“Текстовые задачи на “cмеси и сплавы””.
элективный курс по алгебре на тему

ЭЛЕКТИВНЫЙ  КУРС.

Тема  “Текстовые  задачи  на  “cмеси  и сплавы””.

Пояснительная  записка.

 Текстовые  задачи  на  «смеси  и сплавы»  при  всей  кажущейся  простоте  часто  вызывают  проблемы  у  абитуриентов.  В  школьном  курсе  математики  очень  мало  задач  на  «смеси  и  сплавы».  Эти  задачи  предлагаются  на  экономические  специальности  на  факультетах,  связанных  с  легкой  промышленностью  и  народным  хозяйством.  Задачи  на  «смеси  и  сплавы»  встречаются  на  олимпиадах, на ЕГЭ.  Эти  задачи  можно  использовать  на  факультативах,  в  общеобразовательных  школах  начиная  с  6  класса,  для  индивидуальной  работы  с  сильными  учащимися.

Элективный  курс  «Решение  задач  на  «смеси  и  сплавы»  адресован  учащимся  естественно - научных  и  технических  профилей,  которые  достаточно глубоко  изучают  курс  математики  и  имеют  общеобразовательный  надпредметный  характер  и  ставит  своей  целью:  

1. Формирование  у  школьников  умение  работать  с  информацией;  находить  ее  в  разных  источниках,  перерабатывать,  сохранять  и  передавать;
2. Оказание  максимальной  помощи  малоопытным  учителям;
3. Объедение  задач  в  группы  с  учетом  функциональной  зависимости  между  данными  и  искомыми  величинами  и  общих  алгоритмов  решения;
4. Сочетание  алгебраических  и  геометрических  моделей;
5. Нацеленность  решение  предлагаемых  задач  параллельно  прохождению  таких  тем,  как  уравнение  системы и  др.

                                             Программа.

         Тема 1.  Проценты. Три  основных  действия  с  процентами.

Возникновение  процентов.  Нахождение  процентов  числа, числа  по  его  процентам,  процентного  отношения  чисел.

Тема 2.  Задачи  с  аналитической  моделью

ах + ву = с(х+у)

Ознакомить  с  задачами,  решения  которых опирается  на  формулу  

. ах + ву = с(х + у)

Тема 3. Задачи  на  «сложные  проценты»

Вывод  формулы  «сложных  процентов» Аn =А0

Задачи  с  использованием  формулы.  

Тема  4. Задачи  на  обратную  пропорциональную  зависимость.

Задачи  на  прямую  пропорциональную  зависимость.    

Решения  задач  с  использованием  формул

                                                              -  переменные  величины

Решение  задач  на  «движение»  и  на  «работу».

Тема 5.  Решение  задач  на « смеси  и  сплавы».

Ознакомить  с  основными  приемами  и  методами  рассуждений.  Показать  связь  математики  с  реальной  действительностью.

                                           ЛИТЕРАТУРА.

1. Приложение  «Математика» № 3 – 2000г.;  № 17 – 2001г.; № №  17, 20, 22, 23, 25, 26, 36 – 2004г.;

№ №  20. 22. 23. – 2005г.;  № 2006г.

2. Решение  наиболее  трудных  задач  из  Сканави.  Задания  на  проценты  из  ЕГЭ.

                               Учебно – тематический  план.

ТЕМА № 1     

Проценты.  Три  действия  над  процентами.  

     Проценты  были  введены  для оценки  содержания  одного  вещества  в  другом,  роста (убыли)  производства,  производительности   труда;  дохода,  прибыли,  банковских  ставок  и  др.

Различные  обозначения  (на  примерах):

18%,                                0,18,                                ;

135%                                1,35,                                ;

р%,                                0,01р,                                ;

        Три  основных  действия  с процентами

        Нахождение  процентов  числа,  числа  его  процентам,  процентного  отношения  чисел.

Примеры

1.  Найдите  48%  от 250                [ 0.48 ∙ 250 = 120]

2. Найдите  число,  8%  которого  равны 12.                

3.  Сколько  процентов  составляет  180  от  450?

I.  1. Увеличим  число  60  на 20%.

 [60 + 60 ∙ 0,2 = 72].

