Применение личностно- ориентированной технологии при обучении математике
методическая разработка по алгебре по теме

Государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Технологический колледж №28

Методическая разработка

(для преподавателей)

Применение личностно- ориентированной технологии обучения математике студентов колледжа

Москва2014г

                                    «Студент не сосуд, который нужно наполнить, а факел, который нужно зажечь»

                                                                  (народная мудрость)

План

1.Вступление

2.Модели взаимодействия преподавателя и студента

3.Виды индивидуального  стиля педагогической деятельности

4.Приёмы учебной деятельности

5.Технология личностно-ориентированного обучения

6.Реализация технологии личностно-ориентированного

обучения на уроках математики

7.Заключение

Личностно-ориентированное образование есть системное построение взаимосвязи учения, обучения, развития. Это целостный образовательный процесс, существенно отличающийся от классического учебно-воспитательного процесса. Методы и средства личностно-ориентированного образования позволяет студенту проявить избирательность к предмету, материалу, его виду и форме. Личностно-ориентированный подход в обучении предполагает, что в центре обучения находится студент. Преподаватель, учитывая индивидуальные особенности студентов, их способности к усвоению учебного материала, адаптации к учебному процессу, определяет  учебную цель занятий и направляет весь образовательный процесс в целях развития каждого студента, потому такой подход к обучению как личностно-ориентированный называют ещё развивающим. Ценность данного подхода состоит в обеспечении студенту свободы выбора форм, методов обучения и содержания обучения. При реализации личностно-ориентированного подхода личность всегда выступает действующим лицом, а подчас и инициатором любого процесса своего образования.

Основой личностно-ориентированного подхода является признание студента главной действующей фигурой всего образовательного процесса. В любом образовательном процессе всегда задействованы 2 фигуры: преподаватель и студент. При реализации личностно-ориентированной технологии обучения существует четыре модели взаимодействия преподавателя и студента:  

Первая модель: социально-педагогическая

Вторая модель: предметно-дидактическая 

Третья модель: психологическая

Четвёртая модель: личностно-ориентированная

  Четвёртая модель: личностно-ориентированная

В своей работе я использую четвёртую модель. Почему? Цель этой модели - саморазвитие личности и направленность обучения от студента к методам и содержанию обучения. Эта модель предполагает признание ведущей роли внешнего воздействии на студента, роли коллектива, группы, преподавателя.

Благодаря применению этой модели в процессе обучения моих студентов, я        формирую личность студента с  планируемыми качествами, а это является очень важным моментом в формировании конкурентноспособного специалиста. На протяжении всего периода обучения понимаешь, что  развитие студента это увеличение объёма знаний усложнённого содержания.

Каждый  мой студент это индивид, наделённый своим неповторимым субъективным опытом, но и имеющий, конечно, типовые характеристики личности. Так вот личностно-ориентированная технология как ни какая другая

даёт возможность развивать индивидуальность и самобытность каждого студента и в тоже время отрабатывать типовые черты личности.

При применении личностно-ориентированной модели взаимодействия преподавателя и студента большое внимание уделяется личности самого преподавателя, т.к. преподаватель, несомненно, вызывает интерес к себе у студентов как субъекту общения, интересному  собеседнику, содержательной личности. В каждом  педагогическом процессе складывается индивидуальный стиль педагогической деятельности. Этот стиль может быть поддерживающий или результативный. Я отношу себя к преподавателям поддерживающего стиля. На уроке стараюсь создать творческую обстановку и к каждому студенту пытаюсь найти личностный подход.

Очень важно (а это чуть ли не самое главное!) всегда выслушать студента и ответить на все интересующие его вопросы.  

 В этом случае расстояния между преподавателем и студентами минимальные. Все эти факторы благотворно влияют на весь процесс обучения.

Я сознательно использую свою личность в качестве «инструмента» в педагогическом процессе не только для повышения уровня обучения, но и для того, чтобы открыть новые возможности в практической реализации  личностно-ориентированной модели обучения.

Личностно-ориентированное обучение это такое обучение, при котором усвоение знаний выступает как процесс активной самостоятельной работы студента. Для того, чтобы организовать активную самостоятельную работу, необходимо формировать у студентов рациональные приемы учебной деятельности. Рассмотрим эти приемы:

1. Прием запоминания учебного материала.

