«Сложные проценты» в предпрофильных классах.
методическая разработка по алгебре на тему

«Разработка методических рекомендаций обучения учащихся решению задач по теме: «Сложные проценты» в предпрофильных классах».  

                                                   Учитель математики                      

                                                   Мынарева Галина Павловна.

  Содержание:

Введение………………………………………………………………………  3

Глава 1. Теоретические основы обучения темы «Проценты»            

    1.1.Концепция духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России………………………………………………………………. 4-5        

    1.2. ФГОС с учетом изучения темы «Проценты»………………………...6-7

    1.3. Логико-дидактический анализ темы «Проценты»…………………  8-12

Глава 2. Методические рекомендации обучения теме «Сложные проценты»

    2.1.        Ежегодное начисление сложных процентов……………………….. 13-18

    2.2.        Многократное начисление процентов в течение одного года.

Число е……………………………………………………………………….. 19-25

    2.3.        Многократное начисление сложных процентов в течении нескольких

лет…………………………………………………………………………….  26-27

    2.4.        Начисление процентов при нецелом промежутке времени………..  28-32

Заключение…………………………………………………………………...    33

Список литературы…………………………………………………………. 34-35  

Приложение…………………………………………………………………. 36-42

                         Введение.

Модернизация и инновационное развитие – единственный путь, который позволит России стать конкурентным обществом в мире 21-го века, обеспечить достойную жизнь всем нашим гражданам. В условиях решения этих стратегических задач важнейшими качествами личности становятся инициативность, способность творчески мыслить и находить нестандартные решения, умение выбирать профессиональный путь, готовность обучаться в течение всей жизни. Все эти навыки формируются с детства.

 Школа является критически важным элементом в этом процессе. Главные задачи современной школы – раскрытие способностей каждого ученика, воспитание порядочного и патриотичного человека, личности, готовой к жизни в высокотехнологичном, конкурентном мире.

Федеральные государственные стандарты для основной школы приняты. Сейчас стоит задача по реализации ФГОС нового поколения, в основе которого лежит развивающее обучение. Современный учитель должен сделать ставку на полноценное формирование креативного потенциала учащихся, поскольку именно творческая деятельность даёт возможность ребенку занять позицию активного участника процесса обучения, реализовывать собственные жизненные замыслы, приобретать полноценные универсальные учебные действия, позволяющие самосовершенствоваться на протяжении всей жизни. По своей сути универсальные учебные действия приобретают смысл «ключевых образовательных компетенций». На современном этапе информационной революции в значительной степени изменились требования к образованному человеку. Сегодня ему невозможно знать всё о достижениях в естественных и гуманитарных науках, но очень важно научиться применять свои знания в конкретных жизненных ситуациях. В XXI в. актуальным становится формирование личностной готовности и способности к непрерывному образованию, формированию компетенций, востребованных на рынке труда. В условиях повышения мобильности, развития миграционных процессов все более значимым становится воспитание российской гражданской идентичности молодых россиян, выпускников общеобразовательных учреждений.

В связи с формированием современной насыщенной информационно-образовательной cреды не менее важно обеспечить переход к новой образовательной парадигме системно - деятельностного обучения. Стандарты общего образования первого поколения, регламентирующие содержание образования в дидактических единицах, соответствовали  классической образовательной парадигме конца XX в. Сильная и известная на весь мир советская система образования должна была обеспечить массовое образование людей как членов индустриального общества. Теперь же идет речь о формировании принципиально новой системы непрерывного образования, предполагающей постоянное обновление. Причем необходима не только передача знаний и технологий, но и формирование творческих компетентностей, готовности к переобучению.

Глава 1. Теоретические основы обучения темы «Проценты»          

    1.1.Концепция духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России определяет:

• характер современного национального воспитательного идеала;
• цели и задачи духовно-нравственного развития и воспитания детей и молодежи;
• систему базовых национальных ценностей, на основе которых возможна духовно-нравственная консолидация многонационального народа Российской Федерации;
• основные социально-педагогические условия и принципы духовно-нравственного развития и воспитания обучающихся.

Общеобразовательные учреждения должны воспитывать гражданина и патриота, раскрывать способности и таланты молодых россиян, готовить их к жизни в высокотехнологичном конкурентном мире.

Концепция формулирует социальный заказ современной общеобразовательной школе как определённую систему общих педагогических требований, соответствие которым обеспечит эффективное участие образования в решении важнейших общенациональных задач.

Важнейшей целью современного отечественного образования и одной из приоритетных задач общества и государства является воспитание, социально-педагогическая поддержка становления и развития высоконравственного, ответственного, творческого, инициативного, компетентного гражданина России.

Обеспечение духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России является ключевой задачей современной государственной политики Российской Федерации. Законопослушность, правопорядок, доверие, развитие экономики и социальной сферы, качество труда и общественных отношений – всё это непосредственно зависит от принятия гражданином России общенациональных и общечеловеческих ценностей и следования им в личной и общественной жизни.

Духовно-нравственное развитие и воспитание личности начинается в семье. Семейные ценности, усваиваемые ребенком с первых лет жизни, имеют непреходящее значение для человека в любом возрасте. Взаимоотношения в семье проецируются на отношения в обществе и составляют основу гражданского поведения человека.

