От развлечения – к знаниям 6 класс
методическая разработка по алгебре (6 класс) на тему

МБОУ « Коротковская СОШ»

От развлечения – к знаниям

Различные  способы решения текстовых задач в 6 классе

Урок решения одной задачи

Учитель Афанасьева В.Д.

Цели урока:

Образовательная: на примере решения старинной занимательной задачи познакомить учащихся с различными способами решения текстовых (сюжетных) задач

Развивающая:     показать учащимся преимущества каждого из способов решения задач в конкретной ситуации; обращаясь к вопросам истории развития математики

Воспитательная:   способствовать воспитанию интереса к предмету, науке с помощью результатов, которые были получены известными учеными много веков назад.

Тип урока: обогащение знаний путем поисковой деятельности.

Структура урока

1. Целевая установка

«Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», - писал И. Ньютон в своем учебнике алгебры, озаглавленном «Всеобщая арифметика». Под алгебраическим языком понимают язык уравнений и неравенств. Большинство текстовых задач решается именно этим способом. Вместе с тем, не умаляя его достоинств, полезно познакомиться с другими способами – арифметическим, нагладно-геометрическим, способом подбора, - которые в некоторых случаях имеют явное преимущество.

Сегодня на уроке мы рассмотрим задачи, дошедшие до нас из глубины веков, которые называются старинными историческими задачами. Мы будем обращаться к истории, истории развития математики, как науки, к результатам, которые были получены известными учеными много веков назад.

2. Поиски решения задачи

Рассмотрим различные способы решения одной занимательной исторической задачи о жизни древнегреческого математика Диофанта, уже знакомом вам из мира простых чисел.

Задача

Жизнь Диофанта.

По преданию, на могильном камне имелась такая надпись:

«Путник! Под этим камнем покоится прах Диофанта, умершего в глубокой старости. Шестую часть своей долгой жизни он был ребенком, двенадцатую – юношей, седьмую – провел неженатым. Через 5 лет после женитьбы у него родился сын, который прожил вдвое меньше отца. Через четыре годы после смерти сына уснул вечным сном и сам Диофант, оплакиваемый своими  близкими. Скажи, если умеешь считать, сколько лет прожил Диофант?»

РЕШЕНИЕ.

Алгебраический способ.

Пусть Диофант прожил х лет. Тогда получим уравнение

х/6 + х/12 + х/7 + 5 + х/2 + 4 = х,

корень которого х = 84.

      Наглядно-геометрический способ.

        Так как в задаче речь идет о 1/6, х/12, х/7 и х/2 частях жизни, то число лет, прожитых Диофантом, надо делить на 6, 12, 7 и 2. Изобразим всю жизнь Диофанта в виде прямоугольника размером 7 х 12 клеток (рис. 1). Тогда 1/6, 1/12 и ½ части жизни изобразить легко; 1/7 – это полоска размером 1 х 12, т. е. 12 клеток, значит, 1/7 жизни можно изобразить, например, прямоугольником 3 х 4 клетки. Оставшаяся заштрихованная часть из 9 клеток соответствует 9 годам жизни Диофанта (4 + 5 = 9).

Рис. 1

        Итак, одна клетка соответствует одному году жизни, всего же получится 7 . 12 = 84 клетки.

Способ подбора.

        Число лет Диофанта делится на 6, 12, 7 и 2;

НОК(6; 12; 7; 2) = НОК(12; 7) = 84.

        Заметим, что большие значения нереальны. Здесь преимущества этого способа очевидны.

ОТВЕТ: Диофант прожил 84 года.

Возможно ли вместо прямоугольника взять для решения задачи отрезок?

Решите эту задачу с помощью отрезка самостоятельно.

А возможно ли нагладно-геометрическое решение с помощью круговой диаграммы?

Получим ли здесь точное решение?

Объясните.

3. Подведение итогов урока.

Школа Пифагора. Тиран острова Самос Поликрат однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат, - отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины».

Сколько учеников у Пифагора?

РЕШЕНИЕ.

Алгебраический способ.

Пусть у Пифагора было х учеников. Составим уравнение:

х/2 + х/4 + х/7 + 3 = х.

Его корень равен 28.

Способ подбора.

НОК(2; 4; 7) = НОК(4; 7) = 28. Проверим число 28:

28/2 + 28/4 + 28/7 + 3 = 14 + 7 + 4 + 3 = 28 (подходит).

Арифметический способ.

½ + ¼ + 1/7 = 25/28, т. е. 3/28 от общего числа учеников Пифагора составляют трое юношей, таким образом, 1/28 – это один человек, значит, 28/28 = 1 – это 28 человек.

ОТВЕТ: У Пифагора было 28 учеников.

А теперь давайте сравним полученные решения и отметим преимущества и недостатки каждого способа решения.

Учащиеся делают свои выводы.

4. Задание на дом.

Решите задачу всеми возможными способами.

Древнегреческая задача о статуе Минервы (Минерва – в греческой мифологии богиня мудрости, покровительница наук, искусств и ремесел).

Я – изваяние из злата. Поэты то злато

В дар принесли: Харизий принес половину всей жертвы,

Феспия часть восьмую  дала; десятую – Солон.

Часть двадцатая – жертва певца Фемисона, а девять

Все завершивших талантов – обет, Аристоником данный.

Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?