Элективный курс "Решение уравнений и неравенств с параметрами"
элективный курс (алгебра, 11 класс) на тему

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 Основная задача модернизации российского образования – обеспечение нового качества школьного образования. В свете модернизации школьного образования возникла необходимость создания и проведения элективного курса «Решение уравнений и неравенств с параметрами».

Предлагаемый элективный курс является предметно-ориентированным и предназначен для реализации в общеобразовательных и профильных 11 классах.

Основанием для разработки программы курса является Государственный стандарт общего образования по математике, примерная образовательная программа, рекомендованная Министерством образования и науки РФ по математике.

Актуальность введения данного элективного курса обусловлена тем, что заданиям с  параметрами в школьной программе не уделено достаточного внимания, хотя они ежегодно предлагаются на ЕГЭ в части С. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки, лишенные к тому же логической стройности.

Наряду с основной задачей обучения математики - обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, данный курс  предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, выбору профиля дальнейшего обучения. 

Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющего в определённых умственных навыках. В процессе решения уравнений и неравенств с параметрами в арсенал приёмов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация, аналогия.

Именно задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью, которые позволяют проверить знания основных разделов школьного курса математики, уровень логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности.

Уравнения и неравенства с параметрами, предлагаемые в данном курсе, интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и проверить свои способности к математике. Вместе с тем, содержание курса позволяет ученику любого уровня активно включаться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя.

Курс формирует такие умения и навыки как логичность и самостоятельность мышления, умение обобщать и систематизировать, навыки в решении задач.

Преподавание  элективного курса предусматривает внедрение современных педагогических технологий, содействующих эффективному развитию творческого потенциала обучающихся.

Этот курс дополняет базовую программу, не нарушая её целостность.

Курс рассчитан на 34 часа по 1 часу аудиторных занятий в неделю.

Цель курса:

• углубление и систематизация знаний о приемах и методах решения задач с параметрами, развитие логическое мышление обучающихся.

Задачи курса: 

Образовательные:

• формировать у учащихся умения и навыки по решению задач с параметрами для подготовки к ЕГЭ;
• углубить знания по математике, предусматривающие формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;
• расширить математические представления учащихся о приёмах и методах решения задач с параметрами;
• обеспечить подготовку к поступлению в вуз и продолжению образования;
• научить учащихся анализировать, сопоставлять, устанавливать зависимости между величинами, выбирать оптимальные решения.
• обеспечить подготовку к профессиональной деятельности, требующей высокой математической культуры.

Развивающие:

• выявить и развить математические способности, продолжить развитие математической культуры;
• как можно полнее развить потенциальные творческие способности каждого учащегося;
• повышение уровня  математического и логического мышления учащихся;
• развитие навыков исследовательской деятельности.

Воспитательные:

• обучение задачам с параметрами потребует от учащихся умственных и волевых усилий, развитого внимания;
• воспитание таких качеств,  как  активность, творческая инициатива, умений коллективно-познавательного труда.

Формы обучения:

• индивидуальная и фронтальная работа;
• коллективная (через лекции, практикумы по решению задач, практические работы);
• работа учащихся с использованием современных информационных технологий;
• элементы исследовательской деятельности.

 Методы обучения:  

• объяснительно-иллюстративный;
• репродуктивный;
• частично-поисковый;
• метод проектов.

Основные принципы отбора материала:

• научность;
• доступность;
• системность;
• практическая направленность.

Используются элементы следующих технологий: 

• проблемное обучение;
• личностно-ориентированное обучение;
• обучение с применением опорных схем;
• обучение с применением ИКТ;
• игровое моделирование (дидактические игры, работа в малых группах, работа в парах сменного состава).

Средства обучения:

• печатные пособия (учебники, раздаточный и дидактический материалы);
• наглядные пособия (плакаты, графики, таблицы);
• электронные образовательные ресурсы (мультимедийные средств обучения).

Компьютерное обеспечение

    Применение имеющихся компьютерных продуктов:

• демонстрационный материал;
• тематические презентации;
• тренировочные упражнения, интерактивные тесты;
• электронные учебники;
• физкультминутки;
• ЦОР, ЭОР.

При решении задач с параметрами одновременно активно реализуются основные методические принципы:

• принцип параллельности – следует постоянно держать в поле зрения несколько тем, постепенно продвигаясь по ним вперед и вглубь;
• принцип вариативности – рассматриваются различные приемы и методы решения с различных точек зрения: стандартность и оригинальность, объем вычислительной и исследовательской работы;
• принцип самоконтроля – невозможность подстроиться под ответ вынуждает делать регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач;
• принцип регулярности – увлеченные математикой дети с удовольствием дома индивидуально исследуют задачи, т. е. занятия математикой становятся регулярными, а не от случая к случаю на уроках;
• принцип последовательного нарастания сложности -  от простого к  сложному. Применяется технология модульного обучения. На первом этапе идет изучение нового материала, на втором –  рассмотрение теоретических вопросов и  задач, которые вызвали наибольшие затруднения  - «урок общения», на третьем – закрепление, на четвертом – контроль.

На каждом занятии предусматривается  комплексный подход:

1. теоретическая часть (упорядоченные сведения об уравнениях и неравенствах с параметром, способах их решения и обоснование).
2. практическая часть (задачи различных типов, разного уровня сложности, предназначенные для индивидуальной, парной, групповой и коллективной форм работы).

Значительное место отводится самостоятельной математической деятельности учащихся – решению задач, проработке теоретического материала, подготовке сообщений, презентаций. Особое внимание на занятиях уделяется организации научно-исследовательской деятельности учащихся и формированию у них умения конструировать задания.

Особенности: большую роль в обучении должны сыграть современные информационные технологии и информационные системы. Учащимся будут предложены разные формы познавательной и исследовательской деятельности, итогом которых станет образовательный продукт: доклад, реферат, проект, публикация.

Форма итогового контроля:

• итоговое тестирование;
• защита реферата,   проекта;
• презентация учебных проектов (индивидуальные, групповые, коллективные);
• создание публикации;
• хорошие результаты на  олимпиадах.

Критерии оценки

Работа учащихся оценивается следующим образом:

• зачет
• незачет

Требования к уровню подготовки (Результаты обучения)

В результате изучения учащийся

знает:

• понятие параметра;
• что значит решить уравнение с параметром, неравенство с параметром, систему уравнений и неравенств с параметром;
• основные способы решения различных уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств с параметром (линейных и квадратных);
• алгоритмы решений задач с параметрами;
• зависимость количества решений неравенств, уравнений и их систем от значений параметра свойства решений уравнений, неравенств и их систем;
• свойства функций в задачах с параметрами.

умеет:

• определять вид уравнения (неравенства) с параметром;
• выполнять равносильные преобразования;  
• применять аналитический или функционально-графический способы для решения задач с параметром;
• осуществлять выбор метода решения задачи и обосновывать его;
• использовать в решении задач с параметром свойства основных функций;
• выбирать и записывать ответ;
• решать линейные, квадратные уравнения и неравенства; несложные иррациональные, тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства с одним параметром при всех значениях параметра.

владеет:

• анализом и самоконтролем;
• исследованием ситуаций, в которых результат принимает те или иные количественные или качественные формы.

Изучение данного курса дает учащимся возможность:

• повторить и систематизировать ранее изученный материал школьного курса математики;
• освоить основные приемы решения задач;
• овладеть навыками построения и анализа предполагаемого решения поставленной задачи;
• познакомиться и использовать на практике нестандартные методы решения задач;
• повысить уровень своей математической культуры, творческого развития, познавательной активности;
• познакомиться с возможностями использования электронных средств обучения, в том числе Интернет-ресурсов;
• усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств, систем уравнений с параметрами;
• применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр;
• проводить полное обоснование при решении задач с параметрами;
• овладеть исследовательской деятельностью.

 Компетенции при изучении курса.

Познавательные.

• Умение самостоятельно и мотивированно организовывать  свою познавательную деятельность  (от постановки цели до получения и оценки результата).
• Участие в организации и проведении учебно-исследовательской работы. Самостоятельное создание алгоритмов познавательной деятельности для решения задач творческого и поискового характера.
• Создание собственных текстов с использованием разнообразных средств.

Информационные.

• Поиск нужной информации по заданной теме в источниках различного типа.
• Извлечение необходимой информации из текстов, таблиц, графиков.
• Отделение основной информации от второстепенной.
• Передача содержания информации адекватно поставленной цели (сжато, полно, выборочно).
• Развернутое обоснование суждения, приведение обоснования (доказательства), примеров.

Коммуникативные.

• Владение навыками организации и участия в коллективной деятельности; восприятие иных мнений, объективное определение своего вклада в общий результат.
• Оценивание своего поведения в группе, выполнение требований в совместной практической деятельности.
• Умение отстаивать свою точку зрения.
• Развитие готовности к сотрудничеству.

Содержание программы элективного курса

 Первоначальные сведения – 1 час.

Сообщение цели и значения элективного курса. Определение параметра. Теоретические сведения о задачах с параметрами, классификация. Виды уравнений и неравенств, содержащие параметр. Основные методы и приемы решения задач с параметрами. Решение простейших уравнений с параметрами.

Цели: познакомить с понятиями параметр, задача с параметром; формировать осознанный подход к решению задач с параметром; развивать исследовательскую деятельность  учащихся.

Раздел 1. Линейные уравнения, неравенства и их системы с параметрами – 8 часов.

Алгоритм решения линейных уравнений с параметром. Решение линейных уравнений с параметром. Решение уравнений, приводимых к линейным. Решение линейно-кусочных уравнений. Решение линейных неравенств с параметром. Решение линейных неравенств с параметрами с помощью графической интерпретации. Классификация систем линейных уравнений по количеству решений (неопределенные, однозначные, несовместные). Решение систем линейных уравнений с параметром. Решение систем линейных неравенств с параметром.

Цели: ввести алгоритм решения линейных уравнений и неравенств с параметром; формировать умение и навыки решать линейные уравнения, неравенства и их системы с параметром; развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации; развивать умение сравнивать и обобщать закономерности; развивать навыки самостоятельной работы; использовать полученные ранее знания при решении линейных уравнений с дополнительными условиями; формировать умение анализировать и проводить аналогию.

Раздел 2. Квадратные уравнения и неравенства, содержащие параметр – 8 часов.

Понятие и методы решения квадратных уравнений с параметрами. Методы решения уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям с параметрами. Зависимость, количества корней уравнения от коэффициента а и дискриминанта. Решение с помощью графика. Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Решение квадратных уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий к корням уравнения. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции. Решение квадратных уравнений с параметром первого типа («для каждого значения параметра найти все решения уравнения»). Решение квадратных уравнений второго типа («найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям»). Решение неравенств методом интервалов. Нахождение заданного количества решений уравнения или неравенства. Решение квадратных неравенств с параметром первого типа. Решение квадратных неравенств с параметром второго типа. Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений. Системы уравнений и неравенств.

Цели: формировать умение решать квадратные уравнения и неравенства  с параметром; развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации; активизировать познавательную и творческую деятельность; формировать умение решать квадратные уравнения с параметром с помощью теоремы Виета.

Раздел 3. Аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами – 8 часов.

Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами. Использование ограниченной функции, входящую в левую и правую части уравнений и неравенств. Использование симметрии аналитических выражений. Метод решения относительно параметра. Применение равносильных переходов при решении уравнений и неравенств с параметром.

Цели: показать классификацию задач с позиций применения к ним аналитических  и геометрических методов исследования,  формировать умение решать задачи графическим способом, ввести понятие симметрии аналитических выражений и показать применение симметрии при решении уравнений с параметром, формировать умение решать задачи с использованием равносильных переходов.

Раздел 4. Решение различных видов уравнений и неравенств с параметрами - 5 часов.

Решение тригонометрических уравнений, неравенств с параметром. Область значений тригонометрических функций. Решение показательных и логарифмических уравнений, неравенств с параметром. Решение иррациональных уравнений, неравенств с параметром.