        Уменьшим  72  на 20%. [72 – 72 ∙ 02 = 57,6]

2. Уменьшим  60  на  20%.[60 – 60 ∙ 0.2 =  48]

Увеличим   48 на 20%.   [48 + 48 ∙ 0.2 = 57,6]

Задача  в  общем  виде.  Увеличим  число  а на р%,   а  затем   полученное  число  уменьшим  на  р%.

Результат  не измениться,  если  увеличение  последует  за уменьшением.

Задача 1.  Цену  товара  снизили  на 30 %,  затем  новую  цену  повысили  на 30 %.  Как  изменилась  цена  товара?

Решение. а). Пусть  первоначальная  цена  равна   а.  

После  снижения  она  стала    а – 03а – 0,7а, 

после  повышения                 0,7а + 0,7 а ∙0,3 = 0,91 а,

изменилась:                        а-0,91а =0,9 а

        б) Использование  формулы (1)

                в)  

Ответ.  Цена  снизилась  на  9 %.

Задача 2.   Цену  товара  повысили  на 20%,  затем  новую   цену  снизили  на  20%.  Как  изменилась   цена  товара?

Решение.        ,

                а-0,96 а = 0,04 а,

                  0,04а х 100 = 4%.

Ответ:   Цена  снизилась  на  4%.

II.         1).Увеличим  число 120  на 25 %.

                                                [ 120  - 120  ∙ 0,25  =  90]

        2).На  сколько  процентов  надо  уменьшить 150,  чтобы  получить  120?

             на 20%.                        

        3).Уменьшим   число 120  на 25%.  [120 – 120 ∙ 0.25 = 90]

        4).На  сколько  процентов  надо  увеличить  90,  чтобы   получить  120?

на  

Задача  в  общем  виде.   Увеличим  число  а  на  р%.

На  сколько  процентов  надо  уменьшить    чтобы  получить  а?

(у -  процент  уменьшения) .

  (2)

Если  увеличение  последует  за  уменьшением,  то

        (3)

Функции  (2)  и (3)

являются  взаимно  обратными.

Задача 1.  Цена  товара была  повышена  на 12 %.  На  сколько  процентов  надо  снизить  новую  цену,  чтобы  получить  первоначальную?

I способ.  Решение.   пусть  а -  первоначальная   цена  р -  процент   снижения  цены.

После  повышения  цена  стала  а + 0,12 а = 1,12 а,  после  снижения  1,12 а –   .

По  условию  

II  способ.  Решение  по  формуле  (2)    

Ответ.  На

Задача 2.  Производительность  труда  на  заводе  снизилась  на 20%.  На  сколько  процентов  надо  ее  теперь  повысить,  чтобы  достигнуть  первоначальной ?

 Решение.    

Ответ.   На  25%.

 ТЕМА № 2

Рисунки  проектируются  через мультимедийный проектор.

Задачи с аналитической моделью ах + by = с(х + у)

Задача 1. Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-м раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять?

Решение. Обозначим х массу первого раствора, 600 - х массу второго.

По условию

 30х + 10(600 - х) = 600 • 15, х = 150.

Другой способ решения с использованием

        графика

I        вариант

30х + 10(600 - х) =  600-15.

II вариант   (приравнивание   площадей   равновеликих  прямоугольников)

15х - 5(600 - х), х = 150

Ответ. 150 г, 450 г.

Задача 2. Имеется, лом стали двух сортов с содержанием   никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла  каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т спали с содержанием 30% никеля?

Решение.

10х = 25(140 – х),  х = 100

Ответ: 100 т, 40 т

Задача 3. Для приготовления уксуса определенной крепости в сосуд, содержащий 12 л уксусной эссенции, долили 20 л воды. В другом сосуде содержа лось 13 л более крепкого уксуса: на 9 л уксусной эссенции приходилось только 4 л воды. Сколько литров уксуса надо перелить из первого сосуда во второй, чтобы уравнять во втором сосуде содержание уксусной эссенции и воды?

Решение. Концентрация уксуса в первом сосуде

          концентрация уксуса в другом сосуде  

Во втором сосуде после перелива х (л) уксуса  из первого сосуда концентрация уксуса должна стать  равной   (одинаковое содержание уксусной эссенции и воды).  

II  способ. (S1 = S2)

13·

Ответ = 20 л.

Задача 4. Имеются два раствора кислоты разной концентрации. Объем одного раствора 4 л, другого -6 л. Если их слить вместе, то получится 35%-й раствор кислоты. Если же слить равные объемы этих растворов, то получится 36%-й раствор кислоты. Сколько литров кислоты содержится в каждом из первоначальных растворов?