Для этого приема характерно то, что преподаватель, прежде всего, должен дать конкретную установку на запоминание, которая определяется полнотой запоминания, точностью запоминания, прочностью запоминания. Так при повторении пройденного материала студентам предлагается составить серию вопросов, дополняющих знания по новому материалу . Эта работа даёт отличные результаты и помогает прочно и надолго запомнить материал.

2.  Прием алгоритмизации действий.

• Это очень важный прием, используемый для достижения высоких результатов в обучении. Алгоритм должен способствовать овладению студентами широким классом однотипных задач. Действия по алгоритму позволяет точно определить причину затруднения, ошибки студента, на каком этапе алгоритма студент сбился с правильного пути. Данный прием является одним из  главных приемов для достижения глубокого понимания материала. Он успешно применяется  при изучении тем:
• Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными;
• Решение прикладных задач на дифференциальные  уравнения;
• Исследование функций с помощью производной и т.д.

3. Прием составления плана.

Этот прием направлен на понимание текста, передачу его основного смысла или пересказ своими словами, составление тезисов или конспекта. Преподаватель должен научить студентов уметь выбирать главное из любого текста, уметь отображать фактический материал из прочитанного. Например, при изучении темы «Производная» составляется план исследования функций с помощью первой и второй производных и  с помощью этого плана решается большое количество задач.

При изучении темы «Определённый интеграл» студентам

предлагается составить план формирования логической схемы приложения определённого интеграла.

4.Прием выделения опорных пунктов.

Этот прием представляет собой выделение того текста, который несет в себе главную идею, основную смысловую нагрузку, которая далее будет использована для работы с изучаемым материалом .                                                                                                                

Прием выделения опорных пунктов изучаемого материала успешно применяется при составлении опорных конспектов. Опорные конспекты могут составляться как после форсированного  изучения какой-либо темы, так и на этапе повторения этой темы. Как правило,

на составление  опорных конспектов уходит много времени, но это благодарный труд-каждое обращение в процессе работы к опорному конспекту помогает быстро вспомнить пройденный материал, воспроизвести в памяти забытые формулы или понятия, быстро выстроить логическую связь между  уже пройденным материалом и новым. Опорные конспекты помогают успешно готовиться к экзамену и зачету, благодаря тому, что в опорном конспекте  сконцентрирован материал, несущий  основную смысловую нагрузку. Главное в этой работе - научить студентов правильно составить опорный конспект.

Глубокое усвоение материала требует неоднократного возвращения к нему и рассмотрения в разных связках и контекстах. Для этого очень полезно задавать студентам составление  авторского опорного конспекта .Это может быть заданием не для всех, а для нескольких студентов.

Очень эффективным  оказывается такое задание: составить «универсальную шпаргалку» по данной теме и провести

конкурс на лучшую «универсальную шпаргалку».

Иногда полезно из какой-либо темы выписать в виде словаря понятия, являющиеся основополагающими для данного материала и время от времени обращаться к этому списку понятий. Объём, глубина и надёжность  изучаемого

студентами материала определяется , бесспорно,  частотой возврата к ранее  изученному материалу, а наличие  у студента опорного конспекта позволяет это осуществить с наименьшими потерями.

5. Прием наблюдения.

Не секрет, что среди учащейся молодёжи есть студенты, неумеющие наблюдать, они многое не замечают в воспринимаемых объектах (особенно это хорошо видно на уроках геометрии). Приемы наблюдения прекрасно формируются с помощью игры или дискуссии. Поэтому  в своей практической деятельности преподаватели должны уделять больше внимания игровым элементам. Такая  нетрадиционная форма урока, какой является урок-игра, способствует развитию  очень нужных качеств  для будущих специалистов: умение работать в коллективе, коммуникабельности, ответственности за принятое решение. Благодаря соревновательному характеру игры активизируется воображение участников, воспитывается речевая культура, тренируется их наблюдательность.

В результате игры студент должен провести анализ ситуации, разработать средства и способы решения проблемы  и постараться убедить других в правильности своего выбора. В своей практике заслуженное место занимает урок – игра. Например, мною разработан урок – игра «Хочу всё знать», «Кто быстрее и умнее», «Мир симметрии вокруг».

