Решение задач на "проценты", смеси и сплавы.
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 41  

Решение задач «на проценты»,

смеси и сплавы.

Методическое пособие

Нижний Новгород

2014

Составители сборника:

Левченкова Н.А. – главный специалист управления образования администрации Канавинского района г.Н.Новгорода.

Ручина Л.Г. – председатель методического объединения учителей математики и информатики, учитель математики высшей категории.

В настоящее время на едином государственном экзамене по математике предлагаются, среди прочих, задачи «на проценты», задачи «на смеси и сплавы»  

Многолетний опыт работы составителей сборника на подготовительных курсах в Нижегородском государственном архитектурно-строительном университете  показал, что многие учащиеся испытывают значительные затруднения при решении таких задач. Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов. Однако, прежде всего, необходимо научить различать основные типы задач и решать простейшие из них. В связи с этим, мы считаем целесообразным рассмотреть типовые задачи и их решения, а также дать дидактический материал на указанные типы задач.

ЗАДАЧИ «НА ПРОЦЕНТЫ»

Существуют три основных вида задач «на проценты»:

1. Найти число а, составляющее n процентов от числа b.

Решение.  а = ∙ b.

2. Обратная задача: найти число b, если n процентов от него равно а.

Решение.  b = а :.

3. Найти, сколько процентов составляет число а от числа b.

Решение.  n = ∙ 100.

Задача 1  В октябре цена на яблоки была снижена на 10% по отношению к цене в сентябре. В ноябре цена повысилась на 10%. Сколько процентов составляет ноябрьская цена по отношению к сентябрьской?

Решение.

Пусть х руб. – цена на яблоки в сентябре.

Поскольку в октябре цена была снижена на 10%, то она стала х – 0,1х = 0,9х (руб.).

Так как в ноябре цена повысилась на 10%, то она стала 0,9х + 0,1∙0,9х = 0,99х (руб.).

Найдем, сколько процентов составляет ноябрьская цена по отношению к сентябрьской:

∙100% = 0,99 ∙ 100% = 99%

Ответ: 99%.

Задача 2  С двух участков ежегодно собирали 500 т пшеницы. После проведения агротехнических мероприятий урожай на первом участке увеличился на 30%, а на втором – на 20%. Поэтому с двух участков собрали 630 т пшеницы. Сколько пшеницы собирали с первого участка первоначально?

Решение.

Пусть с первого участка собирали х т пшеницы, тогда со второго – (500 – х)т.

После проведения агротехнических мероприятий с первого участка стали собирать 1,3х т пшеницы, а со второго – 1,2(500 – х) т.

С двух участков стали собирать (1,3х + 1,2(500 – х)) т, что по условию задачи составляет 630 т.

Получаем уравнение:    (1,3х + 1,2(500 – х)) = 630,

                                                                       0,1х = 30,

                                                         х = 300.

Ответ: 300 т.

Задача 3    В январе завод выполнил 105% месячного плана выпуска готовой продукции, в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?

(В первом полугодии фабрика выполнила 105%  полугодового плана выпуска швейных изделий, а во втором полугодии выпустила продукции на 4% больше, чем в первом. На сколько процентов фабрика перевыполнила годовой план, если планы выпуска готовой продукции в первом и втором полугодиях одинаковые?)

Решение.

Пусть месячный план выпуска готовой продукции – х, тогда  двухмесячный план – 2х.

Поскольку в январе завод выполнил 105% месячного плана, он  выпустил 1,05х готовой продукции.

Так как в феврале завод дал продукции на 4% больше, чем в январе, то это составило

1,05х + 0,04 ∙1,05х = 1,092х.

Всего за два месяца завод выпустил 1,05х + 1, 092х = 2,142х готовой продукции.

Найдем, на сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции:

∙100% = 7,1%

Ответ: на 7,1%.

Задача 4    Сумма трех вкладов равна 56 тыс. руб. Найти величину второго вклада, если он на 20% меньше первого и на 60% меньше суммы первого и третьего вкладов.

Решение.

Пусть х тыс. руб. – величина первого вклада.

Поскольку второй вклад на 20% меньше первого, то он равен х – 0,2х = 0,8х (тыс. руб.).

Так как сумма трех вкладов равна 56 тыс. руб., то  сумма первого и третьего вкладов равна 56 – 0,8х (тыс. руб.).

