ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ 7-11 КЛАССА (ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП ВСЕРОССИЙСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ)
олимпиадные задания по алгебре по теме

7  КЛАСС

1.  Даны числа: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.

Впишите их в клетки девятиклеточного квадрата так, чтобы получилось в сумме одно и то же число по любой вертикали, горизонтали и диагонали.

2.  Как тремя движениями ножа разрезать сыр на восемь равных кусков?

3. Цена товара дважды увеличивалась: сначала на 20%, потом – на 30%. На сколько процентов увеличилась цена товара в результате двойного повышения?

4. Вычислите наиболее рациональным способом:

101101*999-101*999999.

5. Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

8  КЛАСС

1. На сколько градусов повернется часовая стрелка через 44 минуты.

2.  Длина товарного поезда 500 м и он движется со скоростью 50 км/ч. За сколько минут он пройдет тоннель длиною 1 км?

3. Построить график функции:

               6x, если  <1,5,

        9,  если  

               5x-1, если 2<

4. 1997***   делится на 1996. Сколько способов существует заменить *** цифрами?

5.        В группе 29 студентов. Среди них 14 любителей  классической музыки, 15-джаза, 14 – народной музыки. Классическую музыку и джаз слушают 6 студентов, народную музыку и джаз – 7, классику и народную – 9. Пятеро студентов слушают всякую музыку, а остальные не любят никакой музыки. Сколько их?

9 КЛАСС

1. Даны числа: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16.

Впишите их в клетки шестнадцатиклеточного квадрата так, чтобы получилось в сумме одно и то же число по любой вертикали, горизонтали и диагонали.

2. Числитель и знаменатель дроби -  положительные числа. Числитель увеличили на 1, а знаменатель на  10. Может ли увеличиться при этом дробь? Объясните.

3.  В четырехугольнике ABCD углы при вершинах B и D прямые, AB=BC,  BHAD, BH=1. Найдите площадь четырехугольника ABCD.

4. В одной семье было много детей. 7 из них любили капусту, 6 – морковь, 5 – горох, 4 – капусту и морковь, 3 – капусту и горох, 2 – морковь и горох, 1 – и капусту, и морковь, и горох. Сколько детей было в семье?

5. Имеется 16 различных по весу камней. Как за 22 взвешивания на чашечных весах без гирь определить самый легкий и самый тяжелый камни?

10 КЛАСС

1. Учащиеся 10 «а» и 10«б» классов отправились на экскурсию. Юношей было 16, учащихся 10«б» класса – 24, девушек 10«а» столько, сколько юношей из 10«б» класса. Сколько всего учащихся побывали на экскурсии?

2.    Найдите значение выражения:

,

при b = -2011.

3. Решить уравнение:  (x-y)(x+y)=21.

4. Найти последнюю цифру числа: 2259+5320+3206+4129, подробно пояснить ход решения.

5. В треугольнике ABC из вершины В проведен отрезок ВЕ к противоположной стороне, который делит треугольник АВС на два подобных с коэффициентом подобия . Найдите углы треугольника АВС.

11 КЛАСС

1. Представьте, если можно, в  виде обыкновенной дроби число 0,22(15).

2. Решите уравнение: 2.

3. Говядина без костей стоит 240 рублей за 1 кг. Говядина с костями - 208 руб./кг., а кости без говядины – 40 руб./кг. Сколько костей в 1 кг. говядины.

4. Сколько лет человеку, если в 2012 году его возраст оказался равным сумме цифр года его рождения.

5. Решите уравнение:  

7 КЛАСС

РЕШЕНИЕ

1. Даны числа: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.

Впишите их в клетки девятиклеточного квадрата так, чтобы получилось в сумме одно и то же число по любой вертикали, горизонтали и диагонали.

Ответ:

20        45        10

15        25        35

40        5        30

2. Как тремя движениями ножа разрезать сыр на восемь равных кусков?

3. Цена товара дважды увеличивалась: сначала на 20%, потом – на 30%. На сколько процентов увеличилась цена товара в результате двойного повышения?

Решение:

Пусть x – первоначальная цена товара,

1,2 x – цена после первого повышения,

1,3(1,2x)- цена после второго повышения, 1,3*1,2x=1,56x, значит на 56%.

ОТВЕТ: на 56 %.

4. Вычислите наиболее рациональным способом:

101101*999-101*999999.

Решение:

101101*999-101*999999=(101*1001)*99-101*(999*1001)=0

5. Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

Решение:

Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

8 КЛАСС

РЕШЕНИЕ

1. На сколько градусов повернется часовая стрелка через 44 минуты.

    60 мин  - 30º

         44 мин – x, значит 44*30/60=22.

Ответ: 22º.

2. Длина товарного поезда 500 м и он движется со скоростью 50 км/ч. За сколько минут он пройдет тоннель длиною 1 км?

1,5/50*60=1,8 минуты.

Ответ: 1,8 мин.

3. Построить график функции:

               6x, если  <1,5,

        9,  если  

               5x-1, если 2<

Решение:  

4.  1997***   делится на 1996. Сколько способов существует заменить *** цифрами?

Решение: способ только один  996, то есть 1997996. Если бы существовали другие способы, то числа отличались бы от этого числа по крайней мере на 1996, т.е. первые четыре цифры не совпадали бы с 1997 .

5.        В группе 29 студентов. Среди них 14 любителей  классической музыки, 15-джаза, 14 – народной музыки. Классическую музыку и джаз слушают 6 студентов, народную музыку и джаз – 7, классику и народную – 9. Пятеро студентов слушают всякую музыку, а остальные не любят никакой музыки. Сколько их?

9 КЛАСС

РЕШЕНИЕ

1. Даны числа: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16.

Впишите их в клетки шестнадцатиклеточного квадрата так, чтобы получилось в сумме одно и то же число по любой вертикали, горизонтали и диагонали.

