Последовательность введения понятия логарифма и логарифмической функции, а также их свойств в школьных учебниках, использующих в настоящее время.
методическая разработка (алгебра) по теме

Последовательность введения понятия логарифма и логарифмической функции, а также их свойств в школьных учебниках, использующих в настоящее время.

Логарифмы и их свойства

  А. Г. Мордкович, П. В. Семенов.

  “ Алгебра и начала анализа” 11 класс (профильный уровень).

  Понятие логарифма вводится для обдумывания ситуации с показательным уравнением. А именно: показательное уравнение решается графически и по чертежу мы не можем определить значение корня, поэтому нужно вводить новый символ.

  Определение: логарифмом положительного числа b  по положительному и отличному от 1 основанию а  называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

 На языке символов = b.

    Операцию нахождения логарифма числа обычно называют логарифмированием. Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием. 

  Особо выделяют три формулы:

logaa = 1

loga1 = 0

logaac = c

  Одна и та же зависимость logab = c и ac = b.

  Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом.

Свойства логарифмов: (все свойства формулируются для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифма)

1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел: loga bc = logab + logac.

Доказательство:

Введем следующее обозначения:

loga bc = х, logab = у, logac = z.

Нужно доказать, что выполняется равенство х = у + z.

Так как loga bc = х, то ах = bc.

Так как logab = у, то ау = b.

Так как logac = z, то аz = c.

Итак, ах = bc, ау = b, аz = c.

Значит, ау · аz = ах, т.е. ау+z = ах.

  Но если степени двух положительных чисел равны и основания степеней равны и отличны от 1, то равны и показатели степеней. Значит,  у + z = х, что и требовалось доказать.

  Теорема остается справедливой и для случая, когда логарифмируемое выражение представляет собой произведение более двух положительных чисел.

2. Если а, b,c – положительные числа, причем а 1, то справедливо равенство loga = logab – logac. ( логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя или логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя). Без доказательства.
3. Если а и b – положительные числа, причем а 1, то для любого числа r справедливо равенство logabr  = r logab. (логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.)

Доказательство:

Введем следующие обозначения:

logabr = х, logab = у.

Нужно доказать, что х = rу.

Из logabr = х следует, что ах = br; из logab = у следует, что ау = b. Возведя обе части последнего равенства в степень r, получим аrу = br. Итак, ах = br, аrу = br, значит, ах = аrу, т.е. х = rу, что и требовалось доказать.

4. Равенство loga t = loga s, где а > 0, а 1, t > 0, s >0,  справедливо тогда и только тогда, когда t = s. Без доказательства.
5. Если а, b,c – положительные числа, причем а и с отличны от 1, то имеет место равенство logab = .

Доказательство:

Введем следующие обозначения:

logab = х, logcb = y, logca = z.

Нужно доказать, что х = .

Из logab = х следует, что  ах = b; из logcb = y следует, что су = b. Итак, ах = су. Далее, из logca = z следует, что сz = а. Значит, (сz)х = су, т.е. zх = у, что  и требовалось доказать.  

Следствие 1: Если а и b – положительные  и отличные от 1 числа, то справедливо равенство logab = .

Доказательство:

Применив формулу logab =  к случаю, когда с = b, получим: logab =  =.

Следствие 2: Если а и b – положительные числа, причем а 1, то для любого числа r 0 справедливо равенство logab = logar br.

Доказательство:

Перейдем к выражению logar br к логарифмам по основанию а: logar br =

  Вычисление значений логарифмов сводится к решению некоторого показательного уравнения.

А. Н. Колмогоров.

“ Алгебра и начала математического анализа” 10 – 11 класс.

  Уравнение ax = b, a > 0 и а 1 не имеет решений при b0 и имеет единственный корень в случае b > 0. Этот корень называют логарифмом b по основанию а и обозначают logab, т.е. aloga b = b (основное логарифмическое тождество).

