Различные методы решения задач на проценты
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему

Актуальность данной темы.

Готовясь к  государственной итоговой аттестации, мы столкнулись с необходимостью уметь решать задачи на проценты. При повторении этой темы вспомнили, как решаются задачи разного типа на проценты, и рассмотрели некоторые методы их решения.  На элективном курсе «Решение задач с экономическим содержанием» мы узнали о широком применении процентов в жизни человека и общества в целом. А также узнали некоторые новые методы решения задач на проценты, среди них геометрический метод, а также понятие «сложного процента».  Появилась идея обобщить известные нам данные о решении таких задач, классифицировать типичные задачи на проценты и методы их  решения, чтобы в дальнейшем использовать собранный  материал для подготовки к ГИА и  ЕГЭ.

Цель работы:

1. Классифицировать типичные задачи на проценты.
2. Рассмотреть  различные методы решения задач на проценты.
3. Рассмотреть применение процентов в повседневной и деловой жизни человека.

Задачи работы:

1. Познакомиться с историей возникновения понятия «процент» и его последующем развитием.
2. Классифицировать типы задач на проценты:

а) нахождение нескольких процентов от числа,

б) нахождение числа по значению его процентов,

в) нахождение процентного отношения чисел, на сколько процентов одна величина больше другой..

3.  Разобрать различные методы решения типичных задач:

а)  используя определение понятия процента,

б)  правило нахождения дроби от числа,

в) правило нахождения числа по значению его дроби,

г)  пропорциональность величин,

4.  Применение алгебраического и геометрического метода.

5.  Рассмотреть применение процентов в повседневной и деловой жизни человека:

1)  в химии при решении задач на концентрацию веществ, смеси и сплавы, рассмотреть  разные методы их решения:

а) алгебраический,

б) арифметический.

2)  в статистике при обработке статистических данных:

а) круговые диаграммы,

3)  при покупке и продаже товаров,

4)  в банковском деле:

а) применение «сложных процентов».

1. История возникновения процентов.

Слово «процент» происходит от латинского  «procentum», что буквально означает «на сотню». В популярной литературе возникновение этого термина связывается с внедрением в Европе десятичной системы счисления в XV в. Однако, уже в «Дигестах Юстиниана», датируемых V в., мы находим вполне современное употребление процентов. «Фиск (императорская казна) не уплачивает проценты по заключенным им договорам, но сам получает проценты: например со съемщиков публичных поборов, если эти съемщики слишком поздно вносят деньги; также при просрочке уплаты налогов. Когда же фиск является приемником частного лица, то обычно он уплачивает проценты.

Несли должники, платившие проценты в размере меньше, чем 6 процентов в год, стали должниками фиска, то они обязаны уплачивать 6 процентов годовых с того времени, как требование против них перешло к фиску».

По-видимому, процент возник в Европе вместе с ростовщичеством как предтеча десятичной системы счисления.

Употребление термина «процент» в качестве нормы русского языка начинается, вероятно, с конца XVIII в. Об этом свидетельствует сравнительный анализ текстов двух фундаментальных учебников по математике Ефима Войтяховского (первое издание 1795г.) и Т.Ф. Осиповского (первое издание 1802 г.). В обоих учебниках имеется по нескольку задач «на проценты по вкладу», но Е. Войтяховский оперирует исключительно сотыми долями, тогда как Т.Ф. Осиповский уже употребляет термин «процент».

Привычка к употреблению процентов в сфере денежных отношений благоприятствовала быстрому их внедрению в развивающиеся технологии XIX в. Так, в словаре Брокгауза и Эфрона читаем следующее:

«По предварительным данным переписи 1897 г., население Петербурга оказалось возросшим за 6 лет на 178 тысяч, из которых 150 тысяч  приходится на прилив извне; из всего прироста 85% падает на крестьян, составляющих теперь до 59% всего петербургского населения»

Как видно из отрывка, уже на рубеже IX и XX вв. русскоязычное контекстное понимание процентов максимально локонизируется. В одном предложении фигурируют две различные стопроцентные базы. В последующем это становится нормой деловой речи и литературы.

Для удовлетворения возрастающих требований к точности исчисления малых долей вместо 1% вводится квант 1/1000 – так называемое промилле. Промилле можно часто встретить на страницах книг по медицине и фармакологии, обозначают 0/00.

В операциях с ценными металлами используется другое название кванта 1/1000 – проба. Так, золото 750-й пробы – это сплав с 75 – процентным содержанием золота.

Знак % произошел, как предполагается, благодаря опечатке. В рукописях pro centum часто заменяли словом «cento» (сто) и писали сокращенно – cto. В 1685 году в Париже была напечатана книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto набрал %.

