Задания с решениями для проведения школьного этапа олимпиады по математике в 10-ом классе
олимпиадные задания по алгебре (10 класс) по теме

Задания с решениями для проведения школьного этапа олимпиады по математике в 10-ом классе

1. Решите уравнение

В ответе укажите целый корень. (2б)

Решение:

Ответ:1.

2. Решите систему уравнений

   (2б)

Решение:

Пусть , xy=b, тогда

Имеем

Ответ: (3;1), (1;3).

3. При каких значениях параметра  корни уравнения  имеют одинаковые знаки. (3б)

Решение:

График уравнения  представляет собой «уголок», стороны которого образуют углы 45◦ с осью абсцисс, а вершина находиться на оси х в точке с координатами (5; 0)

График уравнения  представляет собой семейство прямых, параллельных оси х. Эти прямые должны пересекать «уголок» в точках, абсциссы которых имеют одинаковые знаки. Условие для параметра а определяется из системы неравенств

.

Следовательно, корни уравнения  имеют одинаковые знаки, если .

Ответ:.

4. Задача.

Числители трех дробей пропорциональны числам 1, 2, 5, а знаменатели соответственно числам 1,3,7. Среднее арифметическое этих дробей равно  . Найдите эти дроби. (3б)

Решение:

1. Числители дробей: х, 2х, 5х (по условию задачи)
2. Знаменатели дробей: y, 3y, 7y (по условию задачи)
3. Дроби:
4. Из условия задачи следует:

  - первая дробь

  - вторая дробь

  - третья дробь

Ответ:

5. Задача.

В сосуде было 12 литров соляной кислоты. Часть кислоты отлили и долили сосуд водой, затем снова отлили столько же и опять долили водой. Сколько жидкости отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25% -ный раствор соляной кислоты? (4б)

Решение:

Пусть первый раз отлили л 100%-ной соляной кислоты, тогда в растворе её осталось (12-х) литров. Второй раз было отлито л жидкости, в которой содержалось  л кислоты. В результате осталось л кислоты, что составляло л. Поэтому , откуда . Второй корень не подходит, так как в сосуд, вмещающий 12 литров нельзя влить 18 литров.

Ответ: 6 литров.

6. Задача.

Докажите, что геометрическое место середин отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым. (4б)

Решение:

Пусть  и b – данные скрещивающиеся прямые. Проведем через них пару параллельных плоскостей  и . Все рассматриваемые середины отрезков принадлежат плоскости , проведенной через одну из точек параллельно плоскостям  и .

7. Задача.

В выпуклом четырехугольнике  углы при вершинах  и  прямые, величина угла при вершине  равна ,  , длина диагонали . Найти площадь этого четырехугольника. (5б)

Решение:

Обозначим угол  через . Так как сумма внутренних углов любого четырехугольника равна , а три угла четырехугольника   известны по условию задачи, то . Рассмотрим треугольник . Введем обозначение CD=x, тогда по теореме косинусов получим уравнение

.

Единственный положительный корень этого уравнения есть .

Выполним дополнительное построение: опустим из вершины С перпендикуляр  на AD.

Из прямоугольного треугольника  находим, что . По теореме Пифагора находим . Из прямоугольного треугольника BAD и очевидного равенства  следует, что . .

Так как по условию задачи углы А и B прямые, то AD||BC и четырехугольник ABCD – трапеция.

.

Ответ: