Трансформация некоторых теорем планиметрии в область стереометрии
творческая работа учащихся по алгебре на тему

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Хохольский лицей»

Математическое исследование на тему

 «Трансформация

некоторых теорем планиметрии

в область стереометрии»

учениц 10 «А» класса

МОУ «Хохольский лицей»

Хохольского района Воронежской области

Елфимовой Евгении Сергеевны,

Сабчук Яны Александровны,

Ярмоновой Татьяны Сергеевны

Руководитель Григорьева Л.А.

СОДЕРЖАНИЕ

                                                                                                                             с.

Введение …………………………………………………………………………….3

Определения треугольника и тетраэдра……………………………………………4

Виды треугольников и тетраэдров………………………………………………….5

Признаки равенства трехгранных углов  и тетраэдров …………………………..6

Окружность, вписанная в треугольник, и окружность,  описанная около треугольника. Тетраэдр, вписанный в сферу и описанный около сферы……………9

Теоремы о замечательных точках треугольника и тетраэдра…………………...10

Теорема косинусов для тетраэдра…………………………………………………11

Прямоугольный треугольник и прямоугольный тетраэдр.

Теорема Пифагора в пространстве………………………………………………..13

Формула Герона в планиметрии и ее аналог в стереометрии…………………...15

Теорема Чевы……………………………………………………………………….21

Заключение………………………………………………………………………….26

Список использованной литературы …………………………………………… .27

ВВЕДЕНИЕ

Традиционный систематический курс геометрии средней школы делится на две части: планиметрию и стереометрию. Причем изучение планиметрии в основной школе и стереометрии в средней школе часто приводит к тому, что эти разделы рассматриваются  как бы независимо друг от друга, что для них нет ничего общего. Однако внимательное рассмотрение каждого из разделов позволяет увидеть, что в указанных курсах имеются элементы, обладающие аналогичными свойствами.

Избежать односторонности в изучении геометрии может помочь широкое применение в курсе стереометрии метода аналогии. Например, при изучении тетраэдра можно заметить, что он имеет планиметрический аналог – треугольник. Подтверждением этого служат слова из замечательной книги   Д. Пойи «Математика и правдоподобные рассуждения»: «На плоскости две прямые линии не могут образовать ограниченную фигуру, а три могут образовать треугольник. В пространстве три плоскости не могут образовать ограниченное тело, а четыре могут образовать тетраэдр. Отношение треугольника к плоскости такое же, как отношение тетраэдра к пространству, поскольку и треугольник, и тетраэдр ограничены минимальным числом простых ограничивающих элементов». Конечно, этим аналогия между треугольником и тетраэдром не исчерпывается: аналогичны многие теоремы и свойства, связанные с ними.

 В данной работе сделаны попытки трансформировать некоторые теоремы  планиметрии в область стереометрии.  

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА И ТЕТРАЭДРА

Поверхность, составленная из четырех треугольников АВС, DAB, DBC и DCA, называется тетраэдром и обозначается  так: DABC  (рисунок 1).

                          Рис. 1

Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются  гранями, их стороны  - ребрами, а вершина – вершинами тетраэдра. Тетраэдр имеет четыре грани, шесть ребер и четыре вершины. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. На рисунке 1 противоположными являются ребра AD и BC, BD и AC, CD и AB. Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее основанием, а три другие – боковыми гранями. 

Тетраэдр изображается обычно так, как показано на рисунках 1 и 2, то есть в виде выпуклого или невыпуклого четырехугольника с диагоналями. При этом штриховыми линиями изображаются невидимые ребра.

Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – сторонами.

                                                                                                 Рис. 2

ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ И ТЕТРАЭДРОВ

 Применим метод аналогии. Например,  из истории треугольника: треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которой человек узнал еще в глубокой древности, так как эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни. В строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей. Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и в других древних документах. В древней Греции учение о треугольниках развивалось в ионийской школе, основанной в VII в. до н. э. Фалесом, и в школе Пифагора. Уже Фалес доказал, что треугольник определяется стороной и двумя прилежащими к ней углами. Учение о треугольниках было полностью изложено в первой книге «Начал» Евклида. Среди «определений», которыми начинается эта книга, имеются и следующие: «Из трехсторонних фигур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равные стороны, равнобедренный же – имеющая только две равные стороны, разносторонний – имеющая три неравные стороны». Понятие о треугольнике исторически развивалось, по-видимому, так: сначала рассматривались лишь правильные, затем равнобедренные и, наконец, разносторонние треугольники.

