Решение уравнений и неравенств с параметрами
элективный курс по алгебре (11 класс) по теме

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Суражский промышленно-аграрный техникум

Программа

элективных курсов

Разработала

преподаватель математики

Агеенко Инга Григорьевна

СОДЕРЖАНИЕ.

1. Пояснительная записка.
2. Требования к математической подготовке учащихся.
3. Содержание обучения.
4. Проектирование учебной деятельности учащихся.
5. Тематическое планирование учебного материала.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.

Элективные курсы (курсы по выбору учащихся) организуются в целях предпрофильной подготовки или для занятий с сильными учащимися в рамках факультатива по математике. Они нужны для того, чтобы помочь ученикам сориентироваться в выборе профиля, показать типичные для данного профиля виды деятельности, дать возможность ученику проявить себя и добиться успеха.

Содержание выбранного курса отличается от базового курса тем, что оно вообще не представлено в базовом курсе.

В качестве элективного курса здесь рассмотрена тема «Решение уравнений и неравенств с параметрами».

«Уравнения и неравенства с параметрами стали обязательным элементом содержания конкурсных экзаменов во многие вузы России, итоговой аттестации учащихся по математике всех типов общеобразовательных учреждений не случайно. С одной стороны, задачи с параметрами, как естественное обобщение уравнений и неравенств с переменной, позволяют установить более глубокую связь с изучаемыми классами функций, примеры школьных алгоритмов расширить до уровня алгоритмических схем. С другой стороны, данный класс задач, как один из наиболее сложных в логическом и техническом планах раздел элементарной математики, обеспечивает развитие исследовательских способностей учащихся, формирование их высокой математической культуры.

В рамках обновления содержания школьного математического образования, связанного с дифференциацией общеобразовательных учреждений, гуманитарной направленностью обучения математике формируется новая содержательно-методическая линия уравнений и неравенств с параметрами, включающая отбор содержания задач с параметрами, обеспечивающего развитие конкретных способностей учащихся, разработку технологии обучения, направленной на формирование теоретического типа мышления. Указанная методическая система из сферы теоретических дискуссий перешла в сферу научно-методических разработок, практику работы каждого учителя математики.» (Горбачев В.И. Методы решения уравнений и неравенств с параметрами. – Брянск: Издательство БГПУ, 1999.).

В настоящее время «роль математической подготовки в общем образовании современного человека ставит следующие задачи обучения математике в школе:

• овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;
• интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе;
• формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности;
• формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса». («Повышение эффективности обучения математике в школе: Книга для учителя: Из опыта работы»./ Сост. Г.Д.Глейзер. – М.: Просвещение, 1989. – 240с., с.5).

ТРЕБОВАНИЯ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ.

Для того чтобы усвоить курс «Решение уравнений и неравенств с параметрами», учащиеся должны:

• понимать, что уравнения – это математический аппарат решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний, практики;
• правильно употреблять термины «уравнение», «неравенство», «система», «корень уравнения», «решение системы», понимать их в тексте, в речи учителя, понимать формулировку задачи «решить уравнение, неравенство, систему»;
• решать линейные и квадратные уравнения;
• решать линейные и квадратные неравенства.

В результате изучения данного курса учащиеся должны:

• усвоить новые понятия «уравнение с параметром», «неравенство с параметром», «общее решение», «контрольное значение параметра (КЗП)», «модель общих решений»;
• научиться решать линейные уравнения и неравенства с параметром;
• научиться решать уравнения и неравенства  не выше второй степени с параметром.

СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ.

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ.

Линейные уравнения с параметром. Графический способ решения линейных уравнений с параметром.

Линейные неравенства с параметром.

Уравнение с параметром не выше второй степени. Задача изучения взаимного расположения действительного числа и общих решений уравнения не выше второй степени с параметром.

Неравенство с параметром не выше второй степени. Задача изучения взаимного расположения действительного числа и общих решений неравенства не выше второй степени с параметром.

ПРОЕКТИРОВАНИЕ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ В КУРСЕ «РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ».

