Особенности развития логического мышления на уроках математики у учащихся 5-6 классов.
статья по алгебре (5 класс) на тему

Особенности развития логического мышления учащихся

на уроках математики в 5-6 классах.

Автор: учитель математики ГБОУ СОШ №304 г. Москвы  Семенова Г.В.

В последние годы вопрос о необходимости специальной работы учителя над развитием логической составляющей мышления учащихся  приобретает особую остроту по нескольким причинам:

• во-первых, появились новые учебники, требующие от учителя активной мыслительной деятельности для усвоения их содержания,
• во-вторых, как в начальном, так и в среднем звене внедрён предмет “Информатика”, для изучения которого необходимо усилить логическую подготовку учеников младших классов,
• в-третьих, изменения в российском образовании, связанные с достижением нового образовательного стандарта: “Всестороннее развитие личности обеспечивается единством нравственного, умственного, эстетического и физического воспитания. Умственное воспитание выступает как формирование у детей интеллектуальных умений, в состав которых входят логические приёмы мышления.

Так как школьная математика является одной из базисных дисциплин в системе среднего образования, то  без солидной математической подготовки нельзя ставить вопрос об усвоении знаний  ряда других предметов.

Целенаправленное, интенсивное развитие становится одной из центральных задач обучения, важнейшей проблемой его теории и практики.

У психологов и дидактов сложились разные точки зрения  на природу способностей и на само понятие «мышление» применительно к интеллектуальному развитию ученика. Я буду рассматривать логическое мышление как «общие интеллектуальные способности», под которыми понимают высокоразвитые умственные способности общего характера, образующие основу для достижения наилучших результатов.

          Анализ психолого – педагогической литературы по проблеме позволил выявить следующие основные показатели сформированности логического мышления подростков:

• определенный фонд знаний и умений,  качество и степень  его обобщенности;
• уровень развития познавательных процессов, лежащих в основе развития логического мышления учащихся: внимание, память, воображение (именно эти качества, по данным психологов, являются основой продуктивного мышления);
• уровень развития мышления учащихся, который определяется степенью сложности умственных действий и операций (анализ, синтез, сравнение, обобщение, абстракция, классификация, конкретизация и т. п.);
• владение приемами поисковой и творческой деятельности.

Исключительно важной для нашей современной школы является проблема развития творческих способностей учащихся, а школьные уроки математики по-прежнему нацелены на прохождение программы, а не на развитие мышления детей. Учитель видит свою задачу в том, чтобы школьники с его помощью усвоили еще и еще одну порцию учебного материала. Однако, главная задача – всемерно содействовать развитию познавательных возможностей учащихся. Больше других в таком случае страдают наиболее способные дети, именно те, кто в младших классах учился легко и радостно. К седьмому классу их познавательная деятельность оказывается недостаточно нагруженной, они привыкают не прилагать усилий в учебной работе, ибо усвоить стереотип могут без затруднений, а глубинные пласты мышления при этом бездействуют. Часто приходится наблюдать отсутствие интереса у ряда учеников к предмету, причем чаще всего целыми классами. Не секрет: учитель рассказывает и показывает иллюстрации, но некоторые ученики его не слышат, поскольку голова занята совсем другим. Причин для этого несколько:
-  непонимание того, о чем говорит учитель, возникшее из-за того, что где-то раньше произошел разрыв понимания (это особенно происходит, когда из года в год меняются учителя);
-  формальное изложение материала: учитель не привел достаточных доводов для введения нового, и учащиеся не видят необходимости получения этого, как им кажется, ненужного знания (это обычно наблюдается у молодых учителей;

-  есть учащиеся, которые не желают заниматься ничем, что требует малейшего умственного напряжения.
         Встает вопрос: «Как достучаться до таких детей? Как научить учиться?»
        В свое время выдающийся советский педагог В.А.Сухомлинский писал: «Страшная это опасность – безделье за партой, безделье шесть часов ежедневно, безделье месяцы и годы – это разваливает, морально калечит человека, и ни школьная бригада, ни школьный участок – ничто не может возместить того, что запущено в самой главной сфере, где человек должен быть тружеником – в сфере мысли». Тружеником мысли ученик становится прежде всего на уроке, ибо «урок - это совместный труд детей и педагога, а успех этого труда определяется, в первую очередь, теми взаимоотношениями, которые складываются между преподавателем и учащимися».