Более высокой ступенью духовно-нравственного развития гражданина России является принятие культуры и духовных традиций многонационального народа Российской Федерации. Важным свойством духовно-нравственного развития гражданина России является открытость миру, диалогичность с другими национальными культурами.

Духовно-нравственное развитие и воспитание гражданина России является ключевым фактором развития страны, обеспечения духовного единства народа и объединяющих его моральных ценностей, политической и экономической стабильности. Невозможно создать современную инновационную экономику, минуя человека, его состояния и качества внутренней жизни.

Темпы и характер развития общества непосредственным образом зависят от гражданской позиции человека, его мотивационно-волевой сферы, жизненных приоритетов, нравственных убеждений, моральных норм и духовных ценностей.

 1.2. ФГОС с учетом изучения темы «Проценты».

При внедрении ФГОС содержание математического образования практически не изменилось. Изучение математики должно  обеспечить:

• осознание значения математики в повседневной жизни человека;
• формирование представлений о социальных, культурных и исторических факторах  становления математической науки;
• формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления.

 В результате изучения математики обучающиеся развивают логическое и математическое мышление, получают представление о математических моделях; овладевают математическими рассуждениями; учатся применять математические знания при решении различных задач и оценивать полученные результаты; овладевают умениями решения учебных задач; развивают математическую интуицию; получают представление об основных информационных процессах в реальных ситуациях; развивают умения применять изученные понятия, результаты и методы для решения задач практического характера.

 Существенные изменения необходимы в процессе обучения математики. Ребята должны быть вовлечены в исследовательские проекты, творческие занятия, в ходе которых они научатся изобретать, понимать и осваивать новое, быть открытыми и способными выражать собственные мысли, уметь принимать решения и помогать друг другу, формулировать интересы и осознавать возможности. Старшие школьники, выбирая профиль обучения, получают возможность освоить программы профессиональной подготовки, найти себя в сфере будущей профессиональной деятельности.                                                          

 Критически переосмысливая основные понятия, категории, законы и закономерности традиционной педагогики в качестве основных принципов новой общеобразовательной  школы можно назвать:

  1) Принцип гуманистической направленности, т.е. непреложной ориентации всей педагогической деятельности на реальные интересы растущей личности, включая вопросы полезности той или иной информации, для обучаемого в настоящем и будущем.  

  2) Принцип актуализации  или практической значимости сообщаемых учителем знаний для конкретных жизненных обстоятельств учащегося.

   3)Принцип идентификации поступающей к ученику научной информации с его жизненным опытом, идеями и переживаниями.

  Все эти предложения, сводятся по своей сути к очевидной закономерности: познавательная активность индивида максимально возрастает лишь тогда, когда предлагаемое в процессе обучения знание ему жизненно необходимо.

В связи с развитием в школах профильного обучения представляется целесообразным расширить знания учащихся по теме: «Проценты». В классах с экономическим профилем целесообразно изучение темы: «Сложные проценты». Данная тема заинтересует учеников т.к. начисление простых процентов не очень справедливый способ расчета с вкладчиком.

1.3. Логико-дидактический анализ темы «Проценты» в УМК Н. Я. Виленкин и др. Математика. 5 класс и Математика. 6 класс для основной школы.

  В УМК Н. Я. Виленкин и др. Математика. 5 класс и Математика. 6 класс для основной школы входят в Федеральный перечень учебников, рекомендованных к использованию в обучении математике на тему «Проценты» отводится только 6 часов, хотя задачи на проценты присутствуют почти во всех вариантах ЕГЭ и ГИА.  

 Математика — наука о наиболее общих и фундаментальных структурах реального мира, дающая важнейший аппарат и источник принципиальных идей для всех естественных наук и современных технологий. Поэтому, с одной стороны, без знания математики невозможно выработать адекватное представление о мире.

С другой стороны, математически образованному человеку легче войти в любую новую для него объективную проблематику.

Успешное изучение темы проценты позволяет решать практические задачи: оптимизировать семейный бюджет и правильно распределять время, критически ориентироваться в статистической, экономической и логической информации, правильно оценивать рентабельность возможных деловых партнеров и предложений.                                       

Основная цель – сформировать умение решать простейшие задачи на проценты.

В учебном пособии процентом называют одну сотую часть. У учащихся важно выработать содержательное понимание смысла термина «процент». На этой основе они должны научиться решать три вида задач на проценты: находить несколько процентов от какой-либо величины; находить число, если известно несколько его процентов; находить, сколько процентов одно число составляет от другого. В 6 классе достаточное внимание должно быть уделено решению с помощью пропорции задач на проценты.

С целью повышения интереса и расширения кругозора учащихся в учебнике 5 кл. приведена краткая историческая справка по данной теме, ее необходимо расширить, предложив учащимся, подготовить выступление с презентацией. Не зная прошлого развития науки, трудно понять ее настоящее.

На изучение темы «Проценты» в 5 классе отводится 6 часов, из них, 1 урок учатся записывать в процентах десятичные дроби и проценты в виде десятичных дробей,  на 4-х решаю задачи, а на 6-м пишут контрольную работу. К данной теме возвращаемся  при итоговом повторении курса 5-го класса (4 часа).  В 6 классе задачам на проценты уделяется особое внимание  в темах «Нахождение числа по его дроби»,  «Отношения»,  «Пропорции», «Прямая и обратная пропорциональные зависимости» и предлагают решить две задачи в теме «решение уравнений» на изучение данных тем рекомендовано 5, 5, 2 и 3 часа соответственно. Надо отдать должное, что в учебном пособии 6-го класс в разделах «Упражнения для повторения ранее пройденного материала» задания на проценты встречаются регулярно необходимо только грамотно использовать данный материал в учебном процессе.