Цели: сформировать умение использования свойств  тригонометрических функций при решении тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами,  умение решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметрами, рациональные уравнения, обобщить и систематизировать знания учащихся в ходе решения задач различного типа.

Раздел 5.   Параметр в  заданиях  единого  государственного  экзамена  – 3 часа.

Рассмотрение заданий ЕГЭ, включающих решение уравнений и неравенств с параметром за предыдущие годы. Нетрадиционные задачи с параметром. Практикум по решению задач, относящихся к группе «С», входящих в контрольно измерительные материалы ЕГЭ прошлых лет. Анализ методов решения заданий. Использование экстремальных свойств рассматриваемых функций. От общего к частному и обратно.

Цели: формировать умение решать уравнения и неравенства с параметрами  из контрольно-измерительных материалов ЕГЭ, обобщить и систематизировать знания учащихся.

Итоговое занятие. Защита рефератов, проектов, презентаций и творческих работ – 1 час.

Подведение итогов. Проверка самостоятельных и индивидуальных заданий. Выступления учащихся с рефератами по различным вопросам темы, практическому применению задач с параметрами, проблемам организации эффективной деятельности при решении математических задач разных типов и вопросам саморегуляции. Защита творческих работ и демонстрация презентаций

Цели: закрепить и комплексно применить знаний, полученные в процессе изучения элективного курса,  применить новых информационных технологий, укрепить   уверенность учащихся в своих силах и успешной работе в коллективе.

Примерные темы рефератов:

• Уравнения с параметром в заданиях ЕГЭ.

• Неравенства с параметром в заданиях ЕГЭ.
• Решение квадратичных уравнений и неравенств с параметром в заданиях ЕГЭ.
• Уравнения с параметром в заданиях ГИА.
• Неравенства с параметром в заданиях ГИА.
• Решение квадратичных уравнений и неравенств с параметром в заданиях ГИА.
• Из истории возникновения параметра.
• Исследование и решение систем линейных уравнений.
• Теоремы, связанные с расположением корней квадратного трехчлена.
• Решение более сложных неравенств с параметрами.
• Исследование и решение неравенств II степени с параметрами.

• Исследование неравенств с параметрами c начальным условием.
• Решения задач с параметрами из ЕГЭ.

Темы  проектов для исследовательской  работы:

• Параметр в системах уравнений.
• Параметр в системах неравенств.

Критерии оценки реферата:
• новизна авторского текста (самостоятельность в постановке проблемы и формулировании нового аспекта известной проблемы);
• соответствие реферата теме;
• глубина и полнота раскрытия темы;
• адекватность передачи первоисточника;
• логичность, связность;
• доказательность;
• структурная упорядоченность (наличие введения, основной части, заключения, их оптимальное соотношение);
• оформление (наличие плана, списка литературы, культура цитирования, сноски и т. д.),
• языковая правильность.

Учебно-тематический  план

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

для учителя:

