Прогрессии в жизни человека
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме
Урок-защита проекта по теме "Прогрессии"
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Конспект урока | 56 КБ |
 Презентация_История возникновения понятия прогрессии | 827.59 КБ |
| Презентация_Прогрессии среди нас | 2.02 МБ |
| Презентация_Решение практических задач | 2.83 МБ |
Предварительный просмотр:
Урок-защита проекта «Прогрессии в жизни человека»
по алгебре в 9 «А» классе
Цель урока: создать условия для систематизации и обобщения изученного материала по теме «Прогрессии», расширения кругозора учащихся.
Задачи урока:
Образовательные:
- Закрепить навыки решения задач по данной теме с использованием формул.
- Установить, действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни
Воспитательные:
- Воспитывать чувство ответственности, «чувства локтя».
- Дать оценку проектного продукта, сделанного учениками.
Развивающие:
- На конкретных примерах применения прогрессий убедиться в том, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.
- Продолжить развитие логического мышления и вычислительной культуры учащихся.
УУД:
- Регулятивные: прилагать волевые усилия и преодолевать трудности и препятствия на пути достижения целей.
- Личностные: оценивать усваиваемое содержание (исходя из социальных и личностных ценностей).
- Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения, вступать в диалог, участвовать в дискуссии и аргументировать свою позицию.
- Познавательные: анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты, преобразовывать информацию.
Оборудование урока: Компьютер, видеопроектор, компьютерные презентации (плакаты, сообщения) и оценочные листы.
Форма представления материала: компьютерная презентация
Ход урока
Учитель: Тема сегодняшнего урока «Прогрессии в жизни человека». Урок будет проходить в форме защиты коллективного учебного исследовательского проекта, который, согласно перечня вопросов для исследования, был разбит на несколько подпроектов. Предоставляю слово творческим группам.
Ведущий: Целью наших совместных исследований было знакомство с историей возникновения понятия прогрессии и нахождение примеров его применения в окружающем мире.
Задачами урока являются:
- Установить, какую роль играют прогрессии в повседневной жизни человека?
- Дать оценку проектного продукта.
Слово представителям 1-й творческой группы.
Представитель 1-й группы. Тема нашего подпроекта «Прогрессии – что это такое?»
Цели нашего проекта:
- уточнить (дать общее) определение прогрессии
- выяснить, какие бывают прогрессии?
- выяснить, как давно люди знают прогрессии, как возникло это понятие и какие ученые внесли вклад в развитие теории о прогрессиях?
Проблемные вопросы:
- какие бывают прогрессии?
- когда и в связи с какими потребностями появилось понятие «прогрессии»?
- какие ученые внесли вклад в развитие теории о прогрессиях
Гипотеза исследования: прогрессии возникли из практических нужд человека; прогрессии существуют не только в математике.
Далее ученица рассказывает о содержании работы:
- Выяснили, что прогрессией можно назвать любую возрастающую (убывающую) последовательность.
- Установили, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл.
- Убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими.
- Выяснили, что в развитие теории о прогрессиях внесли такие ученые, как Пифагор Самосский, Ариабхата, Боэций, Леонардо Пизанский (Фибоначчи), Карл Гаусс, Пьер Ферма, Николя Шюке.
Учитель: Какой же вывод можно сделать по данной работе?
1-й Ученик: любое изменение в сторону увеличения/ уменьшения можно считать прогрессией.
2-й Ученик: Найдя ответы на вопросы: как давно люди знают прогрессии, и как возникло это понятие, мы подтвердили утверждение о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является частью общечеловеческой культуры. (Отвечает кто-либо из слушателей или член данной творческой группы)
Ведущий: оцените работу группы и проставьте баллы в оценочные листы (слушатели заполняют оценочные листы). К барьеру приглашаются участники следующей творческой группы.
Представитель 2-й группы. Тема нашего подпроекта «Прогрессии вокруг нас»
Цель нашего проекта: изучить область применения прогрессий
Проблемные вопросы:
- Где в природе, и в каких областях жизни человека нашли применение прогрессии?
- Действительно ли прогрессии играют большую роль в жизни человека?
Гипотеза исследования: прогрессии повсюду - они окружают человека, в то время как он не замечает их в повседневной жизни.
Далее ученики рассказывает о содержании работы:
- Установлено, что интенсивное размножение бактерий в геометрической прогрессии широко применяется в пищевой промышленности, в медицине, в фармакологии, в сельском и коммунальном хозяйствах.
- Найдены примеры применения прогрессий в литературе, музыке.
Учитель: Какой вывод можно сделать по этой работе?
1-й Ученик: Мы живем среди прогрессий!