2. Понятие процента.

С этим понятием мы познакомились в 5 классе, изучая математику по учебнику «Математика, 5», В.Я Виленкин.

Процентом называют одну сотую часть.

Так как 1% равен сотой части величины, то вся величина равна 100%.

1% = 1/100. Соответственно, р% = р/100.

Процент некоторых величин имеет название:

 1кг – один процент центнера, 1см – один процент метра, 1а – один процент гектара и т.д.

Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.

Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, надо её умножить на 100.

Например,

1% = 1/100 = 0,01; 2% = 2/100 = 0,02;  20% = 1/10 = 0,1; 100% = 1; 120% = 1,2.

0,03 = 3%;  0,25 = 25%;  0,5 = 50%;  1,2 = 120%.

3. Типичные задачи на проценты и методы их решения.

Различают основные типы задач на проценты.

• Нахождение нескольких процентов числа.

• Нахождение числа по значению его процентов.

• Нахождение сколько процентов одно число составляет от другого.

Решение типичных задач на проценты связано с применением различных методов:

• 1 метод: по определению процента.
• 2 метод: правила  нахождения дроби от числа или нахождения числа по значению дроби.
• 3 метод: пропорциональность величин.

1) 1 тип задач: нахождение нескольких процентов числа

Первый тип задач относится к той ситуации, когда даны количество А и некоторый процент р, а требуется найти количество, которое этот процент выражает.

Эта задача сводится к ответу на вопрос К1: каково количество, составляющее р% от А? Здесь ключевое слово от. То, что стоит за ним принимается за 100%. Этот вопрос может задаваться и в несколько иной форме, например, так: найти р%  от А.

 Аналогичен вопросу  К1 вопрос по нахождению дроби от числа.

При ответе на вопрос К1 можно использовать 1 метод.

а) 1 метод: по определению процента.

Для нахождения  дроби  от А  используют смысл знаменателя дроби, который показывает на сколько долей делят А, и смысл числителя, показывающий сколько долей надо взять. Для  ответа на поставленный вопрос используют  формулу: .

По аналогии отвечаем на вопрос К1.  

Зная, что р% = р/100, находим р% от А, используя формулу

  А : 100 * р.  

Если на количество А приходится 100%, то А : 100 показывает сколько приходится  на 1%, тогда на р% приходится    А :100 * р.

Рассмотрим это на примере решения задачи 1:

В классе 20 учеников. За контрольную работу по математике отметку «5» получили 20% всех учеников. Сколько учеников в классе получили отметку «5»?

     Решение.

1. 20 : 100 = 0,2 (уч.) – 1%
2. 0,2 *  20 = 4 (уч.) – получили отметку «5».

Ответ: 4 ученика.

б) 2 метод: правило  нахождения дроби от числа.

При ответе на вопрос К1 можно использовать изученное нами в 6 классе правило нахождения дроби от числа, в котором также встречается ключевое слова от.

Чтобы найти дробь от числа, надо число умножить на эту дробь.

Найдем  от А по формуле: А * .

Так как р% = р/100, то  р% от А найдем по формуле:  

А * р/100. 

Формула р/100 переводит % в десятичную дробь, поэтому при решении задачи этим методом % переводят в десятичную дробь.

Решение  задачи 1 методом 2.

Решение.

20% = 0,2

20 * 0,2 = 4 (уч.) - имеют отметку «5».

Ответ: 4 ученика.

в) 3 метод: пропорциональность величин.

При решении задач на проценты можно использовать изученные в 6 классе понятия прямо пропорциональных и обратно пропорциональных величин, пропорции и ее основное свойство.

• Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
• Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз, другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
• Пропорцией называется равенство двух отношений.
• Основное свойство пропорции: в верной пропорции произведение крайних членов пропорции равно произведению крайних членов пропорции.

При ответе на вопрос К1 используют прямо пропорциональную зависимость между количественным выражением величины и ее процентным выражением.

Решение  задачи 1 методом 3.

Ответ: 4 ученика получили отметку «5».

2. 2 тип задач на проценты: нахождение числа по значению его процентов.

Этот тип задач относится к ситуации, когда известны р% некоторого количества, а необходимо найти это количество. Эта задача сводится к ответу на вопрос К2: каково количество, р% от которого есть А? Этот вопрос может звучать и так: каково количество, если А составляет р% этого количества? В этом вопросе ключевое слово составляет. За 100% принимается искомое количество.

Задачи этого типа решаются теми же методами, что и задачи 1 типа.

