Задания, используемые при изучении темы "Несовместные события" и при подготовке к ЕГЭи ГИА
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме

Несовместные события.
Формула сложения вероятностей

Определение. События называют несовместными, если они не могут происходить одновременно в одном и том же испытании.

Несовместимыми  (несовместными)  называют события, если наступление одного из них исключает наступление других

Пример: 1) В результате одного выбрасывания выпадает

                орел (событие А) или решка (событие В).

      События А и В - несовместны.

     2) В результате двух выбрасываний выпадает

                  орел (событие А) или решка (событие В).

                  События А и В - совместны. Выпадение орла в первый раз

                   не исключает выпадение решки во второй.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий  А и В (появления хотя бы одного события) равна сумме вероятностей этих событий: P(A+ B) = P (A) + P(B).

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий  А и Ã равна 1:

P(A) + P(Ã)=1.

1. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решeние: А= (достался  вопрос на тему «Внешние углы»)

                 В = (достался  вопрос на тему «Вписанная окружность») события несовместны, вместе не происходят, по формуле сложения

                     Р = Р (А) + Р (В) = 0,35+0,2 =0,55

Ответ: 0,55.

2. Пусть в коробке находится 20 шаров: 10 белых, 4 красных и 6 зелёных. Из коробки наугад вынимают один шар. Найдите вероятность того, что шар оказался цветным (красным или зелёным).

Решeние: А= (шар оказался красным)

                 В = (шар оказался зелёным) события несовместны, вместе не происходят, по формуле сложения

                     Р = Р (А) + Р (В)  + =0,5

Ответ: 0,5.

3. На карточках написаны натуральные числа от 1 до 10 включительно, после чего карточки перевернули и перемешали. Затем наугад открыли одну карточку. Какова вероятность того, что на ней будет написано простое число или число, большее 7?

Решeние: А= (на карточке написано простое число: 2,3,5,7)

                 В = (на карточке написано число больше 7:8,9,10) события несовместны, вместе не происходят, по формуле сложения

                     Р = Р (А) + Р (В) =0,4+0,3 =0,7

Ответ: 0,7.

4. В денежно-вещевой лотерее на 100 000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность какого-либо выигрыша?

Решeние: А= (выигрыш  оказался вещевым)

                 В = (выигрыш оказался денежным) события несовместны, вместе не происходят, по формуле сложения

                     Р = Р (А) + Р (В) = 0,012+0,008 =0,02

Ответ: 0,02.

5. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую — 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Решeние: А= (стрелок попал в первую область)

В = (стрелок попал во вторую область), события несовместны, вместе не происходят, по формуле сложения                                                  

   Р  = Р (А) + Р (В) = 0,45 + 0,35 = 0,80.                                                                    Ответ: 0,8

6. При стрельбе в мишень вероятность выбить десять очков равна 0.2, а вероятность выбить девять очков равна 0.5. Чему равна вероятность  выбить не менее десяти очков?                                                Решение: случайное  событие А  =(выбить  десять очков),       В =(выбить девять очков) и  (А + В ) =(выбить не менее девяти очков).  Так как случайные события А и B несовместимы, то по формуле сложения          Р  = Р (А) + Р (В) = 0,2 + 0,5 = 0,7.                                                          Ответ: 0,7
7. Человек купил лотерейный билет. Вероятность выиграть 500 рублей составляет 0,05; 1000 рублей — 0,03; 2000 рублей — 0,01. Какова вероятность хотя бы одного из этих выигрышей?                                       Решение: случайное  событие А  =(выиграть 500 рублей),       В =(выиграть 1000 рублей), С =(выиграть 2000 рублей).  События несовместны, вместе не происходят,  то по формуле сложения:                                                                    Р  = Р (А) + Р (В)+ Р (С) = 0,05 + 0,03 + 0,01 = 0,09.                                                          Ответ: 0,09.
8.  Вероятность того, что в магазине будет продана пара мужской обуви 44-го размера, равна 0,12; 45-го — 0,04; 46-го и большего — 0,01. Найти вероятность того, что будет продана пара мужской обуви не меньше 44-го размера.

Решение. Искомое событие произойдет, если будет продана пара обуви 44-го размера (событие ) или 45-го (событие ), или не меньше 46-го (событие ), т. е. событие есть сумма событий . События , и несовместны. Поэтому согласно теореме о сумме вероятностей получаем 

Р  = Р (А) + Р (В) + Р С) = 0,12 + 0,04 +0,01=0,17

Ответ:0,17

9.  Студент отправляется на экзамен. Вероятности получить 5, 4, 3 и 2 равны, соответственно, 0,1; 0,2; 0,3 и 0,4. Какова вероятность, что студент получит оценку не ниже четверки?