 Были получены следующие аналоги:

правильный треугольник – правильный тетраэдр;

равнобедренный треугольник – правильная треугольная пирамида;

разносторонний треугольник – тетраэдр общего вида.

Более сложной задачей, явился поиск стереометрического аналога для прямоугольного треугольника: тетраэдр, в котором при одной вершине все три плоских угла прямые.  

Особое внимание, на наш взгляд, нужно уделить следующему факту: не все свойства треугольника имеют аналогии среди свойств тетраэдра. Например, все высоты любого треугольника пересекаются в одной точке, но не о каждом тетраэдре можно сказать то же самое. Те тетраэдры, для которых такое свойство верно, составляют отдельный класс ортоцентрических тетраэдров.

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕХГРАННЫХ УГЛОВ

И ТЕТРАЭДРОВ

  «Признаки равенства треугольников» – одна из тем, которая остается актуальной на протяжении всего курса планиметрии, и не требует дополнительных усилий со стороны учащихся для восстановления ее в памяти.  Равенство треугольников и тетраэдров определяется на основе понятия наложения: два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением; две пирамиды называются равными, если они при вложении одной в другую могут быть совмещены.

Для доказательства признаков равенства тетраэдров необходимо ознакомиться с признаками равенства трехгранных углов, а именно:

• два трехгранных угла равны, если все три плоские угла одного из них равны плоским углам другого и одинаково с ними расположены;
• два трехгранных угла равны, если они имеют по равному двугранному углу, заключенному между двумя плоскими углами, соответственно равными и одинаково расположенными;
• два трехгранных угла равны, если они имеют по равному плоскому углу, заключенному между двумя двугранными углами, соответственно равными и одинаково расположенными.

 Можно выделить следующие признаки равенства тетраэдров:

1. Если в двух тетраэдрах соответственно равны две грани и двугранный угол между ними, то такие тетраэдры равны или симметричны.

2. Два тетраэдра равны или симметричны, если они имеют по равному ребру, прилежащему к соответственно равным трехгранным углам.

3. Два тетраэдра равны или симметричны, если они имеют по шесть равных ребер, и в обоих тетраэдрах равные элементы располагаются в одном и том же порядке (так, что трем ребрам, лежащим в одной грани или выходящим из одной вершины, соответствуют три равных им ребра, также лежащие в одной грани или выходящие из одной вершины).

Поясним понятие «симметричные тетраэдры». Если ребра, плоские и двугранные углы двух тетраэдров равны, но расположены в «обратном» порядке, то они симметричны.

Так, на рисунке 3 дан тетраэдр ОАВС.

Рис. 3

Его ребра АО, СО, ВО продолжены за вершину О так, что АО=ОА1, СО=ОС1, ВО=ОВ1.Очевидно, что в тетраэдрах ОАВС и ОА1В1С1 равны ребра, плоские и двугранные углы, следовательно, они симметричны. Заметим, что симметричные тетраэдры, вообще говоря, не равны, то есть при вложении одного тетраэдра в другой они не совмещаются.

В качестве примера доказательства рассмотрим первый признак равенства тетраэдров:

Теорема: Если в двух тетраэдрах соответственно равны две грани и двугранный угол между ними, то такие тетраэдры равны или  симметричны.

Доказательство. Пусть двугранный угол при ребре АВ тетраэдра АВСD равен двугранному углу при ребре А1В1 тетраэдра А1В1С1D1 и грани АВС и АDВ первого тетраэдра соответственно равны граням А1В1С1 и А1D1B1 второго.

Пусть обозначения выбраны так, что ребро АС первого тетраэдра равно ребру А1С1 второго (рисунок 4).

Рис. 4

Итак, мы имеем кроме равенства двугранных углов при ребрах АВ и А1В1 еще равенство ребер

АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1, АD=A1D1, BD=B1D1.

Построим теперь точку D2, симметричную точке D1 относительно плоскости А1В1С1 так, что А1D1=A1D2, B1D1=B1D2.

Опустим перпендикуляр DH на ребро АВ тетраэдра АВСD, а из точек D1 и D2 опустим перпендикуляры D1H1 и D2H2 на ребро А1В1, в силу равенства треугольников А1В1D1 и A1B1D2 (3-й признак равенства треугольников) точки Н1 и Н2 совпадут, а отрезок АН будет равен А1Н1.

