Открытый урок – семинар по теме «Задачи на оптимизацию»
методическая разработка по алгебре на тему
Очень важны знания математики человеку, сидящему за компьютером, строителю, инженеру, экономисту, а так же простому плотнику; показали связь математики с другими предметами, в частности, с физикой и информатикой.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 185.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Открытый урок – семинар по теме «Задачи на оптимизацию» (10 -11 класс)
Цель: Показать связь математики с реальной действительностью; формировать умение наблюдать, обобщать, проводить рассуждения по аналогии; развивать мышление и речь учащихся.
Сформировать умение применять алгебраический аппарат к изучению реальной действительности.
За неделю до проведения урока – семинара класс делиться на 5 – 6 групп, каждая из которых получает индивидуальное задание. Все учащиеся группы решают 2 – 3 задачи, а один из них готовит сообщение или решение одной данной задачи для остальных учащихся класса.
Ход урока.
I. Исторический экскурс.
Урок начинается вступительными словами учителя.
Учитель: Человеку часто приходиться решать задачи оптимизации своей деятельности, в которых нужно с помощью наименьших затрат, сил, средств, материалов получить наилучший результат. Как из круглого бревна выпилить прямоугольную балку с наименьшим количеством отходов?
Каких размеров должен быть ящик при заданном расходе материала и чтобы его объем был наибольшим?
В каком месте следует построить мост через речку, чтобы дорога проходящая через него и соединяющая два города была кратчайшей?
А самая простая и самая древняя задача была такой: какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь? Решена она была древнегреческим математиком Евклидом. Все задачи такого содержания в древней Греции были объединены одним названием – «задачи Дидоны». Они названы по имени легендарной основательницы одного из старейших городов Греции и его первой царицы Дидоны.
Согласно легенде, вынужденная бежать из своего родного города, Дидона вместе со своими спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела приобрести у местных жителей землю для нового поселения. Ей согласились уступить участок земли, однако не больше, чем объемлет воловья шкура. Хитроумная Дидона разрезала воловью шкуру на узкие ремешки, и разложив их, сумела ограничить гораздо большую площадь по сравнению с той, которую можно было покрыть одной шкурой. Если учесть, что царица выбирала участок примыкающий к берегу моря, то математическую задачу, с которой она столкнулась, можно сформулировать так: какой формы должна быть кривая L, чтобы площадь фигуры, ограниченной этой кривой и заданной линией Г, была наибольшей?
Задача Дидоны очень сложная и относиться к специальному разделу высшей математики, так называемому вариационному исчислению. Ну, а мы с вами постараемся разобрать такие задачи, с которыми каждый из нас может встретиться. Сначала, мне бы хотелось, чтобы вы познакомились с одним законом, диктующим размеры и формы всех промышленных продуктов. Прослушаем о нем сообщение (сообщение Метелкиной Е.).
II. Что такое ГОСТы.
I группа: В технике все держится на стандартизации. Много в мире делается механизмов, и все они состоят из различных деталей. Со всех участков завода поступают готовые детали в сборочный цех, некоторые из них привозят из других городов, а также из разных стран. И все детали подходят друг к другу. Если бы это было не так, невозможно было бы собрать ни один прибор.
Соответствие деталей друг другу обеспечивает стандартизация – установление единых норм и требований, предъявляемых к сырью, полуфабрикатам, готовым изделиям и материалам. Службы стандартизации разрабатывают систему государственных (а часто и межгосударственных) стандартов – ГОСТов.
ГОСТ – это закон, диктующий размеры и формы всех промышленных продуктов. Стандартизуется все – детали машин, профили проката (балки, уголки, швеллеры, трубы), формы и размеры досок, кирпичей, бутылок и пакетов и многое, многое другое. [4]
Методы математики являются основой стандартизации, а значит и фундаментом всей промышленности.
Вспомним один старый анекдот.
Портной сказал заказчику, что на его костюм пойдет 4 метра, но потребовал принести 7 метров материи, объяснив необходимость в лишних метрах очень просто: «Остальное я искромсаю». Портной, очевидно, не собирался экономить материал заказчика, а в технике экономия материалов занимает важнейшее место. И следя за экономией, прежде всего ГОСТы. Они не допускают, чтобы заготовка, из которой делается деталь, намного превосходила размеры самой детали. Иначе ценные материалы – металл или дерево будут уходить в стружку в процессе вытачивания маленькой детали из слишком большой заготовки.
III. Решение задач по группам (методами дифференциального исчисления и графически).
Учитель: Решение многих задач практически приводит к отысканию наибольшего или наименьшего значений некоторой функции на некотором промежутке. Сейчас, каждая группа, имея свою задачу, над которой должны были подумать дома, попытается решить ее графически с помощью компьютера, а потом продемонстрирует всем остальным ее решение как графически, так и методом дифференциального исчисления (с помощью производной)
Итак, вам дается 7 минут, для того, чтобы решить и подготовиться к защите своих задач.
