Нестандартная система уравнений
статья по алгебре (9 класс) по теме

1. Пинько Раиса  Васильевна

2. учитель математики

3. Володарская гимназия «София» пгт. Володарское

                                                 Алгебра                        9 класс

Нестандартная система уравнений.

В настоящее время преподаю алгебру в девятых классах. При изучении темы: «Решение систем уравнений» мы с учащимися сделали небольшое исследование. Хочу поделиться с коллегами.

Работаю по учебнику А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир «Алгебра» 9класс, «Гимназия» 2009 год. Проводя консультацию с учащимися по подготовке к ГИА при решении (3) мы с учащимися столкнулись с проблемой. Ответ, полученный нами и ответ , приводимый в учебнике, не совпадал. Привожу решение, сделанное нами.

Условие:          x2 + y2 + x + y = 18,        (1)

                          x2 - y2 + x - y = 6.

Решение:

К первому уравнению системы прибавим второе. Получим новое уравнение, которое имеет вид:    

                                        2x2 + 2x = 24

Или, сократив на 2:      x2 + x = 12    

Затем, от первого уравнения отнимем второе. Получим второе уравнение новой системы:

                             2y2 + 2y = 12   или        y2 + y = 6.

Итак, имеем новую систему:

  x2 + x = 12,                            x2 + x - 12 = 0,     (2)

  y2 + y = 6.            или            y2 + y – 6 = 0.          

Оба уравнения, входящие в систему, являются приведенными квадратными уравнениями. Поэтому, применяя теорему Виета, находим решение. Для первого уравнения:

                           x1 = 3;            x2 = -4.

Для второго уравнения:

                           y1 = -3;            y2 = 2.  

Итак, мы получили два решения:

                         x1 = 3;                                x2 = -4;          (3)

                         y1 = -3.           и                  y2 = 2.

Или эти решения можно записать в виде:

                     (3, -3),      (-4, 2).

В учебнике приводится другой ответ:

                     (-4, -3),     (-4, 2).                  (4)

Сразу возник вопрос, то ли мы ошиблись, то ли в учебнике опечатка. Начали делать проверку нашего ответа и ответа, приводимого в учебнике.

 Проверяем наше решение. Для этого подставляем решение, найденное нами (2) в систему уравнений (1), имеем:

                      32 + (- 3)2  + 3 + (- 3) = 18,

                      32 - (- 3)2  + 3 - (- 3) = 6.

  или              9 + 9 = 18,

                      3 + 3 = 6.

Проверяем второе наше решение:

                      (- 4)2 + 22 + (- 4) + 2 = 18,

                      (- 4)2 - 22 + (- 4) - 2 = 6.

  Действительно:

                      16 + 4 + ( - 4) + 2 = 18,

                       16 – 4 + ( - 4) – 2 = 6.

Радуемся, наше решение правильное.

Проверяем решение авторов учебника.

Подставляем решения (4) в нашу систему (1), имеем: для первого решения:

                      (- 4)2 + (-3)2 + (- 4) + (-3) = 18,

                      (- 4)2 – (-3)2 + (- 4) – (-3) = 6.

или                 16 + 9 + (-7) = 18,

                        16 – 9 + (-1) =  6.

Второе решение авторов не проверяем, оно совпадает с нашим.

Вот так. Решение авторов тоже верное. Получили парадокс: и наше решение и решение авторов учебника верное.

Сразу же возникает второй вопрос. Как же так получается, что система имеет три различных решения?  Рассматривая решение еще раз, пришли к выводу, что это связано с тем, что в данной системе уравнений при их преобразовании оказалось, что первое уравнение системы содержит только переменную x, а второе  - только переменную y (см. систему (3)), то есть это просто совокупность двух различных уравнений.

Таким образом, делаем вывод. Так как получилось, что уравнения в системе не связаны между собой, то любое из значений x1 или x2, независимо от того, какое y идет в паре с ним, будет решением первого уравнения системы (2), а следовательно и исходной системы (1). И, наоборот, любое значение y1  или  y2 , независимо от того какое x идет в паре с y,  также будет решением исходной системы. Следовательно, вывод, к которому мы пришли, система будет содержать не два решения, а большее их количество. Эти решения мы получим, если будем комбинировать различные пары (x, y) из найденных решений, то есть из:

                         x1 = 3;                                x2 = -4;          

                         y1 = -3.           и                  y2 = 2.

Итак, имеем:

                         x1 = 3;                                 x2 = -4;          

        1)            y1 = -3.           и               y2 = 2.  – решения найденные на- ми.

        2)            x3 = - 4;                                  

                        y3 = -3    -        дополнительное решение из ответов в учебнике, которое получилось, если скомбинировать x2 = -4 и y1 = -3 в найденных нами решениях. А также можем скомбинировать     x1 = 3 с   y2 = 2, получим новое решение:                                               x4 = 3;          

                                                        y4 = 2.

Таким образом, мы нашли четыре решения данной системы.  В справедливости найденных новых решений предлагаем убедиться самостоятельно, методом подстановки в исходную систему уравнений.