Поскольку второй вклад на 60% меньше суммы первого и третьего вкладов, то он равен

56 – 0,8х – 0,6(56 – 0,8х) = 22,4 – 0,32х (тыс. руб.).

Получаем уравнение:    22,4 – 0,32х  = 0,8х

                                                     1,12х = 22,4

                                                            х = 20.

Величина первого вклада – 20 тыс. руб. Тогда  величина второго вклада 0,8∙20 = 16 (тыс. руб.).                                                  

Ответ: 16 000 руб.

Задача 5  Банк ежегодно увеличивает на одно и то же число процентов сумму, имеющуюся на вкладе к моменту начисления процентов. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма, если за два года она возросла с 2000 до 2420 рублей?

Решение.

Пусть ежегодно имеющаяся на счете сумма увеличивается на х%.

Тогда через год на счете окажется  

(2000 + ∙2000) = 2000 + 20х (рублей).

Еще через один год на счете окажется

2000 + 20х + ∙ (2000 + 20х) = 0,2х2 + 40х + 2000 (рублей).

По условию задачи  это составляет 2420 рублей.

Получаем уравнение:    0,2х2 + 40х + 2000 = 2420.

                                           0,2х2 + 40х – 420 = 0,

                                              х = – 210 или х = 10.

Так как по условию задачи х > 0, то х = 10.

    Ответ: на 10%.

Задача 6    До снижения цен телевизор стоил 9600 рублей. Когда же цена на телевизоры снизилась, количество покупателей возросло на 20%, а выручка магазина  – на 10%. На сколько рублей была снижена цена на телевизоры?

Решение.

Пусть цена на телевизоры снизилась на х рублей.

Тогда телевизор после снижения цены стал стоить (9600 – х) рублей.

Пусть количество покупателей до снижения цены было у чел.

Тогда количество покупателей после снижения цены стало у + 0,2у = 1,2у (чел.).

Выручка магазина до снижения цены была  9600у рублей, а после снижения цены стала

1,2у (9600 – х) (рублей).

Так как выручка магазина после снижения цены возросла на 10%, то она стала

9600у + 0,1∙9600у = 1,1∙9600у = 10560у (рублей).

Получаем уравнение:    1,2у (9600 – х) = 10560у,

                                            1,2(9600 – х) = 10560,

                                                          1,2х = 960,

                                                               х = 800.

       Ответ: на 800 рублей.

Задача 7   Объемы ежегодной добычи угля первой, второй и третьей шахтами относятся как 1:2:4. Первая шахта планирует уменьшить годовую добычу угля на 8%, а вторая – на 2%. На сколько процентов должна увеличить годовую добычу угля третья шахта, чтобы суммарный объем добываемого за год угля не изменился?

Решение.

Пусть х – объем ежегодной добычи угля первой шахтой.

Тогда объем ежегодной добычи угля второй шахтой будет 2х, а третьей – 4х.

Суммарный объем ежегодной добычи угля – 7х.

После уменьшения годовой добычи угля первой шахтой на 8%, объем добываемого ею угля будет равен 0,92х.

После уменьшения годовой добычи угля второй шахтой на 2%, объем добываемого ею угля будет равен 0,98∙2х.

Объем добываемого первой и второй шахтами угля будет равен 0,92х + 0,98∙2х = 2,88х.

Тогда объем добываемого третьей шахтой угля должен стать 7х – 2,88х = 4,12х.

Осталось найти, на сколько процентов 4,12х больше, чем 4х:  

∙100% = 0,03 ∙ 100% = 3%

Ответ: на 3%.

Задача 8  При покупке школьнику спортивной формы (спортивного костюма и кроссовок) родителям пришлось заплатить на 32% больше, чем 2 года назад, причем спортивный костюм подорожал на 20%, а кроссовки – на 40%. Сколько процентов от цены спортивной формы составляла цена кроссовок два года назад?

Решение.

Пусть цена спортивного костюма 2 года назад была х руб., а цена кроссовок – у руб.

Тогда цена спортивной формы была (х + у)  руб.

Так как спортивная форма подорожала на 32%, то она стала стоить

х + у + 0,32(х + у) = 1,32(х + у) (руб.).

Поскольку спортивный костюм подорожал на 20%, то он стал стоить х + 0,2х = 1,2х (руб.).

Поскольку кроссовки подорожали на 40%, то они стали стоить у + 0,4у = 1,4у (руб.).

