Задания для школьного этапа олимпиады по математике (8 класс)
олимпиадные задания по алгебре (8 класс) на тему

Олимпиада 2011г.

8 класс

1. Сократите дробь:

Решение

2. Найдите такие  и , при которых для всех допустимых значений x верно

Решение

Допустимыми значениями x являются все числа, кроме x=1.

Из последнего равенства следует, что ,  .

3. Поставьте знак  между некоторыми цифрами числа 987 654 321, чтобы в сумме получилось 99. Сколько решений имеет задача?

Решение

1. 9+8+7+65+4+3+2+1=99;
2. 9+8+7+6+5+43+21=99.

4. Собака, находясь в точке , погналась за лисицей, которая была на расстоянии 30м от собаки. Скачок собаки равен 2м, скачок лисицы – 1м. Собака делает два скачка в то время когда лисица делает 3 скачка. На каком расстоянии от точки  собака догонит лисицу?

Решение

Обозначим  за  м, тогда м – прошла собака до точки , где -момент, когда собака догнала лисицу,  м – прошла лисица до точки .

За единицу времени собака проходит 4м, а лисица – 3м, время движения у них одно и то же. Значит, возможно составить уравнение:

а отсюда . Следовательно, расстояние , равное  это

Ответ: 120м.

5. Два человека, у которых есть один велосипед, должны попасть из пункта  в пункт , находящийся на расстоянии  от . Первый передвигается пешком со скоростью , на велосипеде – . Второй – пешком со скоростью , на велосипеде – . За какое наименьшее время они могут добраться в пункт (велосипед можно оставлять без присмотра)?

Решение

Пусть первый человек пешком пройдет  километров, а на велосипеде проедет  километров. Тогда второй человек пешком пройдет  километров, а на велосипеде проедет  километров. Учитывая, что наименьшее время они затратят, если придут в пункт  одновременно, составим уравнение

откуда .

Искомое время  

Ответ: 4 ч 48 мин.

6. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Чему равны стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45см?

Решение

∆ABC – равнобедренный, отсюда

равнобедренные, так как  и аналогично . Поэтому  и .

К тому же  (стороны прямоугольника), так что .

Пусть . Тогда, . Получим

; откуда

. Далее, ; .

Ответ: 10 см; 25см.