующем равенстве: АХА=БАХ.

4. (6б) Двое пишут 30-значное число, употребляя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую --- второй, третью --- первый и т.д. Может ли второй добиться того, чтобы полученное число разделилось на 9, если первый стремится ему помешать?

5. (2б) Дан угол в 19о. Построить циркулем угол в 1о.

6. (8б) Можно ли замостить шашечную доску 10*10 плитками 4*1?

6 класс

1. Найти все такие натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить нуль.

2. Разделить прямоугольник со сторонами 1 и 2 на треугольники так, чтобы все они были равнобедренными и остроугольными (треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны; остроугольным - если все его углы меньше 90°).

3. Двое играют в такую игру. Из кучки, где лежит 1999 камешков, каждый по очереди забирает один или два камешка. Проигрывает тот, кто вынужден забрать последний камешек. Кто из игроков выиграет при правильной игре - первый или второй? Описать выигрышную стратегию.

4. Количество цифр, потребовавшихся для нумерации всех страниц энциклопедического словаря, не превосходит 2000 (первая страница имеет номер 1). Если бы в словаре было на одну страницу больше, то это количество превысило бы 2000. Сколько страниц в словаре?

5. В некоторой стране 99 городов. Любые два города можно связать авиалинией. Какое наименьшее число авиалиний достаточно проложить, чтобы из любого города в любой другой можно было долететь не более чем с одной пересадкой? Опишите получающуюся схему авиасообщений и докажите, что меньшим числом авиалиний обойтись нельзя.

6 класс

1. Найти все такие натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить нуль.

2. Разделить прямоугольник со сторонами 1 и 2 на треугольники так, чтобы все они были равнобедренными и остроугольными (треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны; остроугольным - если все его углы меньше 90°).

3. Двое играют в такую игру. Из кучки, где лежит 1999 камешков, каждый по очереди забирает один или два камешка. Проигрывает тот, кто вынужден забрать последний камешек. Кто из игроков выиграет при правильной игре - первый или второй? Описать выигрышную стратегию.

4. Количество цифр, потребовавшихся для нумерации всех страниц энциклопедического словаря, не превосходит 2000 (первая страница имеет номер 1). Если бы в словаре было на одну страницу больше, то это количество превысило бы 2000. Сколько страниц в словаре?

5. В некоторой стране 99 городов. Любые два города можно связать авиалинией. Какое наименьшее число авиалиний достаточно проложить, чтобы из любого города в любой другой можно было долететь не более чем с одной пересадкой? Опишите получающуюся схему авиасообщений и докажите, что меньшим числом авиалиний обойтись нельзя.

Задания школьной математической олимпиады – 10 класс

                                                                       2а            b

1. Числа а и b удовлетворяют равенству             +           = 2.  Найти все возможные

                                                                      a + b        a - b                  

                               3a - b        

значения выражения                        .   (2 б)

                                            a + 5b                

2. На координатной плоскости дан параллелограмм, вершины которого находятся в точках с целыми координатами. Доказать, что его площадь выражается целым числом.         (4 б)

                                                                  1

3. Построить график функции у=f(f(f(x))) , если f(x)=             . (3 б)

                                                                1 – х

                                            (х – 3)(х4 – 6х2 – 16)            

4.Решить неравенство:                                  ≤ 0 .   (3 б)

                                        х2

5.При каких значениях параметра а уравнение  х4 – (3а – 1)х2 + 2а2 – а = 0 имеет ровно два различных корня.  (4б)

Задания школьной математической олимпиады – 10 класс

                                                                       2а            b

1. Числа а и b удовлетворяют равенству             +           = 2.  Найти все возможные

                                                                      a + b        a - b                  

                               3a - b        

значения выражения                        .   (2 б)

                                            a + 5b                

2. На координатной плоскости дан параллелограмм, вершины которого находятся в точках с целыми координатами. Доказать, что его площадь выражается целым числом.         (4 б)

                                                                  1

3. Построить график функции у=f(f(f(x))) , если f(x)=             . (3 б)

                                                                1 – х

                                            (х – 3)(х4 – 6х2 – 16)            

4.Решить неравенство:                                  ≤ 0 .   (3 б)

                                        х2

5.При каких значениях параметра а уравнение  х4 – (3а – 1)х2 + 2а2 – а = 0 имеет ровно два различных корня.  (4б)

Задания школьной математической олимпиады – 11 класс

1.Найдите два двузначных числа, если известно, что сумма всех остальных двузначных чисел в 50 раз больше одного из этих чисел.    (7б)

2.Около окружности описан четырехугольник ABCD, у которого AD ⎢⎢СВ. Докажите, что АВ + СD ≥

 2√S, где S – площадь четырехугольника.   (4б)

3.Докажите, что если диагонали параллелепипеда равны, то этот параллелепипед прямоугольный.       (5 б)

4.Найти все значения а, при которых смешанная система имеет единственное решение.

⎧ х2 + у2 + 2х ≤ 1,

⎨                                          (6 б)

⎩  х – у + а = 0.

5.Докажите, что если квадрат натурального числа содержит нечетное число десятков, то цифра единиц квадрата равна 6.            (10 б)

Школьная олимпиада 
7 класс 
16 октября 2004 г.

1. Как разрезать треугольник с углами 15°, 105°, 60° на равнобедренные треугольники?

2. В школе учится 800 учеников. Одни из них знакомы, а другие не знакомы друг с другом. Доказать, что хотя бы у одного из них число знакомых среди учеников нашей школы четно.

3. Имеется ящик сахарного песка, чашечные весы и гиря в один килограмм. Как за 7 взвешиваний отвесить покупателю 100 кг. сахара?