Тогда цена спортивной формы стала (1,2х + 1,4у)  руб.

Получаем уравнение:    1,32(х + у)   =  1,2х + 1,4у

                                                    0,12х = 0,08у

                                                         3х = 2у

                                                           у = 1,5х.

Тогда цена кроссовок была 1,5х руб., а цена спортивной формы х + 1,5х = 2,5х (руб.).

Найдем, сколько процентов составляла цена кроссовок от цены спортивной формы два года назад:  ∙100% = 0,6 ∙ 100% = 60%

Ответ: 60%.

Задачи для решения.

1.  Цена изделия составляла 1000 рублей и была снижена сначала на 10%, а затем еще на 20%. Какова окончательная цена товара?

Ответ: 720 рублей.

2. Изделие, цена которого 500 рублей, сначала подорожало на 10%, а затем еще на 20%. Какова окончательная цена изделия?

Ответ: 660 рублей.

3. Найдите первоначальную сумму вклада, если после истечения двух лет она выросла на 304,5 рубля при 3% годовых.

Ответ: 5000 рублей.

4. Найдите первоначальную сумму вклада, если после истечения трех лет она выросла на 765,1 рубля при 2% годовых.

Ответ: 12 500 руб.

5. Сберегательный банк в конце года начисляет 3% к сумме, находившейся на счету. На сколько рублей увеличится первоначальный вклад в 1000 рублей через 2 года?

Ответ:  на 60,9 руб.

6. Сберегательный банк в конце года начисляет 2% к сумме, находившейся на счету. На сколько рублей увеличится первоначальный вклад в 5000 рублей через 3 года?

Ответ: на 306,04 руб.

7. Цену некоторого товара снизили на 15%, а потом еще на 20%. Найдите общий процент снижения цены.

Ответ: 32%.

8. Цену на некоторый товар сначала снизили на 30%, а затем повысили на 20%. На сколько процентов изменилась первоначальная цена товара?

Ответ: на 66%.

9. Цену товара повысили на 25%, затем повысили еще на 10% и, после перерасчета произвели повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену товара?

Ответ: на 54%.

10. Цена первого товара повысилась на 30%, а потом еще на 5%. Цена второго товара повысилась на 25%. После повышения цены товаров сравнялись. Найдите, на сколько процентов первоначальная цена одного товара больше первоначальной цены другого товара.

Ответ: на 9,2%.

11. Числитель и знаменатель дроби – положительные числа. На сколько процентов уменьшится дробь, если числитель уменьшить на 16%, а знаменатель увеличить на 40%?

Ответ: на 40%.

12. Новый владелец магазина снизил цены на одну треть, однако через некоторое время вынужден был вернуться к старым ценам. На сколько процентов он при этом увеличил цены?

Ответ: на 50%.

13. Зарплата была повышена два раза за один год. При таком повышении рабочий стал получать вместо 100 руб. за один день 125,44 руб. Определите, на сколько процентов повысилась зарплата.

Ответ: на 12%.

14. Сберегательный банк в конце года начисляет 5% к сумме, находившейся на счету. На сколько процентов увеличится первоначальный вклад в 2000 рублей через 2 года?

Ответ: на 10,25%.

15. Для привлечения клиентов владельцы медицинского центра снизили стоимость услуг на 20%. По окончании рекламной акции они вернулись к начальным расценкам. На сколько процентов для этого они повысили стоимость услуг в центре?

Ответ: на 25%.

16. До распродажи мужской и женский костюмы стоили одинаково. В начале распродажи на 15% была снижена цена на мужской костюм, но покупателя не нашлось, поэтому еще раз снизили цену на 15%. На сколько процентов нужно однократно снизить цену на женский костюм, чтобы оба костюма снова стали стоить одинаково?                                                                        (На один продукт была снижена цена дважды, каждый раз на 15%. На другой продукт, бывший до снижения в одной цене с первым, снизили цену один раз на х%. Каким должен быть х, чтобы после всех указанных снижений цен оба продукта были вновь в одной цене?)

Ответ: на 27,75%.

17. Цена электродрели, входящей в комплект инструментов, составляет 80% цены всего комплекта. После повышения цен на инструменты новая цена дрели стала равной прежней цене всего комплекта. На сколько процентов повысились цены на инструменты?

Ответ: на 25%.