В настоящее время всё чаще на выпускных и вступительных экзаменах учащимся стали предлагать задания на решение уравнений и неравенств с параметрами. Это происходит не случайно. Уравнения и неравенства с параметрами позволяют установить связь с изученными классами функций, расширить алгоритмы школьного курса до более общих способов решения задач с параметрами.

Задачи с параметрами считаются одним из сложных разделов элементарной математики. Решая данные задачи, учащиеся развивают логическое мышление, совершенствуют свои исследовательские способности, воспитывают в себе элементы математической культуры.

При отработке методов решения задач с параметрами чётко прослеживаются основные положения теории развивающего обучения:

• «основная  цель учебной деятельности по решению задач данного класса – формирование теоретического типа мышления выделением существенных отношений определённой формальной целостности, приводящих к установлению подлинных закономерностей её развития;
• основной метод исследования – восхождение от генетически исходной содержательной абстракции к конкретному – системе взаимосвязанных структурных компонент, объединяющих многообразие явлений исследуемой целостности;
• основное направление развития учащихся – овладение ими общими методами исследования целостности в процессе решения учебных задач и связанной с ними система практических задач как их частных проявлений;
• основные способы учебной деятельности – анализ, посредством которого устанавливается исходная содержательная абстракция, рефлексия как основание деятельности субъекта, планирование, осуществляемое во внутренней форме, моделирование существенных отношений целостности». (Горбачев В.И. «Модели развивающего обучения в курсе алгебры средней школы». – Брянск: Издательство БГПУ, 2000., с. 3 – 4).

Рассмотрим основные моменты проектирования тем:

1. Линейные уравнения с параметром.
2. Линейные неравенства с параметром.
3. Уравнения не выше второй степени с параметром.
4. Неравенства не выше второй степени с параметром.

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ.

Базовая система понятий.

В классе линейных уравнений с параметром в качестве основных выступают следующие понятия:

• Общетеоретические понятия линии параметров: понятие  уравнения с параметром, общего решения уравнения с параметром, КЗП, модели общих решений;
• Специфические понятия данной темы: понятие линейного уравнения с параметром, его КЗП, соответствующие типы частных уравнений.

Метод восхождения от абстрактного к конктетному.

Используются два вида формальной целостности:

1. Класс всех уравнений с параметром, объединенных общей формой записи F(a,x) = 0, где переменная а выступает в качестве параметра.
2. Класс всех линейных уравнений с параметром а, все уравнения в которых переменная х содержится под знаком линейной функции и которые сводятся к виду f(a)x + g(a) = 0.

Эти формальные целостности представляются диаграммой:

На данном этапе класс линейных уравнений с параметром выступает как исходная формальная целостность, хотя учащиеся должны понимать, что это один из подклассов класса уравнений с параметром. И, значит, понятия, сформированные в классе всех уравнений, будут применимы в классе линейных уравнений с параметром.

На начальном этапе класс линейных уравнений выступает как формальная целостность, объединенная формой записи уравнения стандартного вида.

Генетически исходной содержательной формальной абстракцией выступает понятие общего решения. Исходя из общего решения x = f(a)  на множестве Af  значений параметра в произвольном уравнении F(f,x) = 0 ставится задача установления вида  в классе линейных уравнений.

С понятием общего решения как исходной абстракции связаны: типы частных уравнений, КЗП, области общих решений. В процессе выделения указанных понятий в классе линейных уравнений с параметром выделяются все возможные типы:

1. ;
2. ;
3. .

В   процессе выделения всех возможных типов установлены все КЗП из уравнения f(a) = 0. В результате выделяется общий метод решения линейных уравнений с параметром, а весь класс линейных уравнений выступает как конкретное (та исходная целостность, которая нам становится известной).

Общие способы деятельности.

В классе линейных уравнений с параметром выделяются два обобщенных способа деятельности, формирование которых осуществляется в условиях организации учебной деятельности.

1 способ – общий способ решения линейного уравнения с параметром. Его основные этапы:

• устанавливается ОДЗП;
• на ОДЗП уравнение приводится к стандартному виду;
• из уравнения f(a) = 0 находится КЗП и исследуются соответствующие частные уравнения;
• при f(a)  0 находится общее решение.