Решение. Обозначим пх и п2 концентрацию кислот в первоначальных растворах, V - сливаемый объем раствора.

Составим систему уравнений учитывая,  чтоVA  = n V.

Ответ. 1,64 л, 1,86 л.

Задача 1. На первом поле 65 % площади засеяно овсом. На втором поле овсом занято 45 % площади. Известно, что на первом и втором полях вместе под овсом занято 53 % общей площади. Какую часть всей засеянной площади составляет первое поле?

Решение. Пусть х - площадь первого поля,

у - площадь второго поля.

По условию                                                                                

0,65х + 0,45 у = 0,53 (х + у),      

         0,65 х - 0,53 х = 0,53 у - 0,45 у,

       у =

.

Ответ .

Задача 2. Из молока, жирность которого 5%, изготавливают творог жирностью 15,5%, при этом остается сыворотка жирностью 0,5%. Сколько творога получиться от одной тонны молока?

Решение. 15,5 х + 0,5 (100-х) = 5 • 1000,  15х= 4500,  х = 300.

Ответ. 300 кг.

Задача 3.  Имеются  три  слитка.  Масса первого 5  кг., второго – 3 кг.,  и  каждый  из  них  содержит 30%  меди.  Если  первый  слиток,  содержащий 56 % меди, а  если  второй  слиток  сплавить с  третьим,  то  получиться  слиток,  содержащий  60%  меди.  Найдите  массу  третьего слитка  и  процентное  содержание меди  в нем.

Решение. Пусть  m3   масса  третьего  слитка.  Составим  систему  уравненй

Ответ: 10 кг,  69%.

Задача 5.  Имеются  два  раствора  соли в  воде,  первый  40% -й, второй 60-%-й.

Их  смешали,  добавив 5 кг  воды  и  получили 20-%  раствор. Если бы  вместо 5 кг добавили 5 кг 80%  раствора,  то  получился бы 70 %-й  раствор.  Сколько было 40-%  раствора  и  60%  раствора?

Решение. Пусть  масса  40% раствора  m1(кг),  масса  60%  раствора m2(кг).

Ответ:  1  кг., 2 кг.

Задача 6. Имеются  два  сплава  состоящих  из  меди, цинка  и ололва.  Известно,  что  первый  сплав  содержит 40%  олова, а  второй – 26%  меди.  Процентное  содержание  цинка  в  первом и  втором  сплавах  одинаково. Сплавив 150кг  первого сплава и 250 кг  второго,  получили  новый  сплав,  в  котором  оказалось 30% цинка.  Определите,  сколько килограммов  олова  содержится в  полученном  новом  сплаве?

Решение.  Пусть  процентное  содержание  цинка в  первом  и  втором  сплавах  равно х.  Тогда

Цинка  во  втором  сплаве   0,3·250  = 75кг),

Меди  во  втором  сплаве    250 · 0,36 = 65 (кг),

Олова в  первом  сплаве      150 · 0,4   = 60 (кг),

Олова во  втором  сплаве     250 ·(65+75) = 110 (кг),

Олова в третьем сплаве       60 + 110 = 170 (кг).

Ответ : 170 кг.

ТЕМА № 3

Задачи  на « сложные   проценты»

        Пусть  денежный  вклад,  равный  А 0,   через  год  возрастает  на р%.  Тогда  к концу  года  вклад  станет  равным

   (рублей),   еще  через  год  -

(рублей),  а  через  n  лет  -                  (1)

- формула  «сложных  процентов».

Упражнение

1. Увеличим  число  на 60 на 20% : 60 + 60 ∙ 0,2  = 72.
2. Увеличим  число  на 72 на 20% : 72 + 72 ∙ 0,2  = 86,4.
3. Увеличим  число  на 86,4 на 20% : 86,4 +86,4 ∙ 0,2  = 103,68.
4. Воспользуемся  формулой  сложных  процентов (1)  ( А 0  = 60,    р = 20,

n = 3).

А3 = 60 ∙ (1 + 0,2)3  =  60 ∙ 1,2 3 = 103,68.

Задача 1.  При двух  последовательных  одинаковых  процентных   повышениях  зарплаты  сумма  100 р.  Обратилась  в  125,44 р.  Определите,  на  сколько  процентов  повышалась  зарплата.