Один из вариантов самостоятельной работы на три типа задач на проценты:

                                                                                                                                           1. вариант:                                                                                                                                                 1) Из 76  м. кВ  площади квартиры кухня занимает 12%. Найдите площадь кухни.                                                                                                                                                   2)Содержание песка в земляной смеси составляет 20%. Найдите какова масса  земляной смеси, если песка в ней 34 кг.                                                                                                       3) Туристу нужно пройти 80км. К концу первого дня он прошел 20км. Сколько всего процентов пути прошел турист?

   2. вариант:                                                                                                                                        1) В сплаве есть медь, содержание которой составляет 25%. Сколько меди содержится в сплаве массой 76кг?                                                                                                                       2) Сколько страниц в книге, если рассказ в 12 страниц составляет 15% книги?                     3) Ученик решил 17 задач из 68. Сколько процентов задач он решил?

Разноуровневые самостоятельные работы.

1)-первый уровень; 2)-второй уровень; 3)-третий уровень.

№1. Запишите в виде десятичной дроби:

1. 8%: 39%; 457%;
2. 80%; 0,2%; 1256%;
3. 800%; 0004%; 5340%;

№2. Запишите в виде процентов:

1) 0,05; 0,65; 2,75;

2) 0,225; 0,0024; 24;

3)0,0067; 25; 7300;

№3. Найдите:

1. 8% от 100;  17% от 2000;  120% от 20;
2. 8% от 800;  17% от 170; 120% от 2;
3. 8% от 0,08; 12,5 от 12,5;  0,2% от 0,2% от 2000000

№4. Найдите число, если:

1. 1% этого числа равен 37;  5% этого числа равны 15; 150% этого числа равны 15;
2. 1% этого числа равен 0,37;  7%  этого числа равны 8,4; 350% этого числа равны 7;
3. 1% этого числа равен 4,5; 1/8% этого числа равна 1,25; 4% этого числа равны 25% от 4.

№5. Сколько процентов составляет:

1. число 6 от 12; число 12 от 6;  число 200 от 2;
2. число 31,2 от 62,4; число 62,4 от 31,2;  число 20 от 0,2;
3. число 112 от 700; число 700 от 112;  число 4 1/8 от 8 1/4

 Эффективность обучения школьников математики во многом зависит от выбора форм организации учебного процесса. Необходимо отдавать предпочтение активным методам обучения. Методы активного обучения это совокупность способов организации и управления учебно-познавательной деятельностью обучаемых, которые обладают следующими основными признаками:

• вынужденная активность обучения;
• самостоятельной выработкой решений обучаемым;
• высокой степенью вовлечённости обучаемых в учебный процесс;
• преимущественной направленностью на развитие или приобретения
  математических умений и навыков;
• постоянной обработкой связью учащихся и учителя, и контролем за
  самостоятельной работой обучения.                                                                                  

       Методы активного обучения обеспечивают и направленную активизцию психических процессов учащихся, т.е. стимулируют мышление при исползовании конкретных проблемных ситуаций и проведении деловых игр, облегчают запоминание при выделении главного на практических занятиях, возбуждают интерес к математике и вырабатывают потребность к самостоятельному приобретению знаний.

        Для организации на занятиях активно познавательной деятельности учащихся решающее значение имеет оптимальное сочетание методов активного обучения. Подбор этих методов можно осуществить по алгоритму, включающему в себя: анализ содержания учебного материала, определение целей урока: предварительный выбор обучения в зависимости от целей.

       Цепь неудач может отвратить от математики и способных детей, с другой стороны, обучение должно идти близко к потолку возможностей ученика: ощущение успеха создаётся пониманием того, что удалось преодолеть значительные трудности. Поэтому к каждому уроку желательно тщательно подобрать и подготовить индивидуальные знания, карточки, основание на адекватной оценке возможностей ученика в данный момент, учитываю его индивидуальные способности.

     Дифференцированное обучение способствует развитию интересов и способностей детей. Помогает в этом сборник А.П.Ершовой, В.В.Голобородько «Самостоятельные и контрольные работы по математике» для 5-го и 6-го классов.                                          

   Значительное влияние на развитие математических способностей оказывают коллективные обсуждения и работа. Ввиду этого в работе  применимы всевозможные командные соревнования такие как: математический бой, урок -взаимообучения учащихся, урок - КВН и другие.

Как отмечается в учебном пособии: «Эстетическое воспитание при обучении математике в средней школе» Н.И.Фирстовой  : в учебном процесс очень важно добиться, чтобы педагогические стимулы превращались в положительные мотивы, обеспечивающие желание и активность учеников в овладении новым учебным материалом. Задачи на проценты №41-49 приведенные в этом пособии будут интересны учащимся с 5-го по 11-й класс.  

    Формами контроля оценки знаний умений и навыков являются: графические диктанты, работа с тестами, самостоятельные и контрольные работы.

Глава 2. Методические рекомендации обучения теме «Сложные проценты».

2.1.Ежегодное начисление сложных процентов.

Начисление простых процентов не очень справедливый способ расчета с вкладчиком.  В самом деле, если вкладчик не будет снимать деньги со счета, то он оказывается в невыгодном положении: так, в конце первого года на его счете будет находиться сумма  и банк будет весь второй год пользоваться этой суммой, с в конце второго года начислит проценты только на сумму , которая на  меньше, чем  ! С ростом n эта несправедливость будет только возрастать. Так, при  руб.,  p = 20 % годовых и n = 3 годам, в конце третьего года на счете вкладчика будет находиться сумма  , где  =25000, которыми банк будет пользоваться весь четвертый год. А в конце четвертого года банк начислит проценты только на величину руб. Вряд ли это можно считать справедливым: ведь на вклад  приходится сумма процентов 25000руб., на которую банк вкладчику процентов не начисляет и следовательно, пользуется этой суммой бесплатно!

Рассмотрим другой способ расчета банка с вкладчиком, свободный от этого недостатка. Он состоит в следующем: если вкладчик не снимает со счета сумму начисленных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк будет начислять р % уже на новую увеличенную сумму. Это означает, что банк станет теперь начислять проценты не только на основной вклад , но и на проценты, которые на него налагаются.

Такой способ начисления «процентов на проценты» в математике называют сложными процентами, а операцию присоединения начисленных процентов к основному вкладу называют капитализацией процентов.  Для лучшего усвоения введенных понятий рассмотрим пример.

Пример 1. Пусть в кладчик положил на счет в банке 30000 руб. и в течение трех лет не будет снимать деньги со счета.

Подсчитаем, сколько денег будет на счете вкладчика через 3 года, если банк выплачивает 20 % в год, и проценты после каждого начисления присоединяются к начальной сумме  = 30000 руб., т.е. капитализируются.

По прошествии первого года сумма начисленных процентов составит

Поскольку процентов капитализируются, то в конце первого года на счет вкладчика окажется сумма

30000 + 6000 = 36000

В конце второго года банк будет начислять проценты на новую сумму  = 36000        руб. и сумма начисленных процентов составит уже

Капитализация этих процентов приводит к тому, что в конце второго года на счете вкладчика окажется  = 30000 + 6000 = 36000

В конце третьего года банк будет начислять проценты уже на новую сумму 43200 руб. и поэтому сумма начисленных процентов составит

Эти проценты снова капитализируются и поэтому, в конце третьего года на счете вкладчика будет находиться  = 43200 + 8640 = 51840.

Наши вычисления закончены: к концу третьего года вклад увеличился на величину 51840 – 30000 = 21840 руб. или на %.

Для сравнения вычислим сумму денег на счете, если бы начислялись простые проценты. Тогда = 30000,  p = 20 %,  n = 3 и

= . Эта величина на 3849 руб. меньше, чем при начислении сложных процентов.

Проведем в общем случае расчеты, описанные в этом примере. Пусть вкладчик внес на свой счет в банке  руб. Банк выплачивает р % годовых по схеме сложных процентов. Выясним, как изменится сумма денег на счете вкладчика в зависимости от количества лет, которые вклад находился в банке.

Через один год сумма начисленных процентов составит руб. и на счете вкладчика будет руб., где  или

                              (1)

          По прошествии второго года начисляет р % уже на сумму руб. и поэтому она увеличится на  руб. и в конце второго года на счете окажется  руб., причем

 или

На основании равенства (1) получаем

.                                  (2)

В конце третьего года банк вновь начислит р % уже на сумму   руб., а потом сумма  увеличится на  руб., и на счете вкладчика уже станет  руб., где

 = .

Учитывая равенство (2). Можно записать =.

Теперь становится понятным, что если первоначальный вклад  руб. пролежит в банке n лет, то сумма денег на счете вкладчика достигнет величины

                                              =, n=1,2,3.                                 (3)

Формула (3) дает решение поставленной задачи и называется формулой сложных процентов.

Пример 2. В банк внесена сумма 45000 руб. Банк начисляет сложные проценты по ставке 10 % годовых. Какая сумма будет на счете вкладчика через 6 лет?

Решение. Применим формулу (3) при  руб., p = 10 % , n = 6. Тогда

      Пример  3. Банк начисляет сложные проценты по ставке 20 % годовых. Через сколько лет вклад 174000 руб. возрастет до 3024000 руб.?

Р е ш е н и е.  Найдем n из формулы (3). Имеем, ,

p = 20.                                                                    

Поэтому 302400 =   и отсюда ,, n  = 3.

          З а м е ч а н и е. В примере 3 число n нам удалось найти подбором. В общем случае число n следует находить с помощью логарифмов. Это замечание относится  и к другим примерам и упражнениям, рассматриваемым ниже и в которых следует найти n.

Пример 4. Вкладчик открыл счет в банке, вложив    = 10000руб. по ставке сложных процентов 20 % годовых. Вкладчик желает накопить в банке не менее 35000руб. При каких значениях n  это возможно?

Р е ш е н и е. По формуле (3)при  руб., p = 20 имеем

=

Число n находим из условия   35000. Отсюда следует, что   или  . Подбором находим, что n > 7. Следовательно, наименьшее число лет, которое первоначальный вклад   должен находиться в банке, равно 7. Действительно,  , но .