 Решение:

   16        2        3        13

     5        11        10        8

     9        7        6        12

     4        14        15        1

2. Числитель и знаменатель дроби -  положительные числа. Числитель увеличили на 1, а знаменатель на  10. Может ли увеличиться при этом дробь? Объясните.

3. В четырехугольнике ABCD углы при вершинах B и D прямые, AB=BC,  BHAD, BH=1. Найдите площадь четырехугольника ABCD.

4. В одной семье было много детей. 7 из них любили капусту, 6 – морковь, 5 – горох, 4 – капусту и морковь, 3 – капусту и горох, 2 – морковь и горох, 1 – и капусту, и морковь, и горох. Сколько детей было в семье?

5. Имеется 16 различных по весу камней. Как за 22 взвешивания на чашечных весах без гирь определить самый легкий и самый тяжелый камни?

10 КЛАСС

РЕШЕНИЕ

1. Учащиеся 10 «а» и 10«б» классов отправились на экскурсию. Юношей было 16, учащихся 10«б» класса – 24, девушек 10«а» столько, сколько юношей из 10«б» класса. Сколько всего учащихся побывали на экскурсии?

Ответ: 40

2. Найдите значение выражения:

, при b = -2011.

Решение: применяя формулу разности квадратов двух выражений получаем, что исходное выражение равно 1- b=1-(-2011)=2012

Ответ: 2012

3. Доказать, что число 7n+1+82n-1 делится на 19.

Доказательство: по методу математической индукции:

1. n=1, 72+8=57, 57 делится на 19, 57/19=3.
2.  полагаем, n=k, 7k+1+82k-1 делится на 19.
3.  n=k+1, докажем, что 7(k+1)+1+82(k+1)-1 делится на 19

7(k+1)+1+82(k+1)-1=7k+2+82k+1=7*7k+1+82* 82k-1=7*7k+1+64* 82k-1 = =(7*7k+1+7* 82k-1)+57* 82k-1=7(7k+1+ 82k-1)+57* 82k-1

    Первое слагаемое делится на 9 по п. 2, второе слагаемое делится на 19, т.к. 57 делится на 19. ч.т.д.

4. Сколько лет человеку, если в 2011 году его возраст оказался равным сумме цифр года рождения?

1 вар. Человек родился в 19mn году, тогда

           2011-19mn=1+9+m+n

           2011-1900-m-n=10+m+n

           101=11m+2n

m=9, n=1, значит 1991 год, ему 20 лет.

2 вар. Человек родился в 200n году, тогда

           2011-200n=2+n

           2011-2000-n=2+n

           11-2=2n

           9=2n, решений нет

3вар. вручную 2010, 2011- не подходят.

ОТВЕТ: 20 ЛЕТ.

5. В треугольнике ABC из вершины В проведен отрезок ВЕ к противоположной стороне, который делит треугольник АВС на два подобных с коэффициентом подобия . Найдите углы треугольника АВС.

Дано: треугольник ABC, BE, E на АС.

Найти: углы треугольника ABC.

Решение:

1. A=2 (A≠C, так как треугольники подобны с коэффициентом ,A≠4, так как 4 – внешний для треугольника ABE и аналогично
2. C=1.
3. 3=4=90о (как смежные).
4. B=1+2=C+2=3=90о
5.  А=60о, С=30о.(через подобие с коэффициентом и тангенс углов)

Ответ: 60о, 90о, С=30о. тетрадь.

11 КЛАСС

РЕШЕНИЕ

1. Представьте, если можно, в  виде обыкновенной дроби число 0,22(15).

Решение:  пусть x= 0,22(15)=0,221515151515……. Так как в записи этого числа до периода содержится два десятичных знака то умножаем обе части на 100,

100x= 22,15151515….. (1), период состоит из двух цифр, поэтому умножаем на 102,

10000x=2215,1515151515…..(2).

Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем

9900x=2193, значит 0,22(15) =  2193/9900

ОТВЕТ:  2193/9900.

2. Решите уравнение .

Перегруппируем члены уравнения:

(2

Выносим общий множитель sin x за скобки, получим

sin x( 2cos x-1) + ( 2cos x-1)=0(2cos x-1)( sin x+1)=0.

Имеем совокупность равносильную исходному уравнению.

Итак,

 ОТВЕТ: x=±

3. Говядина без костей стоит 240 рублей за 1 кг. Говядина с костями - 208 руб./кг., а кости без говядины – 40 руб./кг. Сколько костей в 1 кг. говядины.

Решение: Пусть x (кг) костей в 1 кг говядины, тогда 1-x (кг) – чистое мясо без костей,

240(1-x) +40x=208

240-240x+40x=208

200x=32

x=0,16 кг

ОТВЕТ:  0,16 кг (160 гр.)

4. Сколько лет человеку, если в 2012 году его возраст оказался равным сумме цифр года его рождения.

1 вар. Человек родился в 19mn году, тогда

           2012-19mn=1+9+m+n

           2012-1900-m-n=10+m+n

           102=11m+2n

m=8, n=7, значит 1987 год, ему 25 лет.

2 вар. Человек родился в 200n году, тогда

           2012-200n=2+n

           2012-2000-n=2+n

           12-2=2n

n=5, значит 2005 год, ему 7 лет

3вар. вручную 2010, 2011, 2012- не подходят.

ОТВЕТ: 7 ЛЕТ, 25 ЛЕТ.

5. Решите уравнение:  

Сделаем замену y=.

Уравнение примет вид:

Уравнение равносильно системе:

,   y=1, y=-3/5,  с учетом y>0, решением системы является y=1.

Cделаем обратную замену и возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

=1 x=1, x=-1.

Ответ: 1; -1.