IV. Защита решений задач.
I группа:
Задача: Какова наибольшая площадь прямоугольного участка земли, который можно огородить куском проволоки длиной 2p?
Решение: Обозначим длину одной из сторон прямоугольника x, тогда длина другой стороны будет (p – x), а потому площадь участка . При этом
. Найдем критические точки функции S(x). Производная S(x) равна:
. Она обращается в 0 при
. Итак, надо найти наибольшее значение функции
при
, p-x=p -
прямоугольник – квадрат со стороной
и его площадь равна
. Т.е. наибольшим значением площади прямоугольника будет площадь квадрата.
II группа:
Задача: из круглого бревна, толщина которого d см., следует вырезать балку прямоугольного сечения. Прочность балки пропорциональна ab2 (a, b – измерения сечения балки в см.). При каких значениях а и b прочность балки будет наибольшей?
Решение: Под толщиной круглого бревна понимается диаметр его более тонкого конца. Факторами на прочность балки являются диаметр бревна, форма и размеры сечения, вид древесины, из которой балка изготовлена (но этим условием мы пренебрегаем при решении задачи).
Обозначим прочность балки через Р, а коэффициент пропорциональности через k (k>0). По условию задачи Р=kab2. Тогда математическая задача может быть сформулирована следующим образом: «При каких значениях переменных а и b функция Р принимает наибольшее значение?
b2=d2 – a2 (AB=b, AD=a, BD=d) (рис.1).
Отсюда Р(а)=ka(d2–a2) a(0;d).
. Найдем критические точки функции:
,
= 0
. или
(0;d) (рис.2).
0 d
Рис.2.
При а (0;
) Р’(a)>0 и, следовательно, функция Р(а) возрастает на (0;
).
При а (
;d) Р’(a)<0 и, следовательно, функция Р(а) убывает на (
;d).
Таким образом, точка - точка максимума и функция Р(а) принимает в ней наибольшее значение. (Если функция, непрерывная на промежутке, имеет на нем один экстремум, то он совпадает с ее наибольшим (наименьшем) значением на этом промежутке). Из равенства b2=d2– a2 имеем
. Таким образом функция Р принимает наибольшее значение при
и
. Тогда прочность балки составляет
.
Вывод: Уменьшение прочности балки при размерах прямоугольного сечения, отличных от оптимальных, означает, что балка либо не выдержит нагрузки, либо срок е службы будет меньше, а это экономически невыгодно.
Учитель
Отыскание наибольших и наименьших значений функции применяется при решении многих задач физики. Например, в положении равновесия потенциальная энергия системы достигает экстремального значения, причем в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия максимальна. Рассмотрим еще следующий пример.
III группа. Задача: Найдем на АВ такую точку С, чтобы сумма длин отрезков МС и NC была минимальна.
М N
A x С l -x B
Рис.3.
Решение: Примем точку А за начало координат на прямой и обозначим координату точки С через х. (рис.3) МС= и NC=
, а потому f(x)=MC+NC=
+
.
Чтобы найти наименьшее значение функции f(x), вычислим ее производную и приравняем к нулю:
. (1)
Не решая полученного уравнения, заметим, что = sin
,
= sin
. Поэтому равенство (1) означает, что sin
= sin
, откуда
=
(острые углы равны, если равны их синусы). Итак, сумма длин отрезков МС и NC будет наименьшей, если угол падения равен углу отражения. Из курса физики известно, что это равенство выполняется при отражении луча света. Значит, луч свет «выбирает» при отражении путь экстремальной длины.
Учитель: Ребята, в наше время всем нам приходиться много работать с компьютером. Я думаю, что всем нам будет интересна следующая задача
IV группа.:
Задача: На странице текст должен занимать 384 см2. Верхнее и нижнее поля должны быть по 3 см, левое и правое – по 2 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
Решение: Пусть длина печатного текста будет хсм., причем , тогда ширина его -
см.
Размеры страницы соответственно будут (х+4)см и (+6)см (рис.4).
Площадь страницы S=(х+4)(+6)=
.
Найдем производную S(x):
,
при
=0
6х2=1536
х1 = 16 или х2 = - 16
(0;384).
Итак, размер листа должен быть 16+4=20 см, см.
Ответ: 20 см. и 30 см.
Рис.4.
V группа:
Задача: Три пункта А, В, С не лежат на одной прямой, причем АВС=600. Одновременно из точки А выходит автомобиль, а из точки В – поезд. Автомобиль движется по направлению к точке В со скоростью 80 км/ч, поезд - к точке С со скоростью 50 км/ч. В какой момент времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если АВ=200 км?
Решение: Пусть в момент времени t, t [0;
], т.е t
[0;2,5], автомобиль находится в точке Е, а поезд в точке К. Тогда ВЕ=200-80t, ВК=50t. По теореме косинусов: ЕК2 = ВК2+ ВЕ2 - 2 ВЕ ВКcos В.
