Тема урока: «Прогрессия – движение вперед»
план-конспект урока (алгебра, 9 класс) по теме

Тема урока: «Прогрессия – движение вперед»

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Форма урока: комбинированная

Оборудование: медиапроектор,  карточки с заданиями, карточки для работы в парах, калькуляторы.

Цель урока:  Обобщение и систематизация знаний об арифметической и геометрической прогрессии.

Задачи  урока: 

Образовательные (формирование познавательных и логических УУД):

обобщить и систематизировать теоретические знания учащихся об арифметической и геометрической прогрессии;

рассмотреть практическую направленность изучаемого материала;

рассмотреть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни.
Развивающие (формирование регулятивных УУД): 

формировать учебно-познавательную компетенцию учащихся;

развивать математическую грамотность;

способствовать формированию коммуникативной компетенции учащихся.

Воспитательные(формирование личностных УУД):

воспитание настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда;

умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблемы, доказывать свою точку зрения;

формирование целостного мировоззрения.

В направлении личностного развития:

-развитие логического и критического мышления, культуры речи, способности к умственному эксперименту;
- формирование у учащихся интеллектуальной честности и объективности, способности к преодолению мыслительных стереотипов, вытекающих из обыденного опыта;
- воспитание качеств личности, обеспечивающих социальную мобильность, способность принимать самостоятельные решения;
- формирование качеств мышления, необходимых для адаптации в современном информационном обществе.

В метапредметном направлении:

- формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры;
- развитие представлений о математике как форме описания и методе познания действительности;

- формирование общих способов интеллектуальной деятельности, характерных для математики и являющихся основой познавательной культуры, значимой для различных сфер человеческой деятельности.

 Метапредметы : метапредмет «проблема» и «знание»

 Прослеживается межпредметная связь  со следующими предметами:

Физика, биология, экономика, история.

Здоровьесберегающие технологии:  смена видов деятельности способствовала эмоциональному настрою учащихся и снятию напряжения.  

Национально-региональный компонент: использование сведений о памятниках  Калмыкии, решение обратных задач.

Ход урока

1. Орг.момент 

Приветствие и контроль настроения. (Добрый день уважаемые члены комиссии, добрый день учащиеся 9 класса Троицкой гимназии имени Басана Бадминовича Городовикова! Меня зовут Горшкова Ирина Кануровна, я учитель математики Оватинской средней общеобразовательной школы) 

Учитель: Ребята, обратите внимание на слайд. Знаете ли вы, что за памятник изображен на нем? Слайд №1

Учитель: Этот памятник был воздвигнут в 1975 г. и символизировал достижения племенного хозяйства Калмыкии, а именно племзавода им. М.И. Калинина. Так назывался раньше п.Овата, где в настоящее время я живу и работаю.

Ребята, прототипом этого памятника стал бык по кличке Вожак, который на выставке ВДНХ (г.Москва) завоевал золотую медаль.

Слайд №2.

В возрасте пяти лет его вес составлял 1250 кг. Когда в возрасте восьми месяцев его поставили на откорм, то суточный привес составлял 800 г.
        А скотник, который ухаживал за животным увеличивал свой возраст с каждым годом на одну и ту же величину.

Ребята, как можно объединить все эти примеры?

(Это примеры арифметических прогрессий)

Учитель. Многие микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных для них условиях, через одинаковые промежутки времени их число удваивается. Радиоактивные вещества имеют определенный период полураспада. Это значит, что через одинаковые промежутки времени масса куска такого вещества будет убывать вдвое. Вклад в сбербанк за каждый год возрастает на одно и то же количество процентов, т.е. в одно и то же число раз.

А эти примеры как можно объединить?

(А это примеры геометрических прогрессий)

Учитель: этим последовательностям дали имена и сказали о них: «Прогрессии».

 Учитель:  Что означает слово «Прогрессия»? Какие действия мы с вами рассматривали? (движения) 

Ученик: Движение вперед.( в переводе с греческого –движение вперед)

Учитель: (сообщает тему урока). (Дети открывают тетради и записывают тему урока: «Прогрессия – движение вперед»)

Учитель: Сегодня мы будем двигаться вперед и убедимся, что раздел математики «Прогрессии» является неотъемлемой частью общечеловеческой культуры и окружающего нас Мира.

2. Какова же учебная задача?

Ученик. Обобщить и систематизировать знания по данной теме.  

Сегодня у нас в классе состоится совет – Совет мудрецов.

Мудрецы – ученики, сидящие в классе по группам (ребята разбиты на четыре группы).

