Расположение корней квадратного уравнения в задачах с параметрами
проект по алгебре (9 класс) на тему

Муниципальное казённое учреждение

Ермоловская СОШ

Расположение корней квадратного уравнения в задачах с параметрами

                         Выполнил Галкин Сергей Андреевич,

                                                                                      ученик 9-го класса

                                                                     Руководитель: Малей Н.И.,

                                                                                             учитель математики

2013

Содержание

Введение…………………………………………………….. 3

Основная часть. Расположение корней квадратного       уравнения и примеры………………………………………..4-15

Проверка качества применимости изложенного материала..16

Заключение…………………………………………………….17

Литература …………………………………………………….18

Приложение ……………………………………………….......19

Цель: 

Сформулировать и обосновать утверждения о расположении корней квадратного уравнения и показать применение полученных утверждений для решения задач с параметрами.

Задачи:

1. Изучить литературу по данной теме.

2. Сформулировать утверждения и дать геометрическую интерпретацию

Введение

 В последнее время в материалах выпускных экзаменов, ЕГЭ в задачах повышенной сложности предлагаются задания по теме «Уравнения с параметрами»

  Особую роль среди уравнений с параметрами играют задачи, связанные с расположением корней квадратного уравнения.

Рассмотрим два наиболее распространённых типа таких задач

  1-ый тип задачи в которых изучается расположение корней относительно заданной точки.

  2-ой тип задачи в которых исследуется расположение корней относительно числового промежутка

Утверждения о расположении корней квадратного уравнения

Пусть f(x)=ax2+bx+c имеет действительные корни x1 и x2, а M – какое-нибудь действительное число, D=b2 – 4ac.

Утверждение 1. Для того чтобы оба корня квадратного уравнения были меньше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси левее, чем точка M), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

Пример 1:

Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения x²+4ax+(1-2a+4a²)=0 меньше -1.

Решение:

Рассмотрим функцию y=x²+4ax+1(1-2a+4a²)

a<1/2 или а>1

Ответ: (1; +∞).

Утверждение 2.Для того чтобы один из корней квадратного уравнения был меньше, чем число M, а другой больше, чем число M (т.е. точка M лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий:

Пример 2:

Найти все значения параметра m, при каждом из которых один корень уравнения 2mx²-2x-3m-2=0 больше 1,а другой меньше 1.

Решение:

2mf(1)<0.

2m(2m-2-3m-2)<0

-2m²-8<0

-2m(m+4)<0

m(m+4)>0

Ответ: (-∞; -4)U(0; + ∞).

Утверждение 3. Для того чтобы оба корня квадратного уравнения были больше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси правее, чем точка M), необходимо и достаточно выполнение условий:

Пример 3:

Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения x²-6ax+(2-2a+9a²)=0 больше 3

Решение: f(x)=x²-6ax+(2-2a+9a²)

Ответ: а>11/9

Утверждение 4. Для того чтобы оба корня квадратного уравнения были больше, чем число M, но меньше, чем число N (M), т.е. лежали в интервале между M и N, необходимо и достаточно:

Пример 4:

При каких значениях m корни уравнения 4x²-(3m+1)x-m-2=0 лежат в промежутке между -1 и 2?

Решение:

 -

Ответ:( -; ).

Утверждение 5. Для того чтобы только больший корень квадратного уравнения лежал в интервале [M,N](M<N), необходимо и достаточно:

(при этом меньший корень лежит вне отрезка [M, N]).

5.Найти все значения а, для которых при каждом x из промежутка (-3; -1] значение выражения
 (задача С3 из ЕГЭ).

Решение:

1.Значения указанных выражений не равны друг другу тогда и только тогда,когда выполнено условие:

Обозначим t=x², тогда t²-8t-2at.

t²-8t-at-2=t²-(a+8)t-20

f(t)=t²-(a+8)t-20

Следовательно, в задаче требуется, чтобы уравнение f(t)=0 не имело корней на промежутке [1;9).

2.График функции y=f(t) есть парабола, ветви которой направлены вверх и f(0)=-2. Поэтому квадратный трёхчлен f(t) имеет 2 корня t1<0, t2>0

Больший корень уравнения лежит [1;9)

Значит

3.Решим полученную систему:

решением системы является промежуток [-9; 7/9), поэтому решением данного уравнения также является [-9; 7/9).

Следовательно, уравнение f(t) не имеет корней при всех a,не принадлежащих этому промежутку,  то есть когда a<-9 или a7/9.

Ответ: a<-9, a7/9.

Утверждение 6. Для того чтобы только меньший корень квадратного уравнения  лежал в интервале [M, N], необходимо и достаточно:

(при этом больший корень лежит вне отрезка [M, N]).

Утверждение 7. Для того чтобы один из корней квадратного уравнения  был меньше, чем M, а другой больше, чем N (M [M, N] целиком лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно:

Пример  6:

Найти все значения параметра а, при которых меньший корень уравнения x²+(a+1)x+3=0 лежал в интервале (-1; 3)

Решение :

Ответ: (-∞; -5)

Пример 7 :

При каких значениях параметра а один корень уравнения x²-(3a+2)x+2a-1=0 меньше -1, а другой больше 2.

Решение:

Ответ: решений нет.

Проверка качества применимости изложенного материала

Проверочную работу выполняли четыре человека: три ученика 11 класса и один ученик 10 класс (задания см. в Приложении)

В результате анализа проверочной работы была выявлена необходимость совершенствования навыков решения задач на расположение корней квадратного уравнения

Заключение:

  В процессе исследования были рассмотрены основные случаи расположения корней квадратного уравнения,  приведены утверждения, к которым  даны иллюстрации, помогающие понять, как выводятся эти утверждения. Данный материал облегчит понимание решений заданий, содержащих параметры о расположении корней квадратного уравнения. Он может быть использован для индивидуального обучения, а также на внеклассных и факультативных занятий по математике.

Литература:

1. Задачи с параметрами П.И. Горнштейн, .Б. Полонский, М.С. Якир

2. Тетрадь-конспект по алгебре, авторы Ершова А.П., Голобородько В.В. и др.

3. Рабочая тетрадь для подготовки к итоговой аттестации по математике в новой форме (Негосударственное образовательное учреждение «Интернациональные коммуникации»)

4. Школа решения задач с параметрами, авторы Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н.

Приложение

Задания:

1. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения  4x²+2(а-1)х-а²+а=0 меньше -1.
2. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения      x²+(a-4)x-2a=0 больше 1
3. При каких значениях параметра a оба корня уравнения x²-ax+2=0 больше 1, но меньше 3