        Пример 5. Какую сумму следует внести в банк, начисляющий 15 % годовых по схеме сложных процентов, чтобы за два года накопить сумму в 30000 руб., достаточную для покупки холодильника?

Р е ш е н и е. =нам известно ,  p = 15, n = 2. Поэтому

.

          Сумму, примерно равную 23000 руб. нужно положить в банк, чтобы через 2 года получить доход, позволяющий купить холодильник.

Отметим, что соотношение   =    связывает между собой четыре основных характеристики: начальный вклад  руб., годовую ставку р %, срок хранения  n лет и окончательную величину вклада  руб. В примерах 2, 3 и 5 на конкретных числах показано, как найти одну из них, если известны три остальных.

В общем виде ответ на этот вопрос приведен в табл. 1, где знаком «*» отмечены заданные величины.

Т а б л и ц а 1.

2.2  Многократное начисление процентов в течение года. Число е.

Будем считать, что если за год банк выплачивает вкладчику р %, то за полугодие он выплатит %, за один месяц – % и вообще за часть года - %. Выясним, как изменяется счет вкладчика, если проценты начисляются несколько раз в течение года.

Рассмотрим для начала частный случай, когда банк выплачивает 100 % годовых.

Пусть вкладчик внес на свой счет в банке сумму S руб. сроком на один год. Тогда через год на счете вкладчика окажется сумма 2Sруб. История не сохранила нам имени того вкладчика, который первым сообразил, что если банк будет начислять проценты на вклад через полугодие, то через год на его счете окажется сумма больше, чем 2S руб. Действительно, за первое полугодие банк выплатит 50 %., т.е. –  руб. и на счете вкладчика окажется сумма . Например, если S=10000, то в конце первого полугодия на счете вкладчика будет руб.

Замечательная догадка вкладчика состояла в следующем:  он сообразил, что можно снять со счета накопленную за первое полугодие сумму руб. и сразу же положить ее на новый счет  еще на полугодие по прежней годовой ставке 100% в год. В конце второго полугодия банк начисляет 50% на сумму руб., а не на S руб., как это было в первом полугодии. Таким образом, за второе полугодие банк начислит   руб.

Оказывается, что за два полугодия банк начислил вкладчику сначала  руб., а затем – еще  руб., т.е. величину, числовое значение которой равно  +=. (4)

Вместе с первоначальным вкладом S руб. наш вкладчик в конце года оказался обладателем суммы Sруб., где

S= S+  = 2S+.                      (5)

Теперь мы видим, что сумма Sоказалась на  больше суммы 2S, которую готов был выплатить банк по прошествии одного года!

Формулы (4) и (5) показывают, что за первое полугодие вклад увеличился в 1,5 раза, а затем новая увеличенная сумма еще раз увеличилась в 1,5 раза, т.е. начальный вклад увеличился в 1,5 =2,25 раза!

Конечно, для совершения описанной операции совсем не обязательно закрывать счет через полугодие, затем открывать новый и т.д. Все делается проще – через полугодие банк переоформляет счет вкладчика и все деньги оказывается на одном счете.

 Теперь естественно выяснить, как будет меняться величина вклада, если банк начнет начислять проценты, например, ежеквартально, по 25% за каждую четверть года. В конце первого квартала сумма на счете вкладчика увеличится на  руб. и будет равна =  руб. Это значит, что начальный вклад Sруб. увеличится за один квартал в  раза. В конце второго квартала уже новая сумма =  увеличится в  раза и окажется равной = руб. Аналогично, в конце третьего квартала на счете будет = руб., а в конце четвертого квартала, т.е. через год вкладчик станет обладателем суммы  руб., где =

Нетрудно видеть, что сумма в 1,22 раза больше той суммы 2S, которую был готов выплатить вкладчику банк через год.

Дальнейшие рассуждения вкладчика очевидны: пусть банк начисляет проценты ежемесячно, т.е. 12 раз в год по % в месяц. Тогда после 12 начислений, т.е через год, на счете окажется сумма  руб., где =руб.

      При ежедневном начислении процентов, т.е. при начислении процентов 365 раз в год по % в день, на счете вкладчика через год окажется сумма: =.

Если проценты будут начисляться каждый час, т.е. 365раз в год по % = % в час, то на счете вкладчика через год окажется сумма =

Вообще, если проценты будут начисляться n раз в год по ставке %, то через год счет будет составлять

=.            (6)

Из формулы (6) видно, что определяющим является множитель . Приведем в таблице 2 некоторые его значения при различных n:

Если продолжать таблицу дальше, то можно получить
       при            n = 100000            

при            n = 1000000          

Из табл.2 следует, что с ростом числа n члены последовательности   возрастают. Строгое доказательство этого факта приводится в курсе математического анализа. Там же доказывается, что члены последовательности  с ростом n неограниченно приближаются к числу е = 2,718281828459045. При этом для всех значений n справедливо неравенство  

< e (7)

и более того, предел последовательности (), где () = , при неограниченном возрастании n равен числу е.

Из формулы (6) и неравенства (7) следует, что

                            =< ,  где  n=1,2,3,…   (8)

Экономический смысл полученных результатов состоит в том, что чем чаще в течение года банк начисляет проценты, тем больше становится сумма денег, лежащая на счете вкладчика. Однако неравенство (8) показывает, что как бы часто в течение года банк ни начислял проценты на вклад , величина неограниченно возрастать не может – по сравнению с  величина  больше, чем в е раз увеличиться не может!  