И мудрецы, которые будут наблюдать за ходом нашего совета.

Узнаете ли вы их?  Портреты    Архимеда, Гаусса, Магницкого. Слайд№3.

Учитель: Скажите, ребята, почему эти ученые – математики вдруг собрались здесь? Какой вопрос математики их объединяет?

3. Историческая справка

Учитель. Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию решались давно. Карл Гаусс  (1777 г.–1855 г.) нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 10,будучи учеником начальной школы. Задачи на прогрессии встречались и в первом учебнике «Арифметика», который создал Л.Ф. Магницкий. С начала нашей эры известна задача – легенда о царе и изобретателе шахмат. Архимед - математик и физик, вывел формулу суммы квадратов. И верной дорогой к прогрессу пришел.

 (Ребята высказывают свои мнения и в подтверждение их высказываний прочитать легенду)

4. Устная работа

Вопросы:

Какая последовательность называется арифметической прогрессией?

Какая последовательность называется геометрической прогрессией?

В третьем тысячелетии високосными годами будут 2016, 2020, 2024, …  продолжите, в какой последовательности записаны года?( это пример какой прогрессии, чему равна разность?)

В искусственном водоеме 10 кг. водорослей. Через три дня их стало 20 кг. Через шесть дней – 40 кг,через девять – 80 кг. В какой последовательности увеличивается масса водорослей?( а это пример какой прогрессии, чему равен знаменатель?)

Члены последовательности можно изображать точками на координатной плоскости. Для этого по  оси абсцисс откладывают номер члена, а по оси ординат– соответствующий член последовательности. На рисунке изображены точками первые семь членов арифметической прогрессии (аn). Найдите а1 и d.

5. Работа с сигнальными карточками

У каждой группы на столе находятся карточки с формулами. Учитель называет формулу, дети, молча, поднимают карточку, одну от  группы. Учитель:

Определение арифметической прогрессии

Определение геометрической прогрессии

Формула  n-го члена арифметической прогрессии.

Формула  n-го члена геометрической прогрессии.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии, q =/= 1.

 ( на слайде №4 появляется таблица) одновременно оформляется таблица

1. В чем состоит родство между формулами?

Зная эти формулы, можно решить много интересных задач, и если вы, Мудрецы 9-го класса, то легко справитесь с их решениями.

6. Работа с учебником, у доски работают 2 ученика.

1. № 695 из учебника.

2. Открытый банк заданий ГИА-9.вар.18

Дана геометрическая прогрессия: 64; -32; 16 … . Найдите сумму первых пяти её членов.

7.Решение заданий на соответствие

Вопросы 1 и 2 группе (1мин)

1.Каждой  последовательности, заданной формулой n-го члена, поставьте в соответствие верное утверждение.

А. хn =n2                       1) последовательность - арифметическая прогрессия

Б. yn = 2n                     2) последовательность – геометрическая прогрессия

В. zn = 2n                     3) последовательность не является ни  

                                         арифметической прогрессией, ни геометрической.

2.Для каждой арифметической прогрессии укажите ее разность d.

А)  2;6;10;14;…

Б)  -5;-3;-1;1;…

В)  -97;-87;-77;-67;…

1) d=2          2) d=-2            3) d=4                 4) d=10

3.Соотнесите арифметическую прогрессию, заданную первым членом и разностью, с формулой n-го члена.

А)   а1 = 3,  d = 2

Б)   а1 = -1, d = 2

В)   а1 = 7, d = -2

1)  аn = 5 – 2n       2) аn = 1+ 2n     3) аn =-3 +2n       4) аn = 9 – 2n.

4.Для каждой арифметической прогрессии, заданной вторым и четвертым членами, укажите третий член.

А)   а2 = 25,      а4 = 31.

Б)    b2 = -3,      b4 = -7.

В)   c2 = 17,      c4 = 27.

1) 22                 2) -2            3) -5                   4)28                      

5.Найдите четвертый член арифметической прогрессии, если известны ее первые два члена.

А.  а1 = 1;  а2 = 3.

Б.  а1 = -5;  а2 = -4.

В.  а1 = 7;  а2 = 6.

1) 4,5                     2) -2                            3) 7                             4) 4

Вопросы 3 и 4 группе:

1.Каждой  последовательности, заданной формулой n-го члена, поставьте в соответствие верное утверждение.

А. хn =                  1) последовательность - арифметическая прогрессия

Б. yn = 2n +5                  2) последовательность – геометрическая прогрессия

В. zn =2*5n -1                     3) последовательность не является ни  

                                         арифметической прогрессией, ни геометрической.