а) 1 метод: по определению процента 

При использовании 1метода при ответе на вопрос К2 используют аналогию с ответом на вопрос: А составляет  от какого числа? Для ответа на этот вопрос используют смысл знаменателя дроби, который показывает на сколько долей делят искомое количество, и смысл числителя, показывающий сколько взяли долей, соответствующие А. Для  ответа на поставленный вопрос используется формула:

По аналогии, так как р% = р/100, то для ответа на вопрос: А составляет р% от какой величины? используем формулу:

А : р * 100.

Формула А : р показывает сколько приходится  на 1%, тогда на 100% приходится  А : р * 100.

Рассмотрим это на примере решения задачи 2:

За контрольную работу по математике отметку «5» получили 4 ученика, что составляет 20% всех учеников. Сколько учеников в классе?

Решение.

1. 4 : 20 = 0,2 (уч.) – 1%
2. 0,2 * 100 = 20 (уч.) – в классе.

Ответ: 20 учеников.

б) 2 метод: правило  нахождения числа по значению его дроби.

 При ответе на вопрос К2 можно использовать изученное нами в 6 классе правило нахождения  числа по значению его дроби.

Чтобы найти число по значению его дроби, надо значение дроби разделить на эту дробь.

В этом случае для ответа на вопрос: А составляет  от какого числа? используют формулу:               .

Так как р% = р/100, то  при ответе на вопрос: А составляет р% от какой величины? используют формулу:

Формула р/100 переводит % в десятичную дробь, поэтому при решении задачи этим методом % переводят в десятичную дробь.

Решение  задачи 2 методом 2:

Решение.

1. 20% = 0,2
2. 4 : 0,2 = 20 (уч.) – в классе

Ответ: 20 учеников.

3. 3 тип задач на проценты: нахождение процентного отношения чисел.

Этот тип задач относится к вопросу К3: сколько процентов составляет А от В?  Аналогичный  вопрос:  какую часть составляет А от В? находится по формуле: А/В.  

В вопросе: сколько процентов составляет А от В? ключевым словом является от, то, что стоит за ним записывают в знаменатель дроби и принимают за 100%. При ответе на этот вопрос применяют формулу

А : В * 100%.

Задачи этого типа также можно решать, применяя пропорциональность величин.

Рассмотрим задачу 3.

Из 1800га поля 558га засажено картофелем. Какой процент поля засажен картофелем?

Решение.

засажено картофелем.

Ответ: 31%.

С вопросом К3 связан вопрос: на сколько процентов  А больше, чем В? Здесь ключевым словом является чем, а то, что стоит за ним пишется в знаменателе дроби и принимают за 100%.

Формула ответа на вопрос: (А – В)/В * 100%.

Аналогичен вопрос: на сколько процентов А меньше, чем В?

Формула ответа на вопрос: (В – А)/В * 100%.

Рассмотрим задачу 4.

Стоимость товара с 200 р. увеличилась в 2 раза. На сколько процентов увеличилась стоимость товара? На сколько процентов прежняя стоимость была меньше по сравнению с настоящей?

Решение.

    1) 200 * 2 = 400(р.) – стала стоимость

    2) 400 – 200 =200(р.) – изменилась стоимость,

    3) 200: 200 = 1 = 100% - увеличилась стоимость,

    4) 200 : 400 = 0,5 = 50% - прежняя стоимость меньше настоящей.

Ответ: увеличилась на 100%; меньше на 50%.

В этой задаче дважды применяется ответ на вопрос К3, но за 100% принимается разная величина.

4. Применение алгебраического и геометрического методов.

Рассмотрим задачу 5.

В одном городе Канады 70% жителей знают французский язык и 80% английский язык. Сколько процентов жителей этого города знают оба языка?

Алгебраический  метод:

Пусть х –жителей знают только английский, у – жителей только французский, z – оба языка. Тогда можно дважды увидеть вопрос К3 и, применив соответствующую формулу получить  2 уравнения:

(x + y)/( x + y + z) = 0,8, (y + z)/(x + y + z) = 0,7.

Сложив оба эти равенства, получим 1 + z/(x + y + z) = 1 + 0,5;

z/(x + y +z) * 100% = 50%.

Ответ: 50%.

Геометрический метод.

Разместим всех жителей  города на отрезке 100% так, что знающие английский стоят на отрезке сплошняком слева, а знающие французский  - сплошняком справа. Тогда общая часть этих множеств есть отрезок

 [30%; 80%], «протяженностью» в 50%.

5. Применение процентов в повседневной и деловой жизни человека.

С процентами мы сталкиваемся в своей повседневной жизни: при покупке товара в магазине со скидкой или при распродаже; при оформлении покупки товара в кредит.