Второй вывод состоит в том, что если банк согласен выплачивать 100% годовых  и при этом разрешает вкладчику сколь угодно часто переоформлять вклад, то банк должен быть готов к тому, что в конце года вкладчик может получить  = 2,7182руб. и его доход составит 2,7182- руб.,

т.е вкладчик вместо обещанных 100% дохода за год получает доход равный 1,7182 = 172% ! Конечно, ни один банк с такими условиями согласиться не может и далее мы познакомимся с методами, которые применяют банки для борьбы с такими догадливыми вкладчиками !

Перейдем к общему случаю, когда годовая процентная ставка отлична от 100%! (Предупредим, что все денежные суммы далее указываются в одинаковых единицах и во многих случаях наименования опускаются.)

Пусть вкладчик внес на свой счет  руб. сроком на один год и банк выплачивает p % годовых. Через год начисленные проценты составят

 руб., а на счете будет находиться сумма

=.                  (9)

Теперь будем начислять % каждой полугодие. Тогда в конце первого полугодия начисленные проценты составят руб., а сумма на счете станет равной

За второе полугодие  % будет начислено уже на сумму и поэтому сумма начисленных процентов составит . Всего через год на счете будет находиться  сумма

=+=.                   (10)

Например, если на вклад S =35000 руб. банк начисляет 20 % в год. То через год вкладчик получит =

Если же проценты будут начисляться два раза в год по 10 % за полугодие,   то через год по формуле (10) вкладчик получит         =.

Из формул (9) и (10) следует, что через полугодие начальная сумма  увеличится в   раз и на счете будет находиться  руб. По окончании второго полугодия в  раз увеличится сумма , т.е. в конце года на счете будет  руб., где =. Теперь понятно, что если проценты на вклад  будут начисляться через равные промежутки n раз в году по ставке %,  то в конце года на счете вкладчика окажется сумма равная          

=                                          (11)

В этой формуле с ростом n величина  возрастает. Это значит, что чем чаще в течение года банк производит начисления процентов, тем большая сумма оказывается на счете вкладчика. Однако возрастать бесконечно величина  не может. Для всех n = 1,2,3,… справедливо неравенство               <            (12)

Неравенство (12) показывает, что как бы часто в течение года банк ни начислял проценты на  руб., по ставке р % в год, больше чем в раз начальный вклад  за год увеличиться не может.

Так, если р = 25 %, то и поэтому как бы часто банк не начислял проценты в течение года, больше, чем в 1,284 раза первоначальный вклад  за год увеличиться не может!

Пример 6. На счет в 20000 в течение года 3 раза через равные промежутки начислялись проценты при годовой ставке %.

 а) Сколько денег оказалось на счете в конце года?

 б) На сколько процентов фактически вырос вклад?

Р е ш е н и е. а) Применяем формулу (11) при =20000, n = 3. Тогда

=

Б) Вклад увеличился на 6620 руб., что оставляет .

 Пример 7. Вкладчик внес в банк 45000 руб. на один год по ставке 30 % годовых. Вкладчик  желает за счет частого начисления процентов накопить за год сумму S. Удастся ли это ему? Если удастся, то сколько начислений в течение года следует провести, если:

А) S = 80000 руб. ?    б) S = 130000 руб. ?

Р е ш е н и е. а) Поскольку р  = 75, то вклад не может увеличится более, чем в  раз.

Отношение . Поэтому вкладчик может получить желаемую сумму. Для того, чтобы узнать, как часто следует начислять проценты, решим неравенство

, или

Подбором находим, что n.

        Б) Отношение , поэтому накопить нужную вкладчику сумму не удастся, как бы часто проценты ни начислялись!

2.3. Многократное начисление сложных процентов в течение нескольких лет

В предыдущих параграфах мы установили два важных факта:

1. Если банк на вклад начисляет сложные проценты по ставке р % годовых , то через n лет (где n = 1,2,3,…) на счете вкладчика окажется  руб., где

                                    =                                          (13)

2.Если банк на вклад начисляет р % годовых, а начисление процентов происходит к (к = 1,2,3….) раз в год по ставке  %, то через один год на счете вкладчика будет находиться    руб., где

=     

Теперь рассмотрим общий случай: банк начисляет проценты к раз в год в течение n лет. Рассмотрим пример.

Пример 7. Пусть сумму  = 35000 руб.  положили под сложные проценты по ставке 40 % годовых. Пусть она внесена в банк на три года при условии начисления процентов четыре раза в год по ставке  %. Выясним, какая сумма будет находиться на счете в конце третьего год.

За три года произойдет  начислений процентов по ставке  % и поэтому                    = =            

Так, при= 35000 руб. и р = 40 величина вклада через 3 года при двух начислениях в течение каждого года достигнет значения

                                 руб.

Теперь рассмотрим общий случай.

Если вклад находится в банке n лет и каждый год проценты начисляются m раз по %, то после первого начисления процентов на счете будет лежать сумма

=.

Всего же таких начислений будет произведено раз. Поэтому искомая сумма на счете вкладчика будет равна

=.

2.4. Начисление процентов при нецелом промежутке времени

Формула

,     n = 1,2,3,…                           (14)

позволяет найти величину вклада, который окажется на счете вкладчика через лет n. Однако вкладчик может положить деньги на 2,5 года или на 9 месяцев и т.д.