После изучения какой-либо темы я провожу урок-игру «Хочу все знать». Это своеобразное повторение пройденного материала. Группа делится на бригады; Бригады выполняют задания, потом озвучивают их решения. Такой вид занятий является очень результативным. Во-первых: студенты учатся совместно работать, высказывать свои мнения, решения; во-вторых: такая игра является формой воссоздания в учебном процессе предметного содержания изучаемой студентами дисциплины; в-третьих: такая форма вносит разнообразие в учебный процесс (т.к. основная форма обучения комбинированный урок или лекция).

Чтобы как-то разнообразить повторение пройденного материала, я провожу игры-тренинги: например, игра-тренинг «эстафета».На доске написаны примеры по материалу, который надо повторить, в  три столбика. Задание ,записанное в каждом столбике, относится к соответствующему ряду(студенты сидят в три ряда).Первые участники игры от каждого ряда одновременно подходят к доске, решают первое задание из своего столбика, затем возвращаются на места, уступив места следующим участникам. Выигрывает та команда, которая быстрее и без ошибок выполнит задание, причём, если кто-то не знает ответа, вместо него задание выполняет следующий студент вместе с заданием, которое ему надо сделать по очереди.(это даёт возможность получить дополнительную оценку)Отсюда видно, что довольно рутинная работа задания превращается в увлекательную игру.

При проведении уроков геометрии можно использовать задания типа: сосчитайте на чертеже количество треугольников, квадратов или ответьте на вопрос: «Какие геометрические фигуры можно увидеть в каком-либо кабинете или дома?»  или: «Сравните геометрические фигуры, укажите их общие свойства.» и т.д.

Приёмы учебной деятельности могут быть разной степени сложности. Рассмотренные выше приёмы не являются сложными. Более сложный  приём состоит из большего числа действий, включает в себя в качестве составляющих действий другие приёмы, он необходим для решения  более сложных задач.  Один и тот же приём учебной деятельности в различных ситуациях может выступать  как частный  и как обобщённый приём. Использование в преподавательской работе любых приёмов учебной деятельности направлено на то, чтобы научить студентов учиться, дать им знания того, как рационально организовать и  осуществить свою учебную деятельность и предоставить возможность применить эти знания на производстве.

1..При проведении математических диктантов должны учитываться  индивидуальные особенности студентов. Тем, кто быстрее соображает, желательно давать дополнительные ЗАДАНИЯ на карточках, которые, в  своё время, тоже являются разноуровневыми. Как правило, первую проверку студенты делают, поменявшись вариантами («ПЕРЕКРЁСТНАЯ ПРОВЕРКА»: каждый  проверяет вариант соседа)

. В конце диктанта объявляется критерий оценок. При самостоятельной проверке варианта соседа у студента формируется способность правильно оценивать результаты, воспитывается ответственность за оценку работы, что создает предпосылки для саморегуляции личности студента, формированию таких качеств как объективность, ответственность за принятое решение.

В качестве домашнего задания рекомендуется предложить студентам составление  математических диктантов разной сложности по изучаемой теме. Такое домашнее задание помогает  обучающимся лучше понять материал (т.к. кроме диктанта студенты должны привести правильные ответы), помогает формировать приемы умственных действий, активизирует мыслительную деятельность, учит анализировать составленные тексты. Но самое интересное происходит, когда студент сам проводит  математический диктант в группе, оказываясь в роли преподавателя с вытекающими отсюда иногда неожиданными  последствиями.

Математические диктанты, составленные студентами

.

Тема: «Пределы»

.

Математический диктант №1 (бесконечно малые и бесконечно большие).

1. 
2. =
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 

Математический диктант №2.

Тема: «Логарифмы».

Математический диктант №1.

1. 
2.  - не  существует
3. 
4. 
5.  - не существует
6. 
7. 

Математический диктант №2.

1. 
2.  - не существует
3. 
4. 
5. 
6.  - не существует
7. 

Тема: «Производная».

Математический диктант №1.

1. ;
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 

Математический диктант №2.

                   7)

2.Следующим  элементом  практически каждого моего урока является использование  проблемных ситуаций. Создание проблемных ситуаций – важная часть     личностно-ориентированного подхода к обучению.    

Создание на уроке проблемной ситуации направлено на активизацию мыслительной деятельности, на систематизацию полученных новых знаний, на развитие умения применять эти знания в данной ситуации. Проблемные вопросы, которые я задаю при объяснении нового материала, оживляют сам процесс объяснения, студенты активно участвуют в обсуждениях, предлагают свои доводы и способы решения той или иной проблемы.