Решение.  Из  формулы (1)  при  А n = 125,44,   А 0 = 100,    n   =  2 имеем

Ответ. 12%

Задача  2.  Каков  процент  изнашивания  станка  в  год,  если  его  стоимость  по  истечении  двух  лет   уменьшилась  с 50000  рублей  до 46000  рублей  ?  

Решение.  А0 = 50000,  Аn = 46000   n = 2,  р - ?

Ответ.  4%.

Задача 3. После  двух  последовательных  снижений  объема   производства  выпуск  продукции  сократился  в  два  раза.  Определить   процент   сокращения  производства.

Решение. 

 (сокращение   продукции  не  может  быть  больше  100%),

Ответ.    30 % .

Задача 4.  Ежегодный  прирост  числа  жителей  страны  составляет    её  населения.  Через  сколько  лет  число  жителей  удвоится ?

Решение.  Из  формулы  (1)  при     имеем

Ответ.    56 лет.

Задача  5.   После  двух  последовательных  повышений  зарплата  достигла    относительно  начальной.  На  сколько  процентов  повысилась  зарплата  в  первый  раз,  если  второе  повышение было  вдвое  больше ( в  процентном   отношении)  первого ?

Решение.   Пусть  р -  процент  повышения,   А 0, А 1, А 2 -  первичная  зарплата,  зарплата  после  первого  повышения,  зарплата  после  второго  повышения  соответственно.   Тогда  

Ответ. 25%.

Задача 6.    Производительность  завода    А  составляет  40,96 %  производительности  завода  В.  Годовой   процент  прироста  продукции  на  заводе  А  на 30%  больше  годового  прироста   продукции   на  заводе  В.  Каков  годовой   процент  прироста   продукции  на  заводе  А,  если  на  четвертый  год  работы  завод  А  даст  то  же   количество   продукции,   что  и  завод  В ?

Решение.  Пусть  годовой   прирост   продукции на заводе  В – р %.  Тогда  годовой  прирост  продукции  на  заводе   А  будет (р +30) % .   По  условию

Извлекая   корень  четвертой   степени,  имеем  

Ответ  50 % .

Задача 7.  Число  51,2  трижды  увеличивали  на  одно  и  то же  число  процентов,  а  затем  уменьшали  на  то  же   самое  число   процентов.  В  результате  получилось  число 21,6.  На  сколько   процентов   увеличивали,  а  затем   уменьшали  это  число ?

Решение.  пусть  искомый   процент  равен  р.

После  увеличения   получим     после   уменьшения

 По  условию  

Ответ.  50%.

Задача 8.  Вкладчик  на  свои  сбережения   получил  через  год 15 р.  начисления   процентных  денег.  Добавив  еще  85  р.,  он  оставил  деньги  еще  на  год.  По  истечении  года  вклад  вместе  с  процентами  составил  420р. Какая  сумма  была  положена  первоначально  и  какой  процент  дает  сбербанк ?

Решение.  Пусть   А 0 -  первоначальная   сумма  вклада,   р -  годовая  процентная   ставка.  Из  данных  имеем  

В  конце  первого  года  денег  было   

В   конце   второго  года  денег   стало

По  условию   

 Ответ.   5 %,  300 р;

Решить  самостоятельно  задачи.

Задание 1.   Сбербанк  начисляет   ежегодно  3%  от  суммы  вклада.   Через  сколько  лет  внесенная  сумма   удвоится ?                                      [  ]

Задание  2.  Население  города  ежегодно  увеличивается   на    числа  жителей.   Через  сколько  лет  население   утроится ?              

Задание 3.   Предприятие  работало  3  года.  Выработка   продукции за  второй  год  работы   предприятия  выросла  на  р %,  а  на  следующий  год  она  выросла  на   10 %  больше,  чем   в  предыдущий.  Определите,  на  сколько  процентов  увеличилась  выработка  за  второй  год,  если  известно,  что  за   два  года  увеличилась  в  общей  сложности  на  48,59 %.      

ТЕМА № 4    

1. Задачи  на  обратную  пропорциональную  зависимость

Из    при   тА  =  const

                          m n = const

Графически  указанную  зависимость  можно  изобразить  с  помощью  равновеликих  прямоугольников.

                m1 n1  = m2 n2    или  (т2  - т1) ∙ n2  = m1(n1 – n2).