Проценты широко используются в деловой жизни человека: при обработке статистических данных, взятии кредита в банке.

А также в некоторых профессиях, таких как медицина, требуются уметь определять концентрацию веществ.

1) в химии при решении задач на концентрацию веществ, смеси и сплавы.

Концентрация вещества в смеси – это часть, которую составляет масса вещества в смеси от массы смеси. Концентрация вещества может быть указана и числом и %.

Например:

1. Концентрация раствора 3 %;

(В 100 г раствора содержится 3 г вещества).

2. К одной части сахара прибавили 4 части воды. Какова концентрация полученного раствора?

(1: 5 ·100 = 20 %)

Следующую задачу нельзя решить устно.

1. В каких пропорциях нужно смешать раствор 50 % и 70 % кислоты, чтобы получить раствор 65 % кислоты?

а) алгебраический метод

Предположим, что первого раствора нужно взять х г, а второго у г. Считаем, что при смешении нет потерь массы, то есть масса смеси равна сумме масс смешиваемых растворов - (х + у) г. Найдем количество чистой кислоты в 1-ом растворе. Это 0,5х г, во втором растворе 0,7у г, а в смеси будет 0,65(х + у) г кислоты.

     По условию задачи составим и решим уравнение.  

   0,65 (х + у) = 0,5 х + 0,7 у,

   65 х – 50 х = 70 у – 65 у,

  15 х = 5 у,

   3 х = 1 у,

   х : у = 1 : 3.  Нужно взять: 1 часть раствора 50% кислоты и 3 части раствора 70% кислоты

б) арифметический метод.

Запишем концентрацию каждого раствора кислоты и концентрацию смеси.

Вычислим, на сколько концентрация первого раствора кислоты меньше, чем концентрация смеси и на сколько концентрация второго раствора кислоты больше, чем концентрация смеси и запишем результат по линиям.

65

Таким образом, 5 частей нужно взять 50% раствора кислоты и 15 частей 70% раствора кислоты, то есть отношение взятых частей            

Окончательно получаем: 50% раствора кислоты-1 часть, 70% раствора кислоты-3 части.

Докажем справедливость этого способа.

В каких пропорциях нужно смешать растворы а % и b % кислот, чтобы получить раствор с % кислоты? 

Предположим, что первого раствора нужно взять х г, а второго у г. Считаем, что при смешении нет потерь массы, то есть масса смеси равна сумме масс смешиваемых растворов.
Тогда масса смеси будет (х + у) г.

Теперь заполним 3-й столбик. Найдем количество чистой кислоты в 1-м растворе. Это 0,01·ах г, во втором растворе 0,01·bу г, а в смеси будет 0,01·c(х + у) г кислоты.

Составим и решим уравнение

0,01·c(х + у) = 0,01·ах + 0,01·bу,

cx +cy = ax + by

х(с – а) = у(b – c),

Заполним схему, учитывая, что а < c < b.

с

2. Морская вода содержит 5 % соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5 %?

Решение

1,5

Нужно взять 7 частей пресной воды и 3 части морской воды. По условию нам известно, что морской воды 30 кг и это 3 части нового раствора. Значит на одну часть раствора приходится 10 кг. Следовательно, 7 частей пресной воды – это 70 кг.

Ответ: нужно добавить 70 кг пресной воды.

2)  В статистике при обработке статистических данных.

 В статистике часто данные исследований представляются в процентах. Достаточно распространённым способом графического изображения структуры статистических совокупностей является секторная ( круговая) диаграмма, так как идея целого очень наглядно выражается кругом, который представляет всю совокупность, которой соответствуют 100%..

а) круговые диаграммы

Пример: статистика продаж обеденных блюд в кафе в течение полугода.

3. при покупке и продаже товаров.

С ценами на товары  и услуги люди встречаются каждый день, очень важно, чтобы эти встречи не оборачивались для людей финансовыми потерями.

1. Красивая тетрадка летом стоила 40 рублей. Перед началом учебного года, продавец поднял цену на 25%. Однако, тетрадки стали покупать так плохо, что он снизил цену на 10%. Всё равно не берут! Пришлось ему снизить цену ещё на 15%. Вот тут торговля пошла! Какова была окончательная цена?

Решение.

Продавец взвинтил цену на 25% от 40 рублей - это 10 рублей. То есть, подорожавшая тетрадка стала стоить 50 рублей.

А затем сбросил цену на 10% от 50 рублей. 10% от 50 рублей – это 5 рублей. Следовательно, после первого удешевления тетрадь стала стоить 45 рублей.