Действия для создания проблемной ситуации  заключаются в следующем :

а) создать проблемную ситуацию;

б) организовать  размышления над проблемой;

в) организовать поиск гипотезы;

г) организовать проверку гипотезы и поиск средств решения проблемы;

д) организовать обобщение результатов и применение полученных знаний.

При этом студенты:

а) осознают противоречия в проблеме;

б) формулируют проблему;

в) выдвигают гипотезы;

г) проверяют гипотезы, используя полученные знания;

д) анализируют результаты, делают выводы, применяют полученные знания.

Являясь неотъемлемой частью личностно-ориентированного обучения, проблемное обучение дает возможность не сообщать студенту готовые знания, а организовывать его на поиск и решение, активизируя его мыслительную деятельность.

 Например, при объяснении темы «Предел последовательности» я задаю вопрос: «Где в повседневной жизни вы встречали слово «предел»? Студенты приводят очень интересные примеры этого  понятия из жизни. При изучении темы «Предел» я прошу пояснить своими словами понятия «беспредел», «бесконечность»,прошу привести примеры жизненных ситуаций, где можно встретить эти понятия. В результате получается живая интересная беседа, а студенты лучше усваивают этот довольно трудный для понимания  материал.

При изучении темы «Функция » перед студентами ставится задача:

«Приведите пример ситуации из жизни, где можно наблюдать функциональную зависимость между величинами, какие величины  в предложенной зависимости являются переменными, а какие постоянными и почему? », «В чём отличие постоянных величин от переменных и т.д.»

При объяснении понятия «обратная » функция, можно задать вопрос: «Что в повседневной жизни означает слово обратный; приведите примеры. » или «Приведите примеры разрывных функций, взятые из жизни, что  можно сказать о такой зависимости ?»

При изучении темы «Тригонометрические функции» можно поставить следующую проблему: «Самостоятельно вывести законы зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же угла». Задача не из простых, но с правильной постановкой наводящих вопросов от преподавателя проблема решается довольно легко.

3.При изучении геометрии я прошу перечислить все геометрические фигуры, находящиеся в кабинете и написать их названия. Это задание дает возможность студенту поупражняться в наблюдении, т.к. многие студенты не умеют наблюдать, поэтому они многое не замечают в воспринимаемых объектах.

В личностно-ориентированном обучении очень важными приемами умственной деятельности являются приемы наблюдения. При изучении геометрии эти приемы нужны для глубокого понимания и решения геометрических задач, для построения геометрических тел и особенно сечений.

Для того чтобы научить студентов последовательно и логично воспроизводить самое существенное в учебном материале, я прошу их составлять опорные конспекты. Составление опорного конспекта по тригонометрии по теме: «Графики тригонометрических и им обратным функций» позволяет более внимательно и вдумчиво отнестись к построению графиков и изучению свойств функций.

Основным принципом личностно-ориентированного подхода к обучению является принцип  дифференцированного обучения. В этом случае речь идёт сначала о раскрытии индивидуальности студента ,а затем о выборе для него  наиболее благоприятных условий развития через

специально подобранные  задания и упражнения.

Очевидно, что дифференцированный подход к обучению – основа личностно- ориентированной технологии. Многоуровневые задания в контрольных работах, в опросных карточках, в домашнем задании определяют возможность последовательного перевода студента с более низким уровнем обучения на более высокий уровень. При выполнении практических работ на вторых и пятом курсе  предлагаются  задания для самостоятельного решения с учётом  разных степеней обученности  студентов. При составлении заданий для контрольных  или самостоятельных работ  учитываются особенности каждой группы. Практически все задания для контрольных и самостоятельных работ_-_разноуровневые.

При разработке заданий для самостоятельной работы, ,выполняемой вне стен учебного заведения, также учитываются  индивидуальные особенности студентов: наиболее сильным задаются так называемые опережающие задания.