Переместим теперь тетраэдр АВСD так, чтобы его грань АВС совпала с равной ей гранью А1В1С1 второго тетраэдра. В силу равенства двугранных углов при ребрах АВ и А1В1 плоскость АВD совместится с плоскостью A1B1D1 или А1В1D2. При этом луч АD совместится соответственно с А1D1 или с A1D2 (в силу равенства углов ВАD, B1A1D1, B1A1D2), точка Н совпадет с точкой Н1, перпендикуляр НD совпадет с H1D1 или с H1D2, а, следовательно, точка D с точкой D1 или D2.

Итак, тетраэдр АВСD совместится либо с равным тетраэдром А1В1С1D1, либо с симметричным ему тетраэдром А1В1С1D2.

ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ТРЕУГОЛЬНИК, И

ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА.

ТЕТРАЭДР, ВПИСАННЫЙ В СФЕРУ

И ОПИСАННЫЙ ОКОЛО СФЕРЫ

Здесь рассматривается еще одна интересная аналогия между фигурами на плоскости и в пространстве: окружностью и сферой.

 Из планиметрии известны факты:

1. В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

2. Около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.

 Можно доказать следующие утверждения:

1. Существует не более одной сферы, описанной около данного многогранника.

2. Около произвольного тетраэдра можно описать сферу, и притом только одну.

3. В произвольный тетраэдр можно вписать сферу, и притом только одну.

(Эти утверждения сформулированы как задача № 638, учебник «Геометрия 10-11», авторы Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов,  С.Б. Кадомцев, Л.С. Киселева, Э.Г. Позняк)

ТЕОРЕМЫ О ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ТОЧКАХ

ТРЕУГОЛЬНИКА И ТЕТРАЭДРА

В таблице 1 приведены теоремы о замечательных точках треугольника и их стереометрические аналоги.              

                                                    Таблица 1

Впервые закономерность в расположении трех замечательных точек треугольника – центра О описанной окружности, центроида G (точка пересечения медиан) и ортоцентра Н (точка пересечения высот) обнаружил и доказал с помощью метода координат знаменитый математик Леонард Эйлер (1703-1783).

Таблица 2

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ ДЛЯ  ТЕТРАЭДРА

 Рассмотрим  теорему косинусов для тетраэдров:

Теорема: Квадрат площади какой-либо грани тетраэдра равен сумме квадратов площадей трех других его граней без удвоенной суммы произведений площадей каждых двух из них на косинус двугранного угла между ними.

Доказательство.

                                                                                                                      Рис. 5

Проведем плоскость, проходящую через ребро СВ перпендикулярно АD. Пересечением данной плоскости с гранью АDС является отрезок СМ, а с гранью АDВ – отрезок ВМ, причем СМАD,  ВМАD, следовательно линейным углом двухгранного угла САDВ является угол СМВ = α. Аналогично построим линейный угол ADH = α΄ двухгранного угла АВСD.

Обозначим площади граней SADC = S1, SABD  = S2,   SBCD = S3, SABC =S4.

Из треугольника СМВ по теореме косинусов имеем:

СВ2 = СМ2 + ВМ2 - 2· СМ · ВМ· cos α.

Умножим обе части равенства на АD2.

Получим CB2 AD2 = AD2· CM2 +AD2· BM2 -AD2·2·СМ · ВМ· cos α,

 CB2 · AD2 =  (S1 )2 + (S2 )2 – 2 (S1 ) ·  (S2 ) · cos α.   (1)

Из треугольника  AHD по теореме косинусов имеем:

AD2 = DH2 + AH2 - 2· DH · AH· cos α΄.

Умножим обе части равенства на CD2.

Получим CB2 AD2 =  CB2· DH2 +CB2· AH2 -CB2· 2· DH · AH· cos α΄,

 CB2 · AD2 = (S3)2 + (S4 )2 – 2S3 · S4 · cos α΄.      (2)

Сравнивая равенства (1) и (2) получаем:

(S1 )2 + (S2 )2 – 2 S1 · S2  · cos α = (S3)2 + (S4 )2 – 2 S3  · S4 · cos α΄.  (3)

Выполняя аналогичные преобразования для пар ребер AB и DC, AC и DB, получаем

(S3 )2 + (S1 )2 – 2 S3  ·  S1  · cos β = (S2)2 + (S4 )2 – 2S2 · S4· cos β΄,   (4)

