Методическая разработка по теме: Математические понятия, предложения
методическая разработка по алгебре по теме

Министерство образования и науки Российской Федерации

Департамент общего и профессионального образования

Брянской области

ГОУ СПО «Суражский педагогический колледж им. А.С. Пушкина»

Методическая разработка по теме:

Математические понятия, предложения

Составил

преподаватель математики

Прирез Н.П.

2010 г.

Пояснительная записка

Главная цель данной темы состоит в передаче студентам определенной системы знаний по обоснованию основных понятий начального курса математики. Изучение темы должно способствовать воспитанию определенной математической культуры будущего учителя, способного создать для младших школьников определенную базу знаний, необходимых им для дальнейшего изучения математики. Изучение темы должно носить профессионально-педагогическую направленность, на основе установления связи математики и методики преподавания математики.

Изучение темы «Математические понятия, предложения» поможет будущему учителю вести работу по формированию у младших школьников элементарных логических представлений и умений. Поэтому в процессе изучения данной темы у студентов педколледжа должны быть сформированы умения анализировать логическую структуру определений, правильно строить отрицание различных высказываний, проводить и анализировать несложные рассуждения. Изучение материала темы должно также способствовать углублению представлений о логическом строении математики.

Студенты должны знать

1. Определение всех математических понятий.
2. Структуру определения понятия через род и видовое отличие.
3. Определение начальных геометрических понятий, изучаемых в школьном курсе математики.
4. Смысл слов «и», «или», «не» в составных высказываниях.

Студенты должны уметь

1. Анализировать структуру определений.
2. Правильно строить отрицания различных высказываний.
3. Анализировать простейшие конкретные рассуждения и находить ошибки в рассуждениях.  

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

Понятия, которые изучаются в начальном курсе математики, обычно представляют в виде четырех групп. В первую очередь включаются понятия, связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше и др. Во-вторых, входят алгебраические понятия: выражение, равенство, уравнение и др. Третью составляют геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и т.д. Четвертую группу образуют понятия, связанные с величинами и их измерением.

Как же изучать такое обилие самых разных понятий?

Прежде всего, надо иметь представление о понятии как логической категории и особенностях математических понятий.

В логике понятия рассматривают как форму мысли, отражающую объекты (предметы или явления) в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово или группа слов.

Составить понятие об объекте - это значит уметь отличить его от других сходных с ним объектов. Математические понятия обладают рядом особенностей. Главное заключается в том, что математические объекты, о которых необходимо составить понятие, в реальности не существуют. Математические объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура».

Результатом абстрагирования являются и такие математические понятия, как «число» и «величина».

Вообще математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.

К сказанному можно добавить, что, изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира, математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс. В математике рассматривают не только понятия, появившиеся при изучении реальных предметов, но и понятия, возникшие на основе первых. Например, общее понятие функции как соответствия является обобщением понятий конкретных функций, т.е. абстракцией от абстракций.

Чтобы овладеть общими подходами к изучению понятий в начальном курсе математики, учителю необходимы знания об объеме и содержании понятия, об отношениях между понятиями и о видах определений понятий.

Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали. Можно указать и другие его свойства.

Среди свойств объекта различают существенные и несущественные. Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Например, для квадрата существенными являются все свойства, названные выше. Несущественно для квадрата ABCD свойство «сторона AD горизонтальна». Если квадрат повернуть, то сторона AD окажется расположенной по-другому. Поэтому, чтобы понимать, что представляет собой данный математический объект, надо знать его существенные свойства.

Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином (словом или группой слов). Так, говоря о квадрате, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».

Вообще объем понятия - это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.

Любое понятие имеет не только объем, но и содержание.

Содержание понятия - это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.

Рассмотрим, например, понятие «прямоугольник».

Объем понятия - это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т.д.

Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот. Так, например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник» («все стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны» и др.).

Любое понятие нельзя усвоить, не осознав его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться понятия, и уметь устанавливать эти связи.

Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами, т.е. множествами.

Условимся понятия обозначать строчными буквами латинского алфавита: a, b, c,…, z.

Пусть заданы два понятия a и b. Объемы их обозначим соответственно А и В.

Если A  B (А  В), то говорят, что понятие а - видовое по отношению к понятию b, а понятие b - родовое по отношению к понятию а.

Например, если а - «прямоугольник», b - «четырехугольник», то их объемы A и B  находятся в отношении включения A  B и  (А  В), поскольку всякий прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» - видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» - родовое по отношению к понятию «прямоугольник».

Если A = B, то говорят, что понятия a и b тождественны.

Например, тождественны понятия «равносторонний треугольник» и «равноугольный треугольник», так как их объемы совпадают.

Рассмотрим подробнее отношение рода и вида между понятиями. Во-первых, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» - родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».

Во-вторых, для данного понятия часто молено указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовыми являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее. Для понятия «прямоугольник» ближайшим является понятие «параллелограмм».

В-третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.

Так как объем понятия - множество, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера.

Установим, например, отношения между следующими парами понятий a и b, если:

1) а - «прямоугольник», b - «ромб»;

2) а - «многоугольник», b - «параллелограмм»;

3) а - «прямая», b - «отрезок». В случае 1) объемы понятий пересекаются, но

не одно множество не является подмножеством другого. Следовательно, можно утверждать, что данные понятия а и b не находятся в отношении рода и вида.

В случае 2) объемы данных понятий находятся в отношении включения, но не совпадают - всякий параллелограмм является многоугольником, но не наоборот. Следовательно, можно утверждать, что понятие «параллелограмм» - видовое по отношению к понятию «многоугольник», а понятие «многоугольник» - родовое по отношению к понятию «параллелограмм».

В случае 3) объемы понятий не пересекаются, так как ни про один отрезок нельзя сказать, что он является прямой, и ни одна прямая не может быть названа отрезком. Следовательно, данные понятия не находятся в отношении рода и вида.

О понятиях «прямая» и «отрезок» можно сказать, что они находятся в отношении целого и части: отрезок - часть прямой, а не ее вид. И если видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия, то часть не обязательно обладает всеми свойствами целого. Например, отрезок не обладает таким свойством прямой, как ее бесконечность.

Определение понятий

Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение.

Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий. Например, прямоугольник можно определить так: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые». В этом определении есть две части - определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если обозначить через а первое понятие, а через b - второе, то данное определение можно представить в таком виде:

а есть (по определению) Ь.

Слова «есть (по определению)» обычно заменяют символом  <=>, и                                                                                                                                                 опр.

тогда определение выглядит так:

а<=>Ь

     опр.

Читают: «а равносильно b по определению». Можно прочитать эту запись еще и так: «а тогда и только тогда, когда b».

Определения, имеющие такую структуру, называются явными. Рассмотрим их подробнее.

Обратимся опять к определению прямоугольника, вернее, к его второй части - определяющему понятию. В нем можно выделить:

1) понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник»,

2) свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид - прямоугольники; поэтому его называют видовым отличием.

Вообще видовое отличие - это свойства (одно или несколько), которые позволяют выделять определяемые объекты из объема родового понятия.

Итоги нашего анализа можно представить в виде схемы

Определяемое понятие <=> Родовое понятие + Видовое отличие – Определяющее понятие

Заметим, что в наглядном представлении структуры определения через род и видовое отличие мы допустили некоторые неточности. Во-первых, слова «родовое понятие» означают, что речь идет о родовом понятии по отношению к определяемому. Во-вторых, не совсем ясно, что означает знак «+», который, как известно, используется для обозначения сложения чисел. Смысл этого знака станет понятным немного позже, когда мы рассмотрим математический смысл союза «и». А пока познакомимся с еще одной возможностью наглядного представления определения через род и видовое отличие. Если определяемое понятие обозначить буквой а, определяющее буквой b, родовое понятие (по отношению к определяемому) - буквой c, а видовое отличие - буквой Р, то определение через род и видовое отличие можно представить так:

а<=>с+Р.             

             b

Нам известно, что любое понятие имеет объем. Если понятие а определено через род и видовое отличие (2), то о его объеме - множестве А - можно сказать, что в нем содержатся такие объекты, которые принадлежат множеству С (объему родового понятия с) и обладают свойством Р:

А = {х|х С и Р (х)}.

Например, если дано определение: «Острым углом называется угол, который меньше прямого», - то объем понятия «острый угол» - это подмножество множества всех углов плоскости, которые обладают свойством «быть меньше прямого».

Так как определение понятия через род и видовое отличие является по существу условным соглашением о введении нового термина для замены какой-либо совокупности известных терминов, то об определении нельзя сказать, верное оно или неверное; его не доказывают и не опровергают. Но, формулируя определения, придерживаются ряда правил. Назовем основные.

1. Определение должно быть соразмерным. Это означает, что объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать. Это правило вытекает из того, что определяемое и определяющее понятия взаимозаменяемы.

Например, несоразмерно такое определение квадрата: «Квадратом называется четырехугольник, у которого все стороны равны». Действительно, объем определяемого понятия - множество квадратов. Объем определяющего понятия - множество четырехугольников, все стороны которых равны, а это множество ромбов. Но не всякий ромб есть квадрат, т.е. объемы определяемого и определяющего понятия не совпадают, и, следовательно, данное определение несоразмерно.

2. В определении (или их системе) не должно быть порочного круга. Это означает, что нельзя определять понятие через само себя (в определяющем не должно содержаться определяемого термина) или определять его через другое, которое, в свою очередь, определять через него. Например, содержат порочный круг определения: «Равные треугольники - это треугольники, которые равны», «Касательная к окружности - это прямая, которая касается окружности».

Так как в математике рассматривают не просто отдельные понятия, а их систему, то данное правило запрещает порочный круг и в системе определений. В соответствии с ним нельзя определять понятие а, выбрав в качестве родового понятия с, а понятие с - через понятие а.

Например, если определить окружность как границу круга, а круг как часть плоскости, ограниченную окружностью, то мы будем иметь порочный круг в определениях данных понятий.

3. Определение должно быть ясным. Это на первый взгляд очевидное правило, но означает оно многое. Прежде всего, требуется, чтобы значения терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия.

Например, нельзя определять прямоугольник как параллелограмм с прямым углом, если понятие «параллелограмм» еще не рассмотрено. К условиям ясности определения относят также рекомендацию включать в видовое отличие лишь столько свойств, сколько необходимо и достаточно для выделения определяемых объектов из объема родового понятия.

Рассмотрим, например, такое определение прямоугольника: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые и противоположные стороны равны».

Нетрудно убедиться в том, что это определение соразмерное и в нем нет порочного круга. Но можно доказать, что свойство «в прямоугольнике противоположные стороны равны» вытекает из свойства «в прямоугольнике все углы прямые». В этом случае считают, что в данном определении прямоугольника второе свойство избыточное.

Таким образом, чтобы определение было ясным, желательно, чтобы оно не содержало избыточных свойств в определяющей части, т.е. таких свойств, которые могут быть выведены из других, включенных в это определение. Однако иногда для простоты изложения это правило нарушают.

Для обеспечения ясности определения важно также наличие понятия, родового по отношению к определяемому. Пропуск родового понятия делает определение несоразмерным. Неприемлемо, например, такое определение квадрата: «Квадрат - это когда все стороны равны».

К сказанному следует добавить, что, формулируя определение, надо стремиться в определяющем указывать не просто родовое по отношению к определяемому понятие, а ближайшее. Это часто позволяет сократить количество свойств, включаемых в видовое отличие.

Например, если для определения квадрата в качестве родового выбрать понятие «четырехугольник», то тогда надо будет включать в видовое отличие два свойства; «иметь все прямые углы» и «иметь все равные стороны». В результате получим определение: «Квадратом называется четырехугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны».

Если же в качестве родового выбрать ближайшее для квадрата родовое понятие - прямоугольник, то получим более короткое определение квадрата: «Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны».

4. Одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая сформулированные выше правила, можно по-разному. Так, квадрат можно определить кап:

а) прямоугольник, у которого соседние стороны равны;

б) прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны;

в) ромб, у которого есть прямой угол;

г) параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые.

Различные определения одного и того же понятия возможны потому, что из большого числа свойств, входящих в содержание понятия, в определение включаются только некоторые. И когда из возможных определений выбирают одно, исходят из того, какое из них проще и целесообразнее для дальнейшего построения теории.

Если же одному и тому же понятию даются, например, два разных определения, то необходимо доказывать их равносильность, т.е. убеждаться в том, что из свойств, включенных в одно определение, вытекают свойства, включенные в другое, и наоборот.

Завершая рассмотрение определений понятий через род и видовое отличие, назовем ту последовательность действий, которую мы должны соблюдать, если хотим воспроизвести определение знакомого понятия или построить определение нового:

1.  Назвать определяемое понятие (термин).

2.  Указать ближайшее родовое (по отношению к определяемому) понятие.

3.  Перечислить свойства, выделяющие определяемые объекты из объема родового, т. е. сформулировать видовое отличие.

4.  Проверить, выполнены ли правила определения понятия (соразмерно ли оно, нет ли порочного круга и т.д.).

При изучении математики в начальных классах определения через род и видовое отличие используют редко. Связано это как с особенностями курса, так и с возможностями детей. Но понятий в начальном курсе математики очень много - об этом мы говорили в самом начале параграфа. Как же их определяют?

При изучении математики в начальной школе чаще всего используют так называемые неявные определения. В их структуре нельзя выделить определяемое и определяющее. Среди них различают контекстуальные и остенсивные.

В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл вводимого понятия. Посредством контекста устанавливается связь определяемого понятия с другими, известными, и тем самым косвенно раскрывается его содержание. Примером контекстуального определения может быть определение уравнения и его решения, такое как. Здесь после записи         + 6 = 15 и перечня чисел 0, 5, 9, 10 идет текст: «К какому числу надо прибавить 6, чтобы получилось 15? Обозначим неизвестное число латинской буквой  х (икс):

х + 6 = 15 - это уравнение.

Решить уравнение - значит найти неизвестное число. В данном уравнении неизвестное число равно 9, так как 9 + 6 = 15.

Объясни, почему числа 0, 5 и 10 не подходят?».

Из приведенного текста следует, что уравнение - это равенство, в котором есть неизвестное число. Оно может быть обозначено буквой х и это число надо найти. Кроме того, из этого текста следует, что решение уравнения - это число, которое при подстановке вместо х обращает уравнение в верное равенство.

Остенсивные определения - это определения путем показа. Они используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают. Например, таким способом можно определить в начальной школе понятия равенства и неравенства:

2*7 > 2*6                                9*3 = 27

78-9 < 78                                6*4 = 4*6

37 + 6>37                               17-5 = 8 + 4

Это неравенства.                    Это равенства.

Остенсивные определения, как и контекстуальные, характеризуются некоторой незавершенностью. Действительно, определение посредством показа не выделяет числовые равенства (неравенства) из других предложений, в нем не указываются свойства, характерные для данных понятий. Они только связывают термины с определяемыми объектами. Поэтому после контекстуального или остенсивного определения понятия необходимо дальнейшее изучение свойств так определенных объектов.

Основные выводы

Изучив материал этого параграфа, мы уточнили свои представления о математических понятиях:

- это понятия об идеальных объектах;

- каждое математическое понятие имеет название (термин), объем и содержание;

- математические понятия могут находиться в отношении рода и вида, если их объемы находятся в отношении включения, но не совпадают;

- математические понятия могут быть тождественными, если их объемы совпадают;

- понятиям дают определения; они могут быть явными и неявными; к неявным относят контекстуальные и остенсивные определения; среди явных чаще всего используются определения через род и видовое отличие;

- при воспроизведении или конструировании определений через род и видовое отличие необходимо соблюдать ряд правил: определение должно быть соразмерным, в нем не должно быть порочного круга, оно должно быть ясным.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ

Изучая реальные процессы, математика описывает их, используя как естественный словесный язык, так и свой символический. Описание строится при помощи предложений. Но чтобы математические знания были достоверными, правильно отражали окружающую нас реальность, эти предложения должны быть истинными.

Но как узнать, истинное или ложное знание заключено в том или ином математическом предложении? На этот и другие вопросы, с ним связанные, мы попытаемся ответить в данном параграфе. А сейчас только заметим, что каждое математическое предложение характеризуется содержанием и логической формой (структурой), причем содержание неразрывно связано с формой, и нельзя осмыслить первое, не понимая второго. В связи с этим изучение математических предложений в главе «Элементы логики» будет в основном связано с раскрытием логической структуры математических предложений.

Высказывания и высказывательные формы

Относительно понятий и отношений между ними можно высказывать различные суждения. Языковой формой суждений являются повествовательные предложения. Например, в начальном курсе математики! можно встретить такие предложения:                                                 

1) число 12 - четное;                                                                   

2) 2 + 5 > 8;                                                                                 

3) х + 5 = 8;                                                                                 

4) В числе 15 один десяток и 5 единиц;                                           

5) От перестановки множителей произведение не изменяется;         

6) Некоторые числа делятся на 3. 

Видим, что предложения, используемые в математике, могут быть записаны как на естественном (русском) языке, так и на математическом, с использованием символов. Далее, о предложениях 1, 4, 5 и 6 можно сказать, что они несут верную информацию, а предложение 2 - ложную.  Относительно предложения х + 5 = 8 вообще нельзя сказать: истинное оно или ложное. Взгляд на предложение с позиции - истину или ложь оно нам сообщает - привел к понятию высказывания.

(Определение. Высказыванием в математике называют предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно.                                                                                         

Например, предложения 1, 2, 4, 5 и 6, приведенные выше, есть высказывания, причем предложения 1, 4, 5 и 6 - истинные, а 2 - ложное.

Высказывания принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, ... ,Z. Если высказывание А истинно, то записывают: А - «и», если же высказывание А - ложно, то пишут: А - «л».

«Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, быть одновременно тем и другим оно не может.

Предложение х + 5 = 8 не является высказыванием, так как о нем нельзя сказать: истинно оно или ложно. Однако при подстановке  конкретных значений переменной х оно обращается в высказывание: истинное или ложное. Например, если х = 2, то 2 + 5 = 8- ложное высказывание, а при х = 3 оно обращается в истинное высказывание 3 + 5 = 8. Предложение х + 5 = 8 называется высказывательной формой. Оно порождает множество высказываний одной и той же формы.

По числу переменных, входящих в высказывательную форму, различают одноместные, двухместные и т.д. высказывательные формы обозначают: А(х), А(х, у) и т.д. Например, х + 5 = 8 - одноместная высказывательная форма, а предложение «Прямая х параллельна прямой у» - двухместная.                                                                           

Следует иметь в виду, что в высказывательной форме переменные  могут содержаться неявно. Например, в предложениях: «число четное», «две прямые пересекаются» переменных нет, но они подразумеваются: «Число х - четное», «Две прямые х и у пересекаются».

Задание высказывательной формы, как правило, предполагает и задание того множества, из которого выбираются значения переменной (переменных), входящей в высказывательную форму. Это множество называется областью определения высказывательной формы. Например, неравенство х > 5 можно рассматривать на множестве натуральных чисел, а можно считать, что значение переменной х выбирается из множества действительных чисел. Тогда в первом случае областью определения неравенства х > 5 будет множество натуральных чисел, а во втором - множество действительных чисел.

Дадим определение одноместной высказывательной формы (понятие высказывательной формы, содержащей две и более переменных, определяется аналогично).

Определение. Одноместной высказывательной формой, заданной на множестве X, называется предложение с переменной, которое обращается в высказывание при подстановке в него значений переменной из множества X.

Среди всех возможных значений переменной нас в первую очередь интересуют те, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание. Множество таких значений переменных называют множеством истинности высказывательной формы. Например, множеством истинности высказывательной формы х > 5, заданной на множестве действительных чисел, будет промежуток (5; ). Множество истинности высказывательной формы х + 5 = 8, заданной на множестве целых неотрицательных чисел, состоит из одного числа 3.

Условимся обозначать множество истинности высказывательной формы буквой Т. Тогда, согласно определению, всегда ТХ.

Предложения (высказывания и высказывательные формы), которые мы рассматривали, были простыми, но можно привести примеры суждений, языковой формой которых будут сложные предложения. Например: «Если треугольник равнобедренный, то углы при основании в нем равны». Естественно возникает вопрос: как определить значение истинности таких высказываний и находить множество истинности таких высказывательных форм?

Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо познакомиться с некоторыми логическими понятиями.

В логике считают, что из двух данных предложений можно образовать новые предложения, используя для этого союзы «и», «или», «если ..., то ...», «тогда и только тогда, когда» и др. С помощью частицы «не» или словосочетания «неверно, что» можно из данного предложения получить новое.

Слова «и», «или», «если ..., то ...», «тогда и только тогда, когда», а также частицу «не» (слова «неверно, что») называют логическими связками. Предложения, образованные из других предложений с помощью

логических связок, называют составными. Предложения, не являющиеся составными, называют элементарными. Приведем примеры составных предложений:

1) Число 28 четное и делится на 7. Это предложение образовано из двух элементарных: «число 28 четное», «число 28 делится на 7» с помощью логической связки «и».

2) Число х меньше или равно 8. Это предложение образовано из двух элементарных: «число х меньше 8», «число х равно 8» с помощью логической связки «или».

3) Число 14 не делится на 4.

Это составное высказывание образовано из предложения «число 14 делится на 4» с помощью частицы «не».

Вы, наверное, уже обратили внимание на то, что все три предложения, являясь с логической точки зрения составными, по своей грамматической структуре - простые. Не всегда, но так бывает: простое  предложение по своей логической структуре может быть составным. А как определять значение истинности составного высказывания? Например, истинно или ложно высказывание: «число 28 делится на 7 и на 9»? Элементарное высказывание «число 28 делится на 7», входящее в составное, истинное - это известно из начального курса математики. Второе элементарное высказывание «число 28 делится на 9» - ложное (и это нам известно). А каким будет в этом случае значение истинности составного высказывания, образованного из этих высказываний с помощью союза «и»? Ответить на этот вопрос можно, если знать смысл этого союза. Но так как составные высказывания образуются с помощью и других логических связок, то возникает необходимость в уточнении их смысла.                                   

Кроме того, уточнение смысла используемых в математике связок обусловлено их неоднозначным толкованием в обыденной речи, что может привести к неоднозначному ответу при нахождении значения  истинности составных высказываний.                                                 

Итак, значение истинности элементарного высказывания определяют, исходя из его содержания с опорой на известные знания. Чтобы  определить значение истинности составного высказывания, надо знать смысл логических связок, с помощью которых оно образовано из элементарных, и уметь выявлять логическую структуру высказывания. Для выявления логической  структуры  составного  предложения нужно установить:                                                                               

1) из каких элементарных предложений образовано данное составное предложение;                                                                                 

2) с помощью каких логических связок оно образовано.                     

Выявим, например, логическую структуру предложения «Если углы вертикальные, то они равны». Оно состоит из двух элементарных  

предложений: предложения А - «углы вертикальные» и предложения В -углы равны». Соединены они в одно составное предложение с помощью логической связки «если ..., то ...». Говорят, что данное составное предложение имеет логическую структуру (форму): «если А, то В».

Конъюнкция и дизъюнкция высказываний

Выясним смысл, который имеет в математике союз «и». Пусть А и В - произвольные высказывания. Образуем из них с помощью союза «и» составное высказывание. Полученное высказывание называют конъюнкцией и обозначают  (читают: «А и В»).

(Определение. Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно. Определение конъюнкции можно записать с помощью таблицы, называемой таблицей истинности.

Конъюнкция - от лат. eonjunctio - «единение». Дизъюнкция - от лат. disjunctio - «разделением

Используя данное определение, найдем значение истинности выскакивания «число 28 делится на 7 и на 9», которое, как было установлено раньше, состоит из двух элементарных высказываний, соединенных союзом «и», т.е. является конъюнкцией. Так как первое высказывание истинно, а второе ложно, то, согласно определению конъюнкции, высказывание «число 28 делится на 7 и на 9» будет ложным.

Заметим, что данное определение конъюнкции не расходится с общепринятым пониманием союза «и». Действительно, если мы знаем, что каждое из предложений «сегодня идет снег» и «сегодня холодно» истинно, то мы будем считать истинным и предложение «сегодня идет снег и холодно». Если же одно из этих предложений или оба будут ложными, то и все предложение «сегодня идет снег и холодно» мы будем считать ложным.

Заметим также, что в обыденной речи конъюнкция может выражаться не только с помощью союза «и», но и другими, например, «а», «но», «однако», «не только..., но и ...». Например: «Число 15 делится не только на 3, но и на 5».

Выясним теперь, какой смысл имеет в математике союз «или».

Пусть А к В - произвольные высказывания. Образуем из них с помощью союза «или» составное высказывание. Полученное высказывание называют дизъюнкцией и обозначают A v В (читают: «А или В»).

 Определение. Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание A v В, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны.

Таблица истинности дизъюнкции имеет вид:

Используя данное определение, найдем значение истинности высказывания «число 28 делится на 7 или на 9». Так как это предложение является дизъюнкцией двух высказываний, одно из которых истинно, то, согласно определению, оно истинно.

Из определения дизъюнкции следует, что в математике союз «или» используется как неразделительный, т.е. допускается возможность одновременного выполнения обоих условий. Так, высказывание «15 кратно 3 или 5», согласно определению, считается истинным, поскольку оба высказывания «15 кратно 3» и «15 кратно 5» истинны.

Образование составного высказывания с помощью логической связки называется логической операцией. Операция, соответствующая союзу «и», называется конъюнкцией; операция, соответствующая союзу «или», - дизъюнкцией. Заметим, что названия логических операций и их результаты (составные предложения) называются одинаково.

Определения конъюнкции и дизъюнкции можно обобщить на t составляющих их высказываний.

Конъюнкцией t высказываний называется предложение вида А1^А2 ^ ... ^ Аt которое истинно тогда и только тогда, когда истинны все составляющие его высказывания.

Дизъюнкцией t высказываний называется предложение вида A1vA2v  ... v At, которое ложно тогда и только тогда, когда ложны все составляющие его высказывания.                                                                   

Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм

В математике рассматривают не только конъюнкцию и дизъюнкцию высказываний, но и выполняют соответствующие операции над высказывательными формами.

Конъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(x), заданных на множестве X, обозначают А(х) ^ В(х). С появлением этого предложения возникает вопрос, как найти его множество истинности, зная множества истинности высказывательных форм А(х) и В(х). Друг ими словами, при каких значениях х из области определения X высказывательная форма А(х) ^ В(х) обращается в истинное высказывание? Очевидно, что это возможно при тех и только тех значениях х, при которых обращаются в истинное высказывание обе высказывательные формы А(х) и В(х). Если обозначить ТА - множество истинности предложения А(х), Тв - множество истинности предложения В(х), а множество истинности их конъюнкции ТА^В, то, по всей видимости,

 TА^В   ТA Тв.

Докажем это равенство.

1.  Пусть а - произвольный элемент множества X и известно, что а е ТА^В. По определению множества истинности это означает, что высказывательная форма А (х) ^ В(х) обращается в истинное высказывание при х = а, т.е. высказывание А (а) л В(а) истинно. Так как данное высказывание конъюнкция, то, по определению конъюнкции, получаем, что каждое из высказываний А (а) и В(а) также истинно. Это означает, что a ТА и а  Тв. Следовательно, по определению пересечения множеств, а ТАaТв. Таким образом, мы показали, что ТА^В ТА  ТВ.

2.  Докажем обратное утверждение. Пусть а - произвольный элемент множества X и известно, что а  ТА  Тв. По определению пересечения множеств это означает, что аТА и a ТВ, откуда получаем, что А(а) и В(а) - истинные высказывания, поэтому конъюнкция высказываний А(а) и В(а) также будет истинна. А это означает, что элемент а принадлежит множеству истинности высказывательной формы А(х)В(х),т.е . а е ТА^В. Таким образом, мы доказали, что ТАТв  ТА^B.

Из 1 и 2 в силу определения равных множеств вытекает справедливость равенства ТА^В = ТА ТВ, что и требовалось доказать.

Заметим, что полученное правило справедливо и для высказывательных форм, содержащих более одной переменной.

Приведем пример использования этого правила. Найдем множество истинности конъюнкции двух неравенств 2х > 10 и 4 + х < 12, т.е. множество истинности предложения 2х > 10 л 4 + х < 12. Пусть Т1 - множество решений неравенства 2х > 10, а Т2 - множество решений неравенства 4+х<12. Тогда Т1 = (5, +),  T2= (-, 8). Чтобы найти те значения х, при которых истинны оба неравенства, надо найти пересечение их множеств решений: T1T2= (5, 8).

Видим, что выполнение этого задания свелось к решению системы; неравенств. Вообще с точки зрения логики любая система неравенств, есть конъюнкция неравенств, так же как и система уравнений есть конъюнкция уравнений.

Дизъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве X, обозначают А(х)vB(x). Это предложение будет обращаться в истинное высказывание при тех и только тех значениях х из области определения X, при которых обращается в истинное высказывание хотя бы одна из высказывательных форм, т. е. TAvB = ТА и Тв.

Доказательство этого равенства проводится аналогично рассмотренному выше.

Приведем пример использования этого правила. Решим, например, уравнение (х - 2)(х + 5) = 0. Известно, что произведение равно нулю, тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что данное уравнение равносильно дизъюнкции: х - 2 = 0 v х + 5 = 0 и поэтому множество его решений может быть найдено как объединение множеств решений первого и второго уравнений, т.е. {2}  {-5} = {-5, 2}.

Заметим, что дизъюнкцию уравнений (неравенств) называют также совокупностью. Решить совокупность уравнений (неравенств) - это значит найти те значения переменных, при которых истинно хотя бы одно из уравнений (неравенств), входящих в нее.

Рассматривая конъюнкцию и дизъюнкцию высказывательных форм, мы установили их тесную связь с пересечением и объединением множеств. С другой стороны, характеристические свойства элементов пересечения и объединения множеств А и В представляют собой соответственно конъюнкцию и дизъюнкцию характеристических свойств данных множеств:

, причем каждое свойство представляет собой высказывательную форму.

Решение задач на распознавание объектов

С введением понятия конъюнкции и дизъюнкции высказывательных форм появились условия для рассмотрения вопросов, связанных с решением определенного вида задач, так называемых задач на распознавание объектов.

В задачах на распознавание требуется ответить на вопрос: принадлежит тот или иной объект объему данного понятия или не принадлежит. Примером такой задачи может быть следующая: «Установите какие из фигур на рисунке являются квадратами, а какие нет?»

Решают такие задачи, используя определение соответствующего понятия. При этом важно понимать, что если понятие а определено через родовое понятие с и видовое отличие Р, то его объем А можно представить в таком виде: А = {х| х  Си Р(х)}. Эта запись показывает, что характеристическое свойство элементов, принадлежащих объему понятия а, представляет собой конъюнкцию двух свойств:

1) принадлежности объекта х объему С родового понятия (х  С);

2) свойства Р(х).

Это означает, что объект х будет принадлежать объему понятия а тогда и только тогда, когда он (этот объект) содержится в объеме родового понятия и обладает свойством Р. Поэтому распознавание производится по следующему правилу:

1. Проверяем, принадлежит ли объект х объему родового понятия, т.е. истинно ли высказывание x С.

2. Если окажется, что х  С, то проверку прекращаем и делаем вывод, что объект х не принадлежит объему понятия а, т.е. х  А.

3. Если х  С, то продолжаем проверку и выясняем, обладает ли объект х свойством Р.

4. Если объект х обладает свойством Р, то делаем вывод о его принадлежности объему понятия а, т.е. утверждаем, что х А.

5. Если окажется, что объект х не обладает свойством Р, то делаем вывод, что объект х не принадлежит объему понятия а, т.е. х  А.

Выясним, например, какие из фигур на рисунке являются квадратами. Будем пользоваться таким определением: «Квадратом называется прямоугольник, у которого соседние стороны равны». Из него следует, что для того, чтобы фигура была квадратом, она должна обладать двумя свойствами: «быть прямоугольником» и «иметь равные соседние стороны».

Фигура 1 является квадратом, так как это прямоугольник, соседние стороны которого равны.

Фигура 2 не является квадратом, так как это не прямоугольник.

Фигура 3 - прямоугольник, но соседние стороны в нем не равны последовательно, ее нельзя назвать квадратом.

Мы рассмотрели самый простой случай решения задачи на распознавание, когда видовое отличие в определении понятия состояло только из одного свойства. Но нередки и такие определения, в которых видовое отличие состоит из нескольких свойств, связанных между собой союзами «и», «или».

Если видовое отличие представляет собой конъюнкцию свойств, т.е. Р = Р1^ Р2^ ... ^ Рn, то распознавание проводится по следующему правилу: проверяют поочередно наличие у объекта каждого из свойств Р1, Р2,..., Рn; если окажется, что он не обладает каким-либо из этих свойств, то проверку прекращают и делают вывод о том, что объект не обладает свойством Р; если же окажется, что все свойства Р1, Р2, ... , Рn , присущи данному объекту, то заключают, что объект обладает свойством Р.

Выясним, например, в каком случае луч BD является биссектрисой угла ABC. Воспользуемся таким определением биссектрисы угла: «Биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий этот угол пополам». Из него следует, что для того, чтобы луч был биссектрисой угла, он должен обладать двумя свойствами: «выходить из вершины угла» и «делить этот угол пополам».

Луч BD не является биссектрисой угла ABC, поскольку он не делит данный угол пополам.

Луч BD биссектриса угла ABC, так как он выходит из вершины этого угла и делит его пополам.

Если видовое отличие представляет собой дизъюнкцию свойств Р = Р1 v P2 v ... v Рп, проверка проводится до тех пор, пока не будет установлено, что хотя бы одно из свойств присуще данному объекту, на основании чего заключают, что он обладает свойством Р. Если же окажется, что объект не обладает ни одним из свойств Р1, Р2,... , Рn , то приходят к выводу, что он не обладает свойством Р.

Высказывания с кванторами

В параграфе, который мы изучаем, рассматриваются различные вицы математических предложений. Мы выяснили, что среди них выделяют высказывания и высказывательные формы, которые могут быть элементарными и составными. Мы узнали также, как устанавливают значение истинности таких высказываний и как находят множество истинности высказывательных форм. Но мы, конечно, не исчерпали все многообразие формулировок математических предложений, и, значит, не знаем многих правил обращения с ними. Например, почему можно одну и ту же теорему о равенстве вертикальных углов формулировать по-разному:

1) Вертикальные углы равны.

2) Если углы вертикальные, то они равны.

3) Для того чтобы углы были равны, достаточно, чтобы они были вертикальными.

4) Для того чтобы углы были вертикальными, необходимо, чтобы они были равны.

Или: почему истинность предложения «сумма трех любых последовательных натуральных чисел делится на 3» надо доказывать, а чтобы убедиться в истинности предложения «некоторые натуральнее числа делятся на 3», достаточно привести конкретный пример?

Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо более глубокое изучение математических предложений и, прежде всего, высказываний с кванторами.

В формулировках математических предложений часто встречаются слова: «каждый», «все», «некоторые», «хотя бы один». Например, свойство противоположных сторон прямоугольника формулируется так: «в любом прямоугольнике противоположные стороны равны», а о свойстве натуральных чисел мы говорили, что «некоторые натуральные числа кратны 5». Выясним, каков смысл этих слов и как они используются в математике.

Если задана высказывательная форма, то, чтобы превратить её в высказывание, достаточно вместо каждой из переменных, входящих в форму, подставить ее значение. Например, если на множестве N натуральных чисел задана высказывательная форма А(х) - «число х кратно 5», то, подставив в нее вместо х число 20, мы получим истинное высказывание; «число 20 кратно 5». Если же в эту высказывательную форму подставив вместо х число 17, мы получим ложное высказывание «число 17 кратно 5».

Однако существуют и другие способы получения высказываний из высказывательных форм.

Если перед высказывательной формой «число х кратно 5» поставить слово «всякое», то получится предложение «всякое число х кратно 5», Относительно этого предложения можно задать вопрос, истинно оно или ложно. Значит, предложение «всякое число х кратно 5» (хN) -высказывание, причем ложное.

Выражение «для всякого х» в логике называется квантором общности по переменной х (переменная может быть обозначена и другой буквой) и обозначается символом  х.

Запись (х) А(х) означает: «для всякого значения х предложение А(х) - истинное высказывание». Иногда эту запись дополняют обозначением множества X, на котором задана высказывательная форма А(х), и тогда предложение (x  X) А(х) можно читать:

а) для всякого х из множества Xистинно А(х);                             

б) всякий элемент из множества X обладает свойством А.

Выражение «существует х такое, что ...» в логике называется квантором существования по переменной х (переменная может быть обозначена и другой буквой) и обозначается символом х.

Запись (х) А(х) означает: «существует такое значение х, что А(х) - истинное высказывание». Иногда эту запись дополняют обозначением множества X, на котором задана высказывательная форма А(х),  тогда предложение (х X) А(х) можно читать:                                   

а) существует такое х из множества X, что истинно А(х);                 

б) хотя бы один элемент х из множества X обладает свойством А.

 Заметим, что в математике наряду со словом «всякий» употребляют слова «каждый», «любой», а вместо слова «существует» используют слова «некоторые», «найдется», «есть», «хотя бы один».

Обратим внимание на особенность употребления в математике слова «некоторый». В обычной речи, говоря «некоторые», имеют в виду у «по меньшей мере, один, но не все», в математике же слово «некоторые»! означает «по меньшей мере один, но, может быть, и все».                   

Итак, если задана одноместная высказывательная форма А(х), то чтобы превратить ее в высказывание, достаточно связать квантором  общности или существования содержащуюся в ней переменную. Если же высказывательная форма содержит несколько переменных, то перевести ее в высказывание можно, если связать квантором каждую 1 переменную. Например, если дана высказывательная форма «х>у»,  то для получения высказывания надо связать квантором обе переменные: например, (x) (у) х > у или (х) (у)

х > у.

Однако важно уметь не только переходить от высказывательной формы к высказыванию с помощью кванторов, но и распознавать высказывания, содержащие кванторы, и выявлять их логическую структуру. Дело в том, что кванторы содержатся в формулировках определений, теорем и других математических предложений, хотя часто только подразумеваются. Например, в формулировке теоремы «Вертикальные углы равны» квантора в явном виде нет, но предполагается, что данное утверждение справедливо для всех вертикальных углов. Записывая коммутативное свойство сложения в виде а + b = b + а, подразумевают, что оно справедливо для любых чисел а и b.

Задача 1. Выявить логическую структуру следующих высказываний:

а) Некоторые нечетные числа делятся на 5.

б) Произведение двух любых последовательных натуральных чисел кратно 2.

в) В прямоугольнике диагонали равны.

Решение. а) В этом предложении имеется квантор существования, он выражен словом «некоторые», и высказывательная форма «нечетные числа делятся на 5», заданная на множестве X нечетных чисел. Обозначим высказывательную форму символом А(х), тогда логическая структура данного предложения такова: (х X) А(х). Если предложение А(х) записать, используя символы: «х:5», то исходное высказывание можно представить в таком виде: (х  X) х:5, где X - множество нечетных чисел.

б) В данном предложении имеется квантор общности, он представлен словом «любой», и высказывательная форма «произведение двух последовательных натуральных чисел кратно 2», заданная на множестве N натуральных чисел. Обозначим ее А(х). Тогда логическая структура данного высказывания такова: (xN) A(x). И если А(х) представить в виде х(х + 1):2, то заданное предложение можно записать так: (xN) x(x+ 1):2.

в) В заданном высказывании квантора в явном виде нет, но подразумевается, что свойством «иметь равные диагонали» обладают любые прямоугольники, следовательно, этот квантор общности можно включить в заданное высказывание, не изменив его сути: «в любом прямоугольнике диагонали равны». Тогда его структура такова: (x X) A(x), где X - множество прямоугольников, А(х) - высказывательная форма «в прямоугольнике диагонали равны».

Выясним теперь, как устанавливают значения истинности высказываний, содержащих кванторы.

Рассмотрим сначала высказывание с квантором общности, т.е. высказывание вида (x X) А(х). В нем утверждается, что для любого х из множества X истинно А(х), поэтому, чтобы убедиться в истинности этого высказывания, надо показать, что множество истинности ТА высказывательной формы А(х) совпадает с множеством X (ТА = X). Чтобы убедиться в ложности высказывания (xX) А(х), достаточно показать, что ТА  X, т.е. показать, что существует такое значение хX,

при котором высказывательная форма обращается в ложное высказывание.

Задача 2. Установить, истинны или ложны следующие высказывания:

а)  Для каждого х из множества {0, 1, 4} значение выражения (4 -х):(2х + 1) есть число целое.

б) Произведение двух любых последовательных натуральных чисел кратно 2.

в) Всякое натуральное число делится на 5.

Решение, а) Если мы хотим убедиться в истинности данного выскаывания, то надо показать, что при подстановке каждого числа из множества {0,1,4} в выражение (4 - х):(2х + 1) получается целое число. Имеем:

если х = О, то (4 - 0):(2-0 + 1) = 4:1 = 4; если*=1,то(4-1):(2-1 + 1) = 3:3= 1; еслих = 4,то(4-4):(2-4 + 1) = 0:9 = 0. Действительно, значение выражения (4 - х):(1х + 1) при всех заданных значениях х есть число целое. Установили мы это путем перебора всех возможных случаев.

б) Воспользуемся результатом задачи 1 (случай б) и представим данное высказывание в таком виде: (x e N) х(х +1)  2.

Мы не знаем, истинно оно или ложно, поэтому рассмотрим несколько случаев. Если х = 1, то произведение 1-2 кратно 2, так как на 2 делится второй множитель. Если д: = 2, то произведение 2-3 тоже кратно 2, так как на 2 делится первый множитель. Если х = 7, то и в этом случае 7-8 кратно 2, поскольку второй множитель 8 делится на 2. Исходя из рассмотренных случаев, можно предположить, что данное высказывание истинное, но убедиться в этом путем перебора (как в первом предложении) нельзя, поскольку невозможно перебрать все натуральные значения х. Будем рассуждать. Из двух последовательных натуральных чисел одно обязательно четное. Но если в произведении один из множителей делится на 2, то, как известно, и все произведение делится на 2. Следовательно, при любом натуральном х произведение х(х+1) делится на 2.

в) Высказывание «всякое натуральное число делится на 5» - ложное. Убедиться в этом можно, назвав натуральное число, которое не делится на 5, например число 12.

В математике говорят, что в ложности данного высказывания мы убедились, приведя контрпример.

Вообще истинность высказывания с квантором общности устанавливается путем доказательства. Показать ложность таких высказываний можно, приведя контрпример.

Заметим, что доказательство истинности высказываний, содержащих квантор общности, можно выполнять различными методами. Решая задачу 2, мы использовали перебор всех возможных случаев и рассуждения.

  Выясним, как устанавливается значение истинности высказываний а, содержащих квантор существования. В высказывании (х  Х)А(x) угверждается, что в множестве X есть такой элемент х, которой обладает свойством А. Поэтому оно будет истинно, если множество истинности высказывательной формы А(х) не пусто (TA). Для того чтобы показать это, достаточно найти такое значение переменой * при котором высказывательная форма А(х) обращается в истинное высказывание, т.е. привести пример.

Высказывание (х  X) А(х) ложно в том случае, когда (TA). Убедиться в этом можно лишь путем доказательства.

Задача 3. Установить, истинны или ложны следующие высказывания:

а) Среди треугольников есть прямоугольные.

б) Некоторые прямоугольные треугольники являются равносторонними.

Решение. а) Данное  высказывание содержит квантор существования, который выражен словом «есть». Чтобы убедиться в истинности такого высказывания, достаточно привести пример. В данном случае прямоугольный треугольник можно начертить.

б) В этом случае квантор существования выражен словом «некоторые». Если считать данное высказывание истинным, то надо привести пример, т.е. попытаться, начертить треугольник, который был бы одновременно прямоугольным и равносторонним. Из того, что это не удается начертить, еще не следует вывод о ложности данного высказывания. В этом надо убедиться путем доказательства.

Действительно, если треугольник прямоугольный, то в нем один угол равен 90 , а в равностороннем все углы 60°. Следовательно  ни один прямоугольный треугольник не может быть равносторонним Поэтому данное высказывание ложное

Вообще истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедиться в ложности такого высказывания, необходимо провести доказательство.

Заметим, что убедиться в ложности высказывания - это значит опровергнуть его.                                                                       

Отрицание высказываний и высказывательных форм

Пусть предложение А - высказывание. Если перед сказуемым данного предложения поставить частицу «не» либо перед всем предложением поставить слова «неверно, что», то получится новое предложение, которое называется отрицанием данного и обозначается А (читают: «не А» или «неверно, что А»).

Определение. Отрицанием высказывания А называется высказывание А, которое ложно, когда высказывание А истинно, и истинно, когда высказывание А -ложно.

Таблица истинности отрицания имеет вид:

Из данного определения следует, что предложение и его отрицание не могут быть ни одновременно истинны, ни одновременно ложны.

Построим, например, отрицание ложного высказывания «число 28 делится на 9»:

а) Число 28 не делится на 9.

б) Неверно, что число 28 делится на 9.

Высказывания, которое мы получили, истинные. Значит, отрицание данного предложения построено правильно.

Рассмотрим теперь правила построения отрицания конъюнкции и дизъюнкции высказываний. Если перед всем составным высказыванием поставим слова «неверно, что», то, безусловно, получим его отрицание. А как быть с частицей «не»? Можно ли ее поставить перед сказуемым составного предложения и получить его отрицание? Возьмем, например, высказывание «число 28 делится на 9 и на 4». Оно ложное так как представляет собой конъюнкцию двух высказываний, одно из которых ложно. Поставив перед сказуемым этого высказывания частиц «не», получим конъюнкцию «число 28 не делится на 9 и на 4», в котором одно из предложений «число 28 не делится на 4» - ложное и, значит ложно построенное с помощью частицы «не» предложение. no3TOMJ оно не является отрицанием высказывания «число 28 делится на 9 и на 4». Можно доказать, что отрицанием конъюнкции двух высказываний А и В является дизъюнкция их отрицаний. Для этого надо убедиться в том, что значения истинности высказываний вида А^В Av В совпадают при любых значениях истинности высказываний А и В Сделать это можно при помощи таблицы истинности:

Про высказывания вида и  говорят, что они равносильны, и пишут .

Аналогично можно доказать, что имеет место равносильность .

Эти равносильности носят название законов де Моргана.

Из них вытекает следующее правило построения отрицания конъюнкции и дизъюнкции: чтобы построить отрицание конъюнкции (дизъюнкции), достаточно заменить отрицаниями составляющие ее высказывания, а союз «и» («или») заменить союзом «или» («и»).

Задача 1. Построить отрицание высказывания «число 28 делится на 9 или на 6».

Решение (два способа).

1) Поставим перед данным высказыванием слова «неверно, что». Получим высказывание «неверно, что число 28 делится на 9 или на 6», которое является отрицанием исходного.

2) Воспользуемся законом де Моргана: заменим высказывания «число 28 делится на 9» и «число 28 делится на 6» их отрицаниями, а союз «или» поменяем на союз «и». Получим высказывание «число 28 не делится на 9 и не делится на 6», которое также является отрицанием исходного.

Итак, мы выяснили, как строить отрицание конъюнкции и дизъюнкции высказываний. А как быть с высказываниями, которые содержат кванторы? Достаточно ли для отрицания таких предложений поставить перед сказуемым частицу «не»? Например, будет ли отрицанием высказывания «всякий прямоугольный треугольник является равнобедренным» предложение «всякий прямоугольный треугольник не является равнобедренным»? Видим, что не будет, так как оба высказывания ложны. Таким образом, строить отрицания высказываний с кванторами при помощи частицы «не» перед сказуемым нельзя.

Остается другой путь - перед всем предложением ставим слова «неверно, что». Тогда отрицанием высказывания «всякий прямоугольный треугольник является равнобедренным» будет предложение «неверно, что всякий прямоугольный треугольник является равнобедренным», но это предложение имеет тот же смысл, что и предложение «некоторые прямоугольные треугольники не являются равнобедренными».

Отрицанием высказывания «некоторые прямоугольные треугольники являются равнобедренными» является высказывание «неверно, что некоторые прямоугольные треугольники являются равнобедренными», которое имеет тот же смысл, что и предложение «все прямоугольные треугольники не являются равнобедренными».

Вообще если дано предложение (x) A(x), то его отрицанием будут предложения (x)A(x) и (х)А(х), имеющие один и тот же смысл (и одно и то же значение истинности).

Если дано предложение (х) А(х), то его отрицанием будут предложения (х)А(х) и (x)A(x), также имеющие один и тот же смысл (и

одно и то же значение истинности). Получаем две равносильности:

(x)A(x)  (х)А(х);

(х)А(х)   (x)A(x).

Из них вытекает правило: для того чтобы построить отрицание высказывания, начинающегося с квантора общности (существования), достаточно заменить его квантором существования (общности) и построить отрицание предложения, стоящего после квантора.

Задача 2. Построить отрицание высказывания «некоторые однозначные числа делятся на 10».

Решение. Сделать это можно двумя способами.

1. Поставим перед высказыванием слова «неверно, что». Получим высказывание «неверно, что некоторые однозначные числа делятся на 10», которое является отрицанием данного.

2) Заменим квантор существования (он выражен словом «некоторые на квантор общности «все» и построим отрицание предложения, стоящего после слова «некоторые», поставив частицу «не» перед сказуемым. Получим высказывание «все однозначные числа не делятся на 10».

Последнее, о чем пойдет речь, - это отрицание высказывательных форм.

Пусть на множестве X задана высказывательная форма А(х). Ее отрицание обозначим А(х) (читают: «не А(х)» или «неверно, что А(х)») Предложение А(х) будет обращаться в истинное высказывание лишь при тех значениях х из множества X, при которых А(х) - ложно. Таким образом, Т=Т'А, где Т -  множество истинности предложения А(х), Т'А - дополнение множества ТА до множества X. Доказательство этого равенства мы опускаем. Пусть, например, на множестве натуральных чисел задана высказывательная форма А(х) - «число х кратно 5». Тогда ее отрицанием будет предложение «число х не кратно 5» (или «неверно, что число л кратно 5»), истинное при всех значениях х, которые не кратны 5.        

Отношения следования и равносильности между предложениями

Рассмотрим две высказывательные формы: «число х кратно 4» и «число х кратно 2», заданные на множестве N натуральных чисел.

Как связаны между собой эти два предложения?

Можно сказать так: из того, что число х кратно 4, следует, что х кратно 2. Это мы можем утверждать, потому что знаем - при всех значениях х, при которых истинно предложение «число х кратно 4», будет истинно и предложение «число х кратно 2». В этом случае говорят, что данные предложения находятся в отношении логического следования.                                                                                     

Определение. Высказыватёльная форма В(х) следует из высказывательной формы А (х), если В(х) обращается в истинное высказывание при всех тех значениях х, при которых А (х) истинна.      Если А и  В- высказывания, тогда говорят, что из А следует В, если всякий раз, когда А истинно, истинно и В.

Для обозначения отношения логического следования используется знак =>. Соединяя две высказывательные формы А(х) и В(х) таким; знаком, мы получаем высказывание А(х) => В(х), прочитать которое; можно по разному:                                                                            '

1) Из А(х) следует В(х).

2) Всякое А(х) есть В(х).

3)ЕслиА(х),тоВ(х).                                                                  

4) В(х) есть следствие А(х).

5) А(х) есть достаточное условие для В(х).                                     

6) В(х) есть необходимое условие для А(х).                                       

 Например, утверждение о том, что из предложения «число х кратно 4», следует предложение «число х кратно 2», можно сформулировать еще так:

- Всякое число, которое кратно 4, кратно и 2.

- Если число кратно 4, то оно кратно и 2.

- Кратность числа 2 есть следствие кратности его 4.

- Кратность числа 4 есть достаточное условие для его кратности 2.

- Кратность числа 2 есть необходимое условие для его кратности 4.

Последние два предложения  часто  формулируют в  следующей форме:                                                                             

- Для того чтобы число было кратно 2, достаточно, чтобы оно было кратно 4.

- Для того чтобы число было кратно 4, необходимо, чтобы оно было кратно 2.

Так как одно и то же утверждение «из А(х) следует В(х)» можно прочитать по-разному, надо уметь переходить от одной его формулировки к другой, не меняя смысла.

Задача 1. Данные предложения переформулируйте, используя различные способы прочтения утверждения А(х) => В(х):

а) Всякий квадрат является прямоугольником.

б) Для того чтобы число делилось на 5, достаточно, чтобы его запись оканчивалась нулем.                                                                   

Решение, а) В данном высказывании можно выделить два предложения: А(х) - «четырехугольник - квадрат» и В(х) - «четырехугольник - прямоугольник». Они находятся в отношении следования:      А(х)  => В(х), которое выражено предложением со словом «всякий». Длнное высказывание можно переформулировать:

1) Из того, что четырехугольник - квадрат, следует, что он прямоугольник.

2) Если четырехугольник - квадрат, то он прямоугольник.

3) Четырехугольник является прямоугольником - это следствие того, что четырехугольник - квадрат.

4) Для  того  чтобы  четырехугольник  был  прямоугольником,

достаточно, чтобы он был квадратом.

5) Для того чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо, чтобы он был прямоугольником. б) В данном высказывании так же, как и в а), можно выделить два предложения: Р(х) - «число делится на 5» и К(х) - «запись числа оканчивается нулем», причем второе является достаточным условием для первого. Поэтому имеет место следование: К(х) => Р(х), которое можно сформулировать так:

1) Из того, что запись числа оканчивается нулем, следует, что число делится на 5.

2) Всякое число, запись которого оканчивается нулем, делится на 5.

3) Если запись числа оканчивается нулем, то оно делится на 5.

4) Делимость числа на 5 - это следствие того, что его запись оканчивается нулем.

5) Для того чтобы запись числа оканчивалась нулем, необходимо, чтобы оно делилось на 5.

Как и любое высказывание, предложение А(х) => В(х) может быть истинным либо ложным. Но так как оно может быть сформулировано в виде «всякое А(х) есть В(х)», то его истинность устанавливается путем доказательства, а с помощью контрпримера - что оно ложно.

Задача 2. Определите значение истинности высказывания:

а) Если запись числа оканчивается цифрой 6, то число делится на 2.

б) Для того чтобы число делилось на 5, необходимо, чтобы его запись оканчивалась нулем.

Решение, а) По всей видимости это высказывание истинное. Действительно, всякое число, запись которого оканчивается цифрой 6 -четное, а всякое четное число делится на 2. Следовательно, число, запись которого оканчивается цифрой 6, делится на 2.

Мы убедились в истинности данного высказывания путем доказательства.

б) Если сформулировать данное высказывание в виде «из того, что число делится на 5, следует, что его запись оканчивается нулем», то сразу можно сказать, что оно ложное. И убедиться в этом можно при помощи контрпримера. Так, число 35 делится на 5, но его запись не оканчивается нулем.

С теоретико-множественной точки зрения высказывание А(х) => В(х) означает, что если ТА - множество истинности высказывательной формы А(х), а Тв- множество истинности высказывательной формы В(х), то ТА Тв. Справедливо и обратное утверждение.

Этим фактом удобно пользоваться при установлении значения истинности высказывания

А(х) =>В(х).

Задача 3. Доказать, что из уравнения 3х(х - 2) = 0 следует уравнение Зх(х - 2)(х + 3) = 0, если уравнения заданы на множестве Z целых чисел.

Решение. Множество решений первого уравнения – Т1 = {0, 2}, множество решений второго - Г, = {0, 2, -3}. Видим, что Т1  Т2. Следовательно, из уравнения Зх(х - 2) = 0 следует уравнение

Зх(х-2)(х + 3) = 0.

Рассмотрим две высказывательные формы А(х) - «число делится на 3» и В(х) - «сумма цифр в записи числа делится на 3». Из школьного курса математики известно, что если число делится на 3, то сумма цифр в записи этого числа разделится на 3, и наоборот. В этом случае говорят, что предложения А(х) и В(х)равносильны.

Определение. Предложения А(х) и В(х) равносильны, если из предложения А(х) следует предложение В(х), а из предложения В(х) следует предложение А (х).

Для обозначения отношения равносильности используется знак . Соединяя две высказывательные формы А(х) и В(х) таким знаком, мы получаем высказывание А(х)  <=> В(х), прочитать которое можно по-разному:

1) А(х) равносильно В(х).

2) А(х) тогда и только тогда, когда В(х).

3) А(х) - необходимое и достаточное условие для В(х).                    [

4) В(х) - необходимое и достаточное условие для А(х). Например, утверждение о том, что предложение «число делится на 3» и «сумма цифр в записи числа делится на 3» равносильны, можно сформулировать еще так:

- Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр в его записи делится на 3.

- Для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр в его записи делилась на 3.

С теоретико-множественной точки зрения высказывание А(х) <=> В{х) означает, что если ТА - множество истинности высказывательной формы А(х), а Тв - множество истинности высказывательной формы В(х), то ТA = Тв.

Задача 4. Доказать, что уравнения Зх(х - 2) =0 и Зх(х - 2)(х + 3) =0 равносильны на множестве целых неотрицательных чисел.

Решение. Множество решений первого уравнения – Т1 = {0, 2}, множество решений второго, заданного на множестве целых неотрицательных чисел, Т2 = {0, 2}. Число -3 (см. задачу 3) множеству Т2, не принадлежит, потому что оно не является целым неотрицательным. Имеем, что Т1 = Т2, следовательно, данные уравнения на множестве целых неотрицательных чисел равносильны.

Заметим, что мы рассматриваем понятия логического следования и равносильности для одноместных высказывательных форм. Для предложений, содержащих две и более переменных, эти понятия определяются аналогично.

Отметим также, что знак <=> мы использовали раньше, в частности, рассматривая логическую структуру явных определений понятий. Мы установили, что ее можно представить в виде а<=>b. Употребление знака <=> здесь не случайно. Дело в том, что определение, как говорят в математике, порождает два равносильных предложения, которые затем используются наряду с другими в доказательствах. Например, определение «квадратом называется прямоугольник, имеющий равные соседние стороны» порождает равносильные предложения: «если прямоугольник является квадратом, то в нем соседние стороны равны» и «если в прямоугольнике соседние стороны равны, то прямоугольник является квадратом». Использовать в доказательствах можно любое из этих двух.

Знак <=> мы также использовали в записи правил построения отрицания высказываний.

Например, А^В <=> Av В .В этом случае речь идет о равносильности высказываний определенной формы. При этом считают, что предложения равносильны, если они одновременно истинны, либо одновременно ложны. Другими словами, если их значения истинности совпадают при одинаковых наборах значений высказываний А и В.

Структура теоремы. Виды теорем

= Понятие логического следования позволяет уточнить ряд вопросов, связанных с предложениями, которые в математике называют теоремами.

Теорема - это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства).

С логической точки зрения теорема представляет собой высказывание вида А => В, где А и В - высказывательные формы с одной или несколькими переменными. Предложение А называют условием теоремы, а предложение В - ее заключением.

Например, условием теоремы «если четырехугольник являете» прямоугольником, то в нем диагонали равны» является предложение «четырехугольник - прямоугольник», а заключением - предложение «в таком четырехугольнике диагонали равны».

В рассмотренном примере теорема была сформулирована с помощью слов «если ..., то ...». Но, как нам известно, утверждение А => В можно сформулировать и по-другому. Например, рассмотренную теорему можно сформулировать так: «во всяком прямоугольнике диагонали равны» или «для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо, чтобы его диагонали были равны». Есть * другие способы, но удобнее теорему формулировать в виде «если ... то ...», поскольку сразу видно ее условие (что дано) и заключение (что надо доказать).

В математике кроме теорем используются предложения, называемые правилами и формулами. Выясним, чем они отличаются от теоремы.

Рассмотрим, например, такую теорему из школьного курса алгебры: «если а - любое число и п, к- натуральные числа, то справедливо равенство an*ak=an+k». Условие данной теоремы - это предложение «а - любое число» и «и, к - натуральные числа». Заключение - это равенство

ап-ак=ап+к, справедливость которого надо доказать, исходя из данного условия.                                                                     

Для того чтобы этой теоремой было удобнее пользоваться на практике, при выполнении различных преобразований ее формулируют в виде правила: «при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются» или записывают только формуле

аn-ак = ап+к, опуская все условия, указанные в теореме. Такие упражнения позволяют быстрее запоминать правила и формулы. Эту особенность математического языка широко используют в начальном курсе обучения математике, но при этом формулируют различные утверждения сразу в виде правил или формул, опуская точные формулировки теорем (и, следовательно, опуская, по сути дела, условие теоремы). Но учитель, конечно, должен уметь разворачивать изучаемые в начальном школе правила (формулы) и формулировать соответствующие им теоремы. Иначе возможны ошибки как содержательного, так и логическое го характера. Рассмотрим, например, изучаемое в начальном курсе математики правило деления суммы на число: «для того чтобы разделите сумму на число, можно разделить на это число каждое из слагаемых и полученные результаты сложить». К этой словесной формулировке» правила иногда добавляют формулу:

 (а + b):с = а:с + b:c.                   

Так как этот материал изучают в начальной школе, то надо отчетливо понимать, что числа a, b и с могут быть только целыми неотрицательными, причем с0. Кроме того, воспользоваться правой частью этого равенства можно при условии, что а кратно с и b кратно с.

Таким образом, теорема, лежащая в основе правила деления суммы на число, может быть сформулирована следующим образом: «Если а, b и c - целые неотрицательные числа (с0) и

а кратно с и b кратно с, то разделить сумму а + b на число с можно, разделив на это число каждое из слагаемых».

Если воспользоваться символами, то условие и заключение этой теоремы можно записать так:

условие: а, b, с Z0, с 0; а с, b с заключение: (а + b):с = а:с + Ь:с.

Для всякой теоремы вида «если А, то 5» можно сформулировать предложение «если В, то А», которое называют обратным данному. Однако не всегда это предложение является теоремой. Рассмотрим, например, теорему: «если четырехугольник является прямоугольником, то и нем диагонали равны». Построим предложение, обратное данному: «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником». Это высказывание ложное, в чем можно убедиться, приведя контрпример: в равнобедренной трапеции диагонали равны, но трапеция не является прямоугольником.

Рассмотрим теперь теорему «в равнобедренном треугольнике углы при основании равны». Обратное ей предложение таково: «если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник - равнобедренный». Оно, как известно, истинное и поэтому является теоремой. Ее называют теоремой, обратной данной.

Для всякой теоремы вида «если А, то В» можно сформулировать предложение «если не А, то не В», которое называют противоположным данному. Но не всегда это предложение является теоремой. Например, предложение, противоположное теореме «если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны», будет ложным: «если четырехугольник не является прямоугольником, то в нем диагонали не равны».

В том случае, если предложение, противоположное данному, будет истинно, его называют теоремой, противоположной данной.

Таким образом, если для теоремы А => В сформулировать обратное или противоположное предложения, то их надо доказывать (и тогда их можно называть соответственно обратной и противоположной теоремами) или опровергать.

Для всякой теоремы вида «если А, то В» можно сформулировать предложение «если не В, то не А», которое называют обратным противоположному. Например, для теоремы «если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны» предложение, обратное противоположному, будет таким: «если в четырехугольнике диагонали не равны, то он (четырехугольник) не является прямоугольником». Это, как известно, предложение истинное и, следовательно, является теоремой. Ее называют обратно противоположной данной.

Вообще для какой бы теоремы мы ни формулировали предложение, обратное противоположному, оно всегда будет теоремой, потому что имеется следующая равносильность

Эту равносильность называют законом контрапозиции. Мы принимаем его без доказательства. Согласно этому закону, предложение, обратно противоположное какой-либо теореме, также является теоремой, и, значит, вместо данной теоремы можно доказывать теорему, обратно противоположную данной.

Кроме того, из закона контрапозиции следует, что предложение, обратное данному, и предложение, противоположное данному, одновременно истинны либо одновременно ложны. Поэтому, рассматривая их, достаточно доказать (или опровергнуть) какое-нибудь одно! тем самым будет доказано (опровергнуто) и второе.

Заметим, что если для данной теоремы А => В существует обратно В => А, то их можно соединить в одну А В, и тогда в формулировке будут использоваться слова «необходимо и достаточно», «тогда и только тогда, когда». Например, соединив теоремы «в равнобедренном треугольнике углы при основании равны» и «если в треугольнике углы при основании равны, то треугольник - равнобедренный» в одну, получим теорему: «треугольник будет равнобедренным тогда и только тогда, когда в нем углы при основании равны».                             

Можно сформулировать ее иначе: «для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо и достаточно, чтобы в нем углы при основании были равны».

С другой стороны, если теорема имеет вид равносильности А  В, то это значит, что она состоит из двух взаимно обратных теорем А => В и В => А и, следовательно, ее доказательство сводится к доказательству двух указанных теорем.

Заметим также, что если условие или заключение данной теоремы представляет собой конъюнкцию или дизъюнкцию, то, чтобы получить предложение, противоположное данному, нужно учитывать правила построения отрицания конъюнкции и дизъюнкции. Например, дана теорема «если число делится на 3 и 4, то оно делится на 12». Предложение, противоположное данному, можно сформулировать так: «если число не делится на 12, то оно не делится на 3 или не делится на 4».

Основные выводы

При изучении материала данного параграфа мы познакомились понятиями, с помощью которых уточнили смысл употребляемых в математике союзов «и», «или», частицы «не», слов «всякий», «существует», «следовательно» и «равносильно». Это понятия:

- высказывание;

- значение истинности высказывания;

- высказывательная форма;

- область определения высказывательной формы;

- множество истинности высказывательной формы;

- элементарные высказывания;

-логические связки;

- составные высказывания;

- конъюнкция высказываний и высказывательных форм;

- дизъюнкция высказываний и высказывательных форм;

- квантор общности;

- квантор существования;

- отрицание высказываний и высказывательных форм;

- отношение логического следования между предложениями;

- отношение равносильности между предложениями. Рассмотрели правила:

- определения значения истинности составного высказывания;

- нахождения множества истинности составных высказывательных форм: ТА^В = ТАТв, TAvB = TATB,TA=T'A;

- построения отрицания предложений различной структуры, в частности,

А^В  AvB;                    

(x) А(х)  (х) ) ;      .

Выяснили, как использовать определения понятий при решении задач на распознавание объектов; какова логическая структура теоремы и теорем, обратной, противоположной и обратно противоположной данной. Установили, что различные виды теорем связаны законом контрапозиции

(А  В)

Выяснили, в чем отличие теоремы от правила.

ЗАЧЕТНОЕ ЗАДАНИЕ № 1

1. Выясните, могут ли быть одновременно истинными следующие утверждения: "Учащийся А решил задачу, а учащийся В - нет"; "Хотя бы один из учащихся А, В, и С решил задачу"; "Ни учащийся В, ни учащийся С задачу не решили".

2.  Катя сказала своим одноклассникам, что в следующем году она будет заниматься гимнастикой или фигурным катанием, посещать кружок английского языка, а также петь в хоре. В каком случае можно считать ее высказывание истинным? (Перечислите все возможные ответы).

3.  Запишите 2 числа, при подстановке которых в предложение "Число а больше 15 или кратно 3 и 7" последнее будет истинным. (Ответ поясните). Может ли это быть число 12? Почему?

4. На вопрос учительницы о том, кто разбил окно, ученики ответили так: Аня: "Это сделал Леня"; Леня: "Окно разбила Таня"; Аня: "Это не я"; Таня: "Леня говорит неправду, сказав, что это сделала я". Учительница знала, что только один из них сказал правду. Кто же разбил окно?

5.  После занятий Лена подошла к учительнице и спросила: "Почему Вы не назвали меня в числе тех, кто идет в поход? Ведь я отличница и занимаюсь спортом." "Дело в том, -- ответила учительница, - что в поход идут те учащиеся, которые учатся без троек, занимаются спортом, а кроме того, помогают отстающим или принимают активное участие в жизни класса. А Вы...". Что могла ответить учительница Лене? (Перепишите все возможные ответы).

6.  Четыре студентки: Ирина, Наташа, Таня и Лена в соревновании по плаванию заняли первые 4 места. На вопрос, кто из них какое место занял, девушки дали три разных ответа: 1. Таня была вторая, Лена - третья; 2. Таня была первая. Наташа - вторая; 3. Ирина была вторая, Лена - четвертая.

В каждом из трех ответов одна часть верна, другая - неверна. Какое место заняла каждая из 4-х студенток (одинаковые места не присуждались)?

7.  При составлении расписания на определенный день на 1-м курсе ФНК преподавателями были высказаны просьбы:

1. Математика - на первой или второй паре занятий;

2. История - на первой или третьей паре занятий;

3. Литература - на второй или третьей паре занятий. Как удовлетворить этим просьбам?

8.  По окончанию учебного года Лена сказала подругам, что осенью она начнет заниматься в хореографическом кружке и поступит на курсы французского или испанского языков. В сентябре выяснилось, что Лена не занимается в хореографическом кружке, но зато изучает оба языка. Выполнила ли Лена свое обещание? Если вы считаете, что нет, то перечислите все возможные случаи, в которых высказывание Лены будет истинным.

9.  Аннет Джонсон была найдена убитой. Полиция арестовала по подозрению в убийстве троих. На допросе задержанные дали следующие показания:

Джон: "Я не убивал. Я никогда не видел Майкла раньше. Конечно, я знал Аннет".

Майкл: "Я не убивал. Джон и Фрэд мои приятели. Джон никого никогда не убивал".

Фрэд: "Я не убивал. Джон лжет, говоря, что он никогда раньше не видел Майкла. Я не знаю, кто убивал".

Если одно и только одно из утверждений каждого задержанного ложно и если один из них действительно виновен, то кто же убийца?

10. В розыгрыше первенства города по футболу должны участвовать пять команд: "Вымпел", "Старт", "Знамя", "Заря", "Салют". Перед началом соревнований редакция местной газеты попросила читателей принять участие в своеобразном конкурсе прогнозов: назвать две команды и указать места, которые они займут.

Вот предложения, собравшие наибольшее число голосов:

1. "Салют" займет первое место, а "Старт" - второе.

2. "Старт" окажется на третьем месте, а "Салют" - на пятом.

3. "Вымпел" будет вторым, а "Заря" - четвертой.

4.  Первое место будет за командой "Знамя", а "Заря" окажется лишь на четвертом.

5. "Вымпел" займет второе место, "Знамя" - третье.

После окончания футбольного турнира оказалось, что в каждом из этих вариантов одно предположение подтвердилось, а другое нет.

Как же в действительности распределились места?

11. Из простых высказываний: Р: "4 - число целое", Q: "1 -число натуральное", R: "4 - число простое", S: "Число 4 делится на 3", - образованы составные высказывания. Сформулируйте их и определите значение истинности:

а);  б);  в);

г); д); е);

ж); з); и);

ЗАЧЕТНОЕ ЗАДАНИЕ №2

1. На множестве N задан предикат А {х, у): "ух = ух".

а) Найдите значения истинности этого предиката при х = 1, y = 2;x = 5,y=S;x = 64,y = 100.

б)  Можно ли на основании полученных в пункте а) ответов утверждать, что для любого натурального числа верно равенство ху = ух? Ответ поясните.

2. На множестве N задан предикат С (п): "(и2 + 1) 3".

а)  Найдите значения истинности этого предиката при п = 1, л = 2, п = 3, п = 4.

б) Можно ли на основании ответов, полученных в пункте а), утверждать, что высказывание (Зле N)C(«) ложно? Почему?

3. Докажите или опровергните следующие утверждения:

а) некоторые целые числа кратны 5;

б) сумма любых пяти последовательных натуральных чисел кратна пяти.

4.  На множестве Z заданы предикаты D(x):"x - делитель числа 12" и Е{х): "х - делитель числа 36".

а) Докажите, что предикат Е(х) следует из предиката D(x) на этом множестве.

б) Сформулируйте при помощи слов "любой", "достаточно", "необходимо" высказывание: "предикат Е(х) следует из предиката D(x)".

5. Выясните, равносильны ли следующие теоремы: "Для того чтобы треугольник был равнобедренным, достаточно, чтобы в нем были равны хотя бы два угла" и "В любом неравнобедренном треугольнике никакие два угла не равны между собой". Если нет, то сформулируйте для каждой теоремы равносильную ей.

6.  Дана теорема: "В любом ромбе диагонали взаимноперпендикулярны".

а)  Сформулируйте данную теорему с помощью слов "следует", "необходимо", "достаточно".

б)  Выясните, равносильна ли данной теореме теорема: "Для

того, чтобы четырехугольник не был ромбом, необходимо, чтобы его диагонали не были взаимно перпендикулярны"?

7. Вместо многоточия вставьте слова "необходимо", "достаточно", "необходимо и достаточно" так, чтобы получилось истинное высказывание. Сформулируйте высказывание, используя слова "если ..., то ...". Составьте по данной импликации еще три импликации и определите их значения истинности.

а) Для того, чтобы два угла были смежными, ..., чтобы сумма величин этих углов была равна 180 .

б)  Для того, чтобы натуральное число делилось на 15, ..., чтобы оно делилось на 5.

в)  Для того, чтобы треугольник был равносторонним, ..., чтобы его стороны были равны.

г)  Для того, чтобы четырехугольник был ромбом, ..., чтобы он был параллелограммом.

д)  Для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником, ..., чтобы он был параллелограммом.

8.  На множестве Х= {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6} заданы предикаты P(x) и Q(x). Определите множества истинности предикатов P(x) Q(x); P(x) Q(x); ; P(x) Q(x); и изобразите их на диаграмме Эйлера. Укажите, где возможно, какой из предикатов логически следует из другого и разными способами сформулируйте импликацию предикатов, используя термины "необходимое условие", "достаточное условие".

а) P(x): "x2 + 4х = 0" и Q(x): "x кратно 2";

б) P (x): "x2 - 4х = 0" и Q(x): "x кратно 4";

в) P(x): "x + 2 > 0" и Q(x): "(x-3)(x-4) = 0";

г) P(x): "x2 + 4х = 0" и Q(x): "х + 3 < 0";

д) P(x): "2х -3 < 3" и Q(x): "4x - 7  5".

е) P(x): "x3" и Q(x): "x9".

9. Какие из следующих теорем истинны? Какие из них являются по отношению друг к другу обратными, противоположными, противоположными обратной?

а) Если каждое слагаемое делится на 7,то и сумма делится на 7.

б) Если ни одно из слагаемых не делится на 7, то и сумма не делится на 7.

в) Если сумма делится на 7,то и каждое слагаемое делится на 7.

г) Если сумма не делится на 7, то и каждое слагаемое не делится на 7.

д) Если хотя бы одно слагаемое делится на 7, то и сумма делится на 7.

е) Если сумма не делится на 7, то хотя бы одно слагаемое не делится на 7.

10. Приведите доказательства не менее трех теорем методом: а) от противного; б) контрапозиции. 

ЗАЧЕТНОЕ ЗАДАНИЕ № 3

1.  Назовите несколько элементов, принадлежащих объему понятия: а) "рациональное число"; б) "существительное"; в) "лиственное дерево"; г) "геометрическое тело"; д) "учащиеся".

2. Перечислите несколько свойств, входящих в содержание понятия: а) "параллелограмм"; б) "четное число"; в) "прилагательное"; г) "медиана треугольника".

3.  Назовите, какие из следующих свойств входят в содержание понятия "ромб", а какие - нет: а) иметь пару равных сторон; б) иметь две пары параллельных сторон; в) иметь все равные углы; г) иметь равные диагонали.

4. Назовите свойства: а) присущие и трапеции, и квадрату; б) присущие трапеции и не присущие квадрату; в) присущие квадрату и не присущие трапеции.

5.  Изобразите отношения между объемами следующих понятий с помощью диаграмм Эйлера-Венна:

а)  а: "двузначное натуральное число"; b: "натуральное число"; с: "целое число, делящееся на 3";

б)  а: "бытовой прибор"; b: "телевизор"; с: "радиоаппаратура";

в) а: "квадрат"; b: "ромб с прямым углом"; с: "окружность".

6. Приведите примеры понятий, отношения между объемами которых могут быть изображены с помощью кругов Эйлера-Венна, приведенных на рис. 13.

7. Для каждого из следующих понятий укажите родовое и видовое понятия: а) "прилагательное"; б) "школьник"; в) "параллелограмм"; г) "треугольник"; д) "фруктовое дерево"; е) "остров"; ж) "правильный многоугольник"; з) "дерево".

8. Можно ли отождествить понятия: а) круг и окружность;

б) число и цифра; в) прямая и отрезок; г) выражение и значение

выражения; д) окружность и граница круга?

9. Дайте определения следующих понятий: а) "биссектриса угла"; б) "трапеция"; в) "пятиугольник"; г) "тупоугольный треугольник"; д) "равнобедренный треугольник"; е) "четное натуральное число"; ж) "разность множеств". Выделите в каждом из определений родовое понятие и видовое отличие.

10.  Выпишите из учебников для начальных классов определения пяти понятий. Установите их вид.

11. Укажите ошибки в следующих определениях:

а) квадрат - это когда все стороны равны;

б) модуль числа - это данное число без знака;

в) луч - это прямая, ограниченная с одной стороны;

г)  простое число - это когда оно имеет только два натуральных делителя;

д) выпуклый четырехугольник - это четырехугольник, который выпуклый.

12.  В каждом из нижеприведенных умозаключений выделите посылки и заключение.

а) Все учащиеся нашего класса любят мультипликационные фильмы. Павел не любит мультипликационные фильмы. Следовательно, Павел - учащийся не нашего класса.

б)  Все деревья являются растениями. Сосна - дерево. Значит, сосна - растение.

в) Каждый студент нашей группы занимается в спортивной секции. Петров занимается в секции плавания. Следовательно, Петров учится в нашей группе.

г) Все мальчики 4-го класса занимаются в театральной студии. Все участники театральной студии учатся "без троек". Значит, все мальчики 4-го класса учатся "без троек".

д) Если число делится на 6, то оно делится на 3. Число 1998 делится на 6. Следовательно, 1998 делится на 3.

13.  Выделите логическую форму умозаключений, приведенных в задании 7.12, и укажите те из них, которые построены по правилу: а) отрицания; б) заключения; в) силлогизма.

14.  Среди нижеприведенных умозаключений укажите те, которые построены по правилу: а) заключения; б) отрицания; в) силлогизма.

а) Все студенты нашей группы приняли участие в туристическом слете. Сидорова учится в нашей группе. Значит, она принимала участие в туристическом слете.

б)  Все прямоугольники являются параллелограммами. Во всех параллелограммах противоположные стороны равны. Следовательно, в любом прямоугольнике противоположные стороны равны.

в) Все реки впадают в моря. Волга - река. Значит, Волга впадает в море.

г) Если студент не справился с контрольной работой по математике, то он не допускается к экзамену. Иванов допущен к экзамену по математике. Следовательно, он справился с контрольной работой.

д)  Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь правильная. Если дробь правильная, то она меньше 1. Следовательно, если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь меньше 1.

е)  В любом ромбе противоположные углы равны. В четырехугольнике ABCD противоположные углы не равны. Следовательно, четырехугольник ABCD не является ромбом.

15.  Докажите, что приведенные ниже умозаключения неправильны, подобрав опровергающий пример.

а) Все числа, делящиеся на 10, делятся на 5. Число 123 не делится на 10. Следовательно, 123 не делится на 5.

б) Все числа, делящиеся на 10, делятся на 5. Число 123 делится на 5. Следовательно, число 123 делится на 10.

в) Все притоки Волги протекают по территории России. Река Ока протекает по территории России. Следовательно, река Ока является притоком Волги.

16.  Проверьте с помощью диаграмм Эйлера-Венна правильность следующих умозаключений:

а) Все деревья являются растениями. Береза - растение, Следовательно, береза - дерево.

б)  Если углы вертикальны, то они равны. ABC DEF. Следовательно, углы ABC и DEF не вертикальные.

в)  Все целые числа являются рациональными, все рациональные числа - действительными. Следовательно, все натуральные числа являются действительными.

г)  Если четырехугольник является параллелограммом, то у него диагонали в точке пересечения делятся пополам. ABCD - параллелограмм. Следовательно, в параллелограмме ABCD диагонали в точке пересечения делятся пополам.

д)  Некоторые прямоугольники - квадраты. Все квадраты - правильные четырехугольники. Следовательно, некоторые прямоугольники являются правильными четырехугольниками.

е)  Некоторые целые числа не кратны 3. Некоторые целые числа не кратны 4. Следовательно, существуют целые числа, не кратные 12.

17. Постройте умозаключение, доказывающее, что:

а) 77 делится на 11; б) 123 не делится на 4;

в) 42 кратно 6; г) 121 не кратно 5.

18. Закончите умозаключение, используя правило заключения:

а) Все имена собственные пишутся с большой буквы. Слово "Россия" - ...

б) Все числа, делящиеся на 3 и на 8, делятся на 24. Число 18 -...

в) Все студенты первого курса ФНК летом будут сдавать экзамен по математике. Сидорова-...

19. Закончите умозаключение, используя правило отрицания:

а) Если число не делится на 2, то оно нечетное. Число 16 - ...

б)  Одушевленные имена существительные отвечают на вопрос "кто?". Существительное "окно" - ...

в)  В любом параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны. В четырехугольнике ABCD ...

20.  Восстановите пропущенную посылку в каждом из нижеприведенных умозаключений:

а) Треугольник ABC прямоугольный. Следовательно, в треугольнике ABC квадрат длины одной из сторон равен сумме квадратов длин двух других сторон.

б) Если числитель дроби больше знаменателя или равен ему, то дробь неправильная. Следовательно, у дроби 7/8 числитель меньше знаменателя.

в) 39 и 84 - натуральные числа. Следовательно, 39 + 84 = 84 + 39.

Контрольная работа по математике

для студентов 2 курса, 3 семестр

Вариант 1.

1. Дайте определение прямоугольника. Укажите в этом определении определяемое понятие, родовое понятие и видовое отличие.
2. Постройте отрицание высказывания двумя способами и определите, что истинно: само высказывание или его отрицание?

Существуют тупоугольные треугольники.

3. Вместо многоточия вставьте слова «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно» так, чтобы получилось истинное высказывание. Сформулируйте высказывание, используя слова «если …, то …».

Для того, чтобы два угла были смежными, …, чтобы сумма величины этих углов была равна 180˚.

4. Сформулируйте теоремы обратную, противоположную данной, а также обратную противоположной; установите, какие из них ложны: если каждое слагаемое делится на 7, то и сумма делится на 7.
5. Назовите несколько элементов, принадлежащих объему понятия: рациональное число.

Контрольная работа по математике

для студентов 2 курса, 3 семестр

Вариант 2.

1. Дайте определение квадрата. Укажите в этом определении определяемое понятие, родовое понятие и видовое отличие.
2. Постройте отрицание высказывания двумя способами и определите, что истинно: само высказывание или его отрицание? В любом треугольнике сумма внутренних углов равна 180˚.
3. Вместо многоточия вставьте слова «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно» так, чтобы получилось истинное высказывание. Сформулируйте высказывание, используя слова «если …, то …». Для того, чтобы натуральное число делилось на 15, …, чтобы оно делилось на 5˚.
4. Сформулируйте теоремы обратную, противоположную данной, а также обратную противоположной; установите, какие из них ложны: если запись числа оканчивается нулем, то число делится на 5.
5. Назовите несколько элементов, принадлежащих объему понятия: однозначное число.

Контрольная работа по математике

для студентов 2 курса, 3 семестр

Вариант 3.

1. Дайте определение трапеции. Укажите в этом определении определяемое понятие, родовое понятие и видовое отличие.

2. Постройте отрицание высказывания двумя способами и определите, что истинно: само высказывание или его отрицание?

Некоторые простые числа являются четными.

3. Вместо многоточия вставьте слова «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно» так, чтобы получилось истинное высказывание. Сформулируйте   высказывание, используя слова «если …, то …». Для того, чтобы треугольник был равносторонним, …,  чтобы его стороны были равны.
4. Сформулируйте теоремы обратную, противоположную данной, а также обратную противоположной; установите, какие из них ложны: в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.
5. Назовите несколько элементов, принадлежащих объему понятия: геометрическое тело.

Решение задач контрольной работы

Вариант 1.

1. Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Определяемое понятие – прямоугольник.

Родовое понятие – параллелограмм.

Видовое понятие – углы прямые.

2. Существуют тупоугольные треугольники.

1. Неверно, что существуют тупоугольные треугольники.
2. Все треугольники не являются тупоугольными.

3. Для того, чтобы два угла были смежными, необходимо, чтобы сумма величин этих углов была равна 180˚.

4. Если каждое слагаемое делится на 7, то и сумма делится на 7 .

1. Если сумма делится на 7, то и каждое слагаемое делится на 7

.  Л

2. Если каждое слагаемое не делится на 7, то и сумма не делится на 7. .  Л
3. Если сумма не делится на 7, то и каждое слагаемое не делится на 7.

.

5.  3, 5, 7, 5, … .

Решение задач контрольной работы

Вариант 2.

1. Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определяемое понятие – квадрат.

Родовое понятие – прямоугольник.

Видовое отличие –  стороны равны.

2. В любом треугольнике сумма внутренних углов равна 180˚.

1. Неверно, что в любом треугольнике сумма внутренних углов равна 180˚.

2. Существуют треугольники, у которых сумма внутренних углов не равна 180˚.

3. Для того, чтобы натуральное число делилось на 15, необходимо, чтобы оно делилось на 5.
4. Если запись числа оканчивается нулем, то число делится на 5.

.

1. Если число делится на 5, то его запись оканчивается нулем.   Л
2. Если запись числа не оканчивается нулем, то число не делится на 5.
3.   Л
4. Если число не делится на 5, то его запись не оканчивается нулем. .

5. 1, 3, 4, … 9.

Решение задач контрольной работы

Вариант 3.

1. Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны.

Определяемое понятие – трапеция.

Родовое понятие – четырехугольник.

Видовое отличие –  две стороны параллельны, а две другие – не параллельны.

2. Неверно, что некоторые простые числа являются четными. Все простые числа не являются четными.

3. Для того, чтобы треугольник был равносторонним, необходимо и достаточно, чтобы его стороны были равны.

4. Если четырехугольник является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны.

.

Если в четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то он является ромбом. Л

Если четырехугольник не является ромбом, то диагонали в нем не взаимно перпендикулярны. Л

.

Если в четырехугольнике диагонали не взаимно перпендикулярны, то он  не является ромбом.

5. Куб, конус, цилиндр.

Основная литература.

1. Стойлова Л.П. Математика: Учебник для студентов отделений и факультетов начальных классов средних и высших педагогических учебных заведений – М.: Изд. Центр «Академия», 1997

Дополнительная литература.

1. Гераськин В.Н. Текстовые задания. – М.,1999
2. Лаврова Н.Н., Стойлова Л.П. Задачник-практикум по математике: Учебное пособие для студентов-заочников факультета начальных классов. – М., Просвещение, 1985
3. Меерзон А.Е., Добротворский А.С., Чекин К.Л. Пособие по математике для студентов факультета начальных классов. – М., 1998. – ч.1
4. Пышкало А.М., Стойлова Л.П., Лаврова Н.Н., Ирошников Н.П. Сборник задач по математике: для педучилищ. – М., Просвещение, 1979
5. Стойлова Л.П. Методические рекомендации к самостоятельной работе над курсом математики. – М., 1991
6. Стойлова Л.П., Лаврова Н.Н., Денищева Л.О., Морозова В.Л. Задачи для контрольных работ по математике: для студентов факультета начальных классов. – М.,1993
7. Учебники по математики для начальных классов, статьи из журнала «Начальеая школа», «Математика в школе».