Чтобы приучить учащихся мыслить самостоятельно, привить им твердую привычку, надеяться в разрешении возникающих затруднений на собственные силы и разум, а также воспитать уверенность в практической неограниченности своих возможностей, необходимо во-первых - заставить их пройти через определенные трудности, а не подавать им все в готовом и до конца «разжеванном» виде. В противном случае человек будет вынужден всю жизнь нести груз интеллектуальной неполноценности, постоянно испытывать нужду в том, кто выполнит за него умственную работу, даже очень примитивную. Для общества такой человек является балластом.  Второе, учителю важно знать структуру математического мышления, которая представляет собой пересечение пяти основных подструктур.

Охарактеризуем каждую из них:
  - топологическая подструктура обеспечивает замкнутость, компактность, связанность осуществляемых мышлением преобразований, непрерывность трансформаций, мысленное выращивание, выделение в представлении требуемого объекта (его образа);
-  порядковая дает возможность постоянного сопоставления человеком математических объектов и их элементов по таким характеристикам, как больше - меньше, ближе - дальше, часть-целое, изменение направления движения и его характера, положение, форма, конструкция предмета;
- метрическая позволяет вычленять в объектах и их компонентах количественные величины и отношения (пропорции, численные значения размеров, углов, расстояний);
- c помощью алгебраической подструктуры человек осуществляет не только прямые и обратные операции над математическими объектами, расчленение и соединение их составляющих, но и замену нескольких операций - одной из определенной совокупности, объединение нескольких блоков предмета в один, выполнение математических преобразований в любой последователь-ности;
- проективная подструктура обеспечивает изучение математического объекта или его изображения с определенного самостоятельно выбранного положения, проецирование с этой позиции объекта на изображение (или изображения на объект) и установление соответствия между ними.
     Указанные пять подструктур в математическом мышлении человека существуют не автономно, не изолированно, а пересекаются и находятся в определенной зависимости. В соответствии с индивидуальными особенностями учащихся та или иная подструктура занимает место главной, ведущей, доминирующей. Она наиболее ярко выражена по сравнению с остальными, более устойчива и лучше развита. 

С учётом этих особенностей мышления мы и должны строить процесс обучения школьников математике. Суть метода  заключается в том, что от детей не требуется общего, одинакового для всех решения. Каждый может выполнять задания своим способом, который ему понятней, этот индивидуальный способ зависит от ведущей подструктуры математического мышления школьника. В зависимости от неё и помощь учителя, его подсказки должны быть различными. Только в этом случае они будут услышаны, восприняты и приняты.

1.1. Мышление.

Важнейшей задачей обучения математике является развитие мышления учащихся.

Мышление является высшим познавательным процессом. Мышление человека - это творческое преобразование имеющихся в памяти представлений и образов. Мышление всегда направлено на решение какой-либо задачи.

Мышление - сложная форма психической деятельности. В процессе мыслительной деятельности человек познает окружающий мир с помощью особых умственных операций. Эти операции составляют различные взаимосвязанные, переходящие друг в друга стороны мышления. Основными мыслительными операциями являются анализ, синтез, сравнение, абстракция, конкретизация и обобщение.

Анализ — это мысленное разложение целого на части или мысленное выделение из целого его сторон, действий, отношений.

Синтез — это мысленное объединение частей, свойств, действий в единое целое. Операция синтеза противоположна анализу.

Сравнение — это установление сходства или различия между предметами и явлениями или их отдельными признаками.

Абстракция состоит в том, что субъект, вычленяя какие-либо свойства, признаки изучаемого объекта, отвлекается от остальных. Абстракция — сложный процесс, зависящий от своеобразия изучаемого объекта и целей, стоящих перед исследователем.

Конкретизация предполагает возвращение мысли от общего и абстрактного к конкретному с целью раскрыть содержание.

Обобщение — мысленное объединение предметов и явлений по их общим и существенным признакам.

Все указанные операции не могут проявляться изолированно вне связи друг с другом. На их основе возникают более сложные операции, такие как классификация, систематизация и прочие. Каждая из мыслительных операций может быть рассмотрена как соответствующее умственное действие. При этом подчеркивается активность, действенный характер человеческого мышления, возможность творческого преобразования действительности. Мышление человека не только включает в себя различные операции, но и протекает на различных уровнях, в различных формах, что в совокупности позволяет говорить о существовании разных видов мышления. В психологии сложилось несколько подходов к проблеме классификации видов мышления.