ЕК2 =(200 – 80t)2+(50t)2 – 2**50(200 – 80t)t =12900 t2-42000 t+40000. Пусть ЕК2= S(t)= 12900 t2-42000 t+40000.
S’ (t)=25800t-42000 S’ (t)=0 25800 t=42000
t=
[0;2,5], поэтому наименьшее значение ЕК2 достигается при t=
= 1
(часа)
Учитель: Подводя итог решению всех рассмотренных задач с помощью дифференциального исчисления, заметим, что все задачи решаются по следующему плану:
- Выбирают одну из переменных (независимую переменную) и выражают через нее ту переменную, для которой ищется наибольшее или наименьшее значение.
- Находят промежуток изменения независимой переменной.
- Находят производную полученной в пункте 1 функции.
- Находят критические точки функции ( в том числе и те, в которых производная не существует).
- Определяют какие из них принадлежат промежутку из пункта 2.
- Находят наибольшее или наименьшее значение функции.
При этом для простоты вычислений полезно иметь в виду следующие замечания:
- Точка, в которой функция принимает наибольшее или наименьшее значение, не изменяется при следующих преобразованиях выражения задающего функцию:
а) прибавление постоянного слагаемого;
б) умножение на отличное от нуля число (только при умножении на отрицательное число наибольшее значение переходит в наименьшее и обратно);
в) возведение в степень с натуральным показателем, если функция неотрицательна.
Например, функция имеет на отрезке [0;7] наибольшее значение в той же точке, что и функция
.
2) Если положительная функция f принимает в точке а наибольшее (наименьшее) значение, то функции –f и принимают в той же точке наименьшее (соответственно наибольшее) значение.
Например, функция (х-2)2+5 принимает наименьшее значение при х=2, а потому функция имеет при х=2 наибольшее значение.
На этом уроке мы ограничились рассмотрением алгебраических задач, но и геометрические задачи тоже сводятся к алгебраическим.
Одним из сильных методов решения геометрических задач на экстремумы функции является использование неравенств, в частности, неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенства Коши):
, т.е.
или, в общем виде:
.
Решим задачу:
Каких размеров должен быть ящик, чтобы при заданной площади поверхности S, его объем был наибольшим?
Решение:
S пов =2(ab+bc+ac), V=abc, ab+bc+ac=
ab=bc=ac a=b=c
Итак, среди всех ящиков с заданной площадью полной поверхности наибольший объем имеет ящик кубической формы.
V. Итог урока.
Мы сегодня показали, как важны знания математики человеку, сидящему за компьютером, строителю, инженеру, экономисту, а так же простому плотнику; показали связь математики с другими предметами, в частности, с физикой и информатикой. Надеюсь, что эти знания пригодятся в жизни.
Список используемой литературы.
- Виленкин Н.Я. «Алгебра и математический анализ».Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.
- Колмагоров А.Н. «Алгебра и начала анализа». Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений.
- Журнал «Математика в школе» №7, 2003 г.
- Детская энциклопедия», т.5, АПН РСФСР, 1960 г.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Семинар по теме: «Задачи, решаемые с помощью интегралов»
Ι. Спланировать изучение темы «Интеграл» и создать условия для самостоятельной работы школьников с учебником.ΙΙ. Составить план семинара и заранее раздать учащимся задания для подготовки к нему....
Открытый урок -семинар по теме "Решение тригонометрических уравнений" в 10 классе
Отработать навыки решения тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным, и однородных уравнений....
Урок открытия нового знания по теме "Задачи на движение по реке", 5 класс
Урок открытия нового знания по теме "Задачи на движение по реке", 5 класс...
![](/sites/default/files/pictures/2016/11/24/picture-856250-1479982838.jpg)
Семинар по теме "Задачи на максимум и минимум"
Цель семинара: Рассмотреть решение задач на максимум и минимум практического содержания, углубить знания учащихся по этой теме. Развивать познавательный интерес к предмету математики. Воспитывать чувс...
![](/sites/default/files/pictures/2017/03/31/picture-911498-1490949153.jpg)
Открытый урок-семинар в 10 классе по теме "Простое осложненное предложение"
Технологическая карта урока-семинара. В основе урока проектные работы учащихся, связанные с исследовательской работой с художественными текстами различных стилей речи...
![](/sites/default/files/pictures/2015/01/15/picture-555746-1421323313.jpg)
Открытый урок-практикум Решение экспериментальных задач по теме «Важнейшие классы неорганических соединений»
Открытый урок-практикумРешение экспериментальных задач по теме «Важнейшие классы неорганических соединений»...
![](/sites/default/files/pictures/2017/11/10/picture-971400-1510263882.jpg)
Открытый урок-семинар по теме: "Повторение "Словообразование" для 6 класса
Открытый урок-семинар по теме: "Повторение "Словообразование" для 6 класса...