Считаем второе удешевление. 15% от 45 рублей – это 6,75 рубля. Стало быть, окончательная цена тетрадки:

 45 – 6,75 = 38,25 рубля.

Ответ: 38,25 рубля.

Мы в своей жизни часто оказываемся в роли покупателя, и имеем закономерное желание купить качественный товар по более низкой цене.

2. На весенней распродаже в одном магазине шарф стоимостью 350р. уценили на 40%, а через неделю еще на 5%. В другом магазине шарф, той же стоимости, уценили сразу на 40%. В каком магазине выгоднее купить этот шарф? Ответ: во втором магазине.

Рассмотрим наиболее типичные ситуации повышения – понижения цен.

Если первоначальная цена некоторого товара составляла А0 денежных единиц, то после ее повышения на х% она составила

А0 + А0 * х * 0,01 = А0(1 + х * 0,01).

Аналогично, если первоначальная цена А0 понизилась на х%, то новая составит А0(1 - х * 0,01).

В результате повышения первоначальной цены А0 на х% и последующего понижения на у% окончательная цена равна А0(1 + х * 0,01)(1- у * о,01).

Часто мы сталкиваемся с процентным изменением стоимости товара при покупке его в кредит.

В автосалон “SECOND LIFE AUTO”, вы можете приобрести подержанную автотехнику в отличном состоянии и по доступной цене

• 1. Задача о кредите.

      Договор о кредитовании на 3 месяца: в декабре-60% всей стоимости, в январе – 75% остатка, в феврале – всю оставшуюся сумму.

      Определите, пожалуйста, сколько рублей в каждом месяце вы заплатите и заполните “Договор о кредитовании”.

• 2. Задача о квитанции.

      За оформление права собственности нотариус возьмет с вас 1,5% от стоимости автомобиля в виде нотариальной пошлины. Во сколько рублей вам обойдется ваша покупка вместе с нотариальной пошлиной?

• 3. Задача о страховке.

      Автосалон предлагает заключить договор о страховании автомобиля от угона на 100000 рублей. Определите, какой процент от стоимости вашего автомобиля будет вам выплачен в случае угона. Заполните страховой полис. Страховой взнос-10 % от стоимости покупки.

4. в банковском деле.

Люди часто кладут деньги в банк с целью увеличения своего вклада.

Задача

       Банк начисляет по вкладам ежегодно 4% вклада. Вкладчик внес в этот банк 15000 р. Сколько денег он может снять со своего счета через два года?

       Решение

1. 15000*0,04 = 600(р.)- увеличение за первый год,
2. 15000 + 600 = 15600(р) – станет к концу первого года,
3. 15600*0,04 = 624 (р.) – увеличение за второй год,
4. 15600 + 624 = 16224(р.) – снимет со счета через 2 года.

Ответ: 16224 рубля.

        Формула сложных процентов:

N = a(1 + 0,01p)n, где а – первоначальный вклад, n - срок вклада,N – величина вклада через указанный срок вклада, р – число %.

        Решение

N = 15000*(1 + 0,01*4)2 = 16224(р.)

Вывод:

Умение решать  задачи на проценты очень важно для успешно сдачи ГИА, а также для применения процентов в различных жизненных ситуациях.

При решении задач на проценты  нужно следовать некоторым практическим советам:

1. В задачах на проценты – переходим от процентов к конкретным величинам. Или, если надо – от конкретных величин к процентам. Определяем тип задачи на проценты. Внимательно читаем задачу!

2. Очень тщательно изучаем, от чего нужно считать проценты. Если об этом не сказано прямым текстом, то обязательно подразумевается. При последовательном изменении величины, проценты подразумеваются от последнего значения. Внимательно читаем задачу!

3. Закончив решать задачу, читаем её ещё раз. Вполне возможно, вы нашли промежуточный ответ, а не окончательный. Внимательно читаем задачу!

Использованные источники.

• «Математика,5, 6». Н.Я.Виленкин.
• «Арифметический способ решения задач на смеси и сплавы». Т.В.Каюкова.
• «Справочное пособие по методам решения задач по математике». А.Г. Цыпкин.
• Элективный курс «Решение задач с экономическим содержанием» Т.А. Цаплина.
• История математики в школе (7- 9 кл), Глейзер Г.И
• Проценты в математике. Задачи на проценты.  http://www.egesdam.ru/page230.html
• Википедия – процент http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%F0%EE%F6%E5%ED%F2

Различные типы задач на проценты  и методы их решения.

Подготовила: Савинова  Анастасия,

ученица 9б класса МБОУ СОШ №18

(учитель математики Пастухова Н.А.)

г. Энгельс 2012