2-й Ученик: Прогрессии играют большую роль в повседневной жизни, кроме того, они описывают различные процессы в живой природе. (Отвечает кто-либо из слушателей или член данной творческой группы)
Ведущий: оцените работу группы и проставьте баллы в оценочные листы (слушатели заполняют оценочные листы). А мы подошли к рассмотрению заключительной части нашего проекта. Слово представителям 3-й творческой группы.
Представитель 3-й группы. Тема нашего подпроекта «Решение практических задач»
Цели проекта:
- Найти задачи с практическим содержанием по теме «Прогрессии».
- Показать современные способы их решения.
- Составить сборник задач.
Проблемный вопрос: изучить наличие задач на прогрессии с практическим содержанием в различных учебных пособиях, справочной литературе, материалах из Интернета.
Гипотеза исследования: многие задачи на прогрессии имеют практическое содержание.
Далее ученики рассказывает о содержании работы:
- о своих находках задач на прогрессии в старых учебниках по математике;
- о задачах, которые они нашли в книгах по занимательной математике;
- обращают внимание на то, что все найденные задачи имеют практическое содержание;
- рассматривают современные способы решения некоторых задач.
Учитель: Какой вывод можно сделать по этой работе?
Ученик: При решении задач с практическим содержанием, прежде всего, надо составить математическую модель задачи. (Отвечает кто-либо из слушателей или член данной творческой группы).
Ведущий: оцените работу группы и проставьте баллы в оценочные листы (слушатели заполняют оценочные листы).
Учитель: Подведем итоги нашего урока. Вернемся к цели и задачам урока и сделаем выводы по уроку. (Учащиеся делают выводы)
Домашнее задание: решите несколько задач на прогрессии с различным практическим содержанием, решение оформите в любом виде (плакат, презентация, решебник практических задач). Работа может быть групповая, срок выполнения – неделя.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
И стория возникновения прогрессии Команда авторов Кан Елизавета Матвеева Елизавета Ратанова Елизавета Поляков Алексей Резвякова Алина Седых Кристина Быханова Анастасия
И стория возникновения прогрессии Цель проекта: Донести до окружающих историю возникновения прогрессии и рассказать для чего она появилась Вопросы для исследования: Когда, в связи с какими потребностями, появилось понятие «прогрессии»? Какие ученые внесли вклад в развитие теории о прогрессиях?
Гипотеза: Первые теоретические сведения, связанные с понятием прогрессии, появились еще древности при решении практических задач, например, для подсчета количества товара и денег. В развитие теории прогрессий внесли вклад многие известные учёные.
И стория возникновения прогрессии Понятие “ прогрессии ” От латинского progressio – “ движение вперёд , развитие ” В курсе алгебры 9 класса исследуются 2 вида прогрессий– арифметическая и геометрическая прогрессии.
И стория возникновения прогрессии Это последовательность , каждый член которой , начиная со второго , равен предыдущему , сложенному с одним и тем же числом. a 1 , a 1 + d , a 1 + 2 d ,…, a 1 +(n-1)d,… Арифметическая прогрессия Определение:
И стория возникновения прогрессии Примеры: Натуральный ряд 1,2,3,4,5,… - это арифметическая прогрессия , в которой первый член a 1 = 1 , а разность d = 1 . 1, -1,-3,-5,-7 – первые 5 членов арифметической прогрессии , в которой a 1 = 1 и d = -2.
И стория возникновения прогрессии Геометрическая прогрессия Определение: Это такая последовательность отличных от нуля чисел, которая получается в результате умножения каждого последующего члена на одно и то же число, не равное нулю.
И стория возникновения прогрессии Пример 2, 6, 18, 54, 162. Здесь каждый член после первого в 3 раза больше предыдущего. То есть каждый последующий член является результатом умножения предыдущего члена на 3 : 2 · 3 = 6 6 · 3 = 18 18 · 3 = 54 54 · 3 = 162.
И стория возникновения прогрессии Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях появились у древних народов. Ещё в Древнем Риме диаметры колес в водопроводах были выбраны в соответствии с геометрической прогрессией. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать. Начальные сведения
И стория возникновения прогрессии Задача Ахмеса Ахмес - египетский жрец и писец, составитель первого дошедшего до нас руководства по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанного около 1650 г. до н.э .
И стория возникновения прогрессии Решение задачи Ахмеса Задача : Раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет 1/8 меры. Дано: Найти:
И стория возникновения прогрессии Решение задачи Ахмеса
Ответ: Первому дай меры хлеба, второму дай меры хлеба, третьему дай меры хлеба, четвертому - меры хлеба, пятому - , шестому - 1 , седьмому - 1 , восьмому - 1 девятому - 1 , десятому - 1 мер хлеба.