  Определение: Логарифмом числа b по основанию а  называется показатель степени , в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Основные свойства логарифмов: ( при любом а > 0,  а 1 и любых

 положительных х и у).

1. loga 1 = 0.
2. logaa = 1.
3. logaxy = logax + logay (логарифм произведения равен сумме логарифмов).

    Доказательство:

    Воспользуемся основным логарифмическим тождеством: х = аlogax, y = alogay. Перемножая почленно эти равенства, получаем: ху = аlogax· alogay = аlogax+logay, т.е. ху = аlogax+logay. Следовательно по определению логарифма logaxy = logax + logay.

4. loga = logax - logay (логарифм частного равен разности логарифмов.)

Доказательство:

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством: х = аlogax, y = alogay. , следовательно, по определению loga = logax - logay

5. logaxp = p logax , для любого действительного p.(логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.)

Доказательство:

Воспользуемся тождеством х = аlogax, откуда хр = (аlogax)р = арlogax. Следовательно, по определению logaxp = p logax.

6. logax =  (формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию.)

Доказательство:

По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем: logbx = logb(аlogax), откуда logbx = logax·logba. Разделив обе части  полученного равенства на logba, приходим к нужной формуле.

М. И. Башмаков.

“ Алгебра и начала анализа” 10 – 11 класс.

   Определение: Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить число b. (t = logab)

  На основе  определения вводится понятие логарифма. Рассматривается только степень. Все выкладки и формулы производятся путем подстановки в равенство at = b. Например, подставляя в равенство  at = b запись числа t в виде логарифма,  получаем равенство, называемое основным логарифмическим тождеством: alogab = b.

Свойства логарифмов: (числа b, b1, b2 положительны)

1. logab1b2 = logab1 + logab2 ( логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей.)

Доказательство:

Обозначим logab1 = t1, logab2 = t2. По основному логарифмическому тождеству имеем: at1 = b1 и at2 = b2. Перемножим эти равенства: at1· at2 = b1 b2. По свойству степеней at1· at2 = at1+ t2, т.е. b1 b2 = at1+ t2. По определению логарифма logab1b2 = logab1 + logab2, что и требовалось доказать.

2. loga = logab1 – logab2 ( логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя). Без доказательства.
3. logabk = k logab (логарифм степени равен показателю степени, умноженному на логарифм основания). Без доказательства.

Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев – Мусатов, С. И. Шварцбурд.

“ Алгебра и математический анализ” 11 класс.

  Вначале рассматривается только натуральный логарифм, как функция, который вводится на основе интеграла, а затем путем рассмотрения натурального логарифма и логарифмической функции получают логарифм х по основанию а. А уже показательная функция здесь основывается на логарифмической.

Свойства функции натурального логарифма:

1. ln ax = ln a + ln x
2. ln = ln a – ln x
3. ln xn = n ln x
4. ln  = ln x, x > 0

Свойства логарифма: (Без доказательства)

1. logaax = x
2. alogab = b, b > 0
3. logaxy = logax + logay, x > 0, y > 0
4. loga = logax – logay, x > 0, y > 0
5. loga =  logax, x>0
6. logab = , a > 0, b > 0, c > 0, c1

Логарифмическая функция

  Рассмотрим последовательность введения логарифмической функции в современных школьных учебниках.

  А. Г. Мордкович, П. В. Семенов.

  “ Алгебра и начала анализа” 11 класс (профильный уровень).

  Рассматривается показательная функция у = ах. Значит, по теореме об обратной  функции для функции у = ах существует обратная этой обратной функцией является х = logaу или у = logах. Ее график получается из графика показательной функции  у = ах с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. График функции  у = logах называется логарифмической кривой.

Свойства функции y = logax, a>1:

1. D(f) = (0;+)
2. не является ни четной, ни нечетной.
3. возрастает на (0;+)
4. не ограничена сверху, не ограничена снизу
5.  не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений
6.  непрерывна
7. E(f) = (-; +)
8. выпукла вверх.