Домашнее задание можно разделить на три вида:

                                      1.обязательное-это задание ,которое должно  быть понятным и посильным любому студенту;

                                       2.тренировочное-это задание делают студенты, которые хотят хорошо учиться и хорошо знать математику. Такие студенты могут быть освобождены от обязательного домашнего задания преподавателем;

                                         3.творческое-это задание выполняется добровольно и за него ставится обычно высокая оценка. Это  может быть: изготовление плакатов, составление кроссвордов, чайнвордов, написание сообщений, докладов, опорных конспектов и т.д.

Иногда предлагается  выполнить домашнюю работу по собственному выбору студентов; они это делают очень успешно: кто-то решает примеры, кто-то рисует какую-нибудь иллюстрацию к изучаемой теме , а кто-то просто  читает теоретический материал. При таком домашнем задании реализуется принцип  свободы выбора.

Заключение

Можно сделать вывод, что личностно-ориентированное обучение играет важную роль в системе образования. Современное образование должно быть направлено на развитие личности человека, раскрытие его возможностей, талантов, становление самосознание, самореализация.

Развитие ученика как личности (его социализация) идет не только путем овладения им нормальной деятельности, но и через постоянное обогащение, преобразование субъективного опыта, как важного источника собственного развития;

Учение как субъективная деятельность ученика, обеспечивающая познание (усвоение) должно разворачиваться как процесс, описываться в соответственных терминах, отражающих его природу, психологического содержание;

Основным результатом учения должно быть формирование познавательных способностей на основе овладения соответствующими знаниями и учениями.

Так как в процессе такого обучения происходит  активное участие в  образовательной деятельности, содержание и формы которой должны обеспечивать ученику возможность самообразования, саморазвития в ходе овладения знаниями.

 Приложение №1.

Математические диктанты, составленные студентами

.

Тема: «Пределы»

.

Математический диктант №1 (бесконечно малые и бесконечно большие).

8.                                              
9.                                                 =
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 

Математический диктант №2.

Тема: «Логарифмы».

Математический диктант №1.

8.                                              
9.                                                - не  существует
10. 
11. 
12.  - не существует
13. 
14. 

Математический диктант №2.

8. 
9.  - не существует
10. 
11. 
12. 
13.  - не существует
14. 

Тема: «Производная».

Математический диктант №1.

8. ;
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 

Математический диктант №2.

Тема: «Тригонометрические функции».

1. Начертить угол в III четверти.
2. Указать все его функции.
3. Указать знаки sin углов:
4. Указать знаки tg углов:

Тема: «Функции».

1. Указать о.о.ф. и вычислить:

, где x1

 f(0)=не существует

 f(1)=0

2. Определить чётность и нечётность:
3. Указать промежутки возрастания:

4) Перечислить способы задания функций (табличный, словесный, формульный)

.

приложение№3

Приём составления плана.

Прием составления плана используется не только тогда ,когда надо понять текст, а еще его применяют ,когда необходимо  построить график функции на основании подробного исследования или построить график ,отражающий изменение какой-либо величины в ходе физического или какого-либо еще процесса. Прием составления плана  широко применяется при подготовке к  выполнению практических работ : в таком плане  должны быть отражены все моменты практической работы.

При изучении темы Производная составляется план исследования функций с помощью первой и второй производных и с помощью этого плана решается большое количество задач на исследование функций и построение графиков этих функций Использование  этих планов помогает систематизировать полученные знания ,умело использовать теорию для практических целей при изучении  свойств функций.

План исследования функций с помощью первой производной.

1.Найти производную функции.

2.Приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение, найдя корни или точки, в которых производная не существует.(критические точки функции)

3.Нанести критические точки на числовую ось, разбив ее на промежутки.

4.Исследовать знак производной в каждом из полученных

промежутков, определяя  интервалы монотонности.                 5.Найти точки экстремума(используя нужные теоремы)

6.Найти экстремумы функции.

7.Взять несколько контрольных точек.

8.Построить график.

При изучении темы Определенный интеграл очень удобно составлять план формирования логической схемы приложения определенного интеграла.(прилагается)

                                                                                         Приложение№2

Прием алгоритмизации  действий

Тема: Решение дифференциальных уравнений

Алгоритм  решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

1.Определить тип уравнения.

2.Разделить переменные Х и У (применяя свойства действий и свойства уравнений)

3.Проинтегрировать обе части уравнения.

4.Записать функцию У(х).которая получилась в результате интегрирования обеих частей уравнения

5.Сделать проверку. Подставив полученную функцию в исходное уравнение.