18. В связи с финансовыми проблемами дирекция предприятия уменьшила продолжительность рабочего дня с 8 до 7 часов. На сколько процентов предстоит рабочим повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках их заработная плата возросла на 5%?

Ответ: на 20%.

19. Два квартала подряд предприятие увеличивало объем выпуска продукции на 30% ежеквартально. На сколько процентов увеличился объем выпуска продукции за эти два квартала?

Ответ: на 69%.

20. Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за увеличением прибыли он повысил цену на билеты на 25%. Количество посетителей резко уменьшилось, и владелец стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько процентов владелец дискотеки снизил новую цену билетов, чтобы она стала равной первоначальной?

Ответ: на 20%.

21.В 2008году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

Ответ: 47088.

22.В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процнтов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Ответ: 20.

23.Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Ответ: 15.

24.Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Ответ: 27.

25.Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.

Ответ: 11

26.Цену товара повысили на 150%. На сколько процентов надо уменьшить полученную цену товара, чтобы она стала равной первоначальной цене?

Ответ: на 60%.

27.Величина первого вклада на 15% больше величины второго вклада и на 8% меньше величины третьего. Найти величину третьего вклада, если известно, что он на 10 тыс. руб. больше второго вклада.

Ответ: 125 000 руб.

28.Сумма трех вкладов составляет 69 тыс. руб. Какова величина второго вклада, если третий вклад на 40% больше, чем первый, а второй на 25% меньше, чем третий вклад?

Ответ: 21 000 руб.

29.Величина вклада третьего клиента на 40% больше вклада первого клиента, а величина вклада второго на 25% меньше, чем у третьего. Какова величина вклада второго клиента, если вклад третьего на 2400 руб. больше, чем первого клиента?

Ответ: 4500 руб.

30..В первый день со склада было отпущено 20% имевшихся яблок. Во второй день – 180% от того количества яблок, которое было отпущено в первый день. В третий день – оставшиеся 88 кг яблок. Сколько килограммов яблок было на складе первоначально?

Ответ: 200 кг.

31.Один завод должен был выпустить по плану 200 станков в год. Однако он выполнил план на 112% и вместе с другим заводом, выполнившим план на 110%, выпустил 400 станков в год. Сколько станков в год должен был выпустить другой завод по плану?

Ответ: 160 станков.

32.От трех библиотек университета поступили заявки на приобретение книг. Стоимость книг в заявке второй библиотеки составляет 50% от заявки первой, а стоимость книг в заявке первой библиотеки – 60% от заявки третьей. Стоимость книг в заявке третьей библиотеки превышает заявку второй на 28 тыс. руб. Какова общая стоимость книг в заявках трех библиотек?

Ответ:  76 000 рублей.

33.Цех за первую неделю выполнил 20% месячного плана, за вторую неделю было изготовлено 120% продукции, выработанной за первую неделю,  а за третью – 60% продукции, выработанной за первые две недели вместе. Каков месячный план цеха, если известно, что для его выполнения необходимо за оставшуюся последнюю неделю изготовить 1480 деталей?

Ответ:  5000 деталей.

34.При заключении договора с фирмой на изготовление и установку двух дверей заказчик заплатил 39 000 рублей. Согласно договору в случае нарушения фирмой сроков доставки и монтажа дверей фирма обязуется за каждый просроченный день выплачивать заказчику 1,5% суммы договора. Сроки договора были нарушены фирмой, и она возвратила заказчику 2340 рублей. На сколько дней позже срока были установлены двери?

Ответ: на 4 дня.

35.Писатель, получив гонорар 150 000 рублей, решил положить эти деньги в банк. Для уменьшения риска он разделил всю сумму на две части и положил их в два банка: в первый – под 4% годовых, а во второй – под 3% годовых. Через год первый вклад принес доход в два раза больший, чем второй. Какую сумму положил писатель в первый банк?

Ответ: 90 000 рублей.

36.За 6,5 кг винограда и 10 кг черешни заплатили 800 рублей. При сезонном изменении цен виноград подешевел на 60%, а черешня подорожала на 40%. В результате вся покупка подешевела на 35%. Сколько стоит 1 кг черешни после подорожания?

Ответ: 14 рублей.

37.Стоимость 30 экземпляров учебника геометрии для 10 класса и 45 экземпляров учебника геометрии для 11 класса составляет 6000 рублей. С учетом скидки в размере 5% на учебники для 10 класса и 10% на учебники для 11 класса реальная стоимость покупки составила 5520 рублей. Найдите цену учебника геометрии для 11 класса с учетом скидки.