2 способ – графический. Всякое линейное уравнение при помощи равносильных преобразований может быть приведено к виду f(a)x + g(a) = kx + b (1), где k  и  b – числа или f(a)x + g(a) = h(a) (2).

Рассмотрим графические методы их решения. Для уравнения (1) рассмотрим функции y = f(a)x + g(a)   и  y = kx + b. Графиками функций для конкретного значения параметра будут прямые. Необходимо исследовать взаимное расположение семейства прямых y = f(a)x + g(a) и фиксированной прямой y = kx + b. Граничными значениями параметра являются те значения, для которых угловые коэффициенты прямых совпадают, т.е. f(a) = k. Для этих значений параметра соответственные прямые параллельны или совпадают. Параллельное расположение прямых соответствуют частные уравнения типа , совпадающим прямым – типа . Для остальных случаев f(a)  k, т.е. прямые пересекаются и частное уравнение имеет единственное решение.

ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ.

Базовая система понятий.

В классе линейных неравенств система понятий является более глубокой, чем в классе линейных уравнений:

• это система всего класса неравенств – понятия неравенства, типов частных неравенств, КЗП, общих решений неравенств с параметром;
• система понятий, специфических для класса линейных уравнений с параметром;
• система понятий класса линейных функций;
• система понятий решения линейных неравенств с переменной.

Метод восхождения от абстрактного к конкретному.

Исходными в реализации этого метода являются: во-первых, общая система понятий и соответствующий метод решения произвольного неравенства F(a,x)  0, и во-вторых, система понятий, связанная с общим методом решения линейного уравнения с параметром.

В качестве формальной целостности выступает класс неравенств f(a)x + g(a) < 0. Класс линейных неравенств является подклассом класса всех неравенств  F(a,x)  0, поэтому в классе линейных неравенств можно использовать и конструировать те понятия, которые вводились в классе всех неравенств.

Генетически исходной содержательной абстракцией в классе линейных неравенств выступает понятие общего решения линейного уравнения. Используя теорию решения линейного уравнения с переменной, в классе линейных неравенств с параметром выделяются все типы частных неравенств:

1. ;
2. ;
3. ;
4. .

Из классификации типов строится вывод, что КЗП вычисляются из уравнения f(a) = 0. На основании общей схемы решения линейных уравнений и исходя из классификации неравенств по типам строится общий метод решения линейных неравенств. В результате класс линейных неравенств выступает на данном этапе как конкретное.

Общим итогом восхождения от абстрактного к конкретному является метод решения любого линейного неравенства с параметром.

Общий способ деятельности.

В классе линейных неравенств формирование учебной деятельности осуществляется через выделение обобщенного способа деятельности.

Общий метод решения линейных неравенств с параметром формируется через следующие этапы:

• находится ОДЗП;
• на ОДЗП неравенство приводится к стандартному виду f(a)x + g(a) < 0;
• из уравнения f(a) = 0находится КЗП;
• для КЗП исследуются соответствующие частные неравенства;
• на каждом из выделенных промежутков находится общее решение неравенства.

УРАВНЕНИЯ НЕ ВЫШЕ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ПАРАМЕТОРМ.

Базовая система понятий.

В классе уравнений не выше второй степени с параметром в качестве основных выступают следующие понятия:

1. Общетеоретические понятия линии параметров: понятия уравнения с параметром, общего решения уравнения с параметром, КЗП, модели общих решений;
2. Специфические понятия данной темы: понятия уравнения не выше второй степени с параметром, его КЗП, соответствующих типов частных уравнений;
3. Понятия линейных уравнений с параметром.

Системы понятий 1) и 3) должны быть сформированы до изучения системы понятий 2). Общетеоретические понятия являются главными как с позиции их конкретизации в классе уравнений не выше второй степени, так и с позиции их собственного развития через конкретный класс уравнений не выше второй степени.

Метод восхождения от абстрактного к конкретному.

В классе уравнений не выше второй степени используется два вида формальной целостности:

1. Класс всех уравнений с параметром, объединенных общей формой записи F(a,x) = 0, где переменная а выступает в качестве параметра.
2. Класс всех уравнений с параметром а не выше второй степени - все уравнения, в которых переменная х содержится под знаком квадратичной функции и которые сводятся к виду f(a)x2 + g(a)x + h(a) = 0.

