Разработка урока по теме "Логарифмы и их применение"
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Тема: Логарифмы и их применение

Цели:

а) создать условия для закрепления и углубления знаний свойств логарифма, при выполнении заданий, связанных с преобразованием логарифмических выражений, знакомство с историческим материалом по теме, с областями применения логарифма;

б) развивать у учащихся навыки самоконтроля, взаимного контроля, самооценки работы на уроке,  умения применять знания в нестандартной ситуации;

в) воспитывать  у учащихся чувство ответственности, взаимопомощи.

Оборудование: компьютер с проектором для демонстрации презентации, раздаточный материал для работы в группах, карточки с индивидуальными заданиями, оценочный лист, дидактический материал, презентация.

Задачи:

-познакомиться с историей возникновения логарифмов;

-научиться применять свойства логарифмов для преобразования логарифмических выражений;

-рассмотреть применение логарифмов в различных областях наук.

«Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь»

П.С. Лаплас

Тип урока: урок закрепления знаний

Ход урока:

1. Организация на урок

а) сообщение цели урока

- Сегодня на уроке мы продолжим работу по применению свойств логарифма, а также познакомимся с историческим материалом о логарифмах, с применением логарифмов в различных областях наук, в частности, рассмотрим применение логарифма при решении физических задач, в конце урока каждый из вас проверит свои знания, решив тест.

б) организация работы на уроке

- Сегодня мы будем работать в группах, класс поделен на две группы, в каждой группе выбраны лидеры. В течение урока одна группа будет оценивать работу другой, проставляя баллы за правильные ответы в оценочных листах. В конце урока будут подсчитаны баллы и выставлены оценки.

Эпиграфом к нашему уроку являются слова французского математика, астронома и физика Пьера Симона Лапласа «Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь». В этих словах подчеркивается важность изобретения логарифмов для других наук, и на протяжении урока вы убедитесь, на сколько эти слова правдивы.

2. История возникновения логарифмов (сообщение учащегося) (слайд)

Логарифмы возникли в 16 веке в связи с необходимостью проведения большого объема вычислений в ходе решения практических задач, и в первую очередь задач астрономии, (в частности, при определении положения судов по звездам и по солнцу). Логарифмы были введены шотландским математиком Джоном Непером (1550-1617) и швейцарским  математиком Иостом Бюрги (1552-1632).

С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов можно смело ставить рядом с другим, более древним великим изобретением индусов – нашей десятеричной системы нумерации.

Через десяток лет после появления логарифмов английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку. Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, позволяла быстро получать ответ достаточной точностью в три значащие цифры.

Теперь её вытеснили калькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы построены, ни первые компьютеры, ни микрокалькуляторы.  

3. Устная работа

- Для того чтобы решать примеры нам необходимо, повторить теорию. Вопросы будут задаваться по очереди каждой группе. В оценочных листах ставим баллы за правильные ответы. Если же группа дает неверный ответ, то на этот вопрос дает ответ другая группа.

Итак, вопросы:

1. Определение логарифма.
2. Записать на доске основное логарифмическое тождество.
3. Повторение свойств логарифмов. Найди ошибки в записи свойств логарифмов. Исправь и прочти правильно.

4. Вычисли устно, используя данные свойства:

1. 6·
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 1+
9. 
10. 

4. Работа в группах

Количество заданий и уровень сложности выполняемых заданий выбирают сами учащиеся.

Задания для первой группы

Задания для второй группы

5. Применение логарифмов (сообщение) (слайды )

Логарифмы широко используются в различных областях наук:

Физика

 Интенсивность звука измеряется в системе единиц СИ в Вт/м2. Интенсивность звука, также оценивается уровнем интенсивности по шкале децибел, где число децибел N=10 lg(I/I0), где I – интенсивность данного звука, I0 = 10-12 Вт/м2.

Астрономия

Если известна видимая звёздная величина и расстояние до объекта, то можно вычислить абсолютную звёздную величину по формуле:

M = m – 5lg         

Абсолютная звёздная величина связана со светимостью следующим соотношением

 =0,4(M0 – M)

Химия

Водородный показатель, «pH», - это мера активности ионов водорода в растворе, количественно выражающая его кислотность, вычисляется как отрицательный десятичный логарифм концентрации водородных ионов, выраженный в молях на литр:

(pH=– lg [H+])

Музыка

В основе устройства музыкальной гаммы лежат определенные закономерности. Для построения гаммы гораздо удобнее пользоваться, оказывается логарифмами соответствующих частот:

,

Сейсмология

При вычислении магнитуды. Магнитуда землетрясения – величина, характеризующая энергию, выделившуюся при землетрясении в виде сейсмических волн.