1. Айвазян Д.Ф. Математика. 10 – 11 классы. Решение уравнений и неравенств с параметрами: элективный курс / авт.-сост. Д.Ф. Айвазян. – Волгоград: Учитель, 2009.
2. Амелькин В.В. Задачи с параметрами  / В. В. Амелькин, В. Л. Рабцевич. – М.: Асар, 1996.
3. Беляев С.А. Задачи с параметрами: методическая разработка для учащихся Заочной школы «Юный математик» при ВЗМШ и МЦНМО. – М.: МЦНМО, 2009.
4. Васильева В. Уравнения и системы уравнений с параметром: применение понятия «пучок прямых на плоскости»  / В. Васильева, С. Забелина // Математика. – 2002.  №4. - с. 20-22.
5. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2005.
6. Дорофеев В.Ю. Пособие по математике для поступающих в СПбГУЭФ. – СПб: Изд-во СПбГУЭФ, 2003.
7. Дорофеев Г.В. Решение задач, содержащих параметры. Ч. 2 / Г. В. Дорофеев, В. В. Затакавай. – М.: Перспектива, 1990.-с. 2-38.
8. Дубич С. Линейные и квадратные уравнения с параметрами : 9 класс / С. Дубич // Математика. – 2001. №36. -с. 28-31.
9. Егерман Е. Задачи с параметрами. 7-11 классы  / Е. Егерман // Математика. – 2003. №1 -с. 18-20.
10. Егерман Е. Задачи с параметрами. 7-11 классы  / Е. Егерман // Математика. – 2003. №2. -с. 10-14.
11. Карасев В. Решение задач с параметрами  / В. Ка-расев, Г. Левшина, И. Данченков // Математика. – 2005. №4. -с. 38-44.
12. Косякова Т. Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры  / Т. Косякова // Математика. – 2002. №22. -с. 15-18.
13. Косякова Т. Решение линейных уравнений и систем линейных уравнений, содержащих параметры  / Т. Косякова // Математика. – 2001. №38. -с. 5-9.
14. Крамор В. С. Примеры с параметрами и их решение : пособие для поступающих в вузы / В.С. Крамор. - М.: АРКТИ, 2000.-с. 48.
15. Креславская О. Задачи с параметром в итоговом повторении  / О. Креславская // Математика. – 2004. №18. -с. 23-27.
16. Креславская О. Задачи с параметром в итоговом повторении  / О. Креславская // Математика. – 2004. №19. –с. 23-27
17. Кривчикова Э. Тема «Уравнения и системы уравнений» в курсе алгебры 11 класса  / Э. Кривчикова // Математика. – 2004. №37.-с. 18-37.
18. Легошина С. Решение неравенств первой и второй степени с параметрами  / С. Легошина // Математика. – 2000. №6.-с. 15-17.
19. Малинин В. Уравнение с параметрами : графический метод решения // Математика. – 2003. №29. -с. 12-15.
20. Мордкович А.Г. Решаем уравнения. – М.: Школа-Пресс, 1995.
21. Окунев А.А. Графическое решение уравнений с параметрами  / А. А. Окунев. – М.: Школа-Пресс, 1986.
22. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения: Справочник. – М.: Изд-во Факториал, 1997.
23. Письменский Д. Т. Математика для старшеклассников / Д. Т. Письменский. – М.: Айрис, 1996.
24. Сканави М.И. Полный сборник задач для поступающих в ВУЗы. Группа повышенной сложности / Под редакцией  М.И. Сканави. – М.: ООО «Издательство «Мир и образование»: Мн.: ООО «Харвест», 2006. – 624 с.: ил.
25. Цыганов Ш. Квадратные трехчлены и параметры / Ш. Цыганов // Математика. – 1999. №5. -с. 4-9.
26. Шабунин М.И., Уравнения и системы уравнений с параметрами / Математика в школе. – 2003. №7. -с. 10-14.
27. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач : учебное пособие для 10 класса средней школы / И. Ф. Шарыгин. – М.: Просвещение, 1989. – 252 с.
28. Шахмейстер А.Х. Задачи с параметрами в ЕГЭ. – СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2004.

для ученика:

1. Амелькин В.В., Рабцевич И.Л. « Задачи с параметрами» , Минск, «Асар».1996г.
2. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч.: задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
3. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч.: задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
4. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы : задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская; под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2006.
5. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы : учебник для  общеобразовательных  учреждений / А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2006.
6. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике 10-11 класс, Москва, «Просвещение».1989 г.
7. Шахмейстер А.Х. « Задачи с параметрами в ЕГЭ».С.-Петербург, 2004г.
8. Г.А. Ястребинецкий «Уравнения и неравенства с параметрами», Москва, «Просвещение», 1972 г.
9. Сборники для подготовки к ЕГЭ 2005-2014 год
10. Различные издания Федерального института педагогических измерений для подготовки к итоговой аттестации в форме ЕГЭ.
11. ЕГЭ 2013. Математика. Типовые тестовые задания /под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2013.

Интернет-ресурс

1. www.edu - "Российское образование" Федеральный портал.

2. www.school-collection.edu.ru/ Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов
3. www.it-n.ru"Сеть творческих учителей"

4. www .festival.1september.ru   Фестиваль педагогических идей "Открытый урок"  

5. Интернет портал PROШколу.ru  http://www.proshkolu.ru/club/maths/file2/322771/