Эти формальные целостности представляются диаграммой:

На данном этапе класс уравнений не выше второй степени  с параметром выступает как исходная формальная целостность, хотя учащиеся должны понимать, что это один из подклассов класса уравнений с параметром. И, значит, понятия, сформированные в классе всех уравнений будут применимы в классе уравнений не выше второй степени  с параметром.

На начальном этапе класс уравнений не выше второй степени выступает как формальная целостность, объединенная формой записи уравнения стандартного вида.

Генетически исходной содержательной формальной абстракцией выступает понятие общего решения. Исходя из общего решения x = f(a)  на множестве Af  значений параметра в произвольном уравнении F(f,x) = 0 ставится задача установления вида  в классе уравнений не выше второй степени .

С понятием общего решения как исходной абстракции связаны: дискриминант, типы частных уравнений, КЗП, области общих решений. В процессе выделения указанных понятий в классе линейных уравнений с параметром выделяются все возможные типы:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. .

В   процессе выделения всех возможных типов установлены все КЗП из уравнения f(a) = 0 и D = 0. Получена характеристика любого частного уравнения в зависимости от знака f(a) и D. В результате выделяется общий метод решения  уравнений не выше второй степени с параметром, а весь класс уравнений не выше второй степени выступает как конкретное ( та исходная целостность, которая нам становится известной).

Итог восхождения от абстрактного к конкретному – общий метод решения уравнений не выше второй степени.

Другим лишь опознаваемым на интуитивном уровне итогом является существенная конкретизация понятий общих решений, КЗП, типов частных уравнений, введенных в исходном классе всех уравнений.

Общие способы деятельности.

В классе уравнений не выше второй степени с параметром выделяются два обобщенных способа деятельности, формирование которых осуществляется в условиях организации учебной деятельности.

1 способ – общий способ решения уравнений не выше второй степени. Его основные этапы:

• устанавливается ОДЗП;
• уравнение приводится к стандартному виду f(a)x2 + g(a)x + h(a) = 0;
• из уравнения f(a) = 0 находится КЗП, для них соответствующие частные уравнения исследуются отдельно (типа , типа  или линейное);
• находится D и из уравнения D = 0 находится КЗП, для них соответствующие частные уравнения имеют двукратный корень;
• на оси значений параметра выделяются промежутки с D  0 и D  0, для них указываются соответствующие типы уравнений.

Указанный общий метод может формироваться у учащихся двумя способами:

• на конкретных уравнениях не выше второй степени устанавливаются его частные виды и лишь затем формируется общий метод;
• на базе понятия «уравнение стандартного вида» выделяются все типы частных уравнений, затем определяется последовательность выделения этих видов в виде общего способа деятельности, который затем реализуется в конкретных уравнениях.

2 способ – исследование задачи взаимного расположения некоторого действительного числа  и общих решений. Его частным проявлением является  использование теоремы Виета. На начальном этапе исследования взаимного расположения числа  и общих решений формулируются пропедевтические задачи типа: при каких значениях параметра корни уравнения (a – 1)x2 – 2(a + 1)x + (a – 3) = 0 имеют разные знаки? Оба положительны? Оба отрицательны?

Т.к. в такой задаче речь идет о двух корнях, то обязательными условиями являются

                                  a – 1  0

                                  D  0.

Пусть x = f1(a) и x = f2(a) – общие решения.

1. Если  f1(a) > 0 и f2(a) < 0, то f1(a)*f2(a) < 0. но по теореме Виета f1(a)*f2(a) = . Итак, f1(a) и f2(a) имеют разные знаки, если

                                                     a – 1  0

                                                     D > 0

                                                      < 0.  

2. Если  f1(a) > 0 и f2(a) > 0, то f1(a)*f2(a) > 0, f1(a) + f2(a) > 0. По теореме Виета

                                f1(a) + f2(a) =

                                f1(a)*f2(a) =    .

Итак,  общее решение положительно              a – 1  0

                                                                                 D  0    

                                                                                               > 0

                                                                                                > 0.

3. Аналогично исследуется случай, когда оба решения отрицательны.