(S3 )2 + (S2 )2 – 2 S3 · S2 · cos γ = (S1)2 + (S4 )2 – 2S1· S4 ) · cos γ΄.    (5)

Вычисляя сумму левой и правой частей равенств (3), (4), (5), получаем

(S1)2  + (S2)2 +(S3)2 – 2S1·S2·cosα – 2S3·S1·cosβ- 2S3 ·S2·cos γ =

 = 2(S4)2-S4 (S3 ·cos α΄+ S2·cos β΄+ S1·cos γ΄).    (6)

Если основание высоты тетраэдра совпадает с точкой основания тетраэдра, то в этом случае двухгранные углы при основании являются острыми, значит  сумма площадей ортогональных проекций  боковых граней на основание равно площади основания, т.е.  S3 ·cos α΄+ S2·cos β΄+ S1·cos γ = S4.

Если основание высоты тетраэдра не совпадает с точкой основания тетраэдра, то в этом случае хотя бы один из  двухгранных углов при основании является тупым, в этом случае значение косинуса отрицательное, но сумма площадей ортогональных проекций  боковых граней на основание равно площади основания, т.е.  S3 ·cos α΄+ S2·cos β΄+ S1·cos γ = S4.

Учитывая этот факт, преобразуем равенство (6), получаем

(S1 )2  + (S2 )2 +(S3 )2 – 2S1·S2·cosα – 2S3·S1 ·cosβ- 2S3 ·S2·cos γ = 2(S4)2-S4 2,

То есть  S4 2 = (S1)2  + (S2)2 +(S3)2 – 2S1·S2·cosα – 2S3·S1 ·cosβ- 2S3 ·S2·cos γ,

S4 2 = (S1)2  + (S2)2 +(S3)2 – 2(S1·S2·cosα + 2S3·S1 ·cosβ+ 2S3 ·S2·cos γ).

Теорема косинусов доказана.

Следствие: Если все грани тетраэдра равновелики, то сумма косинусов его двугранных углов при всех трех ребрах, выходящих из  одной вершины, равна 1.

Доказательство вытекает из теоремы косинусов: пусть площадь каждой грани равна S. Получаем равенство

S2 =3 S2 -2 S2cosα – 2S2 ·cosβ- 2S2·cos γ,

cosα + cosβ + cos γ=1.

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

И ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТЕТРАЭДР.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА   В ПРОСТРАНСТВЕ

С прямоугольным треугольником связана одна из важнейших теорем геометрии – теорема Пифагора. Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда еще не знали ее доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путем на основе измерений. Пифагор, по-видимому, нашел доказательство этого соотношения. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. Со многими из  них  можно  ознакомиться в книге Литцмана В. «Теорема Пифагора».

Аналогом прямоугольного треугольника в пространстве является прямоугольный тетраэдр. Мы уже говорили о нем: тетраэдр, в котором при одной вершине все три плоских угла прямые, называют прямоугольным; грань, лежащую против прямого угла, называют гранью-гипотенузой, а другие гранями-катетами.

Для прямоугольного тетраэдра верна теорема, которую называют аналогом теоремы Пифагора в пространстве:

Теорема: В прямоугольном тетраэдре сумма квадратов площадей граней-катетов равна квадрату площади грани-гипотенузы.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольный тетраэдр DABC:  DССА, DССВ, СВСА, причем DС= с, СВ = а, АС = b. 

Найдем площади граней

       .

Для вычисления площади грани АВD вычислим апофему DH.

Применим теорему Пифагора для  прямоугольного треугольника:

∆ DСА: DА = ;   DА = ;

∆ DСВ: DВ = ;    DВ = ;

∆ АВС: АВ = ;    АВ = .

Обозначим АН через х. Тогда НВ =

По теореме Пифагора: DН = ; DH = ;

                                        DН = ; DH = .

Из уравнения =  получаем, что . Вычислим DH = .

Итак, .

, то есть получили

. Что и требовалось доказать.

 Эту теорему называют еще теоремой Фаульберга, который опубликовал ее в 1622 году для случая, когда DA=DB=DC в тетраэдре АВСD с прямым углом D. Для произвольного прямоугольного тетраэдра эту теорему доказал Де-Гюа.

Интересно заметить, что для прямоугольного тетраэдра верно также утверждение о том, что грань-гипотенуза имеет наибольшую площадь, так как грань-гипотенузу можем рассматривать как прямоугольную проекцию на каждую из граней-катетов. Это утверждение аналогично следствию из теоремы Пифагора: длина гипотенузы больше длины любого из катетов. 

