элективный курс 7класс
календарно-тематическое планирование (алгебра, 7 класс) по теме

                  Элективный курс по математике в 7 классе

 «Элементарные алгебраические уравнения и их применения»

                                       Пояснительная записка

Предполагаемый элективный курс по предпрофильной подготовке учащихся посвящен одной из главных тем, составляющей фундамент современной математики – уравнениям и системам уравнений, решению текстовых задач методом уравнений, решению уравнений, содержащих модуль и уравнениям с параметрами.

Цель данного элективного курса – прояснить и дополнить школьный материал, связанный с уравнениями, с системами уравнений, представить систематизацию уравнений по видам, по степени сложности.

Программа (позволяет познакомить учащихся) дает возможность учащимся:

получить представления об уравнениях как математическом аппарате решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний.

овладеть такими понятиями как “уравнение”, “системами уравнений”, усвоить понятие равносильность уравнений, “уравнение с модулем”, “уравнение с параметром”.

освоить основные приемы решения рациональных уравнений, систем, получить начальные представления о решении уравнений с параметром, уравнений с модулем.

на примере квадратных уравнений ознакомится с историей создания математических задач, с представлением о формуле как алгоритме вычисления.

Учебно-тематический план

В последнее время в материалах выпускных экзаменов, ЕГЭ и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения, предполагаются задания по теме “Уравнения второй степени”, содержащие параметр. Задачи такого типа вызывают затруднения у учащихся, так как практических заданий по данной теме в школьных учебниках мало. В предполагаемом программном материале рассматриваются простейшие квадратные уравнения с параметром и способы их решения.

Другие не менее важным понятием математики является понятие модуля числа и аспекты его применения. Также рассматриваются различные методы решения уравнений с модулем, основанные на его определении, свойствах, интерпретации.

Содержание спецкурса помогает учащимся понимать, что уравнения широко применяются для описания на математическом языке разнообразных различных ситуаций, уметь решать линейные, квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения, сводящие к ним, системы уравнений с двумя переменными, уравнения с модулем, уравнения с параметрами, понимать графическую интерпретацию решения уравнений и систем уравнений, уметь решать несложные текстовые задачи с помощью составления уравнений.

Таким образом, основная роль элективного курса “Элементарные алгебраические уравнения и их применение” состоит в подготовке учащихся к успеху обучению в старших классах технического профиля.

Основной способ представления занятий: лабораторно-педагогический работы, семинарские занятия с элементами лекций, собеседования.

Основной способ оценивания результативности учащихся: самостоятельные и контрольные работы, рейтинговые оценки, психолого-педагогический анализ наблюдений деятельности учащихся.

                                             Содержание

                   . Решение уравнений с одной переменной

На первых занятиях сообщается цель и значение данного элективного курса. Выявляются и систематизируются виды школьных уравнений, вводится понятие уравнение с одной переменной и алгоритм его решения. Особенное внимание уделяется, нахождению подобных членов уравнения и принципу нахождения неизвестной, отрабатываются навыки деления следующих 3-х видов:

а) х=а : 0, нет решения (на нуль делить нельзя);

б) х=0 : а, х=0 – один корень, равный нулю;

в) х=0 : 0, б/к много решений.

Рассматриваются и вводятся навыки решения текстовых задач с помощью составления уравнений, способы задания неизвестной величины с помощью переменной, раскрывается смысл понятия “уравнение”, отрабатываются навыки уравнения левой и правой частей данного (высказывания), выражения.

вводится понятие системы двух уравнений с двумя неизвестными. Прослеживается формулировка навыков решения данной системы с помощью двух способов:

а) подстановки;

б) сложения.

При этом требуются равное овладение и применение учащимися обоих способов решения. Рассматриваются решение задач с помощью составления систем уравнений. Можно работать со сборником экзаменационных задач.

                             Решение квадратных уравнений.

Задается алгоритм решения квадратных уравнений. Основные формулы: дискриминант, формулы корней квадратно уравнения. Рассматриваются неполные квадратные уравнения, правила их решения. В этой же теме рассматриваются задачи, решаемые с помощью составления квадратных уравнений.

                       . Решение уравнений с модулем.

Вводится понятие модуля числа. Рассматриваются уравнения, решаемые с помощью понятия “расстояние между двумя точками”, и уравнения, решаемые с помощью “критических точек”.

 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ по теме «Решение уравнений с модулем».

Какие числа являются решениями уравнения |х+3|= -4?

а) -7; б) -7; 1; в) нет корней; г) 1.

2.       Решите уравнение |х+3|=7:

а) 7; б) -7;  в) 0; 7; г) 7; -7.

3.      Определите координаты точки пересечения графиков функций у=|2х+1|              и у=0:

а) (0;0); б) (-0,5;0);  в) (0;-0,5); г) (0,5;0).

4.       Решите уравнение |х+3|+|х-1|=6:

а) 3; -2; б) 4; -2;  в) -4; 2; г) 2; -3.

5.    Сколько точек пересечения имеют графики функций у=||5,5х-4|+2| и у=3?

а) 1; б) 2;  в) 3; г) 4.

6. Решите уравнение |3х-7|=1-х:

а) 2; 3; б) -2; 3;  в) -3; 2; г) -2; -3.

7. Сколько решений имеет уравнение (2,5х-5)2=(0,5х-6)2:

а) 1; б) 2;  в) 3; г) 4.

                       Решение дробно-рациональных уравнений.

Основное внимание уделяется нахождению ОДЗ функции. Отрабатываются навыки освобождения от знаменателя дроби. Рекомендуются решения уравнений из заданий вступительных экзаменов в ВУЗы центра и Сибири. Рассматриваются задачи на составление дробно-рациональных уравнений.