И стория возникновения прогрессии Пифагор Самосский В IV веке до н.э. рассматривал последовательности, связанные с геометрическими фигурами. Подсчитывая число кружков в треугольниках, квадратах, пятиугольниках, он получал: -Арифметическую последовательность треугольных чисел 1;3;6;10;15 -Геометрическую последовательность квадратных чисел 1;4;9;16;25
И стория возникновения прогрессии Индийский астроном и математик Ариабхата (V в.) применял формулы общего члена, суммы n членов арифметической прогрессии. Ариабхата
И стория возникновения прогрессии Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки. Боэций
И стория возникновения прогрессии Леонардо Пизанский (Фибоначчи) Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии также встречается в сочинении «Книга абака » итальянского математика Леонардо Пизанского.
И стория возникновения прогрессии Наиболее известной из сформулированных Фибоначчи задач является "задача о размножении кроликов" , которая привела к открытию числовой последовательности именуемой "рядом Фибоначчи".
И стория возникновения прогрессии Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения. Задача о кроликах
И стория возникновения прогрессии Никола Шюке Общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в его книге «Наука о числах», которая была выпущена в свет в 1484 году.
И стория возникновения прогрессии Пьер де Ферма Несколькими математиками (среди них был французский математик Пьер де Ферма) в первой половине XVII века. была выведена общая формула для вычисления суммы любой бесконечно убывающей прогрессии.
И стория возникновения прогрессии Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) В Германии молодой Карл Гаусс нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи ещё учеником начальной школы. 1+2+3+4+…+98+99+100 = (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)= =101x50 = 5050.
И стория возникновения прогрессии В конце ХVII - начале ХVIII вв. в Германии для расчета темперированного музыкального строя была применена геометрическая прогрессия. Во Франции в 1805 г. размеры типографского шрифта были установлены в соответствии с геометрической прогрессией. Прогрессии в жизни
И стория возникновения прогрессии Вывод Арифметические и геометрические прогрессии были известны еще с давних времен ,но нельзя точно сказать кто первый их открыл. Прогрессиями не исчерпывается всё разнообразие числовых последовательностей.
И стория возникновения прогрессии Источники информации http://ru.wikipedia.org/ http://mirurokov.ru/ http://nsportal.ru/ http://festival.1september.ru/
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цель проекта : изучить область применения прогрессий Гипотеза : прогрессии повсюду: они окружают человека, в то время как он не замечает их в повседневной жизни
Химия Геометрия При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растет по геометрической прогрессии. Площади вписанных друг в друга правильных треугольников образуют геометрическую прогрессию.
Физика Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получаются два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывает их еще на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия.
Биология Медицина Человек при закаливании встаёт под холодный душ сначала на 10 секунд, потом 20, потом 30. Прогрессия +10. Многие микроорганизмы размножаются делением пополам. При благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени их число удваивается.
Последовательность Фибоначчи в живой природе 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 142; … Было установлено, что числовой ряд Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем. Например , винтовое листорасположение на ветке составляет дробь (число оборотов на стебле/число листьев в цикле, напр. 2/5; 3/8; 5/13), соответствующую числам Фибоначчи. Приглядимся внимательно к побегу цикория. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс.
Экономика Сетевой маркетинг развивается по законам геометрической прогрессии. Если Вы не стоите на вершине пирамиды, то не стоит претендовать на заоблачные заработки … Еще один пример прогрессии — это д енежные вклады под проценты. Простые проценты – это увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии, сложные проценты – это увеличение в геометрической прогрессии.
Литература В спомним строки из поэмы А. С. Пушкина «Евгений Онегин»: ... Не мог он ямба от хорея, Как мы не бились отличить ... Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2: « Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил ...» /А . С. Пушкина/ Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7 ... «Я пропАл , как звЕрь в загОне » / Б.Л.Пастернак /
Музыка В музыке термин «прогрессия» («секвенция») означает постепенное повторение мотива в один или два такта в восходящем или нисходящем порядке. Секвенция является последовательным повторением данной мелодической фразы или гармонического оборота на другой высоте. Секвенция аккордов
Вывод: Исследуя различные отрасли человеческой деятельности, а также окружающий нас мир, мы пришли к выводу, что мы живём среди прогрессий .
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цель проекта группы Цель: Изучить алгебраические и геометрические прогрессии на примере решения практических задач .