4. Из цифр от 1 до 9 составлены всевозможные двузначные числа, не содержащие повторяющихся цифр. Найти сумму этих чисел.

5. Пароход идет от города X до города Y 5 суток, а обратно – 7 суток. Сколько времени плывут плоты от X до Y?

Школьная олимпиада 
10 класс 
13 октября 2001г.

1. (3 балла) Три брата Артур, Борис и Василий бегут по кольцевой беговой дорожке с постоянными скоростями. Артур и Борис бегут в одном направлении, а Василий - в противоположном. Известно, что Артур догоняет Бориса каждые 5 минут и встречается с Василием каждую минуту. Сколько времени проходит между двумя последовательными встречами Бориса и Василия?

2. (5 баллов) В остроугольном треугольнике ABC высоты пересекаются в точке O. Доказать, что радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников ABC, AOB, AOC, BOC равны между собой.

3. (6 баллов) Каких шестизначных чисел больше тех, которые представляются в виде произведения двух трехзначных чисел или тех, которые не представляются в таком виде?

4. (7 баллов) На доске выписаны n целых чисел (не обязательно различных) Доказать, что из них можно выбрать несколько так, что их сумма будет делиться на n.

5. (9 баллов) В прямоугольном доме 40 комнат (см. рис.) и между каждыми двумя соседними комнатами - дверь Можно ли пройти из A и B так, чтобы через каждую комнату пройти ровно один раз? А из A в C? А из A в D?

6. (10 баллов) На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник m×n клеток. Двое играют в следующую игру. Каждый игрок своим ходом может закрасить несколько подряд идущих клеток в горизонтальной или в вертикальной линии (в частности за ход может быть закрашена одна клетка или, наоборот, целая строчка или столбец). Ходят по очереди. Запрещается закрашивать клетки повторно. Выигрывает тот, кто закрасит последнюю клетку. Кто выигрывает при правильной игре (ответ зависит от m и n)?

7 класс 

1. Как разрезать треугольник с углами 15°, 105°, 60° на равнобедренные треугольники?

2. В школе учится 800 учеников. Одни из них знакомы, а другие не знакомы друг с другом. Доказать, что хотя бы у одного из них число знакомых среди учеников нашей школы четно.

3. Имеется ящик сахарного песка, чашечные весы и гиря в один килограмм. Как за 7 взвешиваний отвесить покупателю 100 кг. сахара?

4. Из цифр от 1 до 9 составлены всевозможные двузначные числа, не содержащие повторяющихся цифр. Найти сумму этих чисел.

5. Пароход идет от города X до города Y 5 суток, а обратно – 7 суток. Сколько времени плывут плоты от X до Y?

7 класс 

1. Как разрезать треугольник с углами 15°, 105°, 60° на равнобедренные треугольники?

2. В школе учится 800 учеников. Одни из них знакомы, а другие не знакомы друг с другом. Доказать, что хотя бы у одного из них число знакомых среди учеников нашей школы четно.

3. Имеется ящик сахарного песка, чашечные весы и гиря в один килограмм. Как за 7 взвешиваний отвесить покупателю 100 кг. сахара?

4. Из цифр от 1 до 9 составлены всевозможные двузначные числа, не содержащие повторяющихся цифр. Найти сумму этих чисел.

5. Пароход идет от города X до города Y 5 суток, а обратно – 7 суток. Сколько времени плывут плоты от X до Y?

7 класс 

1. Как разрезать треугольник с углами 15°, 105°, 60° на равнобедренные треугольники?

2. В школе учится 800 учеников. Одни из них знакомы, а другие не знакомы друг с другом. Доказать, что хотя бы у одного из них число знакомых среди учеников нашей школы четно.

3. Имеется ящик сахарного песка, чашечные весы и гиря в один килограмм. Как за 7 взвешиваний отвесить покупателю 100 кг. сахара?

4. Из цифр от 1 до 9 составлены всевозможные двузначные числа, не содержащие повторяющихся цифр. Найти сумму этих чисел.

5. Пароход идет от города X до города Y 5 суток, а обратно – 7 суток. Сколько времени плывут плоты от X до Y?

Задания школьной математической олимпиады – 10 класс

                                                                       2а            b

1. Числа а и b удовлетворяют равенству             +           = 2.  Найти все возможные

                                                                      a + b        a - b                  

                               3a - b        

значения выражения                        .   (2 б)

                                            a + 5b                

2. На координатной плоскости дан параллелограмм, вершины которого находятся в точках с целыми координатами. Доказать, что его площадь выражается целым числом.         (4 б)

                                                                  1

3. Построить график функции у=f(f(f(x))) , если f(x)=             . (3 б)

                                                                1 – х

                                            (х – 3)(х4 – 6х2 – 16)            

4.Решить неравенство:                                  ≤ 0 .   (3 б)

                                        х2

5.При каких значениях параметра а уравнение  х4 – (3а – 1)х2 + 2а2 – а = 0 имеет ровно два различных корня.  (4б)

7 класс 

1. Как разрезать треугольник с углами 15°, 105°, 60° на равнобедренные треугольники?

2. В школе учится 800 учеников. Одни из них знакомы, а другие не знакомы друг с другом. Доказать, что хотя бы у одного из них число знакомых среди учеников нашей школы четно.

3. Имеется ящик сахарного песка, чашечные весы и гиря в один килограмм. Как за 7 взвешиваний отвесить покупателю 100 кг. сахара?

4. Из цифр от 1 до 9 составлены всевозможные двузначные числа, не содержащие повторяющихся цифр. Найти сумму этих чисел.

5. Пароход идет от города X до города Y 5 суток, а обратно – 7 суток. Сколько времени плывут плоты от X до Y?