Ответ: 72 рубля.

38.Две картины общей стоимостью 30 000 рублей продали на аукционе с прибылью в 40%, причем от продажи одной картины было получено 25% прибыли, а от другой – 50%. Найдите стоимость более дорогой картины.

Ответ: 18 000 рублей.

39.Торговая база закупила партию альбомов у изготовителя и поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел альбом за 70,2 рубля?

Ответ: на 20,2 рубля.

40.Вследствие повышения квалификации рабочего его производительность труда повышалась дважды в течение года на одно и то же число процентов.  На сколько процентов возрастала каждый раз  производительность труда, если за одно и то же время рабочий раньше вырабатывал изделий на 7500 рублей, а теперь на 8427 рублей, причем расценки за это время не менялись?

Ответ: на 6%.

41.По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года эти проценты капитализируются, т.е. начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счёт
в 50 000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течение 3 лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

Ответ: 16 550 рублей.

42.Денежный вклад в банк за год увеличивается на 11 %. Вкладчик внес в банк 7000 рублей. В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора еще на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее 10000 рублей. Какую наименьшую сумму необходимо дополнительно положить на счет по окончании первого года, чтобы при той же процентной ставке (11 %) реализовать этот план? (Ответ округлите до целых.)

Ответ: 1240 рублей.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА СМЕСИ И СПЛАВЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РИСУНКОВ-СХЕМ.

Задача 1. Сплавили 300г. сплава олова и меди, содержащего 60%  олова, и 900г сплава олова и меди, содержащего 80% олова. Сколько процентов олова в полученном сплаве?

Решение:

      Sn          Cu                           Sn            Cu                            Sn    

           300г                                        900г                                       1200г

Найдем массу олова в первом сплаве: 300∙0,6=180 г. Масса олова во втором сплаве: 900∙0,8=720 г. Масса олова в получившемся сплаве: (1200∙х):100. Составим уравнение и решим его.

180+720=12х,

х=75%.

Решим данную задачу относительно массы меди.

Масса меди в первом сплаве: 300∙0,4=120г. Масса меди во втором сплаве: 900∙0,2=180г. Масса меди в получившемся сплаве: (1200∙х):100. Составим уравнение и решим его.

120+180=12х,

12х=300,

х=25% - масса меди, значит масса олова будет равна

100%-25%=75%

Ответ: 75%.

Задача 2. В смеси спирта и воды спирта в 4 раза меньше, чем воды. Когда к этой смеси добавили 20л воды, получили смесь с содержанием спирта 12%. Сколько воды было в смеси первоначально?

Решение:

           Спирт     вода                              вода          спирт        вода            

               х         4х                              20л                        20+5х

Решим задачу относительно объема воды.

4х+20=(20+5х)∙0,88

4х+20=17,6+4,4х

0,4х=2,4

х=6.

Первоначально в смеси было 6л спирта и 24л воды.

Решим задачу относительно объемы спирта.

х=(20+5х)∙0,12

х=2,4+0,6х

0,4х=2,4

х=6

Первоначально в смеси было 6л спирта и 24л воды.

Ответ: 6л спирта и 24л воды.

Задача 3.  Имеются два куска сплава цинка и меди с процентным содержанием меди 30% и 18%. В каком отношении надо взять эти сплавы, чтобы, переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий 25 % меди?

  Решение: Содержание задачи представим в виде схемы.

              Zn          Cu                           Zn            Cu                 Zn      Cu

                     х г                                              у г                          (х+у) г

Пусть масса первого куска х кг., а второго у кг., тогда масса сплава (х+у) кг.

Масса меди в первом куске  0,3х кг., во втором 0,18у кг., тогда масса меди в сплаве 0,25(х+у) кг.

        Составим уравнение и решим его.

0,3х+0,18у=0,25(х+у)

30х+18у=25х+25у

5х=7у

х:у=7:5

Ответ: х : у = 7 : 5,  где х – масса 30 %-го сплава, у – масса 18 %-го сплава.    

Задача 4. В двух одинаковых сосудах находится растворы серной кислоты концентрации 28,7% и 37,3%. Раствора сливают. Какова концентрация полученного раствора кислоты?