Задача мышления заключается в том, чтобы выявить существенные, необходимые связи, основанные на реальных зависимостях, отделив их от случайных совпадений. Всякое мышление совершается в обобщениях. Мышление — это движение мысли, раскрывающее связь, которая ведет от отдельного к общему и от общего к отдельному. Поэтому мышление опосредствованно, основанное на раскрытии связей, отношений, опосредований, и обобщенное познание объективной реальности.

1.2. Виды мышления

В психологии принята и распространена следующая несколько условная классификация видов мышления по таким различным основаниям как:

1) генезису развития;

2) характеру решаемых задач;

3) степени развернутости;

4) степени новизны и оригинальности;

5) средствам мышления;

6) функциям мышления и т.д.

1. По генезису развития различают мышление:

наглядно-действенное;

наглядно-образное;

словесно-логическое;

абстрактно-логическое.

Наглядно - действенное     мышление   –    вид     мышления,     опирающийся      на непосредственное восприятие предметов в процессе действий с ними. Это мышление есть наиболее  элементарный  вид  мышления,  возникающий  в  практической  деятельности и являющийся основой для формирования более сложных видов мышления.
         Наглядно - образное   мышление  -   вид  мышления,   характеризующийся    опорой   на представления и образы. При наглядно-образном мышлении ситуация преобразуется в плане        образа          или        представления.
           Словесно-логическое   мышление –  вид мышления, осуществляемый при   помощи логических  операций  с  понятиями.  При  словесно  - логическом   мышлении,   оперируя логическими  понятиями,  субъект  может   познавать  существенные   закономерности    и ненаблюдаемые взаимосвязи исследуемой реальности.
          Абстрактно-логическое (отвлеченное) мышление - вид мышления,  основанный на выделении существенных свойств и связей предмета и отвлечении  от  других,  несущественных.
             2. По характеру решаемых задач различают мышление:

теоретическое;

практическое.

Теоретическое мышление -  мышление  на  основе   теоретических   рассуждений  и умозаключений.   Практическое    мышление   -    мышление    на    основе     суждений     и  умозаключений, основанных на решении практических задач.
            Теоретическое мышление - это познание законов и правил.

Основная  задача  практического  мышления  -  разработка   средств  практического преобразования действительности: постановка цели, создание плана, проекта, схемы.
            3. По степени развернутости различают мышление:

дискурсивное;

интуитивное.

Дискурсивное (аналитическое)  мышление -   мышление,    опосредованное     логикой рассуждений,  а  не  восприятия.  Аналитическое  мышление  развернуто  во  времени,  имеет четко  выраженные  этапы,   представлено  в   сознании   самого   мыслящего   человека. Интуитивное мышление - мышление на основе  непосредственных  чувственных  восприятий  и непосредственного отражения воздействий предметов и  явлений  объективного мира. Интуитивное мышление характеризуется быстротой протекания, отсутствием четко выраженных этапов, является минимально осознанным.
            4. По степени новизны и оригинальности различают мышление:

репродуктивное

продуктивное (творческое).

Репродуктивное мышление  -   мышление   на   основе   образов   и   представлений, почерпнутых   из каких - то   определенных   источников.   Продуктивное    мышление  - мышление на основе творческого воображения.
            5. По средствам мышления различают мышление:

вербальное;

наглядное.

Наглядное мышление - мышление на основе образов и представлений предметов. Вербальное мышление - мышление, оперирующее отвлеченными знаковыми структурами.
            Установлено,  что   для   полноценной    мыслительной     работы   одним     людям  необходимо  видеть   или  представлять  предметы,   другие   предпочитают   оперировать   отвлеченными знаковыми структурами.
            6. По функциям различают мышление:

критическое;

творческое.

Критическое мышление направлено на выявление недостатков в суждениях других людей. Творческое мышление связано с открытием принципиально нового знания, с генерацией собственных оригинальных идей, а не с оцениванием чужих мыслей.

1.3. Логическое мышление

Одной из наиболее распространенных в психологии является классификация видов мышления в зависимости от содержания решаемой задачи. Выделяют предметно-действенное, наглядно-образное и словесно-логическое мышление. Следует отметить, что все виды мышления тесно взаимосвязаны между собой. Приступая к какому-либо практическому действию, мы уже имеем в сознании тот образ, которого предстоит еще достигнуть. Отдельные виды мышления постоянно взаимо переходят друг в друга. Так, практически невозможно разделить наглядно-образное и словесно-логическое мышление, когда содержанием задачи являются схемы и графики. Поэтому, пытаясь определить вид мышления, следует помнить, что этот процесс всегда относительный и условный. Обычно у человека задействованы все возможные компоненты и следует говорить об относительном преобладании того или иного вида мышления. Только развитие всех видов мышления в их единстве может обеспечить правильное и достаточно полное отражение действительности человеком.