Задача 1.  Морская   вода  содержит  5%  соли  по  массе.  Сколько  килограммов  пресной  воды  нужно  добавить  к  40  кг  морской   воды,  ,  чтобы  содержание  соли  в  последней  составляло  2%?

Решение. Масса  соли  не  изменится  после  прибавления  к 40 кг  морской  воды  х  кг.   Пресной  воды. ( mA = const,      mn =  const.)

I   вариант

 ( 40 + х) ∙ 2 = 5 ∙ 40              40 + х = 100,        х = 60.

II   вариант  2 ∙ х = 3 ∙ 40,   х = 60.

Ответ.  60  кг.

Задача  2.   Кусок сплава  меди  с  оловом  массой 12  кг   содержит  45 %  меди.  Сколько  чистого  олова  надо  прибавить  к  этому  куску,  чтобы  получившийся  сплав  имел  40%  меди ?

Решение.    В данной  задаче  масса  меди  есть  величина  постоянная. Пусть  масса  прибавленного  олова  равна  х  кг.

40 ∙ х  = 5 ∙ 12,                  х =1,5.

Ответ.  1,5  кг.

Задача 3.   Собрали  100  кг  грибов.  Оказалось,  что  их  влажность  99 %.  Когда  грибы  подсушили,  влажность  снизилась  до 98 %.  Какой  стала  масса  грибов   после  подсушивания ?

Решение.   Масса  сухого   вещества  постоянна.  Искомую  массу   примем  за  х.

I вариант.    2 х  = 1 ∙ 100,    х = 50.

II  вариант

100 – х = х,     х = 50

Ответ.  50 кг.

Задача 4.  Сколько  килограммов  воды  нужно  выпарить  на 0,5 т  целлюлозной  массы,  содержащей  85 %  воды,  чтобы  получить  массу  с  содержанием  75 %  воды ?

Решение.  масса  целлюлозы  постоянна.   До выпаривания  было 15 % целлюлозы,  после  выпаривания 25 %.  Пусть  масса  выпаренной   воды  равна  х   кг.

I  вариант     25(500 - х)  =15 = 15 ∙ 500,     х = 200.

II  вариант   15х = 10 (500 – х),                   х = 200.

Ответ.  200  кг.

Задача 5.   В  колбе  имеется  раствор   поваренной  соли.   Из  колбы  в  пробирку  отливают   часть  раствора  и  выпаривают  до  тех  пор,  пока  процентное  содержание  соли  в  пробирке  не  повысится  вдвое.  После  этого  выпаренный  раствор  выливают  обратно  в колбу.  В результате  процентное  содержание  соли  в  колбе  повышается  на 3 %. Определите  исходное  процентное  содержание  соли.

Решение.  В  данной  задаче  масса   соли  есть  величина  постоянная.  Пусть  первоначальная  концентрация  равна   n %,  тогда  последующая  концентрация  будет ( n + 3) %;  пусть  первоначальная  масса  раствора  равна m, тогда  последующая  масса  раствора  будет  равна

масса  оставшейся  части  раствора  в колбе  после  отлива  масса    отлитой   части   раствора  после   выпаривания.

I вариант

II  вариант   

Ответ    27 %.

Задача 6.   В  сосуде  находиться  определенное  количество  смеси  воды  с  кислотой.  Чтобы  уменьшить  концентрацию   кислоты  на 34 %,  в  сосуд надо  долить  3 л  воды,  а  чтобы  уменьшить  её  на 17 %,  надо  долить  1 л  воды.  Какова  концентрация  кислоты  в  сосуде?

Решение. Обозначим  n -  первоначальная   концентрация,  V – первоначальный  объем  смеси.  Так  как  объем  кислоты  в  смеси (Vк )  есть   величина  постоянная,  то  произведение концентрации  на  объем  смеси  есть  также  величина  постоянная.  Из  равенств

составим  систему  уравнений

Ответ. 0,68

Многие  задачи  на  «движение»  и  на  «работу» -  это  задачи  на  обратную  пропорциональную  зависимость.  При  S =  const  vt =  conct, при  А = const Nt  =  const  (A -  работа,    N -  производительность ( мощность), v – скорость,    t -  время).

Задача 1 .   Гонщик -  мотоциклист  подсчитал,  что  при  увеличении  скорости  на 10%  он  пройдет   круг  по  кольцевой  дороге  за 15 минут.  На  сколько  процентов  он  должен  увеличить  скорость,  чтобы  пройти  круг  за  12  минут?