2.Для каждой геометрической прогрессии укажите ее знаменатель q.

А)  2; 6; 18;;…

Б)  4; 16; 64;…

В)  4; 2; 1;…

1) d=4          2) d=-2            3) d=3                 4) d=0,5

3.Соотнесите геометрическую прогрессию, заданную первым членом и знаменателем, с формулой n-го члена.

А)   b1 = 3,  q = 2

Б)   b1 = -1, q = 2

В)   b1 = 7, q = -2

1)  bn = 3*2n - 1      2) аn = -1n *2     3) аn = - 2n - 1       4) аn = 7*(-2)n - 1

4.Для каждой геометрической  прогрессии, заданной вторым и четвертым членами, укажите третий член.

А)   а2 = 125,      а4 = 5.

Б)    b2 = -6,      b4 = -54.

В)   c2 = 1,      c4 = 100.

1) 10               2) -2            3) 18                   4)25                      

5.Найдите четвертый член геометрической прогрессии, если известны ее первые два члена.

А.  b1 = 1;  b2 = 3.

Б.  b1 = 16;  b2 = 4.

В.  b1 = 2;  b2 =4.

1) 27                     2) 16                            3) 0,25                          4) 18

8. Основная часть. 

Эпиграф: Наука достигает совершенства лишь тогда, когда ей удается        пользоваться математикой.(на доске)

(связь математики с другими науками)

                                                Фридрих Энгельс.

Учитель: Ребята, давайте проверим, используются ли формулы прогрессии другими науками, т.е. ответим на вопрос: «Действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни человека?»  Роль прогрессии в повседневной жизни. (слайд№5 ).

Работу организуем по разным направлениям. Каждая группа решает свою задачу.  Задачи находятся на столе.

1. Задачи « финансы и кредит» ( для мудрецов финансистов)

Задача 1.  Семья Манджиевых взяла в банке  «Россельхозбанк»  кредит на сумму 500.000 рублей под 15% годовых. Какую сумму семья должна будет вернуть банку через 5 лет?

Задача 2. Семья Ивановых на сберкнижку положила вклад, равный 50000 руб. Сколько процентов начисляет банк ежегодно на вклад, если через 2 года сумма на сберкнижке составит 68445 руб.?

(Вопрос: Как взаимосвязаны эти задачи?

Предполагаемый ответ: обратная задача.)

2. Задачи  « физика»  (для мудрецов физиков)

Задача 1: "Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло дна шахты через 5 секунд после начала падения".

Решение:

Ответ: глубина шахты 122,5 м.

Задача 2:Автомобиль, двигаясь со скоростью 1 м/с за каждую последующую секунду изменял свою скорость на 0,6 м/с. Какую скорость он будет иметь спустя 10 секунд?

3. Задачи  «биология»  (для мудрецов биологов)

1. Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально,  если после шестикратного деления их стало 320.

2. Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на две части. Сколько стало клеток после их десятикратного деления, если первоначально было 6 клеток.

4. Задачи   «менеджмент»  (для мудрецов менеджментов)

В старинной арифметике Л.Ф. Магницкого имеется следующая задача:

Некто продал лошадь за  156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:

• Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие  условия:
• Если, по-твоему, цена лошади высока то купи только ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. за первый гвоздь дай мне всего ¼  коп., за второй – ½ коп., за третий – 1 коп., и т.д.

Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался? (Слайд№16)

Задача 2: Из объявлений.         Велосипед за 100 рублей!

Каждый может приобрести в собственность велосипед затратив 100руб. Вместо 500руб.

Условия покупки высылаются бесплатно

(Условие: за 100руб. высылается 4 билета, которые надо сбыть по 100руб. своим знакомым, собранные таким способом 400 рублей следует отправить фирме, после чего высылается велосипед) Выгодна ли фирма горожанам? (Слайд)

Учитель: Наступает время отчета групп. ( Каждый выступающий на доске помещает записанное на листе решение и объясняет его. Учащиеся обсуждают решение , задают вопросы, фиксируют запись).

Подводится итог основной части урока.

Учитель:  Действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?  Обучающиеся приводят примеры проявления прогрессии в животном и растительном мире, социальном обществе.

Учитель: Вы убедились, что раздел математики «Прогрессии» являются неотъемлемой частью общечеловеческой культуры?

9. Физминутка.

Рисуй глазами треугольник

Теперь его переверни

Вершиной вниз.

И вновь глазами

ты по периметру веди.

Рисуй восьмерку вертикально.

Ты головою не крути,

А лишь глазами осторожно

Ты вдоль по линиям води.

