Решение показательных уравнений
учебно-методический материал по алгебре (10 класс) на тему

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Показательными уравнениями обычно называют уравнения, в которых неизвестная величина содержится в показателе степени (а основания степеней ее не содержат).

Решение показательных уравнений основано на следующем свойстве степеней:

если две степени c одним и тем же положительным и отличным от единицы основанием равны, то равны и их показатели.

Согласно этому свойству простейшее показательное уравнение

ах=b  (а>0, а 1, b>0) решается следующим образом:

Нужно уметь увидеть общее основание левой и правой частей уравнения. Если в уравнении

общее основание 2/3 (или 3/2) левой и правой частей сразу бросается в глаза, то в уравнении

для отыскания общего основания 2/5 (или 5/2) необходимо  предварительно обратить десятичные дроби в обыкновенные. (Попробуйте довести до конца решения приведенных примеров; в уравнении (1) вы получите ответ x=2, а в уравнении (2) х =11/13).

Для сведения многих показательных уравнений к простейшему часто бывает полезна следующая хорошо известная формула:

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде

.

Пользуясь формулой (), получим

,

откуда находим х=4

Пример 2. Решить уравнение

Решение.

Имеем следующую цепочку эквивалентных уравнений:

(23)х 5х= 1600, 8х 5х= 1600, 40х= 402, х = 2.

Легко свести к простейшему уравнение вида

а(х)=1 (а>0, а 1).

Для этого достаточно единицу представить как а в нулевой степени: 1=а0

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Последовательно находим

,  х2+х—2=0, х1=- 2, х2= 1.

Пример 4. Решить уравнение

Р е ш е н и е. По определению степени с отрицательным показателем

 Далее последовательно находим

 , 5-3х=0, х=5/3.,

Пример 5. Решить уравнение

Решение.

В этом уравнении имеются два основания: 3 и 5. Узнаем, с каким показателем эти основания входят в уравнение. С этой целью разделим обе части уравнения на   :

Далее имеем

,

х + 3 = 0, х = —3.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Сгруппируем члены, содержащие 4х и 9х.

Сокращая на 21, получим —  9х  = 214х,

Или , откуда находим 2х+1 = 0, х = - 0,5.                .

К простейшим показательным уравнениям иногда удается свести показательные уравнения более сложного вида:

f(ax)=0.

Замена ах = у сводит это уравнение к уравнению f(y)=0. Если

у1, …. Уn   —корни последнего уравнения, то нам остается решить совокупность простейших показательных уравнений

ax= у1,  ax= у2, …. ax= уn .

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Обозначим 2х через у, тогда уравнение примет вид

2у +  у = 76,

откуда находим у=32.

Таким образом, 2x=32, x=5.

Пример 8 Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде

Обозначив  через y, получим квадратное уравнение относительно у:

3 у2— 10 y+ 3=0, откуда  y1  =  3,  у2  = 1/3 .

Далее рассматриваем два случая:

а) = 3, =3, ; x1=2

б) =1/3, , х2 = —2.

К решению квадратного уравнения сводятся решения таких показательных уравнений, в которых имеются три различных основания, образующие геометрическую прогрессию, причем эти основания возводятся в одну и ту же зависящую от х степень *).

Пример 9. Решить уравнение 316x +36*=281x.

Решение. Мы видим, что в этом уравнении основания 16, 36, 81 образуют геометрическую прогрессию и возводятся в одну и ту же степень х.

Для решения разделим обе части уравнения на 8Iх. Получаем

Обозначив        = у, приходим

к квадратному уравнению 3 у2+ у— 2=0 , с корнями у1 = — 1, y2=2/3

Рассматриваем два случая:

a)        = — 1 (решений нет);

б) =  =

2х =1, х =1/2.

Пример 10. Решить уравнение

27х+12х=28х.

Это уравнение близко к только что рассмотренному: показатель степени у оснований один и тот же, однако основания 27, 12 и 8 геометрической прогрессии не образуют. Геометрическую прогрессию образуют числа 27, 18, 12 и 8 — мы можем считать, что член, содержащий 18х, входит в уравнение с нулевым коэффициентом.

Решение. Делим все члены на 8х, получаем

Обозначив  через у, приходим к кубическому уравнению

у3 + у — 2 = 0,

левую часть которого легко разложить на множители:

(у-1)(уг+y+2)=0

Единственный действительный корень этого уравнения у= 1 приводит к уравнению =1.

Откуда находим х=0.

Пример 11. Решить уравнение 523х-2 - 325-3х+7=0.

Решение.

Перепишем уравнение в виде

Обозначим 23х через у, тогда получим:

у2 +56у—768 =0,

у1==19,2;

у2= 8,

а)        23х = -19,2 — уравнение не имеет решений.

б)        23х =8, 23х =23, 3х=3, х =1.

В разобранном примере произведение оснований равно единице, и это сразу бросается в глаза; в следующем примере этот факт заметить не так просто.

Пример 12. Решить уравнение

Решение.

Перемножим основания:

  =

Если обозначить  через у, то  =

Следовательно, уравнение принимает вид

Или у2-10у+1=0, откуда находим у1 =  у2 =  Рассматриваем два случая:

а)        = , х1=2

б)        ; =

, х2==-2.

He всегда показательное уравнение можно отнести к одному из рассмотренных типов. В следующих примерах даны уравнения, при решении,  которых появятся моменты, не встречавшиеся у нас ранее.

Пример 13. Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде

(**)

Разделим обе части уравнения (4) на 5222, получим

, или

( . (*)

Нетрудно видеть, что это равенство возможно в любом из двух случаев:

а)        показатель степени равен нулю, что дает х1=2;

б)        выражение, возводимое в степень х—2, равно единице, что приводит ко второму решению:

,

(х + 1) lg5 + lg2 = 0,

х + 1=, х2 =-1=

При решении этого уравнения второй корень часто теряют, либо забывая в уравнении (*) приравнять основание единице, либо сразу приравнивая показатели у 5 и 2 в уравнении (**)

Пример 14. Решить уравнение

 Р е ш е н и е.

 Заметим, что

Поэтому данное уравнение имеет решение х=2.

Трудность состоит в доказательстве единственности полученного решения.

Здесь можно рассуждать, например, так.

Запишем наше уравнение в виде

             (*)

Каждая из функций у=и у=

как показательная функция с основанием, меньшим единицы, является убывающей для —<Х<+, поэтому их сумма — тоже убывающая функция. Значит, при х<2 левая часть уравнения (*) больше единицы, а при х>2 меньше единицы.

Ответ: х=2.