Рассмотренные теоремы применяются при решении следующих задач:

1. Докажите, что если в прямоугольном тетраэдре боковые ребра а, b, c взаимно перпендикулярны, а h – высота, опущенная из вершины на основание, то

h-2 = a-2 + b-2 + c-2.

2. Докажите, что в прямоугольном тетраэдре площадь грани-катета есть среднее пропорциональное между площадью грани-гипотенузы и площадью проекции грани-катета на гипотенузу.

ФОРМУЛА ГЕРОНА В ПЛАНИМЕТРИИ

И ЕЕ АНАЛОГ В СТЕРЕОМЕТРИИ

Выведем формулу Герона для площади треугольника. По теореме косинусов                                                 с2 = а2 + b2 – 2abcos α ,

cos α = (a2 + b2 – c2)/2ab,

sin2α + cos2α = 1,

sin2α = 1-cos2α = (1-cos α)(1+cos α).

Замечая, что         a+b+c = 2p,

                               c+b-a = c+b+a-2a = 2p-2a = 2 (p-a),

                               c+a-b = c+a+b-2b = 2p-2b = 2 (p-b),

                               a+b-c = a+b+c-2c = 2p-2c = 2 (p-c).

sin2α = (16p (p-a)(p-b)(p-c))/4a2b2 = (4p (p-a)(p-b)(p-c)/a2b2

sin α = =

.

Учащиеся старших классов хорошо знают формулу Герона для вычисления площади треугольника. Формула, хотя и громоздка, но легко и надолго запоминается. Ее аналог возникает в курсе стереометрии при вычислении объема тетраэдра. Однако в школе этот вопрос не рассматривается, хотя в учебных пособиях встречаются задания на вычисление объема тетраэдра по известным длинам его ребер. Обычно это частные случаи, например: найти объем тетраэдра, у которого все боковые ребра равны.

Формула для вычисления объема тетраэдра по данным длинам его ребер сложная, но ее вывод не представляет больших трудностей.  

Рассмотрим несколько задач, содержащих числовые данные, причем подобраны  они так, чтобы не тратить много времени на вычисления.

Задача 1. Найти объем тетраэдра АВСD, если DA=3, DB=4, DC=AB=5, BC=, AC=.

Решение: Основанием пирамиды удобно считать грань АВD (рисунок 6). Так как DA=3, DB=4 и AB=5, то треугольник ABD – прямоугольный (∠ADB=900), а его площадь S равна 6. Для решения задачи необходимо найти высоту СН тетраэдра.

Сначала найдем плоские углы тетраэдра при вершине D. Это легко сделать, пользуясь теоремой косинусов: если ∠BDC = α и ∠ADC = β,  то cos α=  и α=600. Аналогично найдем, что β=600.

                                                                       Рис. 6

Проведем СМ ⊥ АD и СN ⊥ BD. Тогда НМ ⊥ AD и HN ⊥ BD (по теореме о трех перпендикулярах). Прямоугольные треугольники CDM и CDN равны по гипотенузе и острому углу, а значит, DM=DN=5/2 (по свойству катета, лежащего против угла в 300).

Треугольники DHM и DHN также равны, то есть DH – биссектриса угла ADB.

Далее находим, что

По формуле  вычисляем объем:

Задача 2. Найти объем тетраэдра CABD, если DA=3, DB=4, DC=6, ∠BDC=450, ∠ADC=600, ∠ADB=900.

Решение. Обозначим высоту тетраэдра за CH (рисунок 6). Легко установить, что точка Н лежит внутри угла ADB. Как и при решении предыдущей задачи, проведем СМ ⊥ АD и CN ⊥ BD. Обозначим ∠CDH = x, ∠ADH = y. Тогда ∠BDH=900-y.

Для прямоугольных треугольников CDH, DHM и CDM выполняются равенства:      

Перемножим первые два равенства почленно и, воспользовавшись третьим равенством, получим уравнение

             cos x cos y = cos 600,  00 < x < 900.                              (1)

Аналогично для прямоугольных треугольников CDH, DHM и CDN получается уравнение

cos x cos (900 – y) = cos 450,

                                        или                                             (2)

Возведем обе части уравнений (1) и (2) в квадрат и почленно сложим, получив простейшее уравнение

 и x=300.

Теперь легко найти высоту СН, она равна 3. Площадь основания – 6 и объем соответственно равен 6.