Решение.   В  этой  задаче   S =  const.   Пусть  первоначальная  скорость  равна  v. Тогда

Ответ.  На  37,5 %.

Задача 2.   Рабочий  день  уменьшился  с  8  часов  до  7  часов.  На  сколько  процентов  нужно  повысить производительность  труда,   чтобы  зарплата  осталась  прежней ?

 В  этой  задаче    А =  const  (будем  считать,  что  заработная  плата  пропорциональна  объему  выполненной  работы).

8N  = 7

 Ответ .  На  

Задача 3.  На  сколько  процентов  снизилась  производительность  труда,  если  для  выполнения  плана  пришлось  увеличить  рабочий  день  с  7 часов  до  8  часов  ?

Решение.   

Ответ.   На 12,5 %.

Задача  4.   Рабочий  день  уменьшился  с  8  часов  до  7  часов.  На  сколько  процентов  нужно  повысить  производительность  труда,  чтобы  при  тех  же  расценках  заработная  плата  выросла  на 12 % ?

Решение.   

Ответ.  На  28 %.

2.  Задачи  на  прямую  пропорциональную  зависимость   

Рассмотрим  формулу     Если n – const,   а тА и т  -  переменные  величины,  то тА и т  находятся  в  пропорциональной  зависимости.

Задача 1.  К 20 кг  12 -% -ного  раствора  соли  добавили  3  кг  соли.  Сколько надо  долить  воды,  чтобы  концентрация  соли в  растворе  не  изменилась?

Решение.  Масса  соли  в  растворе

Пусть  требуется  долить  х  л  воды.   Тогда

Второй  вариант (  см. график  рис. 11)

Ответ .  25  кг.

ТЕМА № 5. 

Таблицы  проектируются  через  мультимедииный  проектор.

  Задача  1.  

Масса  сплава,  в  который  входят  олово  и  свинец,  равна  400г.  В  сплаве  68%  олова.  Найдите  процентное  содержание  и  массу  свинца?

1. 100% - 68%  =  32%  -  процентное  содержание.
2. 400 . 0,32 = 128 (г) – масса  свинца.

Ответ: 32%, 128г.

 Задача 2: 

Сплав  состоит  из  2 кг меди,  3 кг свинца  и 5 кг  железа.  Сколько  процентов  от  массы  сплава  приходится  на  медь,  свинец  и  железо.

 Решение:

1. 2+3+5=10(кг) – масса  сплава.
2.  · 100 = 20%  меди;
3.  · 100 = 30%  свинца;
4.  · 100 = 50 % - железа

Ответ:  20%, 30%, 50%.

   Задача 3.  Имеется  кусок  сплава  меди  с  оловом  общей  массой 12кг,  содержащий  45%  меди.  Сколько  чистого  олова надо  прибавить  к  этому  куску,  чтобы  получившийся  сплав  имел  40%  меди?  

 Решение:

1 способ: 1) 12. 0,45 = 5,4 (кг) –чистой меди в первом сплаве.

                 2) 5,4:0,4=13,5(кг)- вес нового сплава.

                 3) 13,5-12=1,5(кг)- надо добавить.

   Ответ: 1,5кг.

2 способ: В данной задаче масса меди есть величина постоянная.

     Пусть  масса  прибавленного олова  х кг.

Задача  на  обратную  пропорциональную  зависимость:

1) 45%-40%=5%-прибавленное  олово.

2)    

40· х = 5· 12;  х  =

Ответ:  х = 1,5 кг.

  Задача 4: В сплаве  весом  10 кг отношение меди к цинку равно 4:1, во втором сплаве  весом 16кг отношение  меди к цинку 1:3. Сколько  надо  добавить чистой меди  к  этим  сплавам,  чтобы  получить сплав, в  котором отношение  меди к цинку равно 3:2

Решение:

Пусть добавили   Х кг  чистой  меди.

1. 10:5.4=8(кг) - чистой меди в 1-м сплаве.
2.  16 ·  - чистой  меди во 2-ом  сплаве.
3.   -  чистой  меди  в  новом  сплаве  или (4+8+х) кг.

Составляем  и  решаем  уравнение

12 + х = (26 + х) ·  ;

60 +5х = (26 + х) · 3,

60 + 5х = 78  + 3х,

2х = 18,        

х = 9.