Решение. случайное  событие А  =( он получит 5),       В =(  он получит 4). Событие, что студент получит за экзамен не ниже четверки, есть сумма двух несовместных событий. По формуле вероятности суммы нескольких несовместных событий получим:

Р  = Р (А) + Р (В) =0,1+0,2=0,3 .

Ответ: 0,3

10.  Военный летчик получил задание уничтожить 3 рядом расположенных склада боеприпасов противника. На борту самолета одна бомба. Любое попадание в результате детонации вызывает взрыв и остальных складов. Вероятность попадания в первый склад 0,01, во второй — 0,008, в третий —0,025.                                                                                                                         Решение: Какова вероятность того, что склады противника будут уничтожены?
    обозначим события: А — «склады уничтожены»,
    А1 — «попадание в первый склад»,
    А2 — «попадание во второй склад»,
    А3 — «попадание в третий склад».
    Для уничтожения складов достаточно попадания в один из упомянутых трех складов.
    Р (А) = Р (А1) + Р (А2) + Р (А3) = 0,01 + 0,008 + 0,025 =  0,043.
    Ответ: 0,043.
11. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение.

Обозначим через А событие «чайник прослужит меньше двух лет, но больше года», через В событие «чайник прослужит не меньше двух лет». События А и В несовместны. Событие С «чайник прослужит больше года» является их суммой C = A + B .

Из условия задачи следует, что вероятности P(B) = 0,89 и P(C)=0,97 . По формуле сложения вероятностей несовместных событий имеем Р(C) = P(A) + P(B) или

0,97 = P(A)+ 0,89 . Отсюда Р(A) =0.97-0,89=0,08.

Ответ: 0,08.

12. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,35. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется хотя бы в одном автомате.

Решение:

Обозначим через А событие «кофе закончится в первом автомате», через В событие «кофе закончится во втором автомате». Событие С «кофе закончится хотя бы в одном автомате» является их суммой C = A + B . Из условия задачи известны вероятности P(A) = P(B) = 0,35.

По формуле сложения вероятностей имеем: Р(С)=Р(А)+Р(В)

Р(С)=0,35+0,35=0,7

Значит, вероятность противоположного события «кофе останется хотя бы в одном автомате» равна 1-0,7=0,3.

Ответ: 0,3.

13. На тарелке 12 пирожков: 3 с мясом, 6 с капустой и 3 с вишней. Наташа наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней или капустой.

Решение:

Обозначим через А событие «пирожок окажется с вишней», через В событие «пирожок окажется с капустой». Событие С «пирожок окажется с вишней или капустой» является их суммой С=А+В.

Всего 12 пирожков из них 3 с вишней, тогда Р(А)=3/12=0,25

Всего 12 пирожков из них 6 с капустой, тогда Р(В) =6/12=0,5

По формуле сложения вероятностей Р(С)=Р(А)+Р(В)

Р(С)=0,25+0,5=0,75

Ответ: 0,75.

14. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет хотя бы один раз.

Решение:

Обозначим через событие А «гроссмейстер А. выиграет белыми», через событие В «гроссмейстер А. выиграет черными». Так как играют две партии, и меняются фигурами во второй, следовательно, гроссмейстер А. сыграет и былыми и черными. Тогда событие С «гроссмейстер А. выиграет хотя бы один раз» является суммой событий А и В. Из условия задачи вероятности Р(А)=0,52; Р(В)=0,3

По формуле сложения вероятностей Р(С)=Р(А)+Р(В)

Р(С)=0,52+0,3=0,82

Ответ: 0,82

15. В тире имеется пять винтовок, вероятности попадания из которых соответственно равны 0,5, 0,6, 0,7, 0,8 и 0,9. Стрелок берет наудачу одну из винтовок. Найти вероятность попадания в цель.

Решение.

Обозначим через событие А «стрелок попадет в цель», через событие Нi «выбирает винтовку i» . Тогда Вероятность выбора одной из винтовок Р(Нi) равна 1/5.

Р(А/Нi) - вероятность того что стрелок попадет в цель из i-ой винтовки .

Р(А)=Р(А/Н1)+Р(А/Н2)+Р(А/Н3)+Р(А/Н4)+Р(А/Н5)=1/5×0,5+1/5×0,6+1/5×0,7+1/5×0,8+1/5×0,9=1/5×(0,5+0,6+0,7+0,8+0,9)=1/5×3,5=0,7

Ответ: 0,7.

16. Найти вероятность того что при бросании игральной кости выпадет "тройка" или "шестерка".

Решение. 

Событие А - выпадет "3", вероятность события А находим по формуле классической вероятности: p(A)=1/6.

Событие B - выпадет "6", вероятность события B также находим по формуле классической вероятности: p(B)=1/6.

Вероятность того что при бросании игральной кости выпадет "тройка" или "шестерка" находим по формуле сложения вероятностей:

p(A+B)=p(A)+p(B)=1/6+1/6=2/6=1/3

Ответ: 1/3