Этапы формирования общего метода:

• Исследование теоремы Виета для квадратных уравнений с  переменной;
• Исследование случаев, когда корни уравнения положительны, отрицательны, имеют разные знаки;
• Исследование взаимного расположения корней квадратного трехчлена и ;
• Исследование взаимного расположения общих решений квадратного трехчлена с параметром и .

НЕРАВЕНСТВА НЕ ВЫШЕ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ПАРАМЕТОРМ.

Базовая система понятий.

В классе неравенств не выше второй степени базовая система понятий является более глубокой, чем в классе уравнений не выше второй степени.

В первую очередь – это система понятий всего класса неравенств:

1. Неравенство F(a,x) < 0 с двумя переменными а и х называются неравенством с параметром а и переменной х, если для каждого значения переменной а необходимо решить соответствующее частное неравенство с переменной х.
2. Для неравенства F(a,x) < 0 с параметром а и переменной х частное неравенство F(a0,x) < 0, соответствующее значению параметра а = а0, называется особым типа , если при помощи равносильных преобразований его можно привести к ложному числовому неравенству.
3. Для неравенства F(a,x) < 0 с параметром а и переменной х частное неравенство F(a0,x) < 0, соответствующее значению параметра а = а0, называется особым типа ∞, если при помощи равносильных преобразований его можно привести к истинному числовому неравенству.
4. В неравенстве  F(a,x) < 0 с параметром а и переменной х значение а0 называется контрольным, если для него выполняется  одно из следующих условий:

• соответствующее частное неравенство не определено;
• частное неравенство  F(a,x) < 0 является особым типа  или типа ∞.

Во-вторых, это система понятий, специфических для класса уравнений с параметрами не выше второй степени: понятие уравнения не выше второй степени с параметром, его контрольные значения, соответствующих типов частных уравнений.

В-третьих, это система понятий класса квадратичной функции с параметром: понятие частной функции, понятие линии движения вершины параболы с изменением параметра.

В-четвёртых, это система понятий решения квадратных неравенств с переменной.

Метод восхождения от абстрактного к конкретному.

В классе неравенств не выше второй степени восхождение от абстрактного к конкретному имеет следующие закономерности: исходными в реализации метода восхождения от абстрактного к конкретному является, во-первых, общая система понятий и соответствующий метод решения произвольного неравенства F(a,x) < 0; и, во-вторых, система понятий и общего метода решения уравнений не выше второй степени с параметром.

В качестве функциональной целостности выступает класс неравенств f(a)x2 + g(a)х + h(a) < 0. Класс неравенств не выше второй степени является подклассом класса всех неравенств F(a,x) < 0, поэтому в классе неравенств не выше второй степени можно использовать и конкретизировать те понятия, которые вводились в классе всех неравенств.

Генетически исходной содержательной абстракцией в классе неравенств не выше второй степени выступает понятие общего решения уравнения не выше второй степени. Используя теорию решения квадратных неравенств с переменной, в классе неравенств не выше второй степени с параметром выделяются все типы частных неравенств:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. .

Из классификации типов строится вывод, что КЗП вычисляется из уравнений f(a) = 0 и D = 0. На  основании общей схемы решения уравнений не выше второй степени и, исходя из классификации неравенств по типам, строится общий метод решения неравенств не выше второй степени. В результате класс неравенств не выше второй степени выступает на данном этапе как конкретное.

Общим итогом восхождения от абстрактного к конкретному является метод решения любого неравенства с параметром не выше второй степени.

Общие способы деятельности.

Процесс восхождения от абстрактного к конкретному определяет специфику метода обучения. Сущность процесса обучения состоит в том, что общий метод деятельности в данном классе задач, во-первых, формируется в абстрактной понятийной форме, и, во-вторых, предшествует конкретным проявлениям общего метода в задачах. Выделим общие способы деятельности в классе неравенств не выше второй степени. Здесь формирование учебной деятельности осуществляется через выделение двух обобщённых способов деятельности.