Тема: Иррациональные уравнения

Алгоритм решения иррационального уравнения:

1.Уединить корень в какой-либо части уравнения.

2.Возвести  в квадрат обе части  уравнения.

3.Решить полученное уравнение

4.Проверить полученные корни.

Тема: Решение прикладных задач на составление дифференциальных уравнений.

Алгоритм  решения задачи

1.:Из перечисленных величин выделить функцию и аргумент,

установить физический смысл функции и производной от нее.

2.На основании известных сведений из физики, механики, электротехники и других дисциплин установить зависимость

между функцией, ее производной и аргументом,  иными словами, составить дифференциальное уравнение.

3.Определить  к какому типу относится составленное уравнение.

4.Решить уравнение и найти общее решение.

5.Если в задаче даны начальные условия, получить частное решение уравнения.

                                                                                           Приложение№2

Тема: Решение прикладных задач методом математического

моделирования

Алгоритм решения прикладной  задачи  методом математического моделирования.

1Определение предмета и цели исследования.

2.Выделение структурных или функциональных  элементов. в рассматриваемой ситуации, соответствующих данной цели и их наиболее важных характеристик.

3.Словесное, качественное описание взаимосвязей между элементами модели.

4.Введение символических обозначений и формализация взаимосвязей

(построение математической модели).

5.Проведение расчетов по математической модели.

6.Анализ и интерпретация полученных решений.

Алгоритм решения любой задачи. 1.Изучить содержание задачи (выделить данные и искомые, сделать чертёж и т.д.)

2.Если нужно, провести анализ и поиск решения (вспомнить, есть ли специальный приём анализа или решения задач данного типа, известны ли похожие задачи и способ их решения, нужен ли общий анализ)

3.На основе анализа составить план решения или сформулировать известный план решения задачи  данного типа (при этом следить ,все ли данные задачи  использованы, нельзя ли преобразовать данные или искомые задачи для более быстрого составления плана)

4.Решить задачу по составленному плану (при этом проверять правильность каждого шага, правильно заменять термины  символы их определениями, использовать свойства данных в задаче объектов)

5.Записать решение, используя  приёмы записи.

6.Если нужно, проверить или исследовать решение ( проверить ход решения, вычисления и результат, решить задачу другим способом, использовать специальные способы проверки и исследования задач данного типа)

7.Рассмотреть другие способы решения, выбрать наиболее рациональный и записать ответ.

8 . Проанализировать информацию, полученную в ходе решения

задачи, выделить главное, обобщить, включить в систему прежнего

 знания о приёмах работы над задачей).

Приложение №2

Последовательность действий при решении задач методом математического моделирования. 

                                                                         Приложение№4

Пример опорного конспекта по теме «Формулы приведения»,который студенты составляют самостоятельно

.

1.Знак результата берётся по знаку первоначального выражения.

2.Если острый угол взят при горизонтальном диаметре, то функция не изменяется.

3.Если острый угол взят при вертикальном диаметре, то

функция меняется на кофункцию.

Sin (900-a)=cos a                       cos (900-a)=sin a

Sin ( 1800-a)=sin a                      cos (1800-a)=-cos a

                                                                                                                      ПРИЛОЖЕНИЕ№4

Опорный конспект по теме: «События, операции над событиями.»

1.Опытом называется совокупность условий, при которых рассматривается появление некоего  случайного события.

Событием называется возможный результат опыта.

2.Достоверным  называется событие, которое обязательно произойдёт в данном опыте.

3.Невозможным  называется событие, которое не может произойти в данном опыте.

4.Совместными событиями называются два события,  обладающие следующими свойствами: появление одного из них  в данном опыте не исключает появление другого.

5.Несовместными называются два события , если они не могут произойти вместе при дном и том же опыте

6.Противоположными называются два события, такие что появление одного,  из них равносильно непоявлению другого.

7.Равновозможными называются события ,если нет основания полагать, что одно событие является более возможным, чем другие

.8.Суммой двух или нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

9.Произведением событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Свойства суммы и произведения

1.Коммутативность:А+В=В+А ;А*В=В*А

2.Ассоциативность:(А+В)+С=А+(В+С); ( А*В)*С=А*(В*С)
3.Дистрибутивность(А+В)*С=А*С+В*С

4.Идемпотентность:А+А=А ;  А*А=А