Задача 1 Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты 800 метров, а в каждый следующий час поднимался на высоту, на 25 метров меньшую, чем в предыдущий. За сколько часов он достигнет высоты в 5700 метров ? 5700
Решение Дано : a 1 = 800 d= -25 S n = 5700 Найти : n= ? (1600-(n-1)*25)*n/2=5700 n 2 -65n+456=0 D=2401 n=8 n=57 Ответ : 8 часов
Задача 2 При хранении бревен строевого леса их укладывают, как показано на рисунке. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?
Решение Составим математическую модель задачи : 1, 2, 3, 4,…,12. Это арифметическая прогрессия, а1=1, d=1,аn=12. Надо найти n. а n=a1+d(n-1 ); 12=1+1(n-1); n=12. Sn=(a1+an)∙n:2; S 11 =(1+1 1 ) ∙12:2; Sn=7 2 . Ответ: в одной кладке находится 72 бревен .
Задача 3 Улитка ползет по дереву. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту - на 5 см больше, чем за предыдущую . За какое время достигнет улитка вершины дерева длиной 5,25 м, если считать, что движение начато от его основания?
Решение а 1 =30, d=5 , S n =525 , n>0 S n =(2a 1 +d*(n-1))*n/2 525=(2*30+5*(n-1))*n/2 1050=(60+5*(n-1))*n 1050=55*n+5n 2 n 2 +11n-210=0 n 1 =-21 n 2 =10 (n>0) Ответ: Улитка достигнет вершины за 10 дней.
Задача 4 Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за вторую —2 зерна, за третью — 4 зерна и т. д. Обрадованный царь посмеялся над Сетой и приказал выдать ему такую «скромную» награду. Стоит ли царю смеяться ( сколько зерна должен царь ) ?
Дано и решение Дано : ; 1, 2, 4, 8, 16… q=2, n = 64 b 1 =1 Найти: S 64 -? Решение: S n = - b 1 S 64 = - 1=18 446 744 073 709 551 615 Ответ: 18 446 744 073 709 551 615 .. .. n-1 q 64 2
Задача 5 Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии , каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д . Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.
Решение В сутках 1440 минут, каждые двадцать минут появляется новое поколение - за сутки 72 поколения. По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии , у которой b1=1, q=2, n=72, находим, что S72=272-1 = 4 722 366 482 869 645 213 696 - 1= = 4 722 366 482 869 645 213 695.
Задача 6 Больной принимает лекарство по схеме: в первый день он принимает 5 капель , а в каждый следующий день — на 5 капель больше , чем в предыдущий. Приняв 40 капель , он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)? Решение . Составим математическую модель задачи: 5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5 =а1+d(n-1), 40=5+5( n -1), n =8, =(( + )n)/2, =(5+40)·8:2=180, 180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Ответ: надо купить 2 пузырька лекарства .
Задача 7 Одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 и даёт в год около 100 летучих семян. Сколько кв. км площади покроет всё потомство одной особи одуванчика через 10 лет при условии, если он размножается беспрепятственно по геометрической прогрессии? Хватит ли этим растениям на 11-й год жизни места на поверхности суши земного шара (148 939 063 133 000 )?
Дано : = q= Найти : и Решение : = ∙ = ∙ = = = = = Т.к. > 148 939 063 133 000 , то растениям одуванчика не хватит места на земле.
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Янушкявичене Ольга Леонидовна, доктор педагогических наук. «Что есть человек, что Ты помнишь его», или главная задача каждого возрастного периода жизни человека
Психологи, рассматривая возрастные особенности человека, обычно выделяют какую-то основную характеристику возрастного этапа.В статье введено понятие главной задачи духовного воспитания для каждого воз...
Научно-практическая конференция по теме «Прогрессия в жизни человека».
Для научно - практической конференции. Урок математики 9 класс....
ОТКРЫТЫЙ УРОК в 5 Б классе Тема: «Роль декоративного искусства в жизни человека и общества. Одежда «говорит о человеке». Западная Европа 17 век (эпоха барокко).»
Познакомить учащихся с понятием и языком декоративного искусства разных стран. На примере Западной Европы XVII в..Формирование духовно-нравственного развития; сформировать понимания роли декорат...
Статья "Роль технического прогресса в жизни человека". "Le rôle du progrès technique." Французский язык
quot;Le rôle du progrès technique."La science joue un rôle important dans la vie de l’homme. Au cours de l’histoire humaine on voit se réaliser de grandes découvertes qui aident l&r...
Сертификат участника«Эффективные формы и методы обучения: современное состояние, проблемы, перспективы. Доклад «Декор-человек, общество, время. Декоративно-прикладное искусство в жизни человека. Декоративное искусство в современном мире»
Сертификат участника«Эффективные формы и методы обучения: современное состояние, проблемы, перспективы. Доклад «Декор-человек, общество, время. Декоративно-прикладное искусство в жиз...