1 способ – общий метод решения неравенств не выше второй степени с параметром. Его формирование осуществляется через следующие этапы:

«

1. На числовой прямой отмечаются все контрольные значения параметра, для которых соответствующие частные неравенства не определены. Выделяются промежутки допустимых значений параметра, на каждом из которых решение соответствующих частных неравенств осуществляется отдельно.
2. На выделенном промежутке значений параметра при помощи равносильных преобразований исходное неравенство приводится к виду f(a)x2 + g(a)х + h(a) < 0. Множество {af(a) = 0} определяет новое разбиение выделенных промежутков допустимых значений параметра. Дальнейшее решение неравенства осуществляется отдельно как для значений {af(a) = 0}, так  и для каждого из промежутков нового разбиения допустимых значений параметра.
3. Множество {af(a) = 0} в зависимости от значений g(a), h(a) разбивается на четыре подмножества с различными типами частных неравенств

4. На каждом из выделенных конкретными значениями параметра промежутков коэффициент f(a) сохраняет постоянный знак (f(a)  0 или f(a)  0). Значения параметра, для которых D = g(a)2 – 4f(a)h(a) обращается в нуль, определят новое разбиение допустимых значений параметра.
5. На выделенных промежутках полученного разбиения допустимых значений параметра устанавливаются знаки f(a) и D = g(a)2 – 4f(a)h(a). В уравнении f(a)x2 + g(a)х + h(a) = 0 для промежутков с положительным дискриминантом находятся общие решения

                        и   .

  Определяется их взаимное расположение на промежутках с учётом разности , зависящей от знака f(a).

6. Каждое из множеств {a f(a) > 0, D  0} , {a f(a) > 0, D > 0}, {a f(a) < 0, D < 0}, {a f(a) < 0, D  0} значений параметра определяет один из типов

         неособых частных неравенств с соответствующими частными решениями». (Горбачев В.И. «Методы решения уравнений и неравенств с параметрами». – Брянск: Издательство БГПУ, 1999., с 30).

С позиции теории учебной деятельности формирование общего метода осуществляется дедуктивно от выделения всех типов частных неравенств в неравенстве стандартного вида с параметром к выделению КЗП и от них к установлению общего метода решения, который уточняется на конкретных примерах.

Попробуем составить таблицу общего метода решения неравенств не выше второй степени с параметром. (Приложение).

2 способ – исследование условий, при которых множество решений неравенства с параметром принадлежит определённому промежутку. Суть таких задач заключается в следующем: нужно найти те значения параметра, при которых промежуток (х1; х2), был бы решением неравенства с параметром. Для а  0 и D  0 множество решений неравенства с параметром имеет вид:

Промежуток (х1; х2) будет решением неравенства с параметром, если он расположен либо в левом промежутке, и тогда  = 2 левее f1(a) и  f2(a), либо в правом промежутке, и тогда  = 1 правее  f1(a) и  f2(a).

Если же а  0 и D  0, то промежуток (х1; х2) принадлежит множеству решений неравенства с параметром, если  = 1 и  = 2 располагаются между общими решениями неравенства. Тем самым задача, связанная с множеством решений двух неравенств, сводится к задаче взаимного расположения действительного  и общих решений неравенства с параметром. Это видно из таблицы. ( Приложение).

Ввиду указанной взаимосвязи двух обобщённых способов деятельности их следует изучать непосредственно друг за другом.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА.

1. Основные понятия уравнений с параметрами.
2. Основные понятия неравенств с параметрами.
3. Линейные уравнения с параметрами.
4. Линейные уравнения с параметрами.
5. Графический способ решения линейных уравнений с параметрами.
6. Линейные неравенства с параметрами.
7. Линейные неравенства с параметрами.
8. Самостоятельная работа.
9. Общий метод решения уравнений не выше второй степени с параметром.
10. Общий метод решения уравнений не выше второй степени с параметром.
11. Задача изучения взаимного расположения действительного числа о общих решений уравнения не выше второй степени с параметром.
12. Общий метод решения неравенств не выше второй степени с параметром.
13. Общий метод решения неравенств не выше второй степени с параметром.
14. Задача изучения взаимного расположения действительного числа о общих решений неравенства не выше второй степени с параметром.
15.  Самостоятельная работа «Решение уравнений и неравенств не выше второй степени с параметром».
16. Повторение курса.
17. Повторение курса.
18. Контрольная работа по всему курсу.