Определим, какую же сумму следует выдать вкладчику через, например, 2,5 года при ставке р % в год. Чтобы найти интересующую нас зависимость, будем рассуждать так. С одной стороны, за 2,5 года начальная сумма  увеличится в q раз и станет равной , где  q – искомый и пока неизвестный множитель наращения за 2,5 года. Через следующие 2,5 года начальная сумма   обратится в С = . С другой стороны, за прошедшие 2,5  + 2,5 =  5 лет по формуле (14) при n = 5 сумма должна обратиться в  .

Однако суммы С =  и должны совпадать, а поэтому .

Значит, .

Таким образом, сумма  через 2,5 года обратится в сумму

                                                  .                                  (15)

Сравнивая формулы (14) и (15), мы видим, что формула (15) получена из формулы (14) подстановкой вместо целого числа n числа 2,5, которое целым не является! Это не случайное совпадение. Обобщим полученный результат.

Пусть лет, m,n – натуральные числа. Пусть через  лет вклад  , увеличившись в q раз, стал равен С=. Еще через  лет, т.е. через 2 лет, вклад  обратится в С = , еще через  лет, т.е. через 3 лет, вклад  обратится в С = . Продолжим этот процесс. Через n начислений, т.е. через  лет, вклад обратится, с одной стороны, в сумму С = , а с другой, по формуле (14) при n = m в сумму  Поскольку , для нахождения q получаем уравнение

Отсюда .

Теперь мы получили ответ на поставленный вопрос: сумма  через  лет обратится в сумму 

С=.                  (16)

Сравним формулы (14) и (16). Мы видим, что формула (16) (как и формула (15) ) получается из формулы (14) заменой целого числа n дробью , а это, в сою очередь, показывает, что по формуле (14) теперь можно вести расчеты и при любых дробных значениях показателя степени.

В экономике при n, не являющимся целым числом, расчеты ведут двум способами, описанными ниже.

I способ.   Используем определение степени с дробным показателем, т.е. полагаем

II способ  (комбинированный). Если срок хранения вклада t не является целым числом, то представим t в виде , где  - целая часть числа, не превосходящая t,  - дробная часть числа t.

Теперь используем комбинированный метод: за целое число лет, равное  , начислим сложные проценты, а дробную часть, равную , начислим простые проценты. Поэтому .                                 (17)

Пример 8. В банк положили 40000 руб. по ставке 20 % на 3,5 года. Какую сумму S получит вкладчик по прошествии этого срока, если расчеты по вкладу вести:

а) I способом,    б) II способом?

Р е ш е н и е.  а) Применим формулу (16 ) при =, p = 20, = 40000.

Тогда  

б) Применим формулу (17) при = 40000, t = 3,5,  = 3,  = 0,5 .

Тогда

Сравнивая полученные результаты, убеждаемся, что II способ дает большую сумму денег, чем первый. Это не случайное совпадение, а следствие неравенства  , которое эквивалентно неравенству , где 0 <  < 1.                                             (18)

Последнее неравенство вытекает из неравенства Я.Бернулли. Неравенство (18) свидетельствует о том, что при «дробном» сроке хранения вклада банку выгоднее начислять проценты по I способу, а вкладчику – по II способу.

Пример 9. Вклад размером 3000000 руб. положен в банк по ставке  p = 10   % на 2 года 9 месяцев. Рассчитаем двумя способами сумму, которую получит вкладчик.

Р е ш е н и е. I способ. В нашем случае  t = 2 года 9 месяцев = 2,75 года. Поэтому

II способ. По условию t = 2,75 года, тогда   = ,  = . По формуле (17) получаем:

 Сравнивая полученные результаты, убеждаемся, что при расчете II способом вкладчик получает на   103361,1 = 3902250 – 3898980,9 руб. больше, чем при расчете I способом.

Пример 10. Вклад размером 300000 руб. по ставке 40% положен в банк на два года и некоторое целое число месяцев. Сколько времени находится вклад в банке, если при окончательном расчете по второму способу вкладчик получил     764400 руб.?

Р е ш е н и е. Обозначим через х , 0< х <12, неизвестное число месяцев. Тогда t =  2 + лет и поэтому  = 2,  = . Используем формулу (17) и найдем х из уравнения: ,

2,548 = , 1,3 = 1+. Отсюда х = 9 (месяцев).

Следовательно, вклад находился в банке 2 года и 9 месяцев.

Пример 11. Какую сумму следует положить в банк под 15 % годовых, чтобы через  2 года 4 месяца при расчете по второму способу получить в банке сумму, не меньшую чем  1500000 руб.?

Р е ш е н и е. По условию t =  2 года 4 месяца, т.е. 2 года. Поэтому   = 2 ,  = . Искомую величину  руб. начального вклада найдем из условия

.

Имеем . Отсюда . Следовательно, при начальном вкладе не менее   939309 руб. по прошествии 2 лет 4 месяцев вкладчик получит не менее  1500000 руб.

Пример 12. Вкладчик положил в банк 30000 руб. при условии, что через 1 год и 1 квартал его вклад увеличится не менее, чем на 78000руб. Какую минимальную годовую ставку должен установить банк, чтобы удовлетворить желание вкладчика? Расчеты производить по II способу.

Р е ш е н и е. Время начисления процентов на вклад t = 1 год 3 мес. = 1,25  года. Поэтому  = 1 ,  =0,25. Пусть р % - искомая годовая ставка банка. Тогда по формуле (17) имеем: 37800, т.е. 1,26,  , ,

, ,  - не подходит. Отсюда .

В заключение отметим, что в банковских расчетах нередко приходится находить промежуток времени, в течение которого происходит удвоение первоначальной суммы  при неизвестной ставке сложных процентов р %. Этот промежуток времени называется периодом удвоения.

Период удвоения Т определяется из уравнения   .      

 Отсюда  .

Простой подсчет показывает, что при р = 10 % годовых удвоение происходит через Т = 7,27 года, а при р = 30 % - через 2,64 года.

Аналогично можно поставить вопрос о времени увеличения первоначального вклада   в n раз. Искомая величина Т определяется соотношением:

.

                                           Заключение.

Решение задач по теме “Проценты” нельзя отнести к легко усваиваемым. Ее традиционное изучение сосредоточено в строгих временных рамках курса V—VI классов, что не позволяет расширять спектр практических приложений и полноценно учитывать возрастные возможности учащихся в формировании ряда важных практических умений в работе с процентами. Вследствие этого фактора, а также необходимости умения решать задачи на проценты в курсах химии, физики, экономики возможна организация работы элективного курса для профильного класса. Такой материал позволит сделать курс математики практико-ориентированным, показать учащимся, что приобретаемые ими математические знания применяются в повседневной жизни. Интерес в значительной степени поддерживается также и содержанием задач на проценты, фабулы которых могут быть приближены к современной тематике и к жизненному опыту детей, а затем и подростков, что послужит достаточно сильным мотивом для решения предлагаемых задач, это и является итогом данной работы.

 Необходимо учитывать и тот факт, что на последующих этапах обучения программой по математике, функционирующей в данное время, не предусматривается повторное обращение к теме “Проценты”.

    На занятиях  можно компактно повторить теорию вопроса, отработать навыки решения типовых задач, уделить особое внимание решению задач с практическим содержанием. Предлагаемые задачи должны различаться по уровню сложности: от простейших упражнений на применение формул до достаточно сложных расчетов, связанных, например, с реалиями банковских расчетов или химического производства. Задания могут быть подобраны из сборников задач вступительных экзаменов в вузы прошлых лет. Информирование учащихся о том, в какие конкретные вузы и на какие факультеты предлагались те или иные задачи позволит значительно усилить познавательную мотивацию и сделать процесс занятий более значимым для школьников, повысить самооценку.    

  Список литературы:

 1. Федеральный закона от 29 декабря 2012 г. № 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации», утвержденный приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 31 мая 2013 г.

2. № 4162.http://mon.gov.ru/press/news/5233/

3. «Использование продуктивных методов обучения в начальной школе в условиях ФГОС.» Опубликовано 05.06.2012 - 12:36 - Чалова Наталья Сергеевна

4.Фундаментальное ядро содержания общего образования.-М.:Просвещение,2011

5.  Рабочие программы по математике: 5-6 классы / Сост. Н.В. Панина, Ю.А. Седавкина – М.: ВАКО, 2013                                                                                                                                                                                    6. Е.М. Четыркин. Финансовая математика. М. «Дело», 2002

7. А.В. Бухвалов., А.В. Идельсон. Самоучитель по финансовым расчетам. М. «Пресс - сервис», 1997

8. Т.В. Ващенко. Математика финансового менеджмента. М. «Перспектива», 1999

10. Н.И.Фирстова  учебное пособие «Эстетическое воспитание при обучении математике в средней школе» - М. «Прометей», 2013

 11. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений – М.: Мнемозина, 2012.
12. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Математика. 6 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений – М.: Мнемозина, 2012.
13. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений – М.: Мнемозина, 2012.
14.  Выговская В.В. Поурочные разработки по математике: 6 класс – М.: ВАКО, 2008.
 15. Ерина Т.М. Рабочая тетрадь по математике. 5 класс -  М.: Экзамен,2013.
 16. Ерина Т.М. Рабочая тетрадь по математике. 6 класс -  М.: Экзамен,2012

 17. Ершова А. И.,  Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по математике для 5 класса – М.: ИЛЕКСА, 2012.                                                                                                                                

18. Ершова А. И.,  Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по математике для 6 класса – М.: ИЛЕКСА, 2013.                                                                                                                                
19.   Жохов В.И. Математические диктанты. 6 класс: к учебнику Виленкина Н.Я. и др. – ООО «Издательство «РОСМЕН-ПРЕСС», 2004.
20.  Жохов В.И. Преподавание математики в 5-6 классах. Методические рекомендации для учителей к учебнику Виленкина Н.Я. и др. – М.: Вербум-М, 2010.
21. Контрольно-измерительные материалы. Математика. 6 класс / Сост.  Л.П. Попова – М.: ВАКО, 2011.                                                                                                                    

22. А.В.Шевкин «Сборник задач по математике для учащихся 5-6 классов»

М: Русское словло» 2001.

Решу Егэ Дмитрий Гущин на WebInfo 

webinfo.reformal.ru/tags/Решу_Ег... копия 

.

Задачи для подготовки к ГИА             (Приложение 1)