Свойства функции y = logax, 0

1. D(f) = (0;+)
2. не является ни четной, ни нечетной.
3. убывает на (0;+)
4. не ограничена сверху, не ограничена снизу
5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений
6. непрерывна
7. E(f) = (-; +)
8. выпукла вниз.

  А. Н. Колмогоров.

“ Алгебра и начала математического анализа” 10 – 11 класс.

Определение: Функцию заданную формулой y = logax называют логарифмической функцией с основанием а.

Свойства:

1. Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел R, т.е. D (loga) = R+.
2. Область значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел.
3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает ( при а >1)  или убывает (при 0

Графики показательной и логарифмической функций симметричны относительно прямой у = х.

М. И. Башмаков.

“ Алгебра и начала анализа” 10 – 11 класс.

Определение: Логарифмической функцией называется функция вида y = logax.

  Определение логарифмов основано на понятии степени, при доказательстве свойств логарифмической функции используют свойства показательной функции.

Свойства:

1. Область определения – множество всех положительных чисел, т. е. промежуток (0;+).
2. Монотонность: если а>1, то логарифмическая функция строго возрастает, если 0
3. Область значений: множество всех вещественных чисел R.

Доказательство:

Всякое вещественное число t может быть логарифмом некоторого числа х. Так как степень at  определена при любом t, то, взяв х = аt, получим logaat = t, что и требовалось доказать.

 Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев – Мусатов, С. И. Шварцбурд.

“ Алгебра и математический анализ” 11 класс.

  Вначале вводится определение ln x, ее свойства и график. Затем логарифмическая функция и степень с любым показателем. И только после изучения логарифмической функции изучается показательная функция.

  Логарифмическая функция вводится на основе натурального логарифма, который в свою очередь представляет собой интеграл.  

В профильных классах можно рассмотреть следующие свойства:

Свойство 1. При положительном основании отрицательные числа и нуль не                 имеют действительных логарифмов.

Дано: logaN

           N 0

          a>0, a.

Доказать: не существует действительного значения для logaN.

Доказательство: Предположим что logaN, где N<0 существует и равен k т.е. logaN = k. Тогда по определению логарифма ak=N.  Но ak>0 (при положительном основании функция у=ах- положительна), а N<0.

  Таким образом, пришли к противоречию: положительное число (ак) равно отрицательному числу или нулю (N).

  Следовательно отрицательные числа и нуль при положительном основании не имеют логарифмов.

  Свойство 2. При положительном основании каждое положительное число имеет логарифм.

  Дано: N>0, a>0, a.

  Доказать: lgaN – действительное число.

  Покажем на частном примере нахождение логарифма некоторого положительного числа по какому-либо основанию с любой степенью точности.

  Пусть требуется например lg 2 с точностью до 0,1.

  Положим lg 2 = . Отсюда ( по определению логарифма) = 2 или возвысив обе части последнего равенства в 10-ю степень получим:

10x=210 или 10x= 10241000=103, т.е. 10x 103  и x3.

  Значит, lg 2 ==0,3.

Для нахождения log 2  с точностью до 0,01 положим lg 2 = .

Сделав аналогичные преобразования получим:

=2,10x=2100=(210)10=102410 (103)10=1030, т.е.

10x  1030 и x30, a lg 2 =0,3.

  Замечание. Применяя указанный способ и рассмотренные ниже свойства логарифмов можно было бы составить таблицы логарифмов чисел по любому положительному основанию с любой степенью точности но указанный способ очень сложный. Математика дает более простые способы вычисления которые выходят за рамки школьной программы.

  Свойство 3. Числа, имеющие при одном и том же основании равные логарифмы, равны между собой.

  Дано: logaN1=logaN2.

  Доказать: N1=N2.