Логарифмическая спираль

Спираль - это плоская кривая, многократно обходящая одну из точек на плоскости, называемую полюсом спирали. Логарифмическая спираль является траекторией точки, которая движется вдоль равномерно вращающейся прямой, удаляясь от полюса со скоростью, пропорциональной пройденному расстоянию. Точнее, в логарифмической спирали углу поворота пропорционален логарифм этого расстояния.

Особенности логарифмической спирали не только математиков. Её свойства удивляют и биологов, которые считают именно эту спираль своего рода стандартом биологических объектов разной природы. Например, раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком не вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или по её аналогиям. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток закручены по логарифмической спирали. Рога таких рогатых млекопитающих, как архары – горные козлы, закручены по логарифмической спирали. Расположение семечек в любом подсолнечнике, чешуек в любом ананасе, да и другие разнообразные виды растений, простые ромашки… дают нам настоящий парад переплетающихся спиралей. Если мы посмотрим сверху на любую сосновую шишку, увидим, что ее семена располагаются в виде большого числа спиралей.

По логарифмической спирали закручены многие галактики.

6. Применение логарифмов в физике

а) краткий повтор теории

Способность ядер самопроизвольно распадаться, испуская частицы, называется радиоактивностью. Радиоактивный распад статистический процесс.

N(t) = N0e-λt ,       N(t) = N0   

 = ln  =

e=2, 718281828459045…

б) решение физических задач, где применяется логарифм, с демонстрацией решения у доски

Задача 1.

Чему равен период полураспада одного из изотопов франция, если за 6 секунд количество ядер этого изотопа уменьшается в 8 раз?

Задача 2.

Период полураспада одного из изотопов франция равен 2 секунды, через, сколько секунд количество ядер этого изотопа уменьшается в 8 раз?

7. Самостоятельная работа

Решение тестовых заданий (см. Приложение 1)

8. Подведение итогов урока

Выступление лидеров групп, выставление оценок (см. Приложение 2).

 Рефлексия (см. Приложение 3)

9. Домашнее задание.

Повторить определение и свойства логарифмов.

Приложение 1.

Вариант 1.

1. Вычислите:

1. 26
2. -13
3. -3,7
4. 5

2. Вычислите:

1. 6
2. 27
3. 12
4. 54

3. Упростите:

1. 0,5
2. 2
3. 
4. 

4. Вычислите:

1. -15
2. -3
3. 3
4. 15

5. Найдите:

, если = 5

1. 2
2. 5
3. 9
4. 7

Вариант 2.

1. Вычислите:

1. 36
2. 15
3. -3
4. -11,5

2. Вычислите:

1. 48
2. 8
3. 24
4. 4

3. Упростите:

1. 
2. 
3. 3
4. 5

4. Вычислите:

1. 1
2. 0,375
3. 24
4. 9

5. Найдите:

, если = 7

1. 10
2. 7
3. 3
4. 27

Вариант 3.

1. Вычислите:

1. 19
2. 5
3. 5,4
4. 12

2. Вычислите:

1. 36
2. 2
3. 8
4. 9

3. Упростите:

1. 1
2. 2
3. -1
4. -2

4. Вычислите:

1. 1
2. -
3. 
4. -1

5. Найдите:

, если = 9

1. 2
2. 1
3. 9
4. 10

Вариант 4.

1. Вычислите:

1. -4
2. 3
3. -17
4. 21

2. Вычислите:

1. -7,2
2. -5
3. 24
4. 48

3. Упростите:

1. 
2. 2
3. 
4. 

4. Вычислите:

1. 
2. 
3. -1
4. 1

5. Найдите:

, если = 6

1. 6
2. 8
3. 4
4. 10

Вариант 5.

1. Вычислите:

1. -2
2. 1
3. 4
4. 8

2. Вычислите:

1. 24
2. 28
3. 3,2
4. -4

3. Упростите:

1. 1
2. 
3. 
4. 0

4. Вычислите:

1. 3
2. 
3. 1
4. -1

5. Найдите:

, если = 17

1. 17
2. 25
3. 19
4. 5

Ответы к тесту:

Приложение 2.

Приложение 3.

Использованные материалы

1. http://www.effects.ru/science/227/index.htm
2. http://cyclowiki.org/wiki/%D0%92%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C
3. http://www.coolreferat.com/%D0%A1%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D1%8C_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%81_%D0%BC%D1%83%D0%B7%D1%8B%D0%BA%D0%BE%D0%B9_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C=3
4. http://ru.wikipedia.org/wiki/%C0%E1%F1%EE%EB%FE%F2%ED%E0%FF_%E7%E2%B8%E7%E4%ED%E0%FF_%E2%E5%EB%E8%F7%E8%ED%E0
5. http://ru.wikipedia.org/wiki/%CB%EE%E3%E0%F0%E8%F4%EC%E8%F7%E5%F1%EA%E0%FF_%F1%EF%E8%F0%E0%EB%FC
6. http://hijos.ru/2011/04/13/yakob-bernulli-logarifmicheskaya-spiral/