 Если плоские углы трехгранного угла равны α, β, γ и двугранный угол при ребре, противолежащем плоскому углу γ, равен ϕ, то

cos γ = cos α cos β + sin α sin β cos ϕ.

Задача 3. Выразить объем тетраэдра CABD через длины ребер, исходящих из вершины D, и величины плоских углов при вершине D.

Решение. СН – высота тетраэдра CABD (рисунок 6),

 обозначим DA=a,  DB=b,  DC=c,  ∠BDC=α, ∠ADC=β, ∠ADB=γ.

Как и в предыдущей задаче, обозначим ∠CDH=x и ∠ADH=y. Тогда ∠BDH=γ-y.

                                                                                                                      Рис. 7

Рассмотрим трехгранные углы DACH и DBCH (плоскость CDH перпендикулярна плоскости ABD). Применив к ним теорему косинусов для трехгранного угла, получим систему уравнений

cos α = cos (γ-y) cos x,

                                               cos β = cos y cos x.

Заменив в первом уравнении cos y cos x на cos β, получим

cos α = cos β cos γ + sin γ sin y cos x,

откуда

Обе части этого уравнения и уравнения cos y cos x = cos β возведем в квадрат, почленно сложим и, воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, получим уравнение

А поскольку cos2x = 1-sin2x, придем к следующему уравнению

Теперь можно выразить объем тетраэдра АВСD, используя формулу  Известно, что  поэтому при данных условиях окончательный вид формулы для вычисления объема тетраэдра АВСD будет выглядеть как:

                        (3)

Теперь уже ясно как решить основную задачу.

Задача 4. Выразить объем тетраэдра через длины всех его ребер.

Решение. Обозначим длины ребер тетраэдра CABD: DA=a, DB=b, DC=c, BC=a1, CA=b1, AB=c1. С помощью теоремы косинусов выразим из треугольников BCD, CAD и ABD (рисунок 6) значения косинусов плоских углов при вершине D:

Подставив эти значения в формулу (3), получим

144V2 = 4a2b2c2 – a2(b2  + c2 –a12) - b2(a2  + c2 – b12) – c2(a2 + b2 – c12) + (b2 + c2 – a12)(a2 + c2 - b12)(a2 + b2 – c12).

Полученную формулу можно преобразовать, и все же, пользоваться ею затруднительно. Важно то, что  если известны длины всех ребер тетраэдра, то его объем можно вычислить. А при решении задач на вычисление объема тетраэдра учащимся можно рекомендовать пользоваться более   простой  формулой задачи 3.

Рассмотрим задачу, которую легко решить, применив указанную формулу.

Задача 5. Ребра трехгранного угла D пересечены двумя плоскостями соответственно в точках А, В, С и А1, В1,  С1. Доказать, что

где V – объем тетраэдра DABC и V1 – DA1B1C1.

Решение. Тетраэдры DABC и DA1B1C1 имеют общий трехгранный угол D. Выразив по формуле задачи 3 их объемы, увидим, что квадратные корни из одинаковых выражений при делении сокращаются. Поэтому их объемы относятся как произведения длин ребер, прилежащих к вершине D:

Заметим, что аналогичная теорема существует для треугольников:

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. 

Если S и S1 – площади треугольников, у которых углы А и А1 равны, то

ТЕОРЕМА ЧЕВЫ

Джованни ЧЕВА (1648-1734) - выдающийся геометр, инженер-гидравлик, экономист. Автор работы «о прямых линиях», содержащей доказательство одной из важнейших теорем элементарной геометрии.

ТЕОРЕМА ЧЕВЫ. Если прямые, соединяющие вершины треугольника АBС с точкой К, лежащей в плоскости треугольника, пересекают противоположные стороны треугольника или их продолжения в точках A1, B1, C1, то справедливо равенство

klm=1,        

где                                                                       Рис.7

Отрезки прямых AA1, BB1, CC1- «чевианы» - названы по имени автора теоремы [2, 3]. Справедлива и обратная теорема Чевы:

«...если выполняется тождество (1), то прямые АА1. ВB1, CC1  пересекаются в одной точке».

Известно также обобщение теоремы Чевы для многоугольника с нечетным числом вершин, а также теорема Чевы для трехгранного угла.

Как оказалось, возможны весьма интересные обобщения этой теоремы для наиболее простой пространственной фигуры - тетраэдра или треугольной пирамиды.