                         Решение уравнений с параметром.

Вводится понятие параметра. Рассматриваются уравнения, содержащие параметр. Рассматривается аналитический способ, графический способы решения. Выполняются самостоятельные, контрольные работы.

                          Решение целых уравнений.

Рассматриваются простейшие целые уравнения, вводится алгоритм решения данных типов уравнений:

а) деление на х2 и составления соответствующей подстановки;

б) преобразование левой части в произведение двух множителей и соответствующего составления четырех систем уравнений и запись ответа данного уравнения.

 Итоговое занятие. 2 часа

Проводится зачет, выставляются рейтинговые оценки по результатам самостоятельных, контрольных работ.

I. Фрагмент занятия по теме “Решения уравнения с модулем”:

1. Вспомним определения модуля:

Отметим, что термин “модуль” (от лат. modulus-мера) ввел английский математик Р. Котес (1682-1716), а знак модуля немецкий математик К. Вейерштрасс (1815-1897) в 1841г.

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие методы решения уравнений:

1. Решите уравнение:

|3х-2|=1

Пользуясь определением модуля, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений.а) 3х-2=1         или         б) 3х-2= -1

3х=3                 3х=1

х=1                 х=

Ответ: 1;  

2. Решите уравнение:

|2х+1|=32х+1=3         или         2х+1= -3

2х=2                 2х= -4

х=1                 х= -2

Ответ: 1; -2

3. Решите уравнение:

|6х-3|=2х

В отличие от предыдущего задания в правой части данного уравнения содержится выражение с переменной.

Таким образом, данное уравнение равносильно системе:

Ответ:  

4. Решите уравнение:

|2х-х2+3|=12х-х2+3=1         или         2х-х2+3= -1

-х2+2х+2=0         или         -х2+2х+4=0

Ответ:  

Упражнение для самостоятельной работы:|х - 2|=0,4

|х+3|=0,7

|3х - 4|=7

|2х+8|=0,7

|х2+2х - 3|=2         |х2 – х – 5 |=1

|5х - 2|=3х

|х – 3|=2х

|х2 – 3х+2|=3

 ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА  по теме «Решение уравнений с модулем»

Решите уравнение |х-3|=7.

Решите графически уравнение |2х+1|=3.

Решите уравнение методом интервалов |х+1|+|х-1|=3.

Решите уравнение методом последовательного раскрытия модулей |-х+2|=2х+1.

Решите уравнение (2х+3)2=(х-1)2.

Решите уравнение самым удобным способом |х2+6х+2|=3|х+2|.

При каком значении а уравнение можно решить, используя геометрическую интерпретацию модуля: |х-а|+|х-9|=1?

II. “Решение уравнения с параметрами”:

В обыденной жизни мы употребляем слово “параметр” как величину, характеризующую какое-либо основное свойство процесса, явления или системы, машины, прибора (напряжение, электрическое сопротивление, масса, коэффициент трения и др.).

В математике параметр-это постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи. Числовые значения этой величины позволяют выделить определенный элемент (кривую) из множества элементов (кривых) того же ряда. Например, в уравнении х2+у2=r2 величина r является параметром окружности.

В задачах с параметрами наряду с неизвестными фигурируют величины, численные значения которых хотя и не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом параметры, входящие в условие, существенно влияют на логический и технический ход решения и форму ответа. Интересная часть решения задачи - выявить, как зависит ответ от параметра.

С параметрами мы уже встречались, когда вводили понятие:

функция прямая пропорциональность: у=kx (х и у – переменные, k – параметр, k);

линейная функция: у=kx+b (х и у – переменные, k и b – параметры);

линейное уравнение: ax+b=0 (х – переменная, a и b – параметры);

уравнение первой степени: ax+b=0 (х – переменная, a и b – параметры, а0);

квадратное уравнение: ax2+bx+c=0 (x – переменная, а,b и с – параметры, а0).

Решить уравнение f(х;а)=0 с параметром а – значит для каждого действительного значения а найти все решения данного уравнения или установить, что их нет.

Договоримся все значения параметра а, при которых уравнение не имеет решений.

Многочлен ах2+bх+с, где а0,а,b,с – действительные числа, называют квадратным трехчленом.

Уравнение вида ах2+bх+с=0, где а0,а,b,с – действительные числа, называется квадратным.

Число D = b2 – 4ас называется дискриминантом квадратного трехчлена ах2+bх+с, а также дискриминантом уравнения

ах2+bх+с=0.

Примеры:

1. При каких значениях с уравнение х2+2х+с=0 не имеет корней?

Решение:

х2+2х+с=0

D<0

D=4 - 4c, 4 – 4с<0

4с>4

с>1

Ответ: (1;).

2. При каких значениях k уравнение х2+kх+9=0 имеет корни?

Решение:

х2+kх+9=0

D

D=k2 – 36

k2 – 36

(k – 6) (k+6)

Ответ: (; - 6] U [6; ).

3. Определить все значения параметра а, при котором уравнение 2ах2 – 4(а+1)х+4а+1=0 имеет один корень.

Если а=0, то данное уравнение является линейным -4х+1=0 с единственным корнем х=.

Если а0, то исходное уравнение является квадратным и имеет единственное решение при D=0.

Ответ: 0; - ; 2.

4. Определите, при каких значениях k один из корней уравнения х2+(k – 1)х+k2 – 4=0 равен нулю.

Если свободный член равен нулю, то один из корней уравнения х2+(k – 1)х+k2 – 4=0 будет нулевой.

Следовательно, если k=2 или k= - 2, то данное уравнение имеет один корень, равный нулю.

Ответ: - 2; 2.