Поиску путей развития логического мышления учащихся в процессе обучения математике посвящены методические  исследования А. К. Артемова, И. Л. Никольской, А. А. Столяра и др. Ими были разработаны общие программы, содержание и методика логической подготовки школьников в процессе обучения математике.

Во всех общих программах четко прослеживаются в качестве основных одни и те же блоки, которые условно могут быть обозначены как "классификация", "определения", "умозаключения". Эти основные логические действия не могут быть полноценно сформированы без предварительной работы с признаками предметов: дети должны научиться мысленно выделять в предметах их признаки (форма, размер, цвет и пр.) и оперировать ими как абстрактными объектами.

Учитывая целесообразность непрерывного формирования логических умений на протяжении всего периода обучения в школе, необходимость преемственности между различными ступенями обучения и возрастные особенности познавательной деятельности школьников,  выделим те знания и умения, формирование которых следует начинать уже в начальной школе.

Исследования показали, что от выпускников средней школы требуется овладение следующими логическими знаниями и умениями:

1)   умение определить известное понятие;

2)   знание правил классификации;

3)   понимание смысла логических связок «и», «или», «не», «если... то»,   «следует»,   «эквивалентно»   (логически);

4)     умение выделить логическую форму математического предложения;

5)   понимание   смысла   терминов   «необходимо»   и   «достаточно» (и их отрицания), а также их сочетаний;

6)   умение проводить доказательства утверждений, знать наиболее   употребительные   приемы   доказательства,   обнаруживать грубые логические ошибки;

7)  умение правильно организовывать и рационализировать свою деятельность  в  соответствии  с  внутренней  логикой  ситуации;

8)   умение   мыслить    критически,    последовательно,    четко    и   полно;

9) владение основными мыслительными приемами (анализ, синтез, обобщение, сравнение и т. п.) в простейших случаях и т. д.[36]

Исходя из выше сказанного следует, что именно в подростковом возрасте закладывается фундамент формирования перечисленных  логических знаний и умений.

Анализ исследований,  проведенных  зарубежными и  отечественными специалистами  (Выготский Л.С. и др.), показал, что наиболее эффективно логическое мышление развивается в среднем и старшем школьном возрасте, когда развивается способность к абстракции и дедукции. В результате анализа была выдвинута гипотеза о том, что снижения уровня логического мышления можно избежать за счет занятий с ребятами играми с головоломками. Поскольку логическое мышление в течение жизни развивается под воздействием внешних факторов, то в процессе дополнительного воздействия возможен дополнительный прирост уровня развития логического мышления. Данная гипотеза была в дальнейшем подтверждена в ходе педагогического эксперимента, во время которого ребята занимались с головоломками из набора "ЛОГО", специально созданного нами для этих целей.

При решении задач подросток не только дает правильное решение, но и логически обосновывает его.

Ученик умеет оперировать гипотезами, решая интеллектуальные задачи. Кроме того, он способен на системный поиск решений. Сталкиваясь с новой задачей, он старается отыскать разные возможные подходы к ее решению, проверяя логическую эффективность каждого из них. Им находятся способы применения абстрактных правил для решения целого класса задач. Эти умения развиваются в процессе школьного обучения, при овладении знаковыми системами, принятыми в математике. Например, решая задачу: «Найти число, которое равняется удвоенному самому себе минус тридцать», подростки, используя сложную операцию - алгебраическое уравнение (х =2х — 30), быстро находят ответ (х = 30). В то же время младшие школьники пытаются решить эту задачу подбором — умножают и вычитают разные числа, пока не придут к правильному результату.

Развиваются такие операции, как классификация, аналогия, обобщение и др. Устойчиво проявляется рефлексивный характер мышления: дети анализируют операции, которые они производят, способы решения задач.

Особенности теоретического рефлексивного мышления позволяют подросткам анализировать абстрактные идеи, искать ошибки и логические противоречия в суждениях. Подросток приобретает взрослую логику мышления.

Итак, математика дает реальные предпосылки для развития логического мышления, а задача учителя  – полнее использовать эти возможности при обучении детей математике.

2. Развитие логического мышления  у учащихся 5-6 классов.

