Школьный этап олимпиады по математике 2010-2011 гг.
олимпиадные задания по алгебре (6 класс) на тему

1. Школьник прочитал книгу за три дня. В первый день он прочитал 0,2 всей книги и еще 16 страниц, во второй день 0,3 остатка и еще 20 страниц. В третий день 0,75 остатка и последние 30 страниц книги. Сколько страниц в книге?
2. Пять футбольных команд провели турнир – каждая команда сыграла с каждой по разу. За победу начислялось 3 очка, за ничью – 1 очко, за проигрыш очков не давалось. Четыре команды набрали соответственно 1, 2, 5, 7 очков. Сколько очков набрала пятая команда?,
3. Можно ли замостить доску 10×10 фигурками вида:
4. Решить числовой ребус: ДЕТАЛЬ+ДЕТАЛЬ=ИЗДЕЛИЕ

1. Решение: Пусть х – число страниц, которое было в книге. В первый день прочитали (0,2х+16) страниц, осталось прочитать во второй и третий день (0,8х-16) страниц. Во второй день прочитал (0,3(0,8х-16+20)=(0,24х+15,2) страниц. В третий день осталось прочитать (0,56х-31,2) страниц. Так как в третий день прочитал 0,75 остатка и еще 30 книг, то остаток будет составлять 120 страниц. В итоге получаем уравнение: 0,56х-31,2=120, откуда находим х=270. Ответ 270 страниц.

2. Решение: Каждая команда провела 4 игры. Ясно, что первая команда один раз сыграла вничью, а остальные игры проиграла. Вторая имеет две ничьи и два поражения. Третья команда пять очков на одних ничьих набрать не могла, стало быть она один раз выиграла, кроме того у нее две ничьи и поражение. Четвертая команда победила 2 раза (если бы один, то ей пришлось бы набрать в трех играх на одних ничьих 4 очка, что невозможно). Также у этой команды есть ничья и поражение. В итоге первые четыре команды выиграли 3 раза, а проиграли 7 раз. Однако, число побед должно равняться числу поражений. Значит, 4 раза они проиграли пятой команде, и у той 12 очков.

Нетрудно привести пример, турнира, где такое распределение очков возможно. Пусть 5 команда выиграла у всех, четвертая – у первой и второй, третья – у первой, а все остальные игры закончились вничью. Тогда у каждой команды будет названное число очков.

3. Решение: Сделаем шахматную раскраску доски: получим, что на доске будут 50 клеток одного цвета и 50 клеток другого цвета. Замечаем, что фигурка, данная по условию, при любом расположении прокроет три клетки одного цвета и одну другого цвета. Для того, чтобы покрыть все клетки каждого из цветов, нужно, чтобы фигурок, которые покрывают любой из двух цветов было бы четное число (так как всего 50 клеток, а каждая фигурка покрывает 1 или 3 клетки этого цвета). Значит и общее количество таких фигурок должно быть четно. Однако легко посчитать, общее число фигурок будет равно 25, т.е. нечетное число. Значит замостить доску требуемым образом нельзя.

4.    Ответ: 684259 + 684259 = 1368518

Критерии оценки задания.

Каждая задача оценивается в 7 баллов

Время выполнения  олимпиады – 3 часа