И на бочок ее клади.

Теперь следи горизонтально,

И в центре ты остановись.

Зажмурься крепко, не ленись.

Глаза открываем мы, наконец.

Зарядка окончилась.

Ты – молодец!

Учитель:  Уважаемые мудрецы, мы продолжаем наш совет. Сейчас вам необходимо показать свои знания по этой теме и выполнить индивидуальную самостоятельную работу. (10-15мин.)

СЛАЙД №6. 10. Индивидуальная разноуровневая работа на местах по карточкам.

 ( А –«3»,  В – «4»,  С – «5» )

Решение (Слайд № 7)

11. Решение задач из других областей по этой теме.

1. Уважаемые мудрецы, представьте, что вы – учетчик на стройке. Привезли  большое количество бревен строевого леса. Нужно быстро определить, сколько бревен привезли, чтобы закрыть наряд шоферу.

В данном случае, чтобы подсчет бревен осуществлялся по простым формулам, один из способов – использовать естественное расположение бревен так, чтобы в каждом верхнем ряду их оказалось на единицу меньше, чем в нижнем. Тогда число бревен ряда образует арифметическую прогрессию и общее количество легко подчитывается по формуле суммы арифметической прогрессии с разностью, равной единице.

Карточка. При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основание положить 12 бревен?

Решение:

Ответ: 78 бревен в одной кладке.

 Один из представителей группы защищает решение у доски, остальные участники групп проверяют решение в рабочих тетрадях.

Учитель: О, мудрейшие теперь вы должны увидеть математическую закономерность прогрессии в следующем задании.(демонстрация математического фокуса с календарями «Предсказание» числа по диагонали образуют арифметическую прогрессию)

12.Фокус « Предсказание»  

На каком-нибудь листе помесячного календаря заключите в квадрат 16 чисел. Разрешите мне мельком взглянуть на ваши квадраты (предсказать число).

Обведите кружком любое число из этого квадрата. Затем зачеркните все числа, стоящие в той же строке и том же столбце, что и обведенное число. В качестве второго обведите любое число, оставшееся не зачеркнутым. Затем зачеркните все числа, оказавшиеся на одной строке и одном столбце с этим числом. Также выбирается и третье число.

В результате этих действий у вас осталось одно число, его тоже обведите кружочком. Найдите сумму чисел, обведенных кружочком. Эта сумма равна предсказанному числу.

Объяснение. Заметить два числа, находящихся на двух диагонально противоположных углах квадрата. Нужно сложить эти два числа и результат удвоить.

13.Итог:

Учитель: Мои мудрейшие 9 класса работа нашего совета подходит к концу, на котором мы вели разговор о прогрессии,  в течение этого времени мы повторили основные формулы арифметической и геометрической  прогрессии.

2. Рассмотрели применение этих формул в решении стандартных и нестандартных ситуациях, и сделаем вывод, что прогрессии играют большую роль в повседневной жизни.

Ребята, вы должны помнить, что  в жизни с растущими геометрическими прогрессиями надо обращаться осторожно. Если в геометрической прогрессии растет количество животных в стаде – скоро ему не хватит пастбища. Если увеличивается число распадов в куче плутония – дело идет к атомному взрыву. А если вам обещают большие доходы – лучше не связываться с этими “благодетелями”.

 14.Выставление оценок. Домашнее задание: 

 №619 - обязательно,  №618 – повышенный уровень.

15.Рефлексия урока

Урок закончим словами древнегреческого ученого Фалеса: слайд№8

«Что быстрее всего? – Ум.

Что мудрее всего? – Время.

Что приятнее всего? – Достичь желаемого.

На этом мы завершаем наш совет – совет мудрецов, вы должны будете записать на свитках свое мудрое решение по поводу проведения нашего совета.

ВЫСТУПЛЕНИЕ СОВЕТОВ МУДРЕЦОВ/ЗАРАНЕЕ ПОДГОТОВИТЬ СВИТКИ, НА КОТОРЫХ ОНИ ДОЛЖНЫ БУДУТ ЗАПИСАТЬ СВОЕ МУДРОЕ РЕШЕНИЕ ПО ПОВОДУ УРОКА/

О, мудрецы времен!
Дружней вас не сыскать.
Совет сегодня завершен,
Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут.

Учитель: Благодарю вас за урок!

Районный конкурс «Педагог года - 2014»

Открытый урок по алгебре в 9 классе

Тема: «Прогрессия – движение вперед»

Учитель математики МОКУ

 «Оватинская средняя общеобразовательная школа»

Горшкова И.К.

21 марта 2014г.