Решение:

                   х                                                  х                             2х            

(х∙28,7):100+(х∙37,3)=(у∙2х):100,

28,7х+37,3х=2ху,

66х=2ху,

у=33%.

Ответ: 33%

Задача 5.  Для приготовления маринада необходим 2%-ный раствор уксуса. Сколько нужно добавить воды в 100г 9%-ного раствора уксуса, чтобы получить раствор для маринада?

   Решение:

         уксус       вода                   вода                уксус     вода

                 100 г                                     х               (100+х) г                          

Решаем относительно массы воды.

100∙0,91+х=(100+х)∙0,98,

91+х=98+0,98х,

0,02х=7,

х=350.

Ответ: 350г.

Задача 6. Имеются два слитка сплава олова с медью. Первый слиток содержит 230г. олова и 20 г меди, а второй слиток – 240г олова и 60г меди. От каждого слитка отрубили по куску, сплавили и получили 300г сплава. Сколько граммов отрубили от первого слитка, если в полученном сплаве было 84% олова?

   Решение:

        олово    медь                               олово         медь                  олово

        230г        20г                        240г          60г                        х+у=300

                250г                                        300г

3х=300,

х=100.

Ответ: 100г.

 Задача 7.  Один вид железной руды содержит 72% железа, другой-58%. Некоторое количество руды 1 вида смешали с некоторым количеством руды 2 вида и получили руду, содержащую 62% железа.

Если бы для смеси взяли руды каждого вида на 15 кг. больше, чем было взято, то получилась бы руда, содержащая р% железа. Сколько кг. руды 1 и 2 вида было взято для составления первой смеси?

 Решение:

               х кг.                                 у кг.                                                 (х+у) кг.

Найдем массу железа

В руде 1 вида                           В руде 2 вида                     В смеси

0,72х кг.                                          0,58у кг.                          0,62(х+у)кг.

По условию задачи получаем уравнение

        0,72х+0,58у=0,62(х+у)                (1)

          (х+15)кг.                            (у+15)кг.                                    (х+у+30)кг.

Найдем массу железа в каждом виде руды

В руде 1 вида                             В руде 2 вида                          В смеси

0,72(х+15)кг.                                0,58(у+15)кг.             р⁄100(х+у+30)кг.

По условию задача получаем уравнение

0,72(х+15++0,58(у+15)=р⁄100(х+у+30)                (2)

Решая систему двух линейных уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными, получаем

причем 62

Задача 8. В раствор объемом 8 литров, содержащий 60% кислоты, начали вливать раствор, содержащий 20% кислоты. Сколько можно влить второго раствора в первый, чтобы смесь содержала кислоты не больше 40%, но не меньше 30%?

Решение:

                8л.                                           хл.                                           (х+8)л.

Найдем объем кислоты в каждом растворе

В 1 растворе                                Во втором растворе           В смеси кослоты

0,6·8 л.                                              о,2х л.                               (4,8+0,2х) л.

По условию задачи смесь должна содержать кислоты не более 40%, т.е. не более 0,4(х+8) л., но не менее 30%, т.е. 0.3(х+8)л.

Получаем следующее неравенство:

0,3(х+8)≤4,8+0,2х≤0,4(х+8)

Решая его получаем

                                8≤х≤24.

Ответ можно влить не менее 8л., но не более 24л. раствора.

Задачи для решения.

1. Отношение массы олова к массе свинца в куске сплава равно 2:3. Этот кусок сплавили с куском олова весом 3 кг и получили новый сплав с содержанием свинца 10%. Найдите массу олова в новом сплаве.

Ответ. 3,24.

2. У ювелира два одинаковых по массе слитка, в одном из которых 36% золота, а в другом 64%. Сколько процентов золота содержится в сплаве, полученном из этих слитков?

 Ответ. 50

3. У кузнеца имеется два одинаковых по массе бронзовых бруска. В одном олово составляет 43% массы, а в другом медь составляет 43% массы. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный при переплавке этих брусков?

Ответ. 50

4. Для размножения водорослей вода в аквариуме должна содержать 2% морской соли. Сколько литров пресной воды нужно добавить к 80 л морской воды с 5%-ным содержанием соли, чтобы получить воду, пригодную для заполнения аквариума?

Ответ. 120

5. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 2 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с 75% содержанием воды?