  Доказательство. Обозначив logaN1=logaN2 через к по определению логарифма получим: N1=ak и N2=ak, откуда N1=N2.

(Две величины порознь равные третьей равны между собой.)

  Свойство 4. При одном и том же основании равные числа имеют равные логарифмы.

  Дано: N1=N2

  Доказать: logaN1=logaN2.

  Доказательство. Положив logaN1=k , a logaN2=m (1) рассмотрим относительно основания а два случая: 1) а>1

2)a<1

Случай 1. (а>1). Из (1) по определению логарифма имеем: ak=N1 и am=N2, откуда ak=am, или ak-am=0, ak(1-am-k)=0.   Но ak  0, следовательно, 1- am-k=0,

am-k=1.

  Последнее равенство возможно при m-k =0, т.е. при m=k. В самом деле если

m-k>0, то am-k>1, а если m-k<0, то am-k<1 ( по свойству показательной функции при а >1).

Случай 2 доказывается аналогично.

Итак доказано, что m=k, т. е. logaN1=logaN2.

Замечание. Так как логарифм есть показатель степени, то это свойство можно сформулировать и так: если степени равны, основания степеней равны, то и показатели степеней равны.

Из свойств 2 и 4 заключаем:

Каждое положительное число имеет единственный логарифм.

Свойство 5: (Теорема о логарифмах).

   Я считаю целесообразным доказать справедливость теоремы о логарифмировании произведения произвольного числа n сомножителей, применяя метод математической индукции.

  Будем считать доказанным равенство:

                            loga(N1 ·N2) = logaN1+logaN2.

  Докажем справедливость равенства:

 loga(N1N2N3…Nn-1Nn) = logaN1+logN2+…+lognNn-1+logaNn.   (1)

  Доказательство:

1. Теорема справедлива для произведения двух сомножителей:

 loga(N1 ·N2) = logaN1+logaN2.

2. Предположим, что теорема справедлива и для произведения произвольного числа k  сомножителей, т.е. что

loga(N1N2...Nk) = logaN1+logaN2+…logaNk.

  Докажем, что эта теорема будет справедлива и для произведения  k+1 сомножителя, т.е. справедливо равенство:

loga(N1N2…NkNk+1) = logaN1+logaN2+…+logaNk+logaNk+1.

 Действительно:

loga(N1N2…NkNk+1) = loga((N1N2…Nk)Nk+1) = loga(N1N2…Nk)+logaNk+1.

Но по предположению

loga(N1N2…Nk) = logaN1+logaN2+…+logaNk.

Следовательно, окончательно имеем:

loga(N1N2…NkNk+1) = logaN1+logaN2+…+logaNk+logaNk+1.

что и требовалось доказать.

Свойство 6: (Основное логарифмическое тождество).

alogaN = N

  Это тождество вытекает из определения логарифма. В самом деле, положив logaN=k, получим ak=N, но k=logaN, а поэтому alogaN=N.

  Пользуясь этим тождеством, можно доказать теоремы о логарифмах.

Свойство 7: ( Модуль перехода от одной системы логарифмов к другой).

  Существуют различные системы логарифмов. Основными являются десятичные (основание 10) и натуральные (основание – иррациональное число е=2,718231…). Покажем, как, зная логарифм некоторого числа по основанию, например а, найти логарифм того же числа по основанию b.

  Итак, пусть logbN=k. Найдем logaN.

LogbN=k, отсюда bk=N.

  Прологарифмировав обе части полученного равенства по основанию а, получим: k·logab=logaN, откуда

k=logaN/logab, т. е.

logbN=logaN/logab.

  Поясним на примере, как с помощью этой формулы, зная логарифм числа по одному основанию, найти логарифм того же числа по другому основанию. Например, пользуясь десятичными таблицами логарифмов, найдем log28.

  Таким образом, с помощью этой формулы, пользуясь таблицей десятичных логарифмов чисел, мы можем найти логарифм любого положительного числа по другому положительному основанию.