По аналогии с треугольником для тетраэдра можно ввести понятие чевианы тетраэдра. ЧТ (чевианами тетраэдра) условимся называть пересекающиеся в одной точке наклонные из вершин тетраэдра к противолежащим граням. Возникает вопрос: при каких условиях пересекаются в одной точке все четыре наклонные? Внимательное рассмотрение фигуры тетраэдра позволяет сформулировать условия такого пересечения.

Необходимым и достаточным условием пересечения наклонных тетраэдра в одной точке является сходимость на ребрах (то есть пересечение в одной точке общего ребра граней) чевиан граней (рис. 8), причем наборов чевиан граней, сходящихся на ребрах, бесчисленное множество и каждому набору отвечает четверка «чевиан тетраэдра».

Условия пересечения математически более строго можно представить в виде двух теорем  - прямой и обратной.

Теорема. Для любого тетраэдра существует бесконечное множество наборов чевиан граней, сходящихся на ребрах. Наклонные из вершин тетраэдра к точкам пересечения этих чевиан пересекаются в одной точке.

Обратная теорема. Если наклонные из вершин тетраэдра к основаниям противолежащих граней пересекаются в одной точке, то чевианы граней, проведенные через основания наклонных, сходятся на ребрах тетраэдра.

Рис. 8

Доказательство. Остановимся на одном из возможных доказательств теоремы  для внутренней точки О тетраэдра.

В произвольном тетраэдре АВСВ (рис. 8) проведем чевианы грани ВСD через произвольно выбранную точку 4 внутри грани.

1.  Основания чевиан Е, М, N соединим с точкой А. Получим отрезки АM, АN и АЕ.

2.  Через некоторую точку 1 на отрезке АN проведем чевианы АN, ВG и СР грани АВС, Точку G соединим с вершиной D и через полученную точку 3 (пересечение АМ и DG) проведем СL.

3.  Таким образом произвольный выбор точки 4 па грани ВСD и затем точки 1 на чевиане АN определил положение оснований наклонных - чевиан тетраэдра - на трех гранях: ВСD, АВС и АDС. Кроме того, однозначно определено положение точек Е,  L, P на четвертой грани. Очевидно, если отрезки АЕ, ВL и DР пересекаются в одной точке, первую часть теоремы можно считать доказанной.

4. Докажем, что названные отрезки АЕ, ВL, и DР являются чевианами грани АВD.

1) Согласно теореме Чевы справедливы следующие равенства:

2) Учитывая (2), в соответствии с обратной теоремой Чевы отрезки АЕ, ВL и DР пересекаются в одной точке.

5.  Так как точка 4 выбрана произвольно, то доказанное справедливо для любой (внутренней) точки тетраэдра. Следовательно, существует бесконечное множество наборов чевиан граней, сходящихся на ребрах. Первая часть теоремы доказана.

6. Докажем, что A4, ВЗ, С2, D1 пересекаются в одной точке.

1) Рассмотрим сечения пирамиды, образованные в ходе построений. В частности, сечения ADN, АВМ, АСЕ - пересечения тетраэдра с плоскостями, проходящими через ребра тетраэдра, сходящиеся в вершине A и чевианы противоположных граней. Аналогичные сечения показаны на рисунке для других вершин тетраэдра.

2) Отрезки D1 и ВЗ принадлежат одной плоскости и не параллельны, следовательно, они пересекаются:

(D1  BGD, B3 BGD, D ≠ B3) D1∙ B3.

Но поскольку прямые принадлежат плоскостям АВМ и ADN можно утверждать, что точка О пересечения прямых D1 и ВЗ принадлежит пересечению названных плоскостей - прямой А4. (D1∙ВЗ)  (АВМ ∩ ADN) = А4 => ВЗ и D1 пересекаются в некоторой точке О на прямой A4.

3) В силу симметрии через точку О проходит и четвертая наклонная С2.

Теорема доказана для внутренних точек тетраэдра. Справедлива ли теорема для точек, не принадлежащих тетраэдру? Эта задача требует, конечно, отдельного рассмотрения.

Достаточно интересны следствия теоремы.

Следствие I. Теорема Чевы для тетраэдра. Назначим отношение отрезков Чевы по какому-нибудь замкнутому контуру при обходе по ребрам тетраэдра (направление обхода СВDАС показано на рис.9):

                         Рис.9

Грани ВDС и АDС пересекаются по ребру СD, следовательно, в соответствии с теоремой Чевы имеем

Уравнение (3) справедливо для любого замкнутого обхода тетраэдра по ребрам и может интерпретироваться как обобщенная «теорема Чевы для тетраэдра». Аналогия отчетливо прослеживается при совместном рассмотрении уравнений (1) и (3).