Ответ. 800

6. Огурцы содержат 99% воды. В магазин привезли 1960 кг свежих огурцов, но в результате неправильного хранения содержание воды в огурцах понизилось до 98%. Сколько килограммов огурцов поступило в продажу?

Ответ. 980

7. Сплавили 2 кг сплава цинка и меди, содержащего 20% цинка, и 6 кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве.

Ответ. 65

8. Смешали 300 г 60%-ного раствора серной кислоты и 200 г 80%-ного раствора серной кислоты. Сколько процентов серной кислоты в получившемся растворе?

Ответ. 68

9. Имеется два сплава. Один содержит 2,8 кг золота и 1,2 кг примесей, другой — 2,7 кг золота и 0,3 кг примесей. Отрезав по куску от каждого сплава и сплавив их, получили 2кг. Сплава с содержанием золота 85%. Сколько килограммов металла отрезали от второго сплава?

Ответ. 1,5

10. Содержание некоего металла в руде составляет 0,1%. В процессе переработки руды получают обогащенный концентрат, содержащий 10% металла, и обедненный отвал, в котором содержание металла в 10 раз ниже его содержания в руде. Сколько тонн руды надо переработать, чтобы получить 1 тонну концентрата?

Ответ. 111

11. Плотность первого металла на 4г/см3 больше плотности второго металла. Из 6кг первого металла и 4кг второго изготовили сплав, деталь из которого имеет массу 0,5 кг. Если бы такая же по объему деталь была изготовлена только из второго металла, то ее масса была бы на 20% меньше. Найдите плотность второго металла.

Ответ.  8 г/см3.

12. Из двух растворов с различным процентным содержанием спирта массой m и n г отлили по одинаковому количеству раствора. Каждый из отлитых растворов долили в остаток от другого раствора, после чего процентное содержание спирта в обоих полученных растворах стало одинаковым. Сколько раствора было отлито из каждого сосуда?

Ответ.

13. Сколько литров воды нужно добавить к 12 л уксусной эссенции (смесь уксуса и воды) с содержанием уксуса 80% для приготовления столового уксуса с содержанием воды 94%?

Ответ: 148

14.  В ювелирной мастерской имеется два сплава золота различной пробы: с содержанием золота 58% и 95%. Сколько граммов сплава с 95%-ным содержанием золота нужно взять, чтобы получить 37 г сплава с 70%-ным содержанием золота.

Ответ: 12

15.  Сколько по массе 90%-го и 60%-го растворов фосфорной кислоты надо взять, чтобы получить 5,4 кг 80%-го раствора фосфорной кислоты?

Ответ: 3,6 и 1,8

16. Смешали некоторые количества 72%-го и 58%-го растворов кислоты, в результате получили 62%-й раствор той же кислоты. Если бы каждого раствора было взято на 15 л больше, то получился бы 63,25%-й раствор. Сколько литров каждого раствора было взято первоначально для составления первой смеси?

Ответ: 12 и 30

17. Имеется два сплава меди, никеля и железа, причем первый из них содержит 4% меди. Если сплавить их в равных количествах, получится сплав, содержащий 66% железа, а если взять 3 кг первого сплава и 7 кг второго, получится сплав, содержащий 0,4 кг меди. Определить процентное содержание никеля во втором сплаве, если известно, что оно в 2 раза выше, чем в первом сплаве.

Ответ: 40%

18. Имеется два сплава меди, никеля и железа, причем первый из них содержит 4% меди. Если сплавить их в равных количествах, получится сплав, содержащий 66% железа, а если взять 3 кг первого сплава и 7 кг второго, получится сплав, содержащий 0,4 кг меди. Определить процентное содержание никеля во втором сплаве, если известно, что оно в 2 раза выше, чем в первом сплаве.

Ответ: 12%

19. Для технических целей смешали 5 литров спирта первого сорта и 7 литров второго сорта и получили спирт крепостью 65%. Если взять 20 литров первого сорта и 4 литра второго сорта, то смесь выйдет крепостью 79%. Определить крепость спирта каждого сорта.
20. Партию молока жирностью 3,2% разбавили 30 литрами обезжиренного молока. Сколько литров молока получили, если его жирность оказалась равной 2,8%?

Ответ: 240.

21. Из сосуда с 20%-м раствором щелочи испарилось 4г воды, в результате концентрация щелочи в растворе увеличилась на 1%. Сколько граммов весил первоначальный раствор в сосуде?

Ответ: 84.