Ответ  9 кг

Для  решения  задач  используются  уравнения  или  системы  уравнений.

Задача1.  Имеется  сплавы  золота  и  серебра. В  одном  эти  металлы  находятся  в  отношении 2:3,  в другом – отношении 3:7. Сколько  нужно  взять  от  каждого  сплава,  чтобы  получить  1кг  нового,  в  котором  золото и  серебро  находились  бы  в  отношении  5:11.  

Решение:

 1 способ.

        Х кг                                            У кг

                                                     х+ у = 1

                  - масса  золота  в  1  сплаве.

                 - масса  золота  во 2  сплаве.

                 -  масса  золота  в  новом  сплаве.

   - масса  серебра  в  1  сплаве.

   -  масса  серебра  в  новом  сплаве.

 -  масса серебра  в новом  сплаве

 Можно  записать  одну  из  систем:

+

        у= 0,875 (кг)

           х = 0,125 ( кг)

 Ответ:  125г золота,

                 875г серебра.

2 способ.  

    Пусть  х  кг  -  масса  1  части  первого  сплава.

                у кг – масса 1 части  второго  сплава.

          +

1. 0,025  · 5   = 0,125 (кг).
2. 0,0875 · 10 = 0,875 (кг)

3. Способ:

  Пусть  х кг- масса I  сплава,  тогда  масса  второго  сплава (1-х)кг.

  золота  в  новом  сплаве

Составляем и  решаем  уравнение

х = 0,125 кг -  золота

1).  1-х = 1-0,125 = 0,875 ( кг) -  серебра

Ответ: 125 г ;  875 г.

Решить  самостоятельно.

Задача № 1:  Один  раствор  содержит  20%  (по  объему)  соляной  кислоты,  а  второй – 70% этой  кислоты.  Сколько  литров  первого  и  второго  растворов  нужно  взять,  чтобы  получить  100л  50%-го  раствора  соляной  кислоты.

  Задача № 2:  Если  к  сплаву  меди  и  цинка  прибавить  20г меди, то  содержание  меди  в  сплаве  станет  равным  70%.  Если  к  первоначальному  сплаву  добавить  70г  сплава,  содержащего  40%  меди,  то  содержание  меди  станет  равным  52%.  Найдите  первоначальный  вес  сплава.

 Решение:

Приготовим   2 схемы.

х-  первоначальный вес  сплава.

    Известно  процентное  содержание  меди  в  новых  сплавах (70% и %52%).   Пусть  у - процентное  содержание  меди  в  первоначальном  сплаве,  тогда,

1.   (х+20) · 0,7-меди  в  сплаве  или  20 + 0,01 ху г.

            (х + 20) · 0,7 = 20 + 0,01 ху

2)         (х+70) ·  0,52г меди  в  сплаве  или 70·0,4+0,01ху г,  

            (х+70) 0,52 = 28 + 0,01ху.

       Составляем  и  решаем  систему уравнений.

Разделим первое  равенство  на  второе

х = 80(г) -  первоначальный  вес  сплава

Ответ:  80г.

Задача 3. В  500кг руды  содержится  некоторое  количества  железа. После  удаления  из  руды  200кг  примесей,  содержащих  среднем  12,5%  железа,  содержание  железа  в  оставшейся  руде  повысилось  на  20%.  Определите  какое  количество  железа  осталось  еще в  руде?

Решение.

     Таблица  создана в  программе Word.

1. 500 – 200 = 300 (кг) - масса  руды  после  удаления  примесей.
2. 12,5% = 12,5:100=0,125 2· 00=25(кг)-масса  железа  в  200  кг  примесей.

Пусть  х кг -масса железа  в  руде,       доля  железа  в руде после  удаления  примесей.

По  условию  содержание  железа  в  оставшейся  руде  повысилось  на  20%=0,2

             Составляем  уравнение:

5·(х-25) -300-3х = 0.

2х = 425,

х = 212,5

212,5кг  - масса  железа  в  руде.

3)212,5 – 25 = 187,5(кг) - железа  оставалось  в  руде  после  удаления  примесей.

Ответ: 187,5кг

Реши  самостоятельно:

Задача:  Кусок  сплава  массой  36 кг содержит  45%  меди.

Какую  массу  меди  нужно  добавить  к  этому  куску.  Чтобы  полученный  сплав  содержал  60%  меди?