Зная условия пересечения чевиан тетраэдра, можно установить, в каком отношении они делятся при пересечении. Однако этого нельзя сделать, не установив зависимость между взаимным положением чевиан граней и «чевиан тетраэдра». Найти указанные зависимости можно с помощью последовательного рассмотрения подобных треугольников.

В результате можно получить формулы, позволяющие определить, как делятся «чевианы тетраэдра», если известны отношения отрезков Чевы для его граней. В частном случае, для медиан тетраэдра имеем

АО : 04 = ВО : ОЗ = СО : О2 = DО : О1 = 3 : 1,

что соответствует известной теореме: «...медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, где делятся в отношении 3:1».

Следствие 2. Если ребра тетраэдра попарно перпендикулярны, то высоты тетраэдра пересекаются в одной точке, а их основания совпадают с ортоцентрами граней. Верно и обратное утверждение. (Тетраэдр с названными свойствами известен как ортоцентрический.)

Рассмотрим метод чевиан на примерах решения некоторых задач.

Задача 1. Определить положение внутренней точки О тетраэдра, при соединении которой с вершинами его объем делится в заданном отношении.

Решение. Очевидно, объемы составляющих тетраэдров относятся к объему исходного соответственно тому, как делятся «чевианы тетраэдра», проходящие через искомую точку. Действительно, объем каждого из четырех «малых» тетраэдров относится к объему «большого», как отрезок «чевианы тетраэдра» от пересечения до основания к полной ее длине. Пусть задано отношение объемов     (a∙b∙c≠0). Четвертый объем определяется как разность:

Используя формулы, связывающие чевианы граней и чевианы тетраэдра, можно получить значения для отношений k, l, m, n, входящих в уравнение (3):

   (4)

Система (4) имеет единственное решение, если

что не означает единственность решения самой задачи. Общее число решений определяется количеством возможных размещений (N) значений a, b, c, d  по граням пирамиды: N = 24. Таким образом, внутри тетраэдра существуют 24 точки, разбивающие его объем в заданном отношении, если а ≠ b ≠ c ≠ d. Если какие-то из этих значений равны, количество размещений соответственно сокращается. В предельном случае - разбиение тетраэдра на 4 равновеликих тетраэдра а = b = с = d = 4- получаем единственное решение в точке пересечения медиан тетраэдра.

Последовательность построения точки О очевидна. Выбирается замкнутый контур пирамиды из четырех ребер в направлении обхода по часовой стрелке при взгляде «изнутри». Ребра последовательно делятся в отношении k, l, m, n. Затем вычерчивается набор чевиан граней и соответственных чевиан тетраэдра. Пересечение последних есть одна из искомых точек.

Заключение

В работе приведены только некоторые из теорем, трансформированных из планиметрии в область стереометрии. Но эти теоремы, по нашему мнению, наиболее ярко показывают аналогию треугольника в планиметрии и тетраэдра в пространстве.

СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННОЙ  ЛИТЕРАТУРЫ

1. Воейкова С.В. Геометрия тетраэдра в средней школе. – Казань: Дисс. канд. пед наук, 1964.

2. Гангнус Р.В., Гурвиц Ю.О. Геометрия / Методическое пособие для высших педагогических учебных заведений и преподавателей средней школы. Ч. 2 Стереометрия. – М.: Учпедгиз, 1936.

3. Глейзер Г.Д. История математики в школе. 4-6 классы / Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981.

4. Елина А.М. Ортоцентрический тетраэдр и его свойства. – М.: Математика в школе, № 3/87.

5. Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. – Одесса, 1902.

6. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. – М.: Учпедгиз, 1962.

7. Кучеров В. Геометрические аналогии. – М.: Квант, № 10/81.

8. Кушнир В.А. Полезные свойства тетраэдра. – М.: Математика в школе, № 6/88.

9. Литцман В. Теорема Пифагора. – М.: Физматгиз, 1960.

10. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. – М.: Учпедгиз, 1961.

11. Сефибеков С.Р. Невозможный тетраэдр. – М.: Квант, № 8/85.

12. Смирнова И.М. Идея фузионизма в преподавании школьного курса геометрии. – М.: Математика, № 17/98.