Для осуществления формирования логического мышления учащихся 5-6 классов была составлена система развивающих заданий по темам:

• аналогия;
•  исключение лишнего;
•  «в худшем случае»;
•  классификация;
•  логические задачи;
•  перебор;
•  задачи с геометрическим содержанием;
•  задачи «на переливание»;
•  задачи-шутки;
•   занимательные задания.

Эти задачи можно разделить на группы, учитывая их воздействие на мыслительную деятельность учащихся.

Формирование гибкости ума, освобождение мышления от шаблонов происходит при решении задач-шуток, занимательных заданий, задач на перебор вариантов, т.к. в большинстве своем эти задачи не привязаны к темам и не требуют особой теоретической подготовки.

Задачи на переливание, логические задачи, ребусы, задачи на классификацию учат школьников умению рассуждать, формируют математический стиль мышления, развивают логико-лингвистические способности детей, которые приводят к умению четко мыслить, полноценно логически рассуждать и ясно излагать свои мысли.

Задачи на аналогию и исключение лишнего используются для формирования умений поиска решения задач, интуиции, требуют знания теории и нешаблонного подхода к решению.

Задачи с геометрическим содержанием нацелены на знание геометрических фигур и их свойств как основы для формирования пространственных и изобразительных умений школьников, на расширение кругозора.

Учитель, преподающий в 5-6 классах, может развивать логическое мышление учащихся с помощью созданной системы заданий. Для этого необходимо учитывать следующее:

1.выбранные задания должны быть посильными для детей;

2.задания, отобранные для одного урока, должны быть разнообразными для воздействия на различные компоненты мышления;

3.если ученики не справляются с заданием, то целесообразно оставить его на обдумывание до следующего урока;

4.ученикам можно дать необязательное домашнее задание по составлению аналогичных задач;

5.если на уроке время ограничено, то эти задания можно применять на занятиях математического кружка.

2.1.Система развивающих заданий

2.1.1.Аналогия

Аналогия – это сходство между объектами в некотором отношении. Использование аналогии в математике является одной из основ поиска решения задач. Задачи этой серии направлены на отработку таких познавательных приемов, как проведение словесных аналогий и нахождение аналогий между фигурами.

Например:

1.уменьшаемое – разность, множитель - …?

2.продолжите ряд: 1, 5, 13, 29, …

                                7, 19, 37, 61, …

2.1.2. Исключение лишнего

В каждой задаче этой серии указаны четыре объекта, из которых три в значительной мере сходны друг с другом, и только один отличается от всех остальных.

Например,

1.Сумма, разность, множитель, частное

2.   9; 12; 8; 15

3.   см, дм, м², км.

2.1.3. В худшем случае

Это прием решения задачи, где для доказательства какого-либо утверждения можно рассмотреть самый неудобный, худший случай, в котором утверждение выполняется. Если мы докажем утверждение для худшего случая, то тем более оно будет верно и в остальных случаях. Главное – правильно определить этот худший случай.

Например:

1.В классе 37 человек. Докажите, что среди них найдутся четыре человека, родившиеся в один и тот же месяц.

2.Есть три ключа от трех замков. Какое наименьшее количество проб нужно осуществить, чтобы подобрать ключи к замкам?

2.1.4. Классификация

Классификация – это общепознавательный прием мышления, суть которого заключается в разбиении данного множества объектов на попарно непересекающиеся подмножества (классы). Число таких подмножеств, а также их состав зависит от основания классификации (т.е. признака, существенного для данных объектов), которое может принимать различные значения.

Например:

Что объединяет слова длина, площадь, масса? Какое слово к ним подходит: секунда, центнер, величина, метр?

2.1.5. Логические задачи

Логические задачи – это задачи, требующие умения проводить доказательные рассуждения, анализировать.

Например:

1.Ира, Даша, Коля и Митя собирали ягоды. Даша собрала ягод больше всех, Ира – не меньше всех. Верно ли, что девочки собрали ягод больше, чем мальчики?

2.Наташа произнесла истинное утверждение. Лена повторила его дословно и оно стало ложным. Что сказала Наташа?

2.1.6. Перебор

Сущность этого приема заключается в проведении организованного разбора и анализа всех случаев, которые потенциально возможны в ситуации, описанной в задаче.

Например:

1. Сколько имеется двузначных чисел, у которых среди цифр есть хотя бы одна пятерка?

2. В числе 48352 зачеркните такие две цифры, чтобы число, образованное оставшимися цифрами в том же порядке было наибольшим (наименьшим).

2.1.7. Задачи с геометрическим содержанием

1.Нарисуйте два треугольника так, чтобы их общей частью были: а) шестиугольник; б) пятиугольник; в) четырехугольник; г) отрезок; д) точка.

2.Разрезать квадрат на две равные фигуры (10 способов).

3.Деревянный куб покрасили со всех сторон, потом распилили на 27 одинаковых кубиков. Сколько кубиков имеют 3 окрашенные грани, 2 окрашенные грани? Сколько кубиков не окрашено?

2.1.8. Задачи на переливание

1.В первый сосуд входит 10 литров воды. Как, используя еще два пустых сосуда по 5 и 7 литров, разделить воду на две части?

2. Восьмилитровый бидон наполнен водой. Как с помощью трехлитровой и пятилитровой банок отлить 1л воды?

2.1.9. Задачи-шутки

1.Гусь стоит 20 рублей и еще половину того, сколько он на самом деле стоит. Сколько стоит гусь?

2.Сколько концов у двух палок, у трех палок, у пяти с половиной палок?

3.Какой математический знак нужно поставить между 5 и 6, чтобы полученное число было больше 5, но меньше 6?

4.Один поезд отправляется из Москвы в Пермь, одновременно с ним выходит поезд из Перми в Москву, скорость которого в два раза больше. Какой из поездов в момент встречи будет находиться дальше от Москвы?

5.Крышка стола имеет 4 угла. Один угол отпилили. Сколько углов осталось?

2.1.10. Занимательные задачи

1.Чему равно произведение -109*(-108)*…107*108?

2.Чему равна сумма -65+ (-64)+(-63)+…+64+65+66?

3.Вдоль всей траектории забега поставили 15 столбов. После начала забега спортсмен был у третьего столба через три минуты. За сколько минут он пробежит весь путь? (Скорость спортсмена считать постоянной).

2.2. Проведенная работа по формированию логического мышления у учащихся 5-6 классов позволяет сделать следующие выводы:

• логическое мышление развивается интенсивнее, если создавать на уроке атмосферу уважения, поощрять инициативу и стимулировать творчество учащихся;
•  система развивающих заданий позволяет привить интерес к предмету, дает более глубокое и полное понимание изучаемых тем, развивает мышление учащихся;
• система заданий является средством повышения уровня логического мышления учащихся 5-6 классов, развивает интеллект. Повышается успеваемость учащихся, прививается интерес к предмету,
• систематическое  и умелое  использование ИКТ на уроках математики и внеурочных занятий, направленных на развитие логического мышления, расширяет математический кругозор учеников и позволяет более уверенно ориентироваться в самых простых закономерностях окружающей их действительности и активнее использовать математические знания в повседневной жизни.

Необходимо как можно больше включать в урок математики нестандартные задания, которые бы способствовали развитию логического мышления учеников и имеет важное значение  на всех этапах учебной деятельности.

Сегодня математика как живая наука с многосторонними связями, оказывающая существенное влияние на развитие других наук и практики, является базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности.

Поэтому в качестве одного из основополагающих принципов новой концепции в "математике для всех" на первый план выдвинута идея приоритета развивающей функции обучения математике. В соответствии с этим принципом центром методической системы обучения математике становится не изучение основ математической науки как таковой, а познание окружающего человека мира средствами математики и, как следствие, к динамичной адаптации человека к этому миру, к социализации личности.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Ведерникова, Т.Н., Иванов, О.А. Интеллектуальное развитие школьников на уроках математики. // Математика в школе. - 2002. - № 3.
2. Виленкин, Н.Я., Жохов, В.И., Чесноков, А.С., Шварцбург, С.И. Математика-6:учебник для общеобразовательных учреждений в двух частях./Мнемозина, 2006-142 с.: ил.
3. Виноградова, Л.В. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие / Л.В. Виноградова – Ростов-на-Дону: Феникс, 2005 – 252 с., ил.
4. Гусев, В.А. Методика обучения геометрии / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; под ред. В.А. Гусева. – М.: Издательский центр «Академия» – 2004. – 368 с.
5. Заесенок, В.П. Подумай и ответь (Логические задачи). - М., 1996.
6. Игнатьев, Е.И. В царстве смекалки. - М.: Наука, 1979
7. Перельман, Д.И. Живая математика. Математические рассказы и  головоломки. / Под ред. и с дополн. И.Г. Болтянского. -  11-е  изд. – М.: Наука, 1978.