Проектная работа по теме "Магические квадраты", ученика 8 класса МОУ "СОШ с УИОП №14" Курочкина Константина
проект по алгебре (8 класс) на тему

Магические квадраты

        В своей работе мы рассмотрели вопросы, связанные с историей развития одного из вопросов математики, занимавшего умы очень многих великих людей - магических квадратов.          

           Страна, в которой был впервые придуман магический квадрат, точно неизвестна, неизвестен век, даже тысячелетие нельзя установить точно.       

          При археологических раскопках в Китае и Индии были найдены квадратные амулеты. Квадрат разделен на девять квадратиков, в каждом из которых написано по одному числу от 1 до 9. Замечательно, что суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и каждой из двух диагоналей были равны одному и тому же числу 15. Такие квадраты стали называть магическими.         

 В древности магические квадраты очень уважали и приписывали им различные мистические свойства. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты. Эти квадраты были настолько популярны, что художники изображали их на своих картинах.

Этот квадрат составлен из чисел, записанных арабскими цифрами. Интересно, что средние числа в нижней его строке изображают год создания гравюры – 1514. Возможно, Дюрер знал этот квадрат, а может быть, начав именно с этих чисел,  смог найти остальные методом подбора…

Магическая константа квадрата Дюрера равна 34.

При сложении чисел любой строки квадрата Дюрера получается 34.

16+3+2+13=34, 5+10+11+8=34, 9+6+7+12=34, 4+15+14+1=34

При сложении чисел любого столбца тоже получается 34.

16+5+9+4=34, 3+10+6+15=34, 2+11+7+14=34, 13+8+12+1=34

Тот же результат получается и при сложении чисел по диагоналям.

16+10+7+1=34, 13+11+6+4=34

Квадрат Дюрера обладает и другими свойствами: сумма чисел каждого из угловых квадратов и сумма чисел центрального квадрата одинакова. Она тоже равна 34.

16+3+5+10=34, 2+13+11+8=34, 9+6+4+15=34, 7+12+14+1=34, 10+11+6+7=34

Вообще, если уже найден какой-нибудь магический квадрат, то из него поворотами и зеркальными отражениями получить ещё 7 магических квадратов.

Рассмотрим один из вариантов получения магического квадрата 4×4, магическая константа которого равна 34.

В первой части я показал методы заполнения магических квадратов нечетного порядка: метод достроения и метод Лубера.

       1. Метод достроения

1).  Сначала исходный (пустой) квадрат достраивается до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры как показано на рисунке, где ячейки для элементов квадрата обозначены символом 0, а достроенные ячейки - символом *.

2). Полученная на шаге 1 фигура заполняется по косым рядам сверху-вниз-направо целыми числами от 1 до 25 в натуральном порядке. Результат заполнения показан на следующем рисунке:

3). Каждое число, расположенное в фигуре шага 2 вне исходного (закрашенного) квадрата, переносится по вертикали или горизонтали внутрь исходного (закрашенного) квадрата на число клеток, равное порядку квадрата – в данном случае на 5 клеток. Таблица переносов имеет следующий вид:

4). Освободившиеся  ячейки,  заполненные

символом  *,  должны  быть  исключены.

Оставшиеся  внутренние  ячейки,

Заполненные натуральными  числами,

Образуют магический квадрат, представленный  следующей  таблицей  5x5:

Сумма чисел в столбцах, строках, диагоналях равна 65.

 Во второй части я рассмотрел методы заполнения квадратов четного порядка. Для этих квадратов тоже нет общего способа заполнения. Они в свою очередь разделяются на четно-четные и четно-нечетные. Для первых применяется метод Раус-Бола, для вторых – диагональный метод. .   Есть еще один метод –он подходит для магических квадратов порядок которых равен 2п (эти квадраты так же относятся к четно-четным).  

1. Порядок которого равен степени числа 2

Этот метод удобно рассмотреть на примере магического квадрата 8-го порядка из натуральных чисел от 1 до 64. Метод включает следую последовательность шагов. 

1). Исходный  квадрат  делится  на     соответствующее число квадратов порядка 4. В данном случае таких квадратов будет 4. В каждом подквадрате отмечаются диагональные элементы (например, символом *). Остальные элементы построчно заполняются порядковыми целыми числами в направлении слева-направо и сверху-вниз. Числа, приходящиеся на выделенные диагональные элементы, должны быть пропущены. Результат заполнения недиагональных элементов квадрата 8-го порядка показан на следующем рисунке:

2). Отмеченные на шаге 1 диагональные элементы квадрата заполняют пропущенными целыми числами в порядке возрастания в направлении справа-налево и снизу-вверх, а числа, приходящиеся на недиагональные элементы, должны быть пропущены.

Сумма чисел по строкам, столбцам и диагоналям равна 260.

Т. е. в результате работы я подтвердил гипотезу о том, что существуют способы заполнения магических квадратов, изучив которые можно составить магический квадрат любого порядка.

         Латинские квадраты являются частным случаем магических квадратов. Они нашли свое применение в шифровании текстов и в  тех областях науки, где нужна постановка и обработка экспериментов.                                                        В заключительной части мною проведено исследование по сопоставлению некоторых качеств человека с так называемым магическим квадратом Пифагора, который считал, что судьба человека зависит от даты его рождения. Проанализировав результаты исследования, я выяснил, что утверждение Пифагора сбываются на 71%.

  По окончании работы я сделал следующие выводы::                                       .   – 1) общего метода решения магических квадратов не существует, но для каждого вида квадрата есть свои частные способы решения;                                                 2)  не следует слепо верить всему магическому. На примере анализа магического квадрата Пифагора видно